Exame 1ª Época. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade 1º Semestre 2009/2010 Fernando Brito Soares Graça Silva Erica Marujo António Rua Exame 1ª Época º: ome: Data: 7 de Janeiro de 2010, 11:30 Duração: 2:30 horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. ão desagrafe nenhuma folha. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (30%) 1. O circo Maximus decidiu realizar um estudo sobre o número de horas mensais de treino dos seus artistas. Foram apurados vários resultados, mas devido a um sismo que provocou vários estragos no sistema informático, a informação disponível sobre o estudo ficou incompleta, tal como se apresenta no quadro seguinte: úmero de horas mensais de treino úmero de artistas a 28 a a) (5%) Sabendo que =160 e que x =378,125, calcule o valor de a e b. b) (5%) Calcule o grau de assimetria de Pearson e classifique esta distribuição quanto à assimetria. c) (5%) Uma grande companhia de circo, a Girassol, resolveu juntar três circos: o circo Máximus, o circo Tchun e o circo Cordanelli. Sabe se que o número médio de horas de treino diárias do circo Tchun é de 17 horas e que este circo tem 140 artistas. Em relação ao circo Cordanelli, sabe se que a mediana da distribuição do número de horas mensais de treino dos seus artistas é de 444 horas, a variância é de horas, e sabe se que essa distribuição é simétrica. Sabendo que a variância geral do conjunto dos três circos é de 22850,(04) e que os b 1

2 três circos em conjunto possuem 500 artistas, calcule a variância da distribuição do circo Tchun (Assuma que um mês tem em média 30 dias). 2. O Professor Doutor Tungsténio, ministro do Ensino Superior da Educalândia, encomendou um estudo ao Instituto de Estatística desse país para inferir acerca da relação entre o número de alunos de cada faculdade (A) e os lucros anuais gerados por cada faculdade, em milhares de euros (L). Foram apurados os seguintes resultados: A i =450000; L i =285000; i= 1 ln A i L i ln A i 2 =7050; ln L i A i =55; ln L i 2 2 A i = ; L i 2 =11400; ln A i =2210; =930500; A i L i = ; ln L i =2010; =55; =85; m 4 L = ; m 4 A = ; a 4 A =1,5 a) (5%) Calcule quantas faculdades foram objecto deste estudo. b) (5%) Estime a recta de regressão dos lucros (L) em relação ao número de alunos (A). Interprete o valor do coeficiente de regressão dessa recta. c) (5%) Calcule o coeficiente de determinação desta recta e interprete o. II (%) A empresa AEROSHOES vende três tipos de produto: sapatos, ténis e botas. Os índices de quantidades dos três produtos para os anos 2008 e 2009, calculados com base no ano t, e o valor das vendas (em milhares de euros) são apresentados na tabela seguinte: Valor das vendas (em milhares de euros) Produtos 2008 Sapatos 450 Índices de quantidades (calculados na base t) Ténis Botas a) (10%) Calcule um índice de quantidades do tipo Laspeyres de 2009 com base em 2008, que sintetize a evolução global das quantidades dos três produtos. 2

3 b) (10%) Sabendo que os índices de quantidades e de preços do tipo Paasche, de 2009 com base em 2008, são 1,2 e 1,3, respectivamente, calcule o valor total das vendas (em milhares de euros) no ano III (20%) A empresa Batatinha produz batatas fritas caseiras de dois tipos: onduladas e lisas. o quadro seguinte é apresentado o volume de vendas das batatas fritas onduladas, em milhares de pacotes, ao longo dos últimos 3 anos. X t - Volume de vendas das batatas fritas onduladas (em milhares de pacotes) 1º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre a) (5%) Estime a tendência pelo método dos mínimos quadrados. b) (5%) Determine os índices de sazonalidade, admitindo o modelo multiplicativo. c) (5%) Considere que a variável Y t representa o volume de vendas das batatas fritas lisas (em milhares de pacotes). Com base numa amostra de observações semestrais de 2007 a 2009, estimou se a seguinte recta dos mínimos quadrados: T t = t Admitindo que os índices de sazonalidade obtidos para o volume de vendas das batatas fritas lisas, utilizando o modelo multiplicativo, foram 1,3 e 0,9 para o primeiro e segundo semestre, respectivamente. Estime o volume de vendas das batatas fritas lisas para o 1º semestre do ano d) (5%) Sabendo que a empresa vende cada pacote de batatas fritas onduladas a 0,4 euros e lisas a 0,5 euros. Estime o valor total das vendas para o 1º semestre de

