ESTATÍSTICA DESCRITIVA EXERCÍCIOS

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1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA EXERCÍCIOS

2 I ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 1. Determine quais das seguintes variáveis aleatórias são qualitativas ou quantitativas. Se quantitativas, indique se são contínuas os discretas: a) N.º de telefones por lar b) Tipo de telefone c) N.º de chamadas interurbanas por mês d) Duração da chamada interurbana mais longa de cada mês e) Cor do telefone f) Conta telefónica mensal 2. Suponha que a seguinte informação diz respeito a uma doente que deu entrada no Hospital Distrital de Faro: a) Sexo: Feminino b) Data de Nascimento: 06/02/47 c) Estado Civil: Casada d) Temperatura: 38º C e) Pulsação: 72 por minuto f) Tipo de sangue: A negativo g) Tensão arterial: Min 6; Máx 12 h) Alergias a medicamentos: Não i) Diagnóstico preliminar: Hepatite j) Tempo previsto de internamento: 7 dias Classifique cada um dos itens anteriores por tipo de dados e níveis de medida 3. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda para cada um dos seguintes conjuntos de dados. a1) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 28; 20 a2) 20; 22; 20; 18; 25; 23; 27; 24; 24; 200; 20 a3) 5; 4; 5; 7; 2; 1; 8; 4; 9; 5; 4; 1; 1; 4; 5; 1 a4) 113; 105; 108; 107; 110; 105; 113; 109 b) Que conclusões retira da comparação dos resultados de a1) com a2)? Núcleo de métodos quantitativos 2

3 4. Utilize os seguintes dados para verificar que a soma dos desvios em relação à média é nula: a) 8; 50; 7; 8; 12; 35 b) 20; 23; 16; 20; 24; Após examinar os registos das contas de uma empresa, o auditor formou uma amostra de 20 contas não pagas, com os seguintes valores em contos: 4; 18; 11; 7; 7; 10; 5; 33; 9; 12; 3; 11; 10; 6; 26; 37; 15; 18; 10; 21 a) Calcule a média, a mediana e a moda. b) Se o total de contas por pagar for 350, utilize a média para estimar o montante total das dívidas à empresa 6. Utilize os dados do problema anterior para verificar que é indiferente calcular o desvio padrão a partir de cada uma das seguintes fórmulas: S n i 1 n x n i 2 2 i 1 ( xi x) xi i 1 n ; S n 1 n Os seguintes dados representam rendas mensais em Euros, de uma amostra de 10 quartos em Lisboa com as de Faro: Lisboa 24, Faro ,5 22,5 a) Para cada um dos conjuntos de dados calcule: média, mediana, intervalo de variação, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Compare as rendas dos quartos de Lisboa e Faro. Núcleo de métodos quantitativos 3

4 8. Os seguintes dados representam previsões de 25 economistas para o crescimento real do PIB no ano de 2005: 2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7 3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4 3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8 a) Calcule: média, mediana, moda, intervalo de variação, intervalo interquartis, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Forme o diagrama stem and leaf e o gráfico box and whisker c) Refira-se à configuração da distribuição. d) Aplique a regra de Bienaymé - Chebyshev para calcular o intervalo em que se encontram, pelo menos, 75% dos dados. e) Que percentagem dos dados estão contidos no intervalo X 2S? Compare com o resultado obtido na alínea d). 9. Os seguintes dados representam o tempo necessário, em segundos, para atingir a velocidade de 90Km/h numa estrada de testes, para uma amostra de 17 modelos de automóveis alemães e para outra amostra de 17 modelos de automóveis japoneses: Modelos Alemães 11,2 11,6 8,2 10,3 8,3 8,5 6,2 13,2 10,4 10,9 7,0 8,3 8,1 11,7 13,0 10,6 10,1 Modelos Japoneses 11,5 9,7 7,9 15,1 13,0 11,5 14,2 14,3 9,7 13,2 9,2 12,8 15,0 11,3 14,8 11,8 8,9 a) Para cada uma das amostras calcule: média, mediana, Q1 eq3, intervalo de variação, intervalo interquartis, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. b) Para cada um dos conjuntos de dados forme o diagrama stem and leaf e o gráfico box and whisker c) Sumarie as conclusões. Núcleo de métodos quantitativos 4

