UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Cálculo das Probabilidades e Estatística I. Lista de Exercícios Terceira Prova. Parte I: Distribuição Amostral

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Cálculo das Probabilidades e Estatística I Professora: Juliana Freitas Pires Lista de Exercícios Terceira Prova Parte I: Distribuição Amostral Questão 1. Seja X N(90; 26). Dessa população retiramos uma amostra de tamanho n = 25. Calcular: a) P(X > 93) b) P(X < 92) Questão 2. Em uma empresa com funcionários o salário médio é de R$600, 00 com desvio padrão de R$115, 00. Para amostras de 22 funcionários, qual a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias? Questão 3. Um produto tem garantia média de 60 dias com desvio padrão de 40 dias. Um fornecedor vende para uma loja um lote de 100 unidades do produto e garante que a duração média desse lote será superior a 61 dias. a) Qual a probabilidade do fabricante estar certo? b) O fabricante decide modificar seu discurso e afirma agora que a média amostral do lote não se distanciará da verdadeira média populacional em mais do que 20% do desvio padrão populacional. Qual a probabilidade do fabricante estar certo? Questão 4. A capacidade máxima de um avião particular 500 kg. A distribuição X dos pesos dos tripulantes é aproximadamente normal com média 70 e variância 100. Qual a probabilidade de 7 pessoas ultrapassarem este limite? Questão 5. A altura dos estudantes da turma de Cálculo das Probabilidades e Estatística tem distribuição normal com média 172cm e desvio padrão 49cm. Uma amostra de 36 estudantes é retirada. a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima de 180cm? b) Se forem obtidas 150 amostras de 36 estudantes cada, em quantas amostras se espera que a média esteja entre 169 cm e 174 cm? Questão 6. Um processo de fabricação produz uma grande quantidade de artigos onde 10% dos artigos estão fora das especificações exigidas. Extraída uma amostra de 225 artigos: a) Determine a média e o desvio padrão da proporção amostra de artigos fora das especificações. b) Qual é a probabilidade de que a proporção amostral de artigos fora da especificação esteja entre 9% e 11%? Questão 7. Uma empresa fabricante de pastilhas para freio efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Sabe-se que 1% das pastilhas fabricadas apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste. a) Qual a probabilidade de que em uma amostra aleatória simples de 1000 pastilhas a proporção de pastilhas defeituosas seja superior a 0, 009? b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 8 ou menos pastilhas com problemas na amostra de tamanho 1000? Questão 8. Em um grande lote de peças produzidas, 8% são defeituosas. Verifique se é mais provável ocorrer um percentual de peças defeituosas acima de 10% em uma amostra de 100 peças, ou um percentual de peças defeituosas acima de 9% em uma amostra aleatória de 324 peças.

