UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR. Verde Castanho Vermelho Azul Branco Total

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1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Probabilidades e Estatística 2008/2009 GESTÃO E ECONOMIA FICHA DE TRABALHO 6: Teste de Ajustamento. 1. Uma máquina de lavar a roupa é vendida em cinco cores: verde, castanho, vermelho, azul e branco. Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores analisou-se uma amostra casual de 300 vendas recentes com o resultados seguintes: Verde Castanho Vermelho Azul Branco Total Teste, ao nível de significância de 5%, que os consumidores não manifestam tendência para preferir qualquer das cores. 2. Uma grande loja de um centro comercial está dividida em cinco departamentos. O administrador desta loja incumbiu o consultor empresarial das lojas de averiguar se a proporção de visitantes em cada um dos cinco departamentos é a mesma. O consultor tomou uma amostra aleatória de 1000 visitantes e obteve as seguintes frequências em cada um dos cinco departamentos: Departamento A B C D E N. o de visitantes Teste, ao nível de significância de 1%, se a proporção de visitantes em cada um dos cinco departamentos da loja é a mesma. 3. Na tabela seguinte encontram-se os dados relativos ao número de pessoas numa amostra aleatórias de 210 pessoas, tendo em conta o dia da semana em que preferem fazer compras. Dia Seg. Ter. Qua. Qui. Sex. Sab. Dom. N o de pessoas Teste, ao nível de significância de 1%, se a proporção de pessoas que preferem fazer compras em determinado dia é igual para todos os dias da semana. 4. Na tabela seguinte encontram-se os dados relativos ao número de computadores montados por determinado empregado de uma pequena empresa de electrónica em cada um dos dias da semana de trabalho. Dia Seg. Ter. Qua. Qui. Sex. Computadores montados Usando um nível de significância de 1%, será que se pode rejeitar a hipótese de que a proporção de computadores montados pelo empregado é igual para cada dia da semana de trabalho? 1

2 5. A companhia ART quer saber se as probabilidades da lei binomial podem ser utilizadas numa análise de decisão estatística que envolve o número de indivíduos que viram o seu anúncio na televisão. A referida companhia obteve 200 amostras aleatórias constituídas por 10 pessoas cada. O número de indivíduos de cada amostra que tinham visto a anúncio (sucessos) é dado na tabela seguinte: N o de sucessos Frequência Total 200 Para um nível de significância de 1%, teste a hipótese de que o número de sucessos em cada amostra segue uma distribuição binomial de parâmetros N = 10 e p = Para planificação do inventário e por uma questão de controle, a companhia química K quer saber se as vendas dum líquido químico são normalmente distribuídas. As vendas observadas numa amostra aleatória de 200 dias foram as seguintes: Vendas (milhares de litros) N o de dias < [34.0, 35.5[ 13 [35.5, 37.0[ 20 [37.0, 38.5[ 35 [38.5, 40.0[ 43 [40.0, 41.5[ 51 [41.5, 43.0[ 27 [43.0, 44.5[ 10 [44.5, 46.0[ Total A companhia FIZZ fabrica cilindros de gás comprimido para uso industrial. Tais cilindros são vendidos em caixas de 20. Ocasionalmente surgem cilindros defeituosos (com pressão baixa). Alguns clientes ao detectarem um cilindro defeituoso numa caixa devolvem-na argumentando que se a caixa tem um cilindro defeituoso conterá, provavelmente, outros. O responsável do controle de qualidade da companhia defende-se afirmando que a proporção de cilindros defeituosos está num nível aceitável e que o número de cilindros defeituosos em cada caixa tem uma distribuição binomial. Salienta ainda que, caso a sua afirmação seja correcta, é pouco provável que qualquer caixa contenha mais do que 1 cilindro defeituoso. Para testar a sua hipótese de que o número de artigos defeituosos em cada caixa tem uma distribuição binomial, recolheu, de forma aleatória, 100 caixas, registando o número de caixas que continham 0, 1, 2, 3,... cilindros defeituosos: N. o de cilindros defeituosos em cada caixa ou mais Total N. o de caixas observadas