5 10. Uma fábrica de pneus produz dois modelos, A e B. O modelo A permite um rodagem média de km com um desvio padrão de km. O modelo B permite uma rodagem média de km com um desvio padrão de km. Qual dos modelos prefere? Justifique. 11. A fim de serem analisados os salários de uma grande empresa industrial, foi recolhida uma amostra aleatória de 25 trabalhadores cujos salários mensais em contos são os seguintes: Empregando as medidas descritivas que achar mais convenientes, caracterize os salários dos trabalhadores desta empresa. 12. Os resultados de 6 turmas a uma mesma prova estão registados no quadro seguinte: TURMA A B C D E F MÉDIA DESVIO PADRÃO EFECTIVO a) Qual das turmas é mais homogénea? b) Das seis turmas, duas apresentam o mesmo grau de homogeneidade. Quais são? 13. Dez estudantes do Curso Superior de Gestão da ESGHT informaram a equipa docente sobre o número de horas que cada um tinha despendido a estudar para o teste de Estatística. O quadrado da soma das dez observações foi de 6400 e a soma dos quadrados dessas mesmas observações foi de a) Calcule a média e o desvio da distribuição? b) Considere que a distribuição é simétrica e que Q 1 = 4,5. Calcule Q 3. Justifique. Núcleo de métodos quantitativos 5

6 14. Considere os resultados finais, numa determinada disciplina, obtidos por 20 estudantes de uma dada Universidade: a) Determine as frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas). b) Represente graficamente as frequências absolutas e relativas. c) Calcule a média, a moda e a mediana. Comente. d) Determine os quartis e interprete os valores obtidos. e) Calcule a variância e o desvio padrão. f) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS. 15. Foi feito um inquérito a um grupo de compradores de 40 carros novos para determinar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o primeiro ano de utilização dos carros. Obtiveram-se os seguintes resultados: a) Classifique a variável em estudo. b) Construa um quadro de distribuição de frequências: absolutas, relativas, relativas em percentagem, absolutas acumuladas e relativas acumuladas em percentagem. c) Construa gráficos para as frequências absolutas simples e acumuladas. d) Calcule as medidas de tendência central (média, mediana e moda). e) Calcule os quartis. f) Construa o diagrama box-and-whisker e refira-se à configuração da distribuição. g) Calcule as medidas de dispersão e comente a dispersão dos dados. h) Quantos carros tiveram menos de 3 reparações? E quantos tiveram mais de 3 reparações? i) Qual a percentagem de carros que teve somente uma reparação? Núcleo de métodos quantitativos 6

7 16. Os seguintes dados referem-se ao tempo gasto (em minutos) por 42 trabalhadores entre a sua residência e o local de trabalho: a) Construa um quadro de distribuição de frequências, após ter definido o número de classes através da fórmula de Sturges (p 1 + 3,32 log n). Aproxime: b) A média, a mediana e a moda. c) O primeiro e terceiro quartis. d) O intervalo de variação e o intervalo interquartis. e) A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. f) Comente a dispersão dos dados. g) Construa o histograma e o polígono de frequências. h) Construa o diagrama box-and-whisker e refira-se à configuração da distribuição. i) Construa o polígono acumulado (ogiva) e assinale os quartis. j) Quantos trabalhadores gastam até 20 minutos para chegar ao local de trabalho? k) Quantos trabalhadores gastam mais de 36 minutos para chegar ao local de trabalho? 17. Utilizando os dados do problema 18 : 2,5 2,0 1,5 2,7 3,0 3,5 4,0 3,6 3,7 3,5 3,3 3,0 2,9 2,8 2,9 3,2 2,7 3,4 3,6 3,7 3,0 3,2 2,4 2,5 2,8 a) Construa a distribuição de frequências e a distribuição percentual. b) Represente o polígono de frequências. Núcleo de métodos quantitativos 7