2 Parte II: Intervalo de confiança Questão 9. As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por uma certa máquina, durante uma semana, apresentaram a média 20, 93 milímetros e o desvio padrão populacional de 1, 07 milímetros. Determine os intervalos, para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos, com 98% de confiança. Questão 10. Em uma fábrica, foi selecionada uma amostra com 30 unidades de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os pesos; média amostral de 13, 13 kg e um desvio padrão amostral de S = 1, 43 Kg. Construa um intervalo de confiança para a média dos pesos com 90% de confiança. Questão 11. Um certo teste de atitude é conhecido produzir escores que são normalmente distribuídos. O teste é administrado a uma amostra de 26 estudantes, selecionados aleatoriamente, obtendo-se os resultados: média amostral = 982 e desvio padrão amostral = 213. Construa um intervalo de 95% de confiança para o escore médio das atitudes para todos os estudantes da população. Questão 12. Um empresário está estudando os custos de produção de um determinado produto sob determinadas condições. Ele admite que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão σ = 2 UM (Unidades Monetárias). a) Determine um IC de 90% para o custo médio verdadeiro do produto utilizando os valores da seguinte amostra aleatória obtida: 4, 8 7, 1 8, 1 4, 5 5, 6 6, 8 7, 2 5, 7 UM. b) Suponha que no item a) o desvio padrão não fosse conhecido. Como ficaria seus cálculos para determinar um IC para? Questão 13 De um grande lote de chaves n o 15, tipo fixa, usada em mecânica de automóveis, retira-se ao acaso uma amostra de 40 chaves. Sabendo-se que a resistência média dessa amostra é 30 kg, e que a distribuição das resistências é normal com um desvio padrão de 2,5kg, determinar: a) Um intervalo de 90% de confiança para a resistência média do lote. b) O nível de confiança da estimativa intervalar se admitirmos que a resistência média está no intervalo [30 ± 0, 7748kg]. c) Qual o erro de precisão associado a um nível de confiança de 99%? Questão 14. A Rodona produz um parafuso especial encomendado pela indústria automobilística. Uma amostra aleatória de 121 itens sistematicamente extraída da linha de produção indicou um comprimento médio amostral de 20 cm e uma variância amostral de 0, 064 cm 2. Com base nessas informações construa os intervalos correspondentes a 99% de confiança para a verdadeira média desses parafusos. Questão 15. O diretor de recursos humanos da Verottoni deseja estimar o número médio de horas de treinamento para seus vendedores. a) Determine o tamanho mínimo da amostra necessária para tanto, admitindo um fator de erro de ±4 horas a um nível de confiança da estimativa de 95% e um desvio padrão populacional de 12 horas. b) Admitindo o tamanho de amostra encontrado em a), calcule os erros de precisão associados aos níveis de confiança de 90% e 99%? Questão 16. Um prefeito de certa cidade turística deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitarem a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e encontrou-se que a média foi igual a 800 u.m.(unidades de medidas) com desvio padrão de 200 u.m. a) Achar o intervalo de confiança, a 99% para a média de todos os gastos de turistas com a cidade. b) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que ao nível de confiança de 95% o erro de estimação seja 20 u.m.

3 Questão 17. De componentes eletrônicos fabricados por uma companhia retira-se uma amostra aleatória de 400 componentes e obtém-se vida média de 800 horas e desvio padrão de 100 horas. Qual o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média de todos os componentes da população? Questão 18. Numa amostra aleatória de 300 universitários, 180 tinham algum tipo de preconceito. Obter os intervalos de 90% de confiança para a proporção verdadeira, p, de universitários que tem algum tipo de preconceito. Questão 19. Perguntou-se a 1000 jovens, entre 16 e 19 anos, quais os principais problemas que enfrenta a juventude atual. Os principais problemas apontados, com o número correspondente de respostas, foram: o uso e o abuso de tóxicos 270 a falta de comunicação com os pais 220 o uso e o abuso do álcool 85 o desemprego 68. a) Considerando os 1000 jovens como uma amostra aleatória, estime através de um intervalo de 99% de confiança, a proporção de jovens da população considerada que cita cada um dos problemas como o principal. b) A partir dos intervalos e confiança, você teria condições de afirmar o principal problema apontado pelos jovens na população? Justifique sua resposta. Questão 20. Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0, 02 com probabilidade de 95%. b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a), observou-se que 55% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um IC para a proporção p com 90% de confiança. Questão 21. O DETRAN deseja estimar a proporção de motoristas de idades entre 18 e 20 anos que dirigem carros enquanto afetados pelo consumo de álcool. Em um grande estudo, homens entre 18 e 20 anos foram entrevistados e 5, 1% deles disseram que no mês anterior haviam dirigido enquanto estavam sob o efeito do álcool. Usando o dados amostrais e um nível de confiança de 90%, construa um intervalo de confiança para a proporção de motoristas de idades entre 18 e 20 anos que dirigem carros enquanto afetados pelo consumo de álcool. Questão 22. Uma fábrica produziu chips Pentium IV em certo período. São selecionados aleatoriamente 400 chips para testes. Suponha que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construa um intervalo para a proporção de chips adequados com 95% de confiança. Parte III: Testes de hipóteses Questão 23. Os novos operários de uma empresa são treinados a realizarem uma nova tarefa, cujo tempo X (em horas) de aprendizado é anotado. Observou-se que X tem distribuição normal com média µ = 25 hs. Uma nova técnica de ensino, que deve melhorar o tempo de aprendizado, foi testada em uma amostra aleatória de 16 novos empregados, os quais apresentaram 23 hs como tempo médio de aprendizado, e um desvio padrão s = 10 hs. Você diria, ao nível de 5% de significância, que a nova técnica é melhor que a anterior? Questão 24. Foi admitido que o preço médio de livros em Ciências Sociais é de R$18, 00. Mas descobriu-se que o preço médio de uma amostra aleatória de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro ( no campo das Ciências Sociais) é de R$ 21, 60, com um desvio padrão S = R$ 2, 70. Baseado nos dados amostrais podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros em questão seja de R$ 18, 00? Use um nível de significância de 5%.