3 Com estes dados, considera que o responsável pelo controle de qualidade tem razão? (Utilize α = 0.05.) 8. Para α = 0.05 teste se a procura diária pelo artigo F em certa loja se comporta de acordo com a distribuição de Poisson, sabendo que em 60 dias se observou o seguinte: N o de unidades procuradas Número de dias Um fabricante de relógios digitais, empacota-os em caixas de 50. Todos os relógios de uma amostra de 100 caixas foram examinados e o número de relógios defeituosos em cada caixa foi registado. N o de relógios defeituosos numa caixa N o de caixas Considera que os dados recolhidos são compatíveis com a hipótese de que o número de relógios digitais defeituosos em cada caixa é binomialmente distribuído? 10. Um agricultor vende sementes de girassol. Uma amostra aleatória de 1000 sementes foi plantada para determinar quantas horas demorariam as sementes a germinar. Os dados recolhidos foram os seguintes: Horas para germinar N o de sementes [0; 120[ 10 [120; 132[ 71 [132; 144[ 270 [144; 156[ 410 [156; 168[ 180 [168; 180[ Os dados recolhidos são ou não compatíveis com a hipótese segundo a qual o tempo, em horas, que cada semente demora a germinar é uma v.a. com comportamento normal? (Utilize α = 0.01). 11. O Sr. Silva, da Companhia de Promoção de Executivos, Lda., pretende saber se o número de respostas incorrectas, num teste de 6 questões, dadas pelos candidatos a um posto de chefia, se distribui binomialmente. Examinou aleatoriamente 75 testes tendo registado os seguintes valores: N o de respostas incorrectas num teste N o de testes

4 Considera, para um nível se significância de 5%, que os dados recolhidos são compatíveis com a hipótese segundo a qual o número de respostas incorrectas em cada teste é uma variável aleatória seguindo distribuição binomial? 12. Supõe-se que o número de erros que um trabalhador comete ao compor uma página de jornal apresenta distribuição de Poisson. Para comprovar esta hipótese recolheu-se uma amostra de 440 páginas compostas pelo trabalhador, cujos resultados se apresentam a seguir: Número de erros Número de páginas Proceda ao ensaio apropriado para α = Diga se será de admitir que o diâmetro das peças produzidas por determinada máquina segue distribuição normal, tendo por base medições efectuadas em 680 peças: Diâmetro (mm) N o de peças Uma fábrica de vidros empacota tubos de ensaio em caixas de 25. Todos os tubos de uma amostra aleatória de 100 caixas (2500 tubos), foram examinados, tendo-se obtido os seguintes resultados: N o de tubos de ensaio defeituosos numa caixa N o de caixas Considera que os dados recolhidos são compatíveis com a hipótese segundo a qual o número de tubos de ensaio defeituosos em cada caixa é um variável aleatória seguindo distribuição binomial? Utilize α = Os erros (em mm) cometidos por certa máquina ao cortar peças de 100 cm de comprimento crê-se terem distribuição normal. Para se testar esta hipótese efectuou-se a medição de 595 peças que forneceram os seguintes resultados: Erro cometido N o de erros [ 6, 3[ 10 [ 3, 1[ 95 [ 1, 0[ 200 [0, 1[ 190 [1, 3[ 90 [3, 9] 10 Sabendo que o desvio padrão do universo é de 1 mm, teste a hipótese apresentada para α = O recenseamento de 320 famílias com 5 filhos conduziu aos seguintes resultados: Rapazes Famílias

5 Verifique se estes resultados são compatíveis com a hipótese do número de rapazes ser uma variável com distribuição binomial, admitindo a equiprobabilidade dos sexos, ao nível de significância de 1%. 17. Um industrial do ramo automóvel pretende saber se o tempo que a sua fábrica demora a fabricar 60 carros é normalmente distribuído. Para tal, o departamento de controle de qualidade da dita fábrica obteve os seguintes dados a partir de uma amostra aleatória de 180 lotes de 60 carros: Tempo (horas) N o de Lotes [0.8, 0.9[ 21 [0.9, 1.0[ 70 [1.0, 1.1[ 67 [1.1, 1.2] 22 Qual foi a conclusão que o industrial obteve a partir deste estudo do departamento de controle de qualidade? (Utilize α = 0.01). 18. Um alergolologista pretende saber se a distribuição binomial pode ser usada para determinar probabilidades referentes ao número de indivíduos, em 4, que tem determinada alergia. Com este objectivo, obteve, de forma aleatória, 50 amostras com 4 indivíduos cada, onde observou o seguintes dados: N o de indivíduos Frequência Diga, utilizando um teste apropriado para o nível de significância de 1%, qual a conclusão que o alergolologista obteve a partir dos dados anteriores. 19. O responsável pela manutenção de determinado tipo de máquina pretende determinar se pode utilizar a distribuição de Poisson no cálculo de probabilidades envolvendo o número de falhas da máquina num turno de 8 horas. Com este objectivo, foram observados 60 turnos de 8 horas e obtiveram-se os dados seguintes: N. o de falhas N. o de turnos Que pode afirmar acerca da problemática em causa? Utilize α = Foram testados 100 dispositivos electrónicos observando-se que 41 tiveram um tempo de vida inferior a 30 horas, 31 tiveram um tempo de vida entre 30 e 60 horas, 13 tiveram um tempo de vida entre 60 e 90 horas e 15 tiveram um tempo de vida superior a 90 horas. a) São este dados consistentes com a hipótese de que o tempo de vida deste tipo de dispositivos é exponencialmente distribuído com uma média de 50 horas? b) Resolva a alínea anterior supondo desconhecida a média da distribuição a testar. 5