8 c) Construa a distribuição de percentagens acumuladas. d) Represente o polígono de percentagens acumuladas. e) Aproxime: 1) Média; 2) Mediana; 3) Moda; 4) Intervalo de variação; 5) Intervalo interquartis; 6) Variância; 7) Desvio Padrão 8) Coeficiente de Variação. f) Compare as aproximações às medidas descritivas com os resultados obtidos a partir dos dados não agrupados. 18. Os seguintes dados representam as contribuições fiscais, durante um ano, de 40 pessoas escolhidas aleatoriamente: a) Agrupe os dados numa distribuição de frequências. b) Construa um histograma e um polígono de frequências absolutas. c) Calcule a média, a mediana e a moda. d) Calcule o P5 e P95 (percentis 5% e 95%) e interprete os valores obtidos. e) Classifique a distribuição quanto à assimetria. f) Represente, para esta distribuição, o diagrama de caixa e bigodes. g) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS. h) Complete as afirmações: i) % dos contribuintes pagaram um valor superior a ii) 75% dos contribuintes pagaram um valor inferior a. Núcleo de métodos quantitativos 8

9 19. Considere a seguinte distribuição de frequências absolutas: Classes n i a) Construa a distribuição de frequências relativas (simples e acumulada). b) Estude a simetria a partir do polígono de frequências. 20. O responsável pela gestão hospitalar de uma unidade de cuidados médicos intensivos, obteve a seguinte distribuição referente ao tempo de internamento dos doentes daquela unidade: Dias de internamento Número de doentes Menos de Mais de 45 9 Total 150 a) determine o número médio de dias de internamento. b) Calcule o segundo quartil e interprete-o. c) Construa o histograma referente às frequências relativas. 21. Calcule o coeficiente de variação de uma distribuição que contém, pelo menos, 88,9% das observações no intervalo [ 1 ; 7 ]. 22. Calcule os extremos do menor intervalo que contém pelo menos 75% das observações de uma variável com média 10 e desvio padrão 5. Núcleo de métodos quantitativos 9

10 23. Durante o período compreendido entre Janeiro de 1991 e Dezembro de 1993, foram registadas as vendas de Veículos Ligeiros de Passageiros e Mistos, para os concelhos de Portimão e Faro. O quadro seguinte mostra as unidades vendidas, durante este período de tempo, de forma ordenada. Portimão Faro a) Calcule as medidas de localização, para os dados não classificados. Comente. b) Construa a distribuição de frequências e represente o Histograma, para as vendas nos dois concelhos. c) Calcule as medidas de localização e dispersão, para os dados classificados. d) Construa o gráfico Extremos-Quartis. e) Formule uma análise sobre os dois conjuntos de dados, evidenciando as suas diferenças. Núcleo de métodos quantitativos 10

11 24. As distribuições do rendimento (em centenas de Euros) de 2 países são as seguintes: País A País B Rendimento População Rendimento População Anual Remunerada Anual Remunerada Empregando as medidas descritivas que considere mais adequadas, compare o grau de desenvolvimento dos dois países. Fundamente os seus cálculos e discuta os resultados obtidos. 25. Analisando os salários dos trabalhadores das empresas X e Y construiu-se o seguinte quadro de frequências: Classe de Salários N.º Trabalhadores da N.º Trabalhadores da Empresa X Empresa Y a) Analise a dispersão das duas populações. b) Justifique o emprego da medida estatística que utilizou. c) Construa o gráfico box-and.whisker para as duas distribuições. Que conclui quanto à simetria? Núcleo de métodos quantitativos 11

