Exame 1ª Época. Nº: Nome:

Transcrição

1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 009/010 Fernando Brito Soares Madalena Hibon Lopes Erica Marujo Eduardo Botelho Exame 1ª Época Data: 7 de Maio de 010, 8:30 Duração: :30 horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. Responda a cada grupo apenas no espaço que lhe é destinado. ão desagrafe nenhuma folha de cada um dos grupos. Identifique todas as folhas do teste. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (30%) 1. O clube desportivo Os Verdes decidiu realizar um estudo interno sobre a distribuição de salários dos seus atletas. Os resultados obtidos foram os seguintes, relativos aos salários mensais auferidos por cada atleta em dezenas de euros: Salários Mensais úmero de atletas a) (5%) Calcule a média, moda e mediana desta distribuição. Classifique-a quanto à assimetria, através do cálculo do grau de assimetria de Pearson. b) (5%) Foram contratados mais 3 jogadores para a equipa principal de futebol deste clube, e sabe-se que todos irão receber o mesmo salário. Sabe-se também que a contratação destes jogadores não alterou o salário médio da distribuição. Qual o salário que estes 3 jogadores irão auferir mensalmente? Esta contratação alterou a dispersão da amostra? Justifique a sua resposta, quantificando. 1

2 c) (5%) O presidente do clube rival Os Vermelhos, afirmou que Os Verdes não tratam condignamente todos os seus atletas, pois os jogadores que auferem rendimentos mais elevados são aqueles que detêm a maior percentagem da massa salarial mensal distribuída pelo clube. Comente a afirmação, quantificando.. O general João Európio Gadolíneo da Força Aérea encomendou um estudo para averiguar de que forma é que o número de horas semanais de descanso dos pilotos (D) afecta o seu rendimento, medido através do número de horas semanais de missão de combate de voo (C). Desse estudo foram divulgados os seguintes resultados: D i =465; C i =1110; D i =1471,5; C i =8895; D i C i =3315; lnd i C i =116; lnc i D i =886; lnd i =180; lnd i =0; lnc i C=0,4 4,D lnc i =88; =600; lnd i lnc i =335; a) (5%) Calcule quantos pilotos foram objecto deste estudo. b) (5%) Ajuste a estes dados uma função potência (assuma =150 caso não tenha respondido à alínea anterior). c) (5%) Indique qual das duas regressões (a recta ou a função potência) se ajusta melhor aos dados, quantificando adequadamente a sua resposta. II (0%) Os seguintes dados sobre a temperatura média (T), em Portugal, nas últimas décadas foram retirados de um relatório do Instituto de Meteorologia: Década Temperatura Média (em graus Celsius) , , , , ,6

3 a) (5%) Determine o valor da Tendência para cada década pelo Método dos Mínimos Quadrados. Com base na informação para Portugal, o que pode concluir quanto à existência ou não do Aquecimento Global? b) (5%) Qual foi o valor da Tendência no ano de 007? c) (5%) Um grupo de cientistas afirma que, se nada for feito para alterar a tendência que se verifica em relação ao meio ambiente, a temperatura média do país num ano poderá chegar aos 16,5ºC brevemente. Em que década prevê que isso aconteça? d) O consumo médio de gelados Epá por dia depende da temperatura e é dado pela seguinte expressão: G = T. i. (.5%) Em média, quantos gelados serão consumidos por dia, durante a próxima década? ii. (.5%) O índice de Sazonalidade do º Quadrimestre é de 1,4. Quantos gelados serão consumidos por dia, no º Quadrimestre de 01? III (0%) A família Oliveira consome 3 produtos diferentes: Produto A, Produto B e Produto C. São conhecidas as seguintes informações relativas a cada um dos produtos: as Despesas da família em 009; o Índice da Despesa de 009, com base em 008; o Índice de Preços de 009 com base em 005 e o Índice de Preços de 008 com base em 005: Produtos Despesas 009 (em euros) Y 09/08 I P 09/05 I P 08/05 Produto A ,,1 1,75 Produto B ,1 1,6 Produto C ,4 1,6 a) (5%) Calcule, para cada produto, o índice simples de preços de 009, com base em 008. b) (10%) Calcule o índice de Laspeyres de preços, para o ano de 009, com base em 008. c) (5%) Entre o ano 008 e 009, qual foi a variação percentual na quantidade consumida de produto B? 3

