UAlg esght INTERVALOS DE CONFIANÇA EXERCÍCIOS. Paulo Batista Basílio ( )

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1 UAlg esght INTERVALOS DE CONFIANÇA EXERCÍCIOS ( pbasilio@ualg.pt ) Dezembro 2014

2 Intervalos de confiança - Exercícios 1 1. Estamos interessados em determinar a verdadeira quantidade de água em garrafas de 2 litros. A secção de engarrafamento informa que o desvio padrão é de 0,05 litros. Uma amostra aleatória de 100 garrafas de 2 litros tem uma quantidade média de 1,99 litros. Construa um intervalo de confiança de 99% para a quantidade de água contida em cada garrafa. 2. Em determinada comunidade a preferência individual pela liquidez é uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros desconhecidos. Foram inquiridos 25 indivíduos da comunidade sobre as respectivas preferências, o que proporcionou os seguintes resultados: X = 0, 4 e S 2 = 0, 25. a) Que pode afirmar sobre a preferência pela liquidez média da comunidade? (Sugestão: considere (α = 0.10) b) Admita que σ 2 = 0, 25 que pode afirmar agora com esta informação adicional 3. O gerente de uma instituição bancária pretende estimar o valor médio dos depósitos. Uma amostra aleatória de 30 depositantes indica uma média de 47,50 ee um desvio padrão de 12,00 e. Construa um intervalo de confiança a 95% para estimar a média da população. 4. A polícia rodoviária fez, recentemente, uma investigação secreta sobre as velocidades desenvolvidas na estrada, no período entre as 2 e as 4 horas da manhã. No período de observação, 100 carros passaram por um aparelho de radar a uma velocidade média de 85 Km/h, com um desvio padrão de 15 Km/h. a) Estime a verdadeira média (estimativa pontual) da população. b) Descreva a população. c) Construa um intervalo de confiança a 98% para estimar a média da população. d) Qual o erro máximo associado ao intervalo determinado em c)? 5. De um total de 100 notas em Métodos Quantitativos, uma amostra aleatória de 25 notas acusa média de 13 e desvio padrão de 2. a) Construa um intervalo de confiança a 95% para estimar a média da população b) Com que grau de confiança poderíamos afirmar que a média das 100 notas é 13 ± 1? 6. Um inquérito é planeado para determinar a despesa familiar, anual, em serviços de saúde dos empregados de uma companhia. O director da companhia pretende um grau de confiança de 95% e que a diferença entre e µ x seja 500. Um estudo piloto indica que o desvio padrão pode ser estimado em Qual a dimensão da amostra necessária?

3 Intervalos de confiança - Exercícios 2 7. Procedeu-se ao estudo das flutuações de preços, a curto prazo, no mercado internacional, de uma certa matéria prima. Em 16 semanas sucessivas, os preços observados foram os seguintes (em dólares/tonelada): Admite-se que o preço desta matéria é uma variável aleatória com distribuição normal. a) Estime a média e a variância (estimativas pontuais) da população. b) Construa intervalos de confiança a 95% para os verdadeiros valores desses parâmetros. 8. Suponha que analisa a viabilidade de um projecto cujo elemento fundamental é o preço da matéria prima A. O "comportamento" do preço de A, em 16 observações, indica: X = 0, 95 (X i X) 2 = 2, 56 Construa um intervalo de confiança para σ 2 com α = 0, Duas amostras de 4 observações independentes tiradas da mesma população conduziram aos seguintes resultados: Construa um intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro valor da variância utilizando: a) a primeira amostra; b) a segunda amostra; c) as duas amostras conjuntamente. Nota: admita que a população tem distribuição normal. 10. X é uma variável aleatória, com distribuição normal e parâmetros µ x e σ x, que representa o consumo, em litros, aos 100 Km. Nove viaturas fizeram um mesmo percurso, num total de 100 Km, tendo-se registado os seguintes valores: x = 6 9 x 2 i = 333 i=1 Construa intervalos de confiança a 95% a) Para a média; b) Para a variância. 11. Suponha que a variância de certa característica de um produto, fabricado em série,

4 Intervalos de confiança - Exercícios 3 deve ser igual a 4, de acordo com as normas de fabrico. Existindo indícios de que os produtos apresentam essa característica com variância superior à estipulada, foi recolhida uma amostra de 9 artigos desse produto que forneceram os seguintes resultados: Através da construção de um intervalo de confiança apropriado (90% de confiança) diga se será de admitir que a variância da característica em causa continue a ser Numa sondagem realizada a 50 pessoas encontrou-se 0,25 para a frequência de um dado atributo. Construa um intervalo de confiança a 95% para? (proporção no conjunto da população). 13. Um auditor de uma seguradora pretende determinar a proporção de pedidos de baixa que são pagos em 2 meses. De uma amostra de 200 pedidos, 80 foram pagos em 2 meses. Construa um intervalo de confiança a 99% para estimar a verdadeira proporção de pedidos pagos em 2 meses. 14. Uma sondagem pretende estimar a proporção de votos do partido A nas próximas eleições. Pretende-se um intervalo de confiança a 90% e um erro não superior a 0,04 em relação ao verdadeiro valor. Qual é a dimensão apropriada da amostra? 15. Uma amostra aleatória de 100 eleitores de certo distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado candidato. a) Construa um intervalo de confiança a 99% para a proporção global de eleitores favoráveis a esse candidato. b) Qual o tamanho da amostra necessário para termos 95% de confiança em que o candidato será eleito? 16. Uma empresa agrícola tem ao seu serviço dois tractores idênticos. O consumo de combustível por hora de trabalho em cada um deles é uma variável aleatória com distribuição Normal de parâmetros desconhecidos. Para efeitos de controlo de consumo, obteve-se ao acaso a seguinte amostra, respeitante ao tractor número 1: a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a média. b) Construa um intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão.

5 Intervalos de confiança - Exercícios 4 c) Posteriormente, obteve-se uma amostra casual referente ao tractor número 2: Partindo do princípio que não há razão para supor diferenças no desvio padrão do consumo nos dois tractores, construa um intervalo de confiança a 95% para a diferença de médias de consumo. 17. Para testar o grau de receptividade do público a determinado programa, efectuou-se um inquérito em duas cidades A e B, tendo-se obtido os seguintes resultados: T elespectadores inquiridos Opinies f avorveis Cidade A Cidade B a) Obtenha intervalos de confiança a 95% para a verdadeira proporção de apreciadores do programa, nas duas cidades. b) Obtenha ainda um intervalo de confiança a 95% para a diferença de proporções.