12 26. Os seguintes dados representam a distribuição acumulada e a distribuição percentual acumulada dos salários diários dos trabalhadores das empresas X e Y: Empresa X Y Salário N i F i % N i F i % ,3 0 0, ,9 4 10, , , , , , , , , , , , , , , a) Quantos trabalhadores da empresa X recebem 40 Euros ou mais? b) Qual é a percentagem de trabalhadores da empresa X com salário inferior a 30 Euros? c) Qual das 2 distribuições tem maior intervalo de variação? d) Em qual das empresas há mais trabalhadores com salário inferior a 30 Euros? e) Qual delas tem uma menor percentagem de salários inferiores a 30 Euros? f) Utilize as distribuições acumuladas para obter a distribuição de frequências e a distribuição percentual. 27. Considere a seguinte distribuição de frequências acumuladas: Classes F i , , ? , ,0 Determine as frequências simples para as 3.ª e 4.ª classes, sabendo que a média da distribuição é igual a 27. Núcleo de métodos quantitativos 12

13 28. Um inquérito a 300 agregados familiares sobre o número de automóveis que possuem, X, e o respectivo rendimento mensal em dezenas de Euros, Y, conduziu aos seguintes resultados: X \ Y Total 0 A 30 B C D E F G H I Total j k Infelizmente, alguns valores perderam-se. No entanto, sabe-se que 100 famílias possuem 2 carros e que todas as famílias com rendimento mensal entre 1200 e 2000 Euros têm carro. Dentro do grupo com mais baixo rendimento, é igual o número das que têm 2 carros e das que não têm nenhum. a) Complete o quadro. b) Represente graficamente as distribuições X e Y. c) Calcule as medidas de tendência central para Y. Interprete os resultados. d) Calcule a moda de X. Interprete o resultado obtido. 29. Um teste de audiência efectuado às 21 horas do dia 20 de Junho de 2002 a 100 lares com 2 televisores, detectou que o Brasil Escócia foi visto por 80% dos homens e 30% das mulheres, enquanto o episódio da telenovela foi visto por 20% dos homens e 70% das mulheres. Sabendo que nos 100 lares estavam a ver televisão 80 mulheres e 70 homens, determine, relativamente ao total de pessoas que estavam a ver televisão, a percentagem de homens que assistiu à telenovela e a percentagem de mulheres que assistiu ao futebol. Núcleo de métodos quantitativos 13

14 II CONTINGÊNCIA E ASSOCIAÇÃO \ CORRELAÇÃO E REGRESSÃO. 1. O quadro seguinte é baseado num estudo que relaciona a raça com o tipo de sangue. Tipos de Sangue O A B AB Raça Raça Raça a) Calcule o qui-quadrado. b) Calcule o coeficiente de contingência. c) Interprete os resultados obtidos. 2. Num estudo sobre a segmentação do mercado automóvel, foi inquirida uma amostra de compradores sobre as suas preferências no que respeita aos seguintes acessórios: x1 : cor metalizada x3 : vidros fumados x5 : airbag x2 : tecto de abrir x4 : jantes de liga leve x6 : faróis de nevoeiro As respostas dos dois primeiros inquiridos foram as seguintes: Inquirido x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x a) Construa a respectiva tabela de contingência. b) Determine o coeficiente de correlação entre estes dois indivíduos. 3. O Director de Departamento de Pessoal de uma grande empresa pensa que existe uma relação entre idade e absentismo, pretendendo utilizar a idade do trabalhador para prever o número de dias de absentismo durante um ano. Uma amostra aleatória de trabalhadores forneceu os seguintes resultados: Idade (X) Dias de Absentismo (Y) Núcleo de métodos quantitativos 14

15 a) Represente graficamente os dados. b) Assuma uma relação linear entre as variáveis. i) Utilize o método dos mínimos quadrados para calcular os coeficientes a e b. ii) Interprete o significado de b. iii) Quantos dias, em média, prevê que um trabalhador de 40 anos falte durante um ano? c) Calcule o desvio padrão da estimativa. d) Calcule o coeficiente de determinação e interprete o seu significado. e) Calcule o R 2 ajustado. f) Calcule o coeficiente de correlação. 4. Os seguintes dados respeitam a 10 bancos comerciais: Depósitos Empréstimos Calcule o coeficiente de correlação entre depósitos e empréstimos. 5. Considere os seguintes pares de valores de 2 variáveis estatísticas: (1 ; 7) (3 ; 6) (4 ; 4) (6 ; 3) (7 ; 3) (9 ; 1) a) Calcule o coeficiente de correlação linear. b) Faça o ajustamento linear utilizando o método dos mínimos quadrados. 6. Considere os seguintes dados relativos à procura de um bem: Preço Quant.Procuradas ,5 4 a) Através do método dos mínimos quadrados, ajuste: i) Uma recta. ii) Uma potência. iii) Qual o melhor ajustamento? Justifique. Núcleo de métodos quantitativos 15