4 IV(30%) 1. a festa de encerramento do ano lectivo na OVA, 0% dos cocktails servidos são de laranja, 30% de limão, 40% de ananás e 10% de outros sabores. Sabendo que 60% dos clientes são rapazes e que 10% dos rapazes pede cocktails de laranja, responda às seguintes questões: a) (.5%) Uma rapariga pediu um cocktail, qual a probabilidade de ser de laranja? b) (.5%) Foi pedido um cocktail de laranja, qual a probabilidade de ter sido pedido por um rapaz? c) (.5%) Qual a probabilidade de em 10 raparigas seleccionadas, pelo menos pedirem um cocktail de laranja? d) (.5%) Qual o valor esperado e a variância do número de cocktails de laranja pedidos num grupo de 30 rapazes? Sabe-se ainda que a probabilidade de em 5 rapazes, encontrarmos pelo menos que pedem cocktail de ananás é de 66,3%. e) (5%) Qual a probabilidade de pedir um cocktail de ananás dado que se trata de um rapaz?. Considere a variável aleatória X que designa o número de alunos que entram no Bar da Tenda num período de 1 minuto. Sabe-se que EX =6. a) (5%) Qual a probabilidade de entrarem pelo menos 0 pessoas no Bar da Tenda num período de 10 minutos? o Bar da Irene entram em média 6 alunos em cada minutos. Assuma que o nº de alunos que entram no Bar da Irene é independente do nº de alunos que entram no Bar da Tenda. b) (5%) Qual o valor esperado de alunos que entram nos dois bares num período de 15 minutos. c) (5%) Qual a probabilidade de não entrar nenhum aluno em nenhum dos bares num período de 15 minutos. 4

5 Correcção I (30%) 1. O clube desportivo Os Verdes decidiu realizar um estudo interno sobre a distribuição de salários dos seus atletas. Os resultados obtidos foram os seguintes, relativos aos salários mensais auferidos por cada atleta em dezenas de euros: Salários Mensais úmero de atletas a) (5%) Calcule a média, moda e mediana desta distribuição. Classifique-a quanto à assimetria, através do cálculo do grau de assimetria de Pearson. x j x j n j S j f j F j h j d j ,375 0, , ,9 0, , ,11 0, , ,1 0, ,000(3) ,075 0, , , ,00005 Σ Média: 6 x f j x j ' 0,375750,9000,114000,16500, , ,65 5

6 .Mediana: Pela observação das frequências relativas acumuladas, verifica-se que a classe mediana (a classe que acumula 50% ou mais do total das observações) é a classe 100,300. Sabendo que Fx=0,5, então podemos determinar o valor da mediana por interpolação linear: F300 F Fx F100 x 100 0,665 0, ,5 0,375 x 100 x186,07.moda: A classe modal, neste caso, é aquela que tem maior densidade de frequência, uma vez que as classes têm amplitudes diferentes. Ou seja, a classe modal é 50,100. Recorrendo à fórmula de King, temos: modx5050 0, , O grau de assimetria de Pearson é dado pela seguinte fórmula: g x modx s x Temos, então, de calcular o desvio-padrão, que pode ser determinado pela seguinte expressão: 6 s x f j x ' j x 13818, ,443 0, ,65 0, ,65 Logo, o grau de assimetria de Pearson vai ser dado por: g x modx s x 337, , ,443 Como o grau de assimetria de Pearson é positivo, conclui-se que esta distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à direita. b) (5%) Foram contratados mais 3 jogadores para a equipa principal de futebol deste clube, e sabe-se que todos irão receber o mesmo salário. Sabe-se também que a contratação destes jogadores não alterou o salário médio da distribuição. Qual o salário que estes 3 jogadores irão auferir mensalmente? Esta contratação alterou a dispersão da amostra? Justifique a sua resposta, quantificando. Sabemos que: x Antes x Depois 337,65 Pela fórmula da média geral, temos: x Depois Antes x Antes 3a Antes 3 337, ,653a a337,65x 003 Antes 6