4 IV (30%) 1. uma dada faculdade são leccionados apenas os cursos de Economia e Gestão, sendo que 60 por cento dos alunos forma se em Economia e os restantes em Gestão. A probabilidade de um aluno desta faculdade conseguir emprego logo que termina o curso é de 82 por cento. Sabe se também que 70 por cento dos alunos de Gestão desta faculdade conseguem um emprego logo após a conclusão do curso. a) (5%) um dado dia, no bar da faculdade, estavam 20 alunos. Qual a probabilidade de pelo menos 7 desses alunos serem de Gestão? b) (5%) Sabendo que um aluno acabou de concluir o curso de Economia naquela faculdade, qual a probabilidade de conseguir logo um emprego? c) (5%) Sabendo que um aluno obteve emprego logo após a conclusão do curso, qual a probabilidade do aluno se ter formado em Gestão? 2. um estabelecimento de comida rápida trabalham 2 funcionários, A e B. O funcionário A atende no máximo 4 clientes por hora com uma probabilidade de 5.5 por cento. Por sua vez, o funcionário B atende, em média, 20 clientes por hora. Sabe se também que o número de clientes atendidos pelos funcionários A e B é independente. a) (5%) Em média, quantos clientes são atendidos por hora pelo funcionário A? b) (5%) Sabendo que na última hora o funcionário B atendeu 15 clientes, qual a probabilidade de atender 17 clientes na próxima hora? c) (5%) Qual a probabilidade de numa hora o funcionário A atender 11 clientes e funcionário B atender 13 clientes? 4

5 CORRECÇÃO I (30%) 1. O circo Maximus decidiu realizar um estudo sobre o número de horas mensais de treino dos seus artistas. Foram apurados vários resultados, mas devido a um sismo que provocou vários estragos no sistema informático, a informação disponível sobre o estudo ficou incompleta, tal como se apresenta no quadro seguinte: úmero de horas mensais de treino úmero de artistas a 28 a a) (5%) Sabendo que =160 e que x =378,125, calcule o valor de a e b. Sabendo que =160, calculamos facilmente o va lor de b: 160= b b= b=32 Para determinar o valor de a, sabemos que x =378,125. Para calcular o valor da mediana, primeiro é necessário calcular o valor das frequências relativas acumuladas, que vamos apresentar na seguinte tabela de frequências: x j x j n j S j f j F j h j d j ,0625 0, ,00041(6) ,15 0, , a ,175 0, ,0035 a b 94 0,2 0, , ,3125 0, , , ,001 Σ Pela observação das frequências relativas acumuladas, verifica se que a classe mediana (a classe que acumula 50% ou mais do total das observações) é a classe a,400. Sabendo que F x =0,5, calculamo s o valor d e a por interpolação linear: F 400 F a 400 a = F 400 F x 400 x 0,5875 0,3875 = 0,5875 0,5 400 a ,125 a=350 b 5

6 b) (5%) Calcule o grau de assimetria de Pearson e classifique esta distribuição quanto à assimetria. O grau de assimetria de Pearson é dado pela seguinte fórmula: g= x mod(x) s x A média aritmética é dada por: x = f j x j ' =0, , , , , ,1 650=391, j=1 A classe modal, neste caso, é aquela que tem maior densidade de frequência, uma vez que as classes têm amplitudes diferentes. Ou seja, a classe modal é 350,400. Recorrendo à fórmul a de King, temos: 0, mod x = ,4321 0, ,0035 Finalmente, o desvio padrão pode ser calculado pela seguinte expressão: 6 s x = f j x ' j x 2 j= , , = 0, , , , Logo, o grau de assimetria de Pearson vai ser dado por: g= x mod(x) = 391, ,4321 0,1778>0 s x 146, Como o grau de assimetria de Pearson é positivo, conclui se que esta distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à direita. c) (5%) Uma grande companhia de circo, a Girassol, resolveu juntar três circos: o circo Maximus, o circo Tchun e o circo Cordanelli. Sabe se que o número médio de horas de treino diárias do circo Tchun é de 17 horas e que este circo tem 140 artistas. Em relação ao circo Cordanelli, sabe se que a mediana da distribuição do número de horas mensais de treino dos seus artistas é de 444 horas, a variância é de horas, e sabe se que essa distribuição é simétrica. Sabendo que a variância geral do conjunto dos três circos é de 22850,(04) e que os três circos em conjunto possuem 500 artistas, calcule a variância da distribuição do circo Tchun (assuma que um mês tem em média 30 dias). Para podermos determinar a variância da distribuição do número de horas de treino mensais dos artistas do circo Tchun vamos utilizar a fórmula da variância geral do conjunto dos três circos. o entanto, para isso, é necessário proceder primeiro ao cálculo do número médio de horas de treino mensais dos artistas do conjunto dos três circos. Para calcular esta média, temos a seguinte informação: M =160; T =140; C = M T = =200 x M 391,5625 x T =17 30=510 (Assumindo que um mês tem em média 30 dias)