16 7. Ajuste uma exponencial ao número de tractores utilizados pelas explorações agrícolas em Portugal. Anos N.º de Tractores O Director Comercial de determinada empresa deseja conhecer a relação existente entre os gastos de promoção e as vendas de um novo produto. Para tal, recolheu a seguinte informação: Despesas em Promoção Vendas a) Ajuste uma recta aos dados (Indique a respectiva expressão analítica). b) Ajuste uma exponencial (Indique a respectiva expressão analítica). c) Indique o coeficiente de determinação e explique o seu significado. d) Qual o modelo que escolheria? Justifique. 9. Considere a evolução das importações e exportações do país A a preços constantes, para o período de 1988 a 1991: Anos Importações (10 6 Euros) Exportações (10 6 Euros) a) Ajuste uma recta às exportações ao longo do período. Apresente a expressão analítica da recta ajustada. a1) Determine R 2 e interprete o seu significado. b) Ajuste uma função potência ao comportamento das importações ao longo dos anos. b1) Determine o coeficiente de correlação e interprete o seu significado. c) Compare as importações e as exportações previstas para o ano Núcleo de métodos quantitativos 16

17 10. O quadro seguinte regista os valores do produto interno bruto (PIB) das exportações (X) e das importações (M) numa dada economia, ao longo de oito anos: Anos PIB X M Com base nestes elementos foram calculadas as seguintes rectas de regressão linear. M= - 19,1 + 0,488PIB e X= , t ( t = ano) Sabendo que se espera que o PIB cresça ao ritmo de 12% até 1990, determine qual o valor previsível para a balança comercial (X - M) em 1990 e compare-o, em termos relativos, com o valor registado em 1980 indicando qual o ano em que o défice comercial foi menos importante. 11. A tabela indica a quantidade, em alqueires (1 alqueire 20 litros), de milho produzida por hectare, Y, resultante do uso de várias quantidades (em g/m 2 ) de fertilizante, X 1, e insecticida, X 2, de 1971 a Ano Y X 1 X N=10 Y=570 X 1=180 X 2=120 a) Estime e interprete os parâmetros da regressão. b) Calcule e interprete o coeficiente de determinação múltipla. c) Calcule e interprete os coeficientes de correlação parciais. Núcleo de métodos quantitativos 17

18 12. Considere os seguintes dados, referentes à quantidade procurada de um produto, Y, o seu preço (em Euros), X 1, e o rendimento dos consumidores (em milhares de Euros), X 2. Ano Y X 1 X a) Ajuste uma regressão a estas observações. b) Calcule o coeficiente de determinação múltipla ajustado. c) Determine qual a variável independente que mais contribui para o poder de explicação do modelo. 13. A tabela dá, para uma amostra aleatória de 12 casais, o n.º de crianças que eles tiveram (Y), o n.º de crianças que eles afirmaram desejar ter (X 1), e os anos de escolaridade das esposas (X 2). Var Y X X a) Determine a equação da regressão. b) Determine o coeficiente de determinação múltipla c) Indique qual a variável independente que mais contribui para o poder explicativo do modelo. Núcleo de métodos quantitativos 18

