Teste Intermédio A. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 10 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 007/008 Fernando Brito Soares Erica Marujo Teste Intermédio A º: ome: Data: 19 de Abril de 008, 1.00 Duração: horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. ão desagrafe nenhuma folha. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (0%) O Banco Centennium BCG apresentou, recentemente, o seu relatório anual de contas, relativo a 007. este relatório foi incluído o quadro abaixo representado, relativo aos lucros anuais obtidos por cada uma das suas agências, em milhares de euros: Lucro anual por agência úmero de agências ]100;00] 100 ]00;00] 150 ]00;00] 50 ]00;500] 00 ]500;700] 10 ]700;1000] 80 a) (5%) Construa a tabela de frequências e represente graficamente a distribuição através de um histograma de área um. b) (5%) Determine a média e a moda da distribuição, e classifique a distribuição quanto à assimetria através do cálculo do coeficiente de assimetria de Bowley. c) (15%) Um dos principais objectivos do Conselho de Administração para 008 é aumentar os lucros anuais médios do banco, e para tal exige que todas as agências aumentem os seus lucros anuais em 100 mil euros. Assumindo que o número total de agências não se irá alterar em 008, demonstre o efeito desta medida sobre a concentração da distribuição, através do índice de Gini. d) (15%) O Centennium BCG tem dois principais concorrentes: o Banco Estadual Subprime (BES) e o Caixa Grande de Dinheiro (CGD). Sabe-se que, relativamente aos lucros anuais do BES, a média foi de 00 mil euros, a variância de 065, e a moda de 10. Em 1

2 Teste Intermédio A relação à CGD, os lucros anuais médios foram de 0 mil euros, a variância foi de 00 e a moda de 5. Sabe-se ainda que a variância do Centennium foi de (i) (ii) (7,5%) Qual dos três bancos apresenta lucros anuais mais dispersos? E qual destes apresenta maior assimetria? (7,5%) Sabendo que os lucros anuais médios do conjunto dos três bancos foi de 1 mil euros e a amostra do BES incidiu sobre 800 agências, determine o número de agências da CGD e a variância geral do conjunto dos três bancos. II (0%) 1. (10%) Indique uma boa razão para a necessidade de calcular medidas de dispersão absoluta na caracterização de distribuições de frequência.. (10%) Considere uma instituição de microcrédito, o Banco Multinacional pela Igualdade (BI), que apresentou um relatório sobre a sua concessão de crédito por cliente em 007. Sabe-se que o índice de Gini dessa distribuição foi zero. a) (5%) Sabendo que o montante total de crédito concedido em 007 foi de 500 milhões de euros e que este banco possui 000 clientes, determine o montante de crédito concedido a cada cliente, bem como a variância. b) (5%) Sabe-se ainda que o montante total de crédito concedido em 005 foi de 00 milhões de euros e em 006 foi de 50 milhões de euros. Qual a taxa de variação média anual para o conjunto destes três anos? III (0%) Os dirigentes do Sporting, preocupados com os resultados alcançados na presente época, decidiram realizar um estudo que lhes permita inferir sobre a eficácia da sua equipa. Considere a seguinte informação relativa ao número de golos marcados por jornada (G) e ao número de treinos realizados por semana (T): G i =60; T i =80 ; T i G i =1700; G i =15; T i =000; m T =16 a) (5%) Calcule o número de jornadas que foram objecto de estudo e o número médio de golos por jornada. b) (5%) Se não respondeu à alínea anterior, assuma =0. Ajuste uma recta de regressão linear de G em relação a T. Interprete os coeficientes a e b dessa regressão. c) (5%) O treinador do Sporting afirmou que, se aumentarem a carga semanal de treinos para 5, então a eficácia da equipa em cada jornada será superior à média actual, o que irá garantir uma maior tranquilidade. Comente a afirmação, justificando a sua resposta.