7 Ou seja, os três novos jogadores vão receber um salário correspondente ao salário médio da distribuição antes da sua contratação. Em averiguarmos o que a contratação destes três jogadores causou em termos da dispersão, vamos ter que calcular o coeficiente de variação antes e depois desta contratação. Para podermos calcular esse coeficiente de variação depois da contratação, temos que proceder primeiro ao cálculo da nova variância (e novo desvio- padrão) da distribuição: n jx' j x Antes Antes 3 Antes 3 s D ep ois = n jx' j -x Antes Antes j=1 Antes +3 n j x' j x Antes Antes 3x Antes x Antes An tes 3 < n jx' j -x Antes Antes j=1 =s Antes isto implica que a dispersão absoluta diminuiu Antes Assim, temos: s Depois n jx' j x Antes Antes Antess Antes Antes 3 Antes , , Assim, em termos de dispersão relativa, temos: c Antes v s Antes 364,443 x Antes 337,65 1,07 9 c Depois v s Depois , ,74 337,65 337,65 1,071 x Depo is Logo, como c v Depois c v Antes, a dispersão diminuiu depois da contratação dos novos jogadores. c) (5%) O presidente do clube rival Os Vermelhos, afirmou que Os Verdes não tratam condignamente todos os seus atletas, pois os jogadores que auferem rendimentos mais elevados são aqueles que detêm a maior percentagem da massa salarial mensal distribuída pelo clube. Comente a afirmação, quantificando. este caso, temos que calcular o índice de Gini para avaliar o grau de concentração da distribuição e daí concluir se a afirmação do presidente rival é verdadeira ou falsa. O índice de Gini é obtido através da seguinte expressão: G m 1 p j q j 1 m 1 q j m 1p j m 1p j Onde: j p j F * s1n s j m ns q j j s1 m s1 s1 t s t s j s1 m s1 j s1 n s n s x s n s x s O quadro seguinte resume os cálculos necessários à obtenção dos valores de p j e q j : 7

8 x j n j f j S j F * j=p j t j t r j q j , , ,0833 0, , , ,1718 0, , , ,1303 0, , , ,195 0, , , , 0, , , m 1 m 1 p j 3, q j,0796 Assim, temos: G m 1 p j q j m 1 1 p j m 1 q j m 1 p j 1,0796 3,64 0,487 Como G0,487, podemos concluir que o existe de facto alguma concentração nesta distribuição, mas num grau reduzido (uma vez que sabemos que 0G1, e que o grau de concentração aumenta à medida que o valor de G também aumenta). Assim sendo, podemos concluir que a afirmação do Presidente rival é falsa.. O general João Európio Gadolíneo da Força Aérea encomendou um estudo para averiguar de que forma é que o número de horas semanais de descanso dos pilotos (D) afecta o seu rendimento, medido através do número de horas semanais de missão de combate de voo (C). Desse estudo foram divulgados os seguintes resultados:? 8 D i =465; C i =1110; D i =1471,5; C i =8895; D i C i =3315; lnd i C i =116; lnc i D i =886; lnd i =180; lnd i =0; lnc i C=0,4 4,D lnc i =88; =600; lnd i lnc i =335; a) (5%) Calcule quantos pilotos foram objecto deste estudo. Sabemos que: i1 D i D C i1 C i

9 E como conhecemos a recta de regressão de C em relação a D, podemos determinar o valor de, tanto pela expressão de b como pela expressão de a: b D 465 i1 i C i D C , 1110 i1 D i D 1471, Ou então: ac b D0, , Foram objecto deste estudo 150 pilotos. b) (5%) Ajuste a estes dados uma função potência (assuma =150 caso não tenha respondido à alínea anterior).. Função Potência: C i AD i B, onde A e B são os parâmetros que definem a função Uma vez que o método dos mínimos quadrados ou método da regressão linear apenas pode ser utilizado directamente se estiver a ser assumida uma função linear entre as variáveis, não é possível aplicar esse método directamente no caso da função potência para estimar o valor dos parâmetros A e B que a definem. Contudo, após tomarmos logaritmos neperianos, a função potência pode ser reduzida a uma função linear: lnc i lnab lnd i C i ' a ' b ' D i ' Onde: C i ' lnc i ;D i ' lnd ; a ' lna; b ' B i Mas então, passemos à estimação da função potência linearizada, começando por calcular o coeficiente de regressão b ' : b ' C' D i ' i C ' D i1 ' D ' i i1 D ' lnc i lnd i lnc i1.lnd lnd i lnd i1 Onde: lnc i1 lnci 88 1,9 150 lnd i1 lndi , Assim, o valor de a ' será dado por: a ' C ' b ' D' lnc b' lnc 1,9,65 1,5,1 Logo, a recta de regressão será dada por: C ' 5,1,65 D ' lnc5,1 0,65 lnd ,91, , 10,6 4,65 Calculados os logaritmos das variáveis iniciais e ajustada a função linear acima descrita, torna-se simples em voltar à função potência inicial, fazendo: Ae a' e lna e 5,1 164,0 e Bb ',65. 9