7 x C=x c= 444 (A média e a mediana são iguais uma vez que nos é dito que a distribuição é simétrica x G = 3 l=1 3 l=1 l l x l = M x M + T x T + C x C = , =445,7 M + T + C Logo, pela fórmula da variânci a geral, temos: 3 3 l=1 s 2 = l=1 l s 2 l + l x l x G 2 G s 2 G = M s 2 M + T s 2 T + C s 2 C + M x M x G 2 + T x T x G 2 + C x C x G ,(04) 500= , s 2 T , , , ,7 2 s T ,68 2. O Professor Doutor Tungsténio, ministro do Ensino Superior da Educalândia, encomendou um estudo ao Instituto de Estatística desse país para inferir acerca da relação entre o número de alunos de cada faculdade (A) e os lucros anuais gerados por cada faculdade, em milhares de euros ( L). Foram apurados os seguintes resultados: A i =450000; L i =285000; i= 1 ln A i L i ln A i 2 =7050; ln L i A i =55; ln L i 2 2 A i = ; L i 2 =11400; ln A i =2210; =930500; A i L i = ; ln L i =2010; =55; =85; m 4 L = ; m 4 A = ; a 4 A =1,5 a) (5%) Calcule quantas faculdades foram objecto deste estudo. Sabe se que o coeficiente de achatamento de Fisher é igual a 1,5, logo,temos: a A 4 = m 4 A s 2 1,5= A 2 s 2 A 2 s 2 A =55500 Através da vari ância de A, podemos determinar a sua média aritmética: s 2 A =55500 A i 2 A 2 = A 2 =55500 A =1500 E da média de A, podemos determinar o valor de (o número de faculdades que foram o bjecto des te estudo): A =1500 A i =1500 =1500 =300 7

8 b) (5%) Estime a recta de regressão dos lucros (L) em relação ao número de alunos (A). Interprete o valor do coeficiente de regressão dessa recta. Recta de regressão dos lucros (L) em relação ao número de alunos (A): L =a+ba Para calcular o valor de a e b, precisamos primeiro de determinar a média de A e L: A =1500 (Pela alínea anterior) L = L i = =950 Então, para determinar a recta de regressão, temos que começar por calcular o valor do coeficiente de regressão (b), e também a ordenada na origem (a): b= cov(a A i L i i,l i ) = A L Var(A i ) 2 = ,6(009) A i A a=l b A =950 0,6(009) ,64865 Logo, a recta de regressão de L em relação a A é dada por pela seguinte equação: L =48, ,6(009)A O coeficiente de regressão (b) representa o declive da recta de regressão, e neste caso significa que, por cada aluno adicional numa dada faculdade, os lucros destas aumentam cerca de 0,6(009) milhares de euros, em média. c) (5%) Calcule o coeficiente de determinação desta recta e interprete o. O coeficiente de determinação pode ser calculado da seguinte maneira: 2 R 2 sa =b 2 2 s L Par a podermos calculá lo, é necessário primeiro determinar a variância de L: s 2 L = L i 2 Logo, temos: L 2 = = R 2 sa =b 2 2 s R2 =0,6(009) 2 L ,71572 Um coeficiente de determinação R 2 =0,71572 significa que cerca de 71,572% da variabilidade dos lucros anuais gerados por cada faculdade (L) é explicada pela presença do número de alunos (A) na recta de regressão. 8