3 Teste Intermédio A d) (5%) Foi ainda estimada a seguinte regressão: T=5,+1,G. Tendo em conta a definição das duas variáveis, indique qual das especificações das rectas faz mais sentido, e calcule o coeficiente de determinação, R, a partir dos valores estimados para os parâmetros das duas regressões. IV (0%) Considere a seguinte sucessão cronológica relativa às vendas quadrimestrais de uma famosa cadeia multinacional de lojas de roupa, nos últimos anos, a preços de 005, em milhares de euros: Anos 1º Quadrimestre º Quadrimestre º Quadrimestre a) (10%) Determine e estime a tendência desta sucessão pelo método dos mínimos quadrados. b) (5%) Elimine a tendência das observações utilizando o modelo aditivo. c) (5%) Determine e estime novamente a tendência utilizando o método das médias móveis de período.

4 I (0%) O Banco Centennium BCG apresentou, recentemente, o seu relatório anual de contas, relativo a 007. este relatório foi incluído o quadro abaixo representado, relativo aos lucros anuais obtidos por cada uma das suas agências, em milhares de euros: Lucro anual por agência úmero de agências ]100;00] 100 ]00;00] 150 ]00;00] 50 ]00;500] 00 ]500;700] 10 ]700;1000] 80 a) (5%) Construa a tabela de frequências e represente graficamente a distribuição através de um histograma de área um. j 1,,, m: l x h l f n l l S n l h F S f d f h n

5 x j x j h j n j f j S j F * j d j ]100;00] , ,1 0,001 ]00;00] , ,5 0,0015 ]00;00] , ,5 0,005 ]00;500] , 800 0,8 0,00 ]500;700] ,1 90 0,9 0,0006 ]700;1000] , ,000(6) Para construirmos o histograma de área 1, temos que utilizar as densidades de frequência relativas (d j ) no eixo das ordenadas, e o valor da variável x j no eixo das abcissas. Assim, temos: d j 0,005 Histograma de área 1 0,00 0,00 0,005 0,005 0,00 0,0015 0,0015 0,001 0,0005 0,001 0,0006 0, x j b) (5%) Determine a média e a moda da distribuição, e classifique a distribuição quanto à assimetria através do cálculo do coeficiente de assimetria de Bowley.. Média: Para dados classificados, a média aritmética é dada por: x= m j=1 (n j x ' j ) 15 m = (f j x ' j ) =0, , ,5 50+0, 50+0, ,08 850= j. Moda: Dado que as classes têm amplitudes diferentes, a classe modal é a classe com maior densidade de frequência: Classe modal ]00;500]. Podemos então determinar a moda (lucro anual por agência mais frequente) pela Fórmula de King: d500; 700 modx l00; 500 h00; 500. d00; 00 d500; 700 5

6 0, ,55 0,005 0,0006. Coeficiente de assimetria de Bowley: Este coeficiente é dado pela seguinte expressão: Q g'= Q x x Q1 = x + x Q1 Q Q +Q1 x Q1 Assim sendo, é necessário procedermos primeiro ao cálculo da mediana e do primeiro e terceiro quartis para determinar o valor do coeficiente de assimetria de Bowley. Então, temos:. Primeiro Quartil: Como x j é uma variável contínua, então sabemos que F Q1 0,5. Pela tabela de frequências, observamos que F000,5, logo: F Q1 =0,5F -1 0,5=00Q1=00.. Mediana: De forma análoga à do primeiro quartil, sabemos que Fx0,5. Pela tabela de frequênc ias, sabemos que F000,5, então: Fx=0,5F -1 0,5=00x=00.. Terceiro Quartil: este caso, temos: F Q 0,75. Pela tabela de frequências, ao observarmos as frequências relativas acumuladas, verificamos que nenhuma das classes reúne exactamente 75% das observações. o entanto, podemos concluir que o terceiro quartil se situa na classe 00; 500, pelo que o terceiro quartil terá que ser determinado por interpolação linear: F * 500 F * ,5 0,00Q F * 500 F * Q 500 Q 0,05Q8,. 0,8 0, ,8 0, Q Agora podemos calcular o valor do coeficiente de assimetria de Bowley e classificar a distribuição quanto à assimetria: g'= Q Q +Q1 x Q1 = ,091<0 8, 00 Logo, a distribuição é assimétrica negativa ou enviesada à esquerda. c) (15%) Um dos principais objectivos do Conselho de Administração para 008 é aumentar os lucros anuais médios do banco, e para tal exige que todas as agências aumentem os seus lucros anuais em 100 mil euros. Assumindo que o número total de agências não se irá alterar em 008, demonstre o efeito desta medida sobre a concentração da distribuição, através do índice de Gini. 6

