ANÁLISE DE DADOS & PROBABILIDADE

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1 LICENCIATURA EM GESTÃO LICENCIATURA EM ECONOMIA ANÁLISE DE DADOS & ROBABILIDADE Exame 1ª Época 4/6/01 Tópicos de Resolução Equipa Docente: Madalena Hibon; Marta Cachola; Magda Gomes; atrícia Xufre i 1. A Dogs & uppies é uma loja especializada na venda de cães de pequeno porte, em particular das raças Chihuahua, Yorkshire Terrier, omeranian e Dachshund. Na tabela seguinte encontra-se indicado o preço e a quantidade de cães destas raças, vendidos pela loja nos anos 008 e 011: Raça reço unitário Nº de cachorros reço unitário Nº de cachorros Chihuahua Yorkshire Terrier omeranian Dachshund a) Considerando 008 como o ano base, encontre a variação percentual do preço de p 11 = = = 11/ venda de um cão da raça Yorkshire Terrier % 100% 111,(11)% (0.5 val) Q Q b) Determine o Índice de preços de aasche para 011 com base em 008. Interprete-o ,017% p = = = 11/ O preço deste cabaz de cães aumentou 11,017% de 011 em relação a 008. c) Como classifica a variável Nº total de cães vendidos anualmente? Qual deverá ser a escala de medida utilizada para essa variável? Variável quantitativa discreta. Escala: rácio

2 . Indique, justificando, a veracidade das seguintes afirmações: (0,5 val cada) a) O coeficiente de correlação linear e o coeficiente de determinação podem ser iguais. Verdadeiro, quando tomam o valor um e zero. r r xy xy R R = 1 = 1 = 0 = 0 b) Como a dimensão da população é sempre superior à da amostra, então a média populacional é sempre superior à média da amostra. Falso. Contra-exemplo: opulação (4 elementos): 1, 1, 1, 10 Média: 3,5 Amostra ( elementos): 1, 10 Média: 5,5 Verdadeiro. c) Quando a distribuição é negativamente assimétrica, a moda é usualmente superior à mediana. (Mostrar com Gráfico) d) Se o coeficiente de variação é 40% e a média é 70, então a variância é 8. s s cv = 100% 40% = 100% s = x 70 s = e) Quando os ponderadores utilizados no cálculo de um índice agregado são as quantidades actuais consumidas de cada bem, o índice em causa designa-se por Índice de preços de Laspeyres. Falso, Laspeyres pondera com as quantidades do ano base enquanto que aasche pondera com as quantidades do ano corrente. L Q Q p = t 0 t/ Q p t t t/0 0Qt = 100 f) Numa série temporal, a componente que reflecte a variabilidade que ocorre devido a desastres naturais, designa-se por componente cíclica. Falso, essa variabilidade é reflectida na componente irregular

3 3. A empresa Waterski comercializa pequenas embarcações náuticas. Apresenta-se a seguir informação referente ao número de embarcações vendidas no período : Ano Trimestre Nª embarcações Ano Trimestre Nº embarcações 007 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T4 540 a) Explique sucintamente em que consiste o modelo de decomposição aditivo. Em que situações é a sua aplicação mais adequada do que a do modelo multiplicativo? Ver aula teórica. b) Considerando um modelo de decomposição aditivo, procedeu-se ao cálculo da componente de tendência (através de regressão linear) e dos factores sazonais. Os resultados obtidos apresentam-se a seguir: Trimestre Factor Sazonal Corrigido 1 45,5-5,5 3-31,75 4 A =4+, com t=1 correspondente ao 1º trimestre de 007. Sabendo que: =94460; =870; = ; =10; =7950. Encontre o valor de A e de B. ( val) 45,5 5,5 31,75 + A = 0 A = 8, t y N t y t t B = = 0 0 = 16,5 t N t c) Utilizando os valores encontrados para a componente de sazonalidade e da componente de tendência, obtenha a previsão para o segundo trimestre de Nome: Nº