9 II (%) A empresa AEROSHOES vende três tipos de produto: sapatos, ténis e botas. Os índices de quantidades dos três produtos para os anos 2008 e 2009, calculados com base no ano t, e o valor das vendas (em milhares de euros) são apresentados na tabela seguinte: Valor das vendas (em milhares de euros) Produtos 2008 Sapatos 450 Índices de quantidades (calculados na base t) Ténis Botas a) (10%) Calcule um índice de quantidades do tipo Laspeyres de 2009 com base em 2008, que si ntetize a evolução global das quantidades dos três produtos. q L 09/08 q I 09/08 3 j=1 = q 09 3 j j=1 q 08 S q S =I09/t It/08 j j p 08 j p 08 q 3 j = %Despesa 08 j=1 S q j I 09/08 =0,45 1, 3 +0,3+1,125+0,25 1,25=1,25 q S I 09/t = q S = 2 1,5 =1,(3); I q T 1,8 09/08 = 1,6 =1,125; I q B 2,5 09/08 = 2 =1,25 I 08/t b) (10%) Sabendo que os índices de quantidades e de preços do tipo Paasche, de 2009 com base em 2008, são 1,2 e 1,3, respectivamente, calcule o valor total das vendas (em milhares de euros) no ano V q p I09/08=L 09/08 P 09/08 3 j p 08 j=1 j q 08 =1000 =1,25 1,3=1,625 Valor total das vendas 2009=1, =1625 milhares de euros 9

10 III (20%) A empresa Batatinha produz batatas fritas caseiras de dois tipos: onduladas e lisas. o quadro seguinte é apresentado o volume de vendas das batatas fritas onduladas, em milhares de pacotes, ao longo dos últimos 3 anos. X t - Volume de vendas das batatas fritas onduladas (em milhares de pacotes) 1º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre º Semestre a) (5%) Estime a tendência pelo método dos mínimos quadrados. 1º Semestre X t t 2º Semestre a=x t= 428,(3) = 3 t=1 x t t' b 3 t' 2 = 85 2 =42,5 10 t=1 T t =428, 3 +42,5t' Acréscimo anual = 42,5 Acréscimo semestral = 42,5/2 Acréscimo trimestral=4 2,4/4 T 1ºS 2007=428, 3 +42,5 1 42,5 4 =375,208(3) T 1ºS 2008 =375,205+42,5=428, 3 +42,5 0 42,5 4 =417,708(3)

11 ... T t tendência estimada 1º Semestre 2º Semestre ,21 396, ,71 438, ,21 481,46 b) (5%) Determine os índices de sazonalidade, admitindo o modelo multiplicativo. Para eliminar a tendência vamos dividir X t pela tendência estimada. A média da sazonalidade obtida em cada semestre corresponde ao respectivo índice de sazonalidade. 1º Semestre X t / Tt 2º Semestre ,8529 1, ,8618 1, ,8257 1,1631 IS C 0,8468 1,1457 IS C 0,85 1,15 Como a soma dos índices é diferente de zero temos de os corrigir através do factor de correcção dado por : nº de subperíodos 2 fc= = IS C 1,9925 1,00376 c) (5%) Considere que a variável Y t representa o volume de vendas das batatas fritas lisas (em milhares de pacotes). Com base numa amostra de observações semestrais de 2007 a 2009, estimou se a seguinte recta dos mínimos quadrados: T t = t Admitindo que os índices de sazonalidade obtidos para o volume de vendas das batatas fritas lisas, utilizando o modelo multiplicativo, foram 1,3 e 0,9 para o primeiro e segundo semestre, respectivamente. Estime o volume de vendas das batatas fritas lisas para o 1º semestre do ano T 1ºS 2010 = =322,5 11

12 Correcç ão do Exame 1ª Época X 1ºS 2010 =T 1ºS 2010 IS C 1º Semestre =322,5 1,182=381,195 milhares de pacotes 1º Semestre 2º Semestre Soma I S 1,3 0,9 2,2 I SC 1,182 0,818 2,0 Como a soma dos índices é diferente de 2 temos de multiplicá los pelo factor de correcção: fc= 2 2,2 =0,(90) d) (5%) Sabendo que a empresa vende cada pacote de batatas fritas onduladas a 0,4 euros e lisas a 0,5 euros. Estime o valor total das vendas para o 1º semestre de T 1ºS 2010 =428,(3)+42,5 2 42,5 4 =502,708(3) X 1ºS 2010 =502, ,85=427,30208(3) Valor total das vendas para o 1º semestre de 2010 =(0,5 381,195)+(0,4 427,30208(3))= =361,517 milhares de euros 12