7 Vamos ter que ver o impacto que o aumento absoluto de 100 mil euros exigido a todas as agências pelo Conselho de Administração do BCG para 008 tem sobre o índice de Gini. O índi ce de Gi ni antes do aumento é dado pela seguinte expressão: G m 1 j1 p j q j 1 m 1 j1 q j m 1p j m 1p j j1 j1 Onde p j, a proporção de agências que possuem o mesmo nível de lucros anuais até o limite superior da j-ésima classe, e q j, a proporção da totalidade dos lucros anuais do BCG em 007 possuída pelas mesma s agências até à j-ésima classe são dadas por: p n n F n q t t n x n x Assim, se considerarmos um aumento absoluto de k=100 mil unidades para todas as observações, de tal modo que x D j =x j +k, as novas expressões para p j e q j serão, respectivamente, onde D refere-se aos valores depois do aumento: p D j j s1 n s m p n s j q D j s1 j s1 m s1 t s D t sd j s1 m s1 n s x D s n s x sd j s1 m s1 n s x s k n s x s k j s1 m s1 n s x s n s k q n s x s n j s k Como no enunciado é referido que temos que assumir que o número total de agências irá permanecer inalterado em 008 relativamente a 007, então as frequências absolutas e relativas, tanto simples como acumuladas, também não se irão alterar de um ano para o outro, pelo que consequentemente os valores de p j em 008 serão exactamente iguais aos de 007. Em relação aos valores de q j, a situação é diferente, uma vez que estes são calculados com base nos valores de t j (ou seja, o valor total dos lucros anuais acumulado na classe j), e estes, por sua vez, dependem directamente dos valores da variável x j, que aumenta k=100 mil unidades em todas as observações. Consequentemente, os valores de t j irão aumentar em n j k unidades para todas as observações, e tanto o numerador como o denominador de q j aumentarão nesse valor para cada uma das classes. Isso fará com que o novo valo r de q j seja sup erior ao inicial. Assim send o, isto implica que: m 1 q D j q j q D j q j m 1 j1 qd j m 1 j1 q j 1 m 1 j1 qd j 1 m 1 j1 q j G D G m 1p j m 1p j m 1p j m 1p j j1 m 1 j1 j1 j1 Logo, o índice de Gini irá diminuir em consequência de um aumento absoluto de k=100 mil unidades para todas as observações, o que significa que o grau de concentração desta distribuição irá diminuir em consequência desse aumento. Intuitivamente, este resultado faz todo o sentido, porque se todas as categorias de lucros vão receber o mesmo aumento absoluto, esse acréscimo vai ser tão mais importante quanto mais reduzida for a categoria, ou seja, esse aumento absoluto, igual para todas as agências, será em termos j1 j1 7

8 relativos/percentuais superior para as agências que obtêm lucros anuais mais baixos, e inferior para as agências que obtêm melhores resultados. Uma vez que o número de agências em cada categoria se mantém inalterado de um ano para o outro, isso faz com que a percentagem da totalidade dos lucros anuais detida pelas agências menos lucrativas aumente e a das agências mais lucrativas diminua, o que origina uma distribuição mais igualitária dos lucros anuais pelas agências do BCG, ou seja, a concentração dos lucros anuais por agência irá diminuir. Uma forma alternativa de chegarmos a estas mesmas conclusões seria calcular o índice de Gini antes e depois da medida da Administração do BCG ser posta em prática, ou seja, antes e depois do aumento absoluto de 100 mil euros ser implementado em todas as agências. Assim, antes do aumento, teríamos: x j x j n j f j F * j p j t j t r j q j ]100;00] ,1 0, ,06 0,06 ]00;00] ,15 0, ,091 0,17 ]00;00] ,5 0, ,11 0,8 ]00;500] , 0, ,5 0,66 ]500;700] ,1 0, ,17 0,86 ]700;1000] , , =,57 j=1 Então, o ín dice de Gin i antes do aumento absoluto de 100 mil euros seria: G1 5 j1 5 j1 q j 1 p j,57 0,18 Após o aumento, a tabela de frequências seria: = j=1 x j x j n j f j F * j p j t j t j r q j ]00;00] ,1 0, ,09 0,09 ]00;00] ,15 0, ,10 0,151 ]00;500] ,5 0, ,18 0,69 ]500;600] , 0, , 0,689 ]600;800] ,1 0, ,16 0,85 ]800;1100] , , =,57 j= =,11 j=1 Logo, o índice de Gini após o aumento absoluto de 100 mil euros seria dado por: G D 1 5 j1 5 j1 q j D p j D 1,11,57 0,179GD G 8