4 y = (4 + 16,5 ) 5,5 = 58,19 d) Se se conhecesse o número de embarcações vendidas no 1º trimestre deste ano e se se voltasse a calcular as componentes de tendência e de sazonalidade, a previsão encontrada para o segundo trimestre de 01 na alínea anterior manter-se-ia igual? Justifique. (0.5 val) Não, as estimativas dos parâmetros da recta de regressão e dos factores de sazonalidade poderiam alterarse. e) Que aumento médio se espera que as vendas de embarcações sofra trimestralmente? (0.5 val) Espera-se que, em média, o número de embarcações vendidas trimestralmente aumente 16,5 unidades 4. Sabe-se, por experiência passada, que 5 em cada 100 portugueses com mais de 40 anos sofre de cancro. A probabilidade de um médico diagnosticar correctamente uma pessoa com cancro é 0.78 e a probabilidade de diagnosticar incorrectamente uma pessoa que não tenha cancro é C- ter cancro D diagnóstico positivo a) Qual é a probabilidade de ser diagnosticado cancro a uma pessoa portuguesa com mais de 40 anos? Informação dada: ( C) = 0.05 ( C) = 0.95; ( D C ) = 0.78; ( D C ) = 0.06 ( D) = ( C) ( D C) + ( C) ( D C) = 0,05 0,78 + 0,95 0,06 = 0,096 (1,5 val) b) Qual é a probabilidade de uma pessoa portuguesa com mais de 40 anos, a quem foi diagnosticado cancro, sofrer de facto dessa doença? ( C) ( D C) 0,05 0,78 ( C D) = = = 0,4065 ( D) 0,096 c) Qual é a probabilidade de, numa amostra de 100 pessoas portuguesas com mais de 40 anos, ser diagnosticado cancro no máximo a 7 delas? (1,5 val) X nº de pessoas portuguesas com mais de 40 anos a quem foi diagnosticado cancro, num conjunto de 100 X Bin(n = 100;p=(D)=0,096) Dado que o n é muito grande e p pequeno, podemos aproximar a distribuição Binomial a uma oisson com λ=np.

5 X ~ oisson (λ=9,6) (X 7) = 0,584 d) Em 50 pessoas portuguesas, com mais de 40 anos, a quem foi diagnosticado cancro, qual é o número esperado de pessoas que sofrem da doença? Y nº de pacientes, com mais de 40 anos, que têm cancro, num conjunto de 50 pessoas a quem foi diagnosticado cancro Y Bin(n = 50;p = (C D) = 0,4065) E(Y) = np = 50 * 0,4065 = 0, A junta de freguesia de Vila do aitorto já consegue emitir cartões do cidadão. No entanto, só uma das suas funcionárias consegue trabalhar com a máquina e por isso só conseguem atender 8 pedidos de cartão do cidadão por dia. Sabe-se que o comportamento da procura diária de pedidos do cartão do cidadão pode ser traduzido adequadamente por uma distribuição de oisson com λ=6. a) Determine a probabilidade de num dia a funcionária não conseguir atender todas as pessoas que pretendem pedir o cartão do cidadão? X procura diária de emissão de cartões de cidadão X oisson (λ=6) (X>8) = 1- (X 8) = 1 0,847 = 0,158 b) Se a funcionária trabalhar uma hora extra por dia, o número máximo de pedidos diários que consegue atender passa para 9. Contudo, se não houver pedidos suficientes nesse dia, a funcionária utiliza essa hora extra noutras tarefas da junta de freguesia. Calcule a probabilidade da funcionária utilizar a hora extra a emitir cartões do cidadão pelo menos uma vez por semana (5 dias úteis). Y nº de dias em que utiliza a hora extra para emitir cartões do cidadão, em 5 Y Bin(n = 5;p = (X>8)=0,158) (Y 1) = 1 (Y<1) = 1 (Y=0) = 1 (0,847) 6. a) Seja a variável aleatória X dada pela seguinte função de probabilidade: ( )= ( +1, = 1,0,1 9 (1,5 val) Determine (3 +4). 5 Nome: Nº

6 f(-1) = 4/9 f(0) = 1/9 f(1) = 4/9 E(X) = -1*(4/9) + 0 *(1/9) + 1 *(4/9) = 0 E(X ) = (-1) *(4/9) + 0 *(1/9) + 1 *(4/9) = 8/9 E(3 X X + 4) = 3E(X ) E(X) +4 = 3 *(8/9)- *0 + 4 =0/3 b) Admita que X é uma variável aleatória com distribuição de oisson de parâmetro. Se definirmos =+, será que Y também segue uma distribuição de oisson, para quaisquer números reais a e b? Justifique. Se Y for uma variável aleatória com distribuição de oisson, então E(Y)=var(Y). E(Y) = aλ+b Var (Y)=a λ Ora, nem sempre se tem E(Y)=Var(Y) (basta considerar p.ex. a=1/ e b= 3).