10 Assim, a função potência estimada é dada por: C164,0 D,65 c) (5%) Indique qual das duas regressões (a recta ou a função potência) se ajusta melhor aos dados, quantificando adequadamente a sua resposta. Para podermos comparar a qualidade da função potência com o da regressão linear, temos que calcular o coeficiente de determinação R de cada um dos ajustamentos. Assim, vamos começar por calcular o coeficiente de determinação da função potência: R FP b ' sd ' s C ' slnd 0,06 B,65 s lnc 0,3136 0,597 Em que a variância do logaritmo da variável D e a variância do logaritmo da variável C são dadas respectivamente por: s lnd s lnc i1 lndi i1 lnc i lnd , 0,06 lnc ,9 0,3136 Vamos agora calcular o coeficiente de determinação da função linear: R sd 0, FL b 4, s C 4,54 0,7771 Em que a variância de G e a variância de R são dadas respectivamente por: s D i1 D i D 1471, ,1 0, s C i1 C i C ,4 4,54 Assim, temos que: R FP 0,5970,7771R FL Como a regressão linear apresenta um coeficiente de determinação superior ao da função potência, podemos concluir que a regressão que melhor se ajusta aos dados é a função linear. 10

11 II (0%) Os seguintes dados sobre a temperatura média (T), em Portugal, nas últimas décadas foram retirados de um relatório do Instituto de Meteorologia: Década Temperatura Média (em graus Celsius) , , , , ,6 a) (5%) Determine o valor da Tendência para cada década pelo Método dos Mínimos Quadrados. Com base na informação para Portugal, o que pode concluir quanto à existência ou não do Aquecimento Global? Décadas x t -Temperatura Média t' t'. xt t' ,9 - -9, , , , ,7 1 15, ,6 31, 4 Σ 76,1 0,5 10 b = t.x t,5 10 0,5 a = x t = 76,1 15, 5 T t = 15, + 0,5t Substituindo t por -, obtemos a tendência para a década de : T = 15, + 0,5 x (-) = 14,7 Pelo mesmo método, podemos calcular a tendência para as restantes décadas: T ,7 11

12 , , , ,7 Com base nas temperaturas médias registadas em Portugal nas últimas décadas concluir-seia que existe, de facto, Aquecimento Global, dado que a Tendência da temperatura aumenta 0,5º C por década. b) (5%) Qual foi o valor da Tendência no ano de 007? O valor da Tendência calculado para a década de (T = 15,7), corresponde ao centro da década, ou seja, ao início do ano 005. Pretende-se calcular o valor da Tendência no centro do ano 007, portanto, temos de adicionar ao valor previamente referido o acréscimo da Tendência correspondente a anos e meio. Dado que a Tendência aumenta 0,5 ºC por década, o seu acréscimo em anos e meio será de 0,5/4 = 0,065 T 007 = 15,7 + 0,065 = 15,785 c) (5%) Um grupo de cientistas afirma que, se nada for feito para alterar a tendência que se verifica em relação ao meio ambiente, a temperatura média do país num ano poderá chegar aos 16,5ºC brevemente. Em que década prevê que isso aconteça? 16,5 = 15, + 0,5t t = 5,1 t = 5 Centro da Década Prevê-se que a temperatura média anual chegue a 16,5 ºC, durante a década de d) O consumo médio de gelados Epá por dia depende da temperatura e é dado pela seguinte expressão: G = T. i. (.5%) Em média, quantos gelados serão consumidos por dia, durante a próxima década? Década t = 3 T = 15, + 0,5 x 3 T = 15,97 Prevê-se que a temperatura média na próxima década seja de 15,97 ºC, logo o número médio de gelados consumidos por dia será dado por G = x 15,97 G =