9 Logo, poderíamos concluir, tal como no anteriormente, que o grau de concentração desta distribuição diminui com a introdução do aumento absoluto de 1000 mil euros imposto pelo Conselho de Administração do BCG a todas as agências. d) (15%) O Centennium BCG tem dois principais concorrentes: o Banco Estadual Subprime (BES) e o Caixa Grande de Dinheiro (CGD). Sabe-se que, relativamente aos lucros anuais do BES, a média foi de 00 mil euros, a variância de 065, e a moda de 10. Em relação à CGD, os lucros anuais médios foram de 0 mil euros, a variância foi de 00 e a moda de 5. Sabe-se ainda que a variância do Centennium foi de (i) (7,5%) Qual dos três bancos apresenta lucros anuais mais dispersos? E qual destes apresenta maior assimetria? Relativamente a cada um destes três bancos, temos a seguinte informação: x BES00; sbe S 065sB ES ;mod B ESx10; CGD GD x 0; s C 00s 00180;mod CGD x5; CGD x BCG 15; s BCG 1775s BCG ,55;mod BCG x19,55 - Dispersão: Para podermos comparar a dispersão das distribuições dos três bancos, precisamos de calcular medidas de dispersão relativa (o coeficiente de variação/ dispersão ou a dispersão relativa). este caso, se utilizarmos o coeficiente de variação para cada um dos bancos, obtemos: c v s x c BES v s BES 175 x BES 00 0,75; c v CGD s CGD 180 x CGD 0 0,86; c v BCG s BCG ,95 x BCG 15 Logo, como c v CGD c v BCG c v BES, podemos concluir que o BES tem os lucros mais dispersos. - Assimetria: Tendo em conta que a informação disponível se refere à média, moda e variância (e consequentemente, também ao desvio-padrão), para inferir acerca da assimetria de cada um destes bancos teremos que calcular o grau de assimetria de Pearson, que é dado por: g x modx s Assim, se calcularmos esta medida para cada um dos bancos obtemos: g BES x BES mod BES x ,0571; s BES 175 9

10 g CGD x CGD mod CGD x 0 5 0,08; s CGD 180 g BCG x BCG mod BCG x s BCG 15 19,55 0, Logo, como g BCG g BES g CGD, os lucros da CGD apresentam a maior assimetria. (ii) (7,5%) Sabendo que os lucros anuais médios do conjunto dos três bancos foi de 1 mil euros e a amostra do BES incidiu sobre 800 agências, determine o número de agências da CGD e a variância geral do conjunto dos três bancos. Pelos dados do enunciado, podemos começar por calcular o número de agências da CGD atravé s da fórmula da média geral dos lucros an uais dos três bancos: x BES x BES CGD x CGD BCG x BCG x G x G BES CGD BCG CGD CGD CGD CGD CGD 100 Assim sendo, a variância geral do conjun l to dos três bancos é dada por: k k l1 s l l x G l l1 x s G k l1 l s BES s BC x G BES CGD s CGD BCG s BCG BES x BES x G CGD x CGD x G BCG x G G BES CGD BCG s G s G 178, II (0%) 1. (10%) Indique uma boa razão para a necessidade de calcular medidas de dispersão absoluta na caracterização de distribuições de frequência. Podia ser referida e explicada uma razão para a necessidade de calcular medidas de dispersão absoluta na caracterização de distribuições de frequência de entre as seguintes: - Uma medida de dispersão absoluta deve sintetizar o comportamento do conjunto de desvios em relação a uma referência fixa, que deve ser o valor escolhido para localizar a colecção ou distribuição de frequências, geralmente a média; - As medidas de localização central não nos dão informação suficiente sobre o conjunto de dados (exemplo: duas distribuições com a mesma média podem ter uma dispersão de valores completamente diferente, em redor das respectivas médias). As medidas de 10