13 IV (30%) 1. uma dada faculdade são leccionados apenas os cursos de Economia e Gestão, sendo que 60 por cento dos alunos forma se em Economia e os restantes em Gestão. A probabilidade de um aluno desta faculdade conseguir emprego logo que termina o curso é de 82 por cento. Sabe se também que 70 por cento dos alunos de Gestão desta faculdade conseguem um emprego logo após a conclusão do curso. a) (5%) um dado dia, no bar da faculdade, estavam 20 alunos. Qual a probabilidade de pelo menos 7 desses alunos serem de Gestão? Seja X o número de alun os de Gestão em 20 alunos. X~Binomial n=2 0,p= 0,4 P X 7 =1 P X<7 =1 P X 6 =1 F 6 =1 0,25=0,75 b) (5%) Sabendo que um aluno acabou de concluir o curso de Economia naquela faculdade, qual a probabilidade de conseguir logo um emprego? Utilizando o Teorema da Probabilidade Total, temos: P Emprego =P Emprego Economia P Economia +P Emprego Gestão P Gestão 0,82=P Emprego Economia 0,6+0,7 0,4 P Emprego!Economia =0,9 c) (5%) Sabendo que um aluno obteve emprego logo após a conclusão do curso, qual a probabilidade do aluno se ter formado em Gestão? Utilizando o Teorema d e Bayes: P Gestão Emprego = P Emprego Gestão P Gestão = 0,7 0,4 P Emprego 0,82 =0, um estabelecimento de comida rápida trabalham 2 funcionários, A e B. O funcionário A atende no máximo 4 clientes por hora com uma probabilidade de 5.5 por cento. Por sua vez, o funcionário B atende, em média, 20 clientes por hora. Sabe se também que o número de clientes atendidos pelos funcionários A e B é independente. a) (5%) Em média, quantos clientes são atendidos por hora pelo funcionário A? Seja A o número de clientes atendidos pelo funcionário A numa hora. A~Poisson λ A =? P A 4 =0,055 λ A =9 13

14 b) (5%) Sabendo que na última hora o funcionário B atendeu 15 clientes, qual a probabilidade de atender 17 clientes na próxima hora? Seja B o número de clientes atendidos pelo funcionário B numa hora. B~Poisson λ B =20 Como a distribuição de Poisson não tem memória, então a probabilidade pedida é simplesmente dada por: P B=17 =0,076 c) (5%) Qual a probabilidade de numa hora o funcionário A atender 11 clientes e funcionário B atender 13 clientes? Como A e B sã o independentes então: P A=11 B=13 =P A=11 P B=13 =0,097 0,0271=0,

15 Distribuições de probabilidade de v. a. discretas Distribuição Função de probabilidade Função de distribuição X ~ DU( i, j) 1 j i + 1 { i, i + 1,..., j 1 j} x. x 0 i + 1 j i + 1 x < i i x j 0 { i, i + 1,..., j 1 j} x, 1 x > j q = 1 p x = 0 0 x < 0 X ~ Bernoulli( p) p x = 1 q = 1 p 0 x < 1 0 outros casos 1 x 1 X ~ Bin( n, p) n x n x ( ) p ( p) x 0 1 x { 0,1,2,..., n} { 0,1,2 n} x,..., 0 x < 0 x i p 1 i= 0 1 n i ( p) 0 x < n x n λ x e λ 0 x < 0 x { 1,2,... } X ~ Poisson( λ) x! x i λ λ e x 0 x 1,2,... i 0 { } i= 0! Análise de Dados e Probabilidade Fernando Brito Soares

16 TABELA 1 DISTRIBUIÇÃO BIOMIAL (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição θ θ n x x

17 TABELA 2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSO (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição x x x x

18 TABELA 2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSO (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição x x x x x x

19 TABELA 2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSO (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição x x