13 ii. (.5%) O índice de Sazonalidade do º Quadrimestre é de 1,4. Quantos gelados serão consumidos por dia, no º Quadrimestre de 01? Para calcular a temperatura prevista para o º Quadrimestre de 01, temos, primeiro, de calcular a tendência para o centro de 01. T = 15,97 é a tendência para o início do ano 015. Para determinar a tendência para o centro do ano de 01, temos de subtrair o valor corresponde à variação da tendência em anos e meio. T 01 = 15,97 0,065 = 15,9075 Dado que o Índice de Sazonalidade do º Quadrimestre é igual a 1,4, teremos de multiplicar o valor da tendência em 01 por 1,4. Assim, a temperatura prevista para o centro do ano de 01 é igual a 15,9075 x 1,4 =,7. O número médio de gelados consumidos por dia é dado por: G = x,7 G = 1043,45. 13

14 III (0%) A família Oliveira consome 3 produtos diferentes: Produto A, Produto B e Produto C. São conhecidas as seguintes informações relativas a cada um dos produtos: as Despesas da família em 009; o Índice da Despesa de 009, com base em 008; o Índice de Preços de 009 com base em 005 e o Índice de Preços de 008 com base em 005: Produtos Despesas 009 (em euros) Y 09/08 I P 09/05 I P 08/05 Produto A ,,1 1,75 Produto B ,1 1,6 Produto C ,4 1,6 a) (5%) Calcule, para cada produto, o índice simples de preços de 009, com base em 008. I P 09/08 = I P / I P / I P 09/08 Produto A 1, Produto B 1,5 Produto C 0,8 b) (10%) Calcule o índice de Laspeyres de preços, para o ano de 009, com base em 008. Para calcular o índice de Laspeyres de preços, precisamos de saber as despesas com cada um dos produtos em 008. Y 09/08 = D D Despesa 08 = D Y / Despesa 008 Produto A 1300 Produto B 1600 Produto C 100 L P p.q p.q p.p p.q Despesas I P.Despesas Despesas 14

15 1, x ,5 x ,8 x ,10 c) (5%) Entre o ano 008 e 009, qual foi a variação percentual na quantidade consumida de produto B? Através do índice da Despesa (dado no enunciado), sabemos que a Despesa com o bem B em 009 foi 10% à despesa em 008, ou seja: Despesa 09 = 1,1 x Despesa 08 p 09.q 09 = 1,1 x p 08.q 08 Através do índice de preços (alínea a), sabemos que o preço do bem B aumentou 5%, ou seja: p 09 = 1,5 x p 08 Substituindo na expressão anterior, 1,5 x p 08. q 09 = 1,1 x p 08.q 08 q 09 = 0,88 x q 08 A quantidade consumida do Produto B sofreu uma redução de 1%, entre o ano de 008 e

16 IV(30%) 1. a festa de encerramento do ano lectivo na OVA, 0% dos cocktails servidos são de laranja, 30% de limão, 40% de ananás e 10% de outros sabores. Sabendo que 60% dos clientes são rapazes e que 10% dos rapazes pede cocktails de laranja, responda às seguintes questões: a) (.5%) Uma rapariga pediu um cocktail, qual a probabilidade de ser de laranja? PLaranja Rapaz0,1 PLaranja0, PRapaz0,6 Logo: PRapariga0,4 Pelo Teorema da Probabilidade Total: PLaranjaPLaranjaRapazPLaranjaRapariga PLaranjaPRapazPLaranja RapazPRaparigaPLaranja Rapariga 0, 0,6 0,1 0,4 PLaranja Rapariga PLaranja Rapariga 0,35 b) (.5%) Foi pedido um cocktail de laranja, qual a probabilidade de ter sido pedido por um rapaz? Pelo Teorema de Bayes: PRapaz Laranja PRapazLaranja PLaranja PRapazPLaranja Rapaz PLaranjaRapazPLaranjaRapariga 0,60,1 0,3 0, c) (.5%) Qual a probabilidade de em 10 raparigas seleccionadas, pelo menos pedirem um cocktail de laranja? X: nº de raparigas em 10 que pede cocktail de laranja X~Binn10,p0,35 PX1 PX1 PX11 F11 0,0860,914 d) (.5%) Qual o valor esperado e a variância do número de cocktails de laranja pedidos num grupo de 30 rapazes? Y: nº de cocktails de laranja pedidos num grupo de 30 rapazes Y~Binn30, p0,1 EYnp3 VarYnp1 p,7 16