11 dispersão absoluta ajudam-nos, então, a visualizar a distribuição de frequências, a dar-nos uma ideia do aspecto gráfico dessa distribuição.. (10%) Considere uma instituição de microcrédito, o Banco Multinacional pela Igualdade (BI), que apresentou um relatório sobre a sua concessão de crédito por cliente em 007. Sabe-se que o índice de Gini dessa distribuição foi zero. a) (5%) Sabendo que o montante total de crédito concedido em 007 foi de 500 milhões de euros e que este banco possui 000 clientes, determine o montante de crédito concedido a cada cliente, bem como a variância. Uma vez que o índice de Gini da distribuição do montante de crédito concedido por cliente em 007 foi zero, isso significa que o grau de concentração dessa distribuição também é nulo, ou seja, estamos perante uma distribuição perfeitamente igualitária. Isso implica que todas as observações detêm a mesma percentagem do total do atributo, ou seja, todos os clientes do BI recebem o mesmo montante de crédito, que corresponde precisamente ao valor da média. Assim, sendo, uma vez que o montante total de crédito concedido foi de 500 milhões de euros e que o banco possui 000, podemos calcular o montante médio de crédito concedido por cliente, que neste caso corresponde também ao montante de crédito concedido a cada cliente: i, i1,,,,, x i x i1 x i ,5 Ou seja, o crédito concedido a cada cliente foi de 0,5 milhões de euros (ou 50 mil euros). Quanto à variância, se o montante de crédito concedido a cada cliente é igual ao montante médio de crédito concedido por cliente nesse ano, então os desvios em relação à média são iguais a zero, o que implica que a variância também será igual a zero, o que implica uma dispersão nula dos valores desta distribuição: Como: x i xx i x0s i1 x i x 0 b) (5%) Sabe-se ainda que o montante total de crédito concedido em 005 foi de 00 milhões de euros e em 006 foi de 50 milhões de euros. Qual a taxa de variação média anual para o conjunto destes três anos? A taxa média de variação anual é aquela que, se tivesse ocorrido em todos os períodos, daria o mesmo montante total de crédito concedido no último ano, ou seja, em 007. Assim, as taxas de variação são as seguintes: t006/ ,15 t 007/ ,1 Assim, a taxa de variação média será determinada pela seguinte equação (que corresponde à equação que determina uma média geométrica): 00 1t média 1t média 00 1t 006/005 1t 007/006 11

12 1t médi 10,15 10,11t mé 1t média 10,15 10,1 a dia j1 1t j 1t média m 1t g 1t média 1,5t média 1,5 10,11811,8% III (0%) Os dirigentes do Sporting, preocupados com os resultados alcançados na presente época, decidiram realizar um estudo que lhes permita inferir sobre a eficácia da sua equipa. Considere a seguinte informação relativa ao número de golos marcados por jornada (G) e ao número de treinos realizados por semana (T): 1 G i =60; T i =80 ; T i G i =1700; G i =15; T i =000; m T =16 a) (5%) Calcule o número de jornadas que foram objecto de estudo e o número médio de golos por jornada. Sabemos que o momento de ordem centrada na média da variável T, ou seja, que a variância de T, é igual a 16, então temos: m T s T i1 T i T s i1 Ti T T s T i1 T i i1 T i Como 170 não faz sentido no contexto dos dados do exercício, então o número de jornadas que foram objecto de estudo foi de 0. Assim sendo, o número médio de golos por jornada foi de: G i1 G i 60 0 b) (5%) Se não respondeu à alínea anterior, assuma 0. Ajuste uma recta de regressão linear de G em relação a T. Interprete os coeficientes a e b dessa regressão. Ao ajustarmos uma recta de regressão linear de G em relação a T, queremos encontrar a seguinte recta: Gab T, em que G é a variável dependente ou explicada e T é a variável