19 III - NÚMEROS ÍNDICE. 1. O preço de um dado bem variou ao longo do tempo da seguinte maneira: Ano Preço 5,20 7,90 10,50 17,50 22,50 27,50 32,50 Calcule os diversos índices simples tomando como ano base x X 2. Prove que se: I t t, então 0 X 0 I x t 0 I I. x t t 1 x t1 0 3 Usando a tabela do exercício 1 e os resultados obtidos, calcule I p t O rendimento mensal de um dado trabalhador subiu num ano 375 para 425, enquanto que, no mesmo período de tempo, o índice de preços do consumidor subiu 10%. Qual foi a mudança no rendimento real do consumidor? 5. O Sr. Fresco é vendedor de gelados Ice-Cream na cidade de Faro. Nos últimos anos registou os seguintes volumes de vendas: Ano Vol.Vendas 4,01 4,13 4,48 5,25 4,16 4,32 5,07 5,93 6,18 6,71 (valores em Milhares de Euros) a) Utilizando 1980 como ano base, construa o índice para o volume de vendas para o período dado. b) Reformule o índice mudando o ano base para c) A partir de 1984 os gelados Delícia começaram a operar na cidade de Faro, tendo como vendedora a D. Frescura que registou os seguintes volumes de vendas: Ano Vol.Vendas 2,31 2,54 3,33 3,04 3,16 3,45 Núcleo de métodos quantitativos 19

20 (valores em Milhares de Euros) c1) Utilizando 1984 como ano base, construa o índice para o volume de venda ao longo dos seis anos de actividade. c2) Compare os índices do Sr. Fresco e da D. Frescura. c2-i) Qual é o que regista maior crescimento? c2-ii) Calcula a taxa de crescimento anual para os dois vendedores. 6. Considere os seguintes valores: Anos Exportações (preços correntes)* Índice de Preços (Base=1985) *(valores em Milhões de Euros) Indique o valor das exportações a preços constantes de Calcule o índice de preços agregado simples para o seguinte conjunto de bens: Anos A B C Interprete o seu resultado. 8. Na construção de um índice que critérios devem ser seguidos para fixar o ano base? 9. Os quadros de uma empresa multinacional têm os salários base standartizados em 4 categorias distintas. Núcleo de métodos quantitativos 20

21 Categoria Número e Vencimento A número A vencimento* B número B vencimento* C número C vencimento* D número D vencimento* *(valores em Milhares de Euros) a) Utilizando1970 como ano base, construa os índices para os salários. a1) Índice agregado simples. a2) Índice agregado com ponderações fixas (utilize o ano de 1970 para determinar as ponderações a atribuir). b) Faça uma mudança de base para 1980 para ambos os índices. 10. Considere os seguintes valores referentes a um cabaz de 3 bens para os anos de 1980, 1985 e1990. Anos Bens Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade Bem A Bem B Bem C a) Calcule os índices de preço elos para o período de análise. b) Utilizando os resultados da alínea anterior: i) Indique o lustro (período de 5 anos) em que se registou maior crescimento. ii) Qual a variação registada entre 1990 e 1980? Considere 1980 como ano base. (Nota: caso não tenha feito a alínea a) considere os seguintes índices 112 e 110) Núcleo de métodos quantitativos 21

22 11. Considere os seguintes valores referentes ao PIB (Produto Interno Bruto) do País A. Anos Preços Correntes Preços Constantes (1990) (valores em Milhões de Euros) Apresente uma série de preços constantes com base em Considere os seguintes dados referentes a Portugal: Ano Exportações de Bens e Serviços Índice de Preços das Exportações Índice de Preços das Exportações Preços correntes Base 1978=100 Base1983= , , , ,1 100, , , , , , , , ,0 Obtenha um índice de exportações a preços constantes de 1983 e com base em Os índices de preços das classes que constituem o índice de preços do consumidor (IPC), publicado pelo INE, tomaram em Setembro de 1981 e 1982 Núcleo de métodos quantitativos 22