17 Sabe-se ainda que a probabilidade de em 5 rapazes, encontrarmos pelo menos que pedem cocktail de ananás é de 66,3%. e) (5%) Qual a probabilidade de pedir um cocktail de ananás dado que se trata de um rapaz? Z: nº de rapazes em 5 que pede cocktail de ananás Z~Bin(n=5, p=?) Sabe-se que: PZ0,6631 PZ0,663PZ0,337 PZ10,337p0,4. Considere a variável aleatória X que designa o número de alunos que entram no Bar da Tenda num período de 1 minuto. Sabe-se que EX =6. a) (5%) Qual a probabilidade de entrarem pelo menos 0 pessoas no Bar da Tenda num período de 10 minutos? X: nº de alunos que entram no bar da tenda no período de 1 minuto, durante a hora de ponta λvarxex EX λ6λ λ λ60λ X~Poissonλ Y: nº de alunos que entram no bar da tenda no período de 10 minutos Y~Poissonλ100 PY01 PY01 F191 0,47030,597 o Bar da Irene entram em média 6 alunos em cada minutos. Assuma que o nº de alunos que entram no Bar da Irene é independente do nº de alunos que entram no Bar da Tenda. b) (5%) Qual o valor esperado de alunos que entram nos dois bares num período de 15 minutos. Y: nº de alunos que entram no bar da tenda no período de 15 minutos Y~Poissonλ1530 Z: nº de alunos que entra no bar da Irene em 15 minutos Z~Poissonλ15345 TZY: nº total de alunos que entram no bar da Irene e no bar da tenda no período de 15 minutos ETEZYEZEY alunos 17

18 c) (5%) Qual a probabilidade de não entrar nenhum aluno em nenhum dos bares num período de 15 minutos. T: nº total de alunos que entram no bar da Irene e no bar da tenda no período de 15 minutos T~Poisson(λ=75) PT0 e ! 18

19 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 009/010 Formulário - Medidas de Assimetria Grau de assimetria de Pearson g= xmodx s Coeficiente de assimetria de Fisher g 1 = m 3 m 3 = m 3 s 3 = m 3 s 3 Coeficiente de assimetria de Pearson b 1 = m 3 m 3 =g 1 Coeficiente de assimetria de Bowley Q3 b ' 4 = Q3 4 x xq1 4 = x + x Q1 4 Q3 4 +Q1x Q3 4 4 Q1 4 - Medidas de Achatamento Coeficiente de achatamento a 4 de Fisher a 4 = m 4 m g =a 4 3 = m 4 s = m 4 s 4 Excesso de Kurtosis - Regressão e Correlação Simples Coeficiente de regressão b= Covy i,x i Varx i = x iy i x y x i x Onde y i é a variável explicada e x i a variável explicativa 1

20 Formulário - úmeros Índices Índice de Fisher de preços F p t/0 =L p p t/0 P t/0 Índice de Fisher de quantidades F q t/0 =L q q t/0 P t/0 Distribuições de probabilidade de v. a. discretas Distribuição Função de probabilidade Função de distribuição X~DUi,j 1 ji+1 xi,i+1,,,j xi+1 ji+1 0 x<i i x j 0 x i,i+1,,,j 1 x>j q=1p x=0 0 x<0 X~Bernoullip p x=1 q=1 p 0 x<1 0 outros casos 1 x 1 X~Bin(n,p) n x px 1p nx x0,1,,,n 0 x 0,1,,,n 0 x<0 x i=0 p i 1p ni 0 x<n 1 x n X~Poissonλ e λ λ x x1,, x! 0 x1,, 0 x<0 x e λ λi x 0 i! i=0

21 f TABELA 1 DISTRIBUIÇÃO BIOMIAL A. Função probabilidade B. Função de distribuição n ( x P X x θ F x P X x x θ θ x n x n θ ) = ( = ) = θ (1 ) ( θ ) = ( ) = θ (1 θ ) = n x n x x 0 n i i i i

22 TABELA 1 DISTRIBUIÇÃO BIOMIAL (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição θ θ n x n x

23 TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSO (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição x x