13 independente ou explicativa. Assim, através do método dos mínimos quadrados, vamos calc ular os valores dos co eficientes a e b que definem esta recta: b i1 T i G i T G T i T i1 ag b T 0,016 80,8 Onde: T i1 T i ,016 Assim, a recta de regressão de G em relação a T é dada por: G0,80,016 T O coeficiente a corresponde à ordenada na origem da recta, e neste caso se for interpretado literalmente corresponde ao número de golos que seriam marcados se não fosse realizado nenhum treino por semana. Contudo, como não faz muito sentido afirmar que se marcariam, em média, 0,8() golos se não se realizasse nenhum treino por semana, podemos apenas afirmar, em relação a este coeficiente, que, em média, só se começam a marcar golos em cada jornada a partir de um determinado número de treinos por semana. O coeficiente b é o coeficiente de regressão, e diz-nos que, por cada treino adicional que a equipa do Sporting realize em cada semana, o número de golos marcados por jornada aumentará em 0,01(6) unidades, em média, o que também não faz muito sentido, neste caso, uma vez que o número de golos corresponde a uma variável discreta, assim como o número de treinos. c) (5%) O treinador do Sporting afirmou que, se aumentarem a carga semanal de treinos para 5, então a eficácia da equipa em cada jornada será superior à média actual, o que irá garantir uma maior tranquilidade. Comente a afirmação, justificando a sua resposta. Se substituirmos T5 na recta de regressão encontramos a estimativa do número de golos marcados por jornada, em média, quando se realizam 5 treinos por semana: G0,80,016 5G,916G Ora, como este valor é superior do que o número médio de golos por jornada, que é de, podemos concluir que a eficácia da equipa irá efectivamente aumentar relativamente à média, pelo que afirmação é verdadeira. d) (5%) Foi ainda estimada a seguinte regressão: T=5,+1,G. Tendo em conta a definição das duas variáveis, indique qual das especificações das rectas faz mais sentido, e calcule o coeficiente de determinação, R, a partir dos valores estimados para os parâmetros das duas regressões. 1

14 Tendo em conta a especificação das duas variáveis, a recta de regressão de G em relação a T faz mais sentido do que a de T em relação a G, porque intuitivamente é de esperar que o número de golos por jornada aumente com o número de treinos realizados por semana e não o contrário. - Coeficiente de determinação: O coeficiente de determinação, R, pode ser obtido através de várias expressões alternativas, mas todas equivalentes: R s G s 1 s e 1 G s b 1 G Em que: - st s s T G s 1 s e T s b T sg s T covg,t s G s T é a variância dos valores estimados da recta de regressão de G em relação a T; s G - s G é a variância dos valores observados da variável G; - s e1 é a variância dos erros da recta de regressão de G em relação a T; - é a variância dos valores estimados da recta de regressão de T em relação a G; s T - s T é a variância dos valores observados da variável T; - s e é a variância dos erros da recta de regressão de T em relação a G; - b1é o coeficiente de regressão da recta de regressão de G em relação a T; - b é o coeficiente de regressão da recta de regressão de T em relação a G; - covg,t é a covariância entre G e T. Sabemos que o coeficiente de determinação entre G e T tanto pode ser obtido a partir da recta de regressão de G em relação a T como a partir da recta de regressão de T em relação a G, uma vez que este coeficiente mede a qualidade do ajustamento linear entre G e T, e não nos dá, portanto, qualquer indicação sobre a relação de causalidade que possa eventualmente existir entre as duas variáveis. Ou seja, o valor de R apenas nos diz, em termos percentuais, como é que o comportamento de uma variável é explicada pela presença da outra através de uma relação linear, não nos dando qualquer informação sobre se a relação que faz mais sentido é de a G em relação a T ou vice-versa. Logo, o R é exactamente igual para as duas rectas de regressão, pelo que não faz sentido calcular o seu valor para a recta de regressão de G em relação a T e depois para a recta de regressão de T em relação a G. Contudo, o enunciado especificava exactamente que o valor de R teria que ser obtido a partir dos valores estimados para os parâmetros das duas regressões, ou seja, a 1, b 1, a e b. Quais destes valores é que teremos que utilizar para obtermos o valor de R? Ora, sabemos que: 1