23 os valores indicados no quadro abaixo, onde também se registaram as ponderações atribuídas a cada classe. Índices das Classes do IPC em Setembro de 1981 e 1982* Classes Set. 81 Set. 82 Ponderações I Alimentação e Bebidas 290,3 351,9 496,2 II Vestuário e Calçado 282,3 337,6 93,5 III Rendas de Habitação** IV Despesas de Habitação 274,7? 106,3 V Diversos 253,3 315,7 180,9 IPC-TOTAL com exclusão habitação 282,4? - *Base=preços médios de 1976 **O INE decidiu não considerar a classe III por não dispor de elementos que permitam uma amostra cientificamente válida para se constituir um índice desta classe. Em Setembro de 1982 os grupos de classe IV registaram os índices do quadro seguinte, onde se indicam também as ponderações dos grupos no IPC. Índice dos grupos de Classe IV Grupos de Classe Set Ponderações no IPC Água 312,3 4,5 Combustíveis e electricidade 453,0 27,8 Aquisição de bens domésticos duráveis 275,8 52,4 Despesas domésticas correntes 336,1 21,6 a) Determine o índice correspondente à classe IV em Setembro de b) Determine o IPC TOTAL com exclusão das rendas de habitação em Setembro de c) Qual foi o aumento verificado entre Setembro de 1981 e Setembro de1982? 14. O preço da matéria prima X, tem registado nos últimos anos a evolução representada no seguinte quadro: Núcleo de métodos quantitativos 23

24 Anos Preços Correntes (Euros) Índices de Preços (1985=100) ,5 105,2 - - Índices de Preços (1988=100) ,2 100,0 125,0 (Nota: em relação aos anos de 1989 e 1990 não existem dados disponíveis) Para o período temporal em foco, construa uma série de preços constantes de 1991 para a matéria prima X. 15.Considere os seguintes valores a preços correntes e os preços de base fixa: Anos Preços Correntes Índice (1985=100) Índice (1990=100) Apresente os valores a preços constantes de Com a seguinte informação. A Variações anuais dos preços e estrutura da Despesa em 1985 Classes Ponderadores (%) Variação Anual I - Alimentação e Bebidas 56,59 Alimentação 52,06 17,2 Bebidas 4,53 24,0 II - Vestuário e Calçado 10,66 Vestuário 8,90 23,8 Calçado 1,76 20,9 III - Despesas de Habitação 12,12 20,0 IV - Diversos 20,63 21,9 TOTAL 100,00 B Índice de preços no Consumidor (1976=100) Anos IPC 225,0 269,9 330,3 414,6 536,1? Núcleo de métodos quantitativos 24

25 C Actualização anual dos salários mínimos (Indústria e Serviços/Esc) Anos Salários? Nota: A actualização do salário mínimo apresentou uma variação de % em 1981 relativamente ao ano anterior. a) Determine a variação global dos preços em b) Retire as devidas conclusões da actualização anual dos salários mínimos em termos da sua evolução real no período em questão. Núcleo de métodos quantitativos 25

26 IV - SÉRIES CRONOLÓGICAS 1. Utilizando o método das semi médias, determine a tendência linear das seguintes séries cronológicas: a) Ano Y t b) Ano Y t Utilizando o método das médias móveis obtenha a tendência das seguintes séries cronológicas (experimente 3, 4 e 5 termos). a) b) O produto do sector primário português (não incluindo indústrias extractivas) evolui da seguinte maneira (em milhões de Euros, preços de 1973) ,7 16,9 18,0 18,2 17,7 18,8 17,0 18,8 19,4 18,7 19,8 18,8 19,3 Suponha a tendência linear. a) Estime-a pelo método dos mínimos quadrados. b) Alise-a pelo método das médias móveis e determine então a recta dos mínimos quadrados. Confronte com os resultados da alínea anterior. Núcleo de métodos quantitativos 26

27 4. Determine a tendência das seguintes séries cronológicas pelo método dos mínimos quadrados, alterando a variável t de modo que t = 0. Calcule os valores de tendência e confronte-os com as observações; extrapole para 1992; remova a tendência das observações, admitindo o modelo multiplicativo. a) Ano Y t b) Ano Y t Determine a seguinte série das vendas diárias de um produto: 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado 1ª semana ª semana ª semana ª semana Determine os índices de sazonalidade: d) Pelo método das proporções para a tendência. e) Pelo método das proporções para as médias móveis. 6. Admita como verdadeiros os seguintes registos de dormidas em hotéis do continente, distribuídos por meses do ano: Anos 1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre ,36 837, ,42 517, ,33 947, ,12 628, , , ,23 778, , , ,81 906, , , , ,78 Supondo que já se detectou que esta série obedece ao modelo multiplicativo, determine os respectivos índices sazonais pelos 2 métodos estudados. Núcleo de métodos quantitativos 27