15 R b 1 st s G rb 1 st s G R sg b s rb sg T s T Ora, como as duas expressões são iguais, podemos obter o valor de R a partir do produto dos dois r s: R r r b 1 st s G b sg s T b 1 b Era este resultado que tínhamos que utilizar para calcular para responder correctamente ao que era pedido no enunciado. Assim, o coeficiente de determinação entre G e T é dado por: R b 1 b 0,016 1, 0,05 Da mesma maneira, poderíamos ter chegado exactamente a este mesmo valor através das fórmulas já referidas anteriormente (mas que, no entanto, não eram as mais indicadas para responder ao enunciado): R st b 1 s G 0, sg b 1, s T IV (0%) 0 0,05 16 Considere a seguinte sucessão cronológica relativa às vendas quadrimestrais de uma famosa cadeia multinacional de lojas de roupa, nos últimos anos, a preços de 005, em milhares de euros: Anos 1º Quadrimestre º Quadrimestre º Quadrimestre a) (10%) Determine e estime a tendência desta sucessão pelo método dos mínimos quadrados. Para determinarmos a tendência desta sucessão pelo método dos mínimos quadrados vamos ter que encontrar a recta de regressão que relaciona a tendência com a variável relativa ao tempo: T t ab t. Aplicando o método dos mínimos quadrados, obteríamos os valores dos parâmetros a e b da seguinte forma: 15

16 b t1 x t t x t t1 t t ax b t Contudo, como queremos estimar uma recta de regressão em que a variável independente é o tempo, o somatório das observações relativas a esta variável não faz sentido. Assim sendo, queremos encontrar uma variável que represente o tempo mas cujo somatório seja igual a zero, ou seja, uma variável tal que: t ' 0 t1 t' t1 0t' 0 Ou seja, vamos ter que fazer a mudança da variável t, que representa os anos, para a variável t, que também representa os anos, mas através de uma variável discreta, centrada, com média nula. A nova recta de regressão será então a seguinte: T t ab t '. Assim sendo, para encontrarmos os valores desta variável, temos que ter em conta se o número total de observações da amostra é par ou ímpar. Como = é ímpar, temos que encontrar a observação central, ou seja, a mediana da amostra, da seguinte forma: k1k1k1xx k1 x x 006 Portanto, o valor central da amostra corresponde à observação registada no ano de 006. Assim sendo, para definirmos t vamos começar por atribuir o valor t ' 0 ao ano t006, depois atribuímos t ' 1 ao ano seguinte, t007, e finalmente atribuímos t ' 1 ao ano anterior, t005. Deste modo, obtivemos uma variável centrada cuja média é zero, e cujos valores correspondem ao número de anos observados. O próximo passo será, logicamente, estimar a recta de regressão através do método dos mínimos quadrados, cujas expressões para determinar os valores de a e b serão simplificadas devido ao facto da média da variável t ser zerot ' 0. o quadro seguinte, temos reunidos os cálculos auxiliares que nos permitem obtermos os valores de a e b: Anos=t 1º Q º Q º Q x t= Média Anual t ' x t t ' t ' Σ Em que, uma vez que temos quadrimestres, foi necessário calcular a variável x t como a média anual dos três quadrimestres de cada ano: x t x 1ºQ t x ºQ ºQ t x t, t005, 006,

17 Este procedimento é necessário uma vez que a recta de regressão relaciona os valores da tendência com a variável t, que diz sempre respeito à variável tempo em anos. Assim sendo, os valores dos parâmetr os a e b são os seguintes: b t1 t1 x t t ' x t ' t ' t ' ax b t ' x t1 x t t1 t1 x t t ' t ' 55 18, 1 6,5 Logo, a recta de regressão que determina a tendência é dada por: T t 18,6,5 t ' Falta-nos ainda estimar a tendência desta sucessão. Isso significa que vamos ter que calcular uma estimativa da tendência da sucessão para cada um dos quadrimestres dos três anos que compõem a amostra. Sabemos que o coeficiente de regressão, b, representa a variação verificada na tendência por cada ano que passa, ou seja, diz-nos neste caso que, a cada ano que passa, as vendas anuais desta multinacional aumentam em média 6,5 milhares de euros. Ou seja, b6,5 é o acréscimo médio anual que se verifica nas vendas. Se quisermos encontrar o acréscimo quadrimestral, teremos logicamente que dividir este valor pelo número total de quadrimes tres existentes num ano, ou seja, três: Acréscimo quadrimestral,,16 Ao estimarmos o valor da tendência anual, ou seja, substituindo os valores de t na recta de regressão, estamos a determinar a estimativa da tendência média anual centrada a meio de cada um dos anos, ou seja, corresponderá à estimativa do valor da tendência no dia 1 de Julho de cada ano. Assim, se quisermos encontrar as estimativas da tendência para o primeiro quadrimestre de cada ano, teremos que subtrair o valor do acréscimo quadrimestral à estimativa anual da tendência, e teremos que somar o valor desse acréscimo para determinarmos as estimativas referentes ao terceiro quadrimestre de cada ano. Como o centro do segundo quadrimestre coincide exactamente com o centro ou meio do ano (ou seja, o dia 1 de Julho de cada ano), os valores do segundo quadrimestre correspondem exactamente aos valores das estimativas médias anuais, pelo que não é necessário subtrair nem somar o acréscimo quadrimestral neste caso. Assim, as estimativas da tendência desta sucessão são as seguintes: T 1ºQ ,6,5 1 6,5 9,6 T ºQ ,6,5 111,8 T 005 ºQ 18,6,5 1 6,5 1 17

18 T 1ºQ ,6,5 0 6,5 16,16 T ºQ ,6,5 1 6,5 7 O quadro seguinte reúne todas as estimativas quadrimestrais da tendência entre 005 e 007: Anos 1º Quadrimestre º Quadrimestre º Quadrimestre 005 9,(6) 11,8() ,1(6) 18,() 0,5 007,(6),8() 7 b) (5%) Elimine a tendência das observações utilizando o modelo aditivo. O modelo aditivo diz-nos que qualquer sucessão cronológica pode ser obtida como a soma das quatro componentes que a constituem: x t T t E t C t e t Em que T t corresponde à tendência da sucessão, E t corresponde à sazonalidade, C t corresponde à componente cíclica e e t corresponde à componente aleatória ou ruído. Ora, se quisermos eliminar a tendência utilizando este modelo, significa que vamos subtrair a tendência às observações originais da sucessão, isolando dessa forma, as restantes componentes: x t T t E t C t e t Assim, para o 1º quadrimestre de 005, o valor da sucessão sem a tendência será: 10 9, 6 0,. Para eliminarmos a tendência para os restantes períodos procedemos de forma análoga. Assim, o quadro seguinte reúne todos os valores da sucessão após a eliminação da tendência: Anos 1º Quadrimestre º Quadrimestre º Quadrimestre 005 0,() 0,1(6) ,1(6) -0,() 1, ,(6) 0,1(6) 1 18 c) (5%) Determine e estime novamente a tendência utilizando o método das médias móveis de período. Como nos é pedido para recorrermos ao método das médias móveis de período, isso significa que vamos dividir a sucessão em segmentos ou escalões com observações cada.

19 Para cada um desses escalões, vamos calcular a média aritmética das três observações incluídas em cada um deles. Como neste caso o período é ímpar, ou seja, k, então temos: km1m1m1 Este parâmetro diz-nos que vamos perder observações: uma no início (o valor da tendência referente ao 1º quadrimestre de 005) e a outra no fim da amostra (o valor da tendência referente ao º quadrimestre de 007). Ou seja, no total perdemos m.1 observações, a primeira e a última. Assim, as estimativas da tendência são, sucessivamente: T ºQ 005 x 1ºQ 005x ºQ ºQ 005 x 005 T ºQ 005 x ºQ 005x ºQ 1ºQ 005 x 006 T 1ºQ 001 x ºQ 005x 1ºQ ºQ 006 x 006 T ºQ 007 x 1ºQ 007x ºQ ºQ 007 x , , O quadro seguinte reúne as estimativas da tendência obtidas através do método das médias móveis de período três para todos os quadrimestres entre 005 e 007: Anos 1º Quadrimestre º Quadrimestre º Quadrimestre ,() ,() 18 0,(6)