28 7. Admitindo que a matrícula dos novos automóveis está sujeita a variação sazonal, calcule a partir dos seguintes dados os respectivos índices pelo método das médias móveis. Matriculas de novos automóveis em Milhares de unidades Anos Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Uma instituição bancária recolheu os seguintes dados respeitantes aos pedidos de crédito pessoal. 1.º Quadrimestre 2.º Quadrimestre 3.º Quadrimestre a) Utilizando o método da proporção para a tendência, obtenha os índices corrigidos de sazonalidade. b) Elimine a tendência e a sazonalidade dos dados; interprete o resultado residual. 9. O quadro seguinte regista as vendas trimestrais de uma dada empresa ao longo de 4 anos: 1.º Trimestre 2.º Trimestre 3.º Trimestre 4.º Trimestre 1.º Ano º Ano º Ano º Ano Núcleo de métodos quantitativos 28

29 a) Supondo que a tendência pode ser bem descrita pela recta de regressão calculada a partir daquelas 16 observações Vendas =568,6 + 11,39 t (t=1, 2, 3,...,16) calcule os coeficientes de sazonalidade e interprete o respectivo significado, procurando dar um exemplo do tipo de actividade a que se pode dedicar esta empresa. b) Indique a sua melhor estimativa para as vendas no sexto trimestre a seguir ao último valor conhecido, tendo em consideração os coeficientes calculados na alínea anterior. 10. O registo das vendas de gelados nas praias de uma zona, durante os meses de Maio a Setembro e para todos os anos de 1983, 1984, 1985 e 1986, permitiu estimar, a partir dos valores médios de cada ano, a seguinte tendência anual: X t = 3,0 + 1,1t onde t = 1 representa o mês médio do conjunto dos meses observados. Através do método das proporções para a tendência calcularam-se, a partir dos mesmos dados, os seguintes índices de sazonalidade corrigidos: Maio Junho Julho Agosto Setembro S. Corrigida a) Sabendo que os valores das vendas observadas no mês de Maio dos diversos anos foi: Maio 1,80 2,50 2,80 3,52 Confirme o valor do índice da sazonalidade para este mês, tendo como base as hipóteses subjacentes a este modelo. Interprete o índice. b) Estime o valor das vendas: i) Durante todo o ano de ii) Em cada um dos meses referidos. Núcleo de métodos quantitativos 29

30 11. Da análise das vendas trimestrais da empresa A, durante um período de 3 anos, foram determinados os seguintes índices de sazonalidade: 1.º Trimestre (90,1) 4.º Trimestre (116,7) sendo a tendência dada por X t = 7,5 + 0,54 t, em t = 1 é referente ao 1.º trimestre do 1.º ano. a) Sabendo que as vendas registadas no 2.º trimestre, ao longo do período em análise, foram de 8,5, 10,5 e 12,8, calcule os índices de sazonalidade para os 2.º e 3.º trimestres. b) Faça a previsão das vendas para o 1.º trimestre do ano Nos últimos 5 anos registaram-se os seguintes volumes de vendas médias anuais, obtidos a partir de valores trimestrais: Ano Vendas a) Ajuste uma exponencial. b) A partir da tendência obtida na alínea anterior faça a previsão para: i) o volume de vendas médias anuais para o ano seguinte. ii) o volume de vendas para o 4º trimestre do ano seguinte, sabendo que está sujeito a flutuações sazonais e que os índices corrigidos para os primeiros 3 trimestres são, respectivamente, 87, 98 e 101. (Nota: caso não tenha feito a alínea anterior considere a tendência dada por X t = 12* 1,05 t ) Núcleo de métodos quantitativos 30