4 Questão 25. Uma cadeia de lanchonetes instalará um novo estabelecimento em um local proposto, se passarem pelo local mais do que 200 carros por hora durante certos períodos do dia. Para 20 horas selecionadas aleatoriamente durante tais períodos, o número médio de carros que passaram pelo local foi de 208, 5, com desvio padrão 30, 0. O gerente da cadeia de lanchonetes adota, conservadoramente, a hipótese nula de que o volume de tráfego não satisfaz a exigência, ou seja, H 0 : µ 200, 0 contra H 1 : µ > 200, 0. Pode esta hipótese ser rejeitada a um nível de significância de 5%? Questão 26. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média 10, 7 litros por 100 km, com desvio padrão de 0, 79 litros. Uma revista com base em resultados preliminares desconfia da afirmação acima do fabricante e resolve testar tal hipótese analisando 32 automóveis dessa marca, obtendo 11, 1 litros por 100 km como consumo médio (considerar como tendo distribuição normal o número de litros consumidos por carro). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica ao nível de significância de 5%? Questão 27. Suponhamos que o tempo que qualquer estudante gasta para se deslocar de casa para a Universidade é distribuído normalmente com média 45 minutos. Preocupado com o aumento do desinteresse dos estudantes em participar das atividades, o diretor anotou aleatoriamente o tempo gasto por estudantes ao se deslocar à Universidade. Obteve média de 50 min e desvio padrão de 12 min ao abordar 36 alunos. Teste se fica confirmado o aumento do tempo em chegar a Universidade. Use nível de significância de 5%. Questão 28. A nota média em matemática no vestibular, dos alunos que fazem cursinho é 5, 9. Desconfiandose de um baixo rendimento nos últimos anos em matemática, dos pré-vestibulandos, resolveu-se retirar uma amostra de 35 alunos que fizeram vestibular, computando-se uma média de 4, 5 e desvio padrão 1, 3 na disciplina aludida. Ao nível de 5% de significância você aceitaria a hipótese de que os alunos são de fato inferiores com o aprendizado da matéria em questão? Questão 29. O valor médio das vendas por estabelecimento varejista, durante o último ano, de um particular produto, foi de R$ 3425, 00 para uma amostra de 25 estabelecimentos. Com base em dados de vendas de outros produtos similares, supõe-se que a distribuição das vendas seja normal com desvio padrão de R$200, 00. Suponha que tenha sido afirmado que o verdadeiro valor de vendas por estabelecimento é no mínimo de R$ 3500, 00. Testar esta afirmação ao nível de significância de 1%. Questão 30. A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta a média de Kg e o desvio padrão populacional de 100 kg. Mediante nova técnica no processo de fabricação, notou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar esta declaração, selecionou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se determinado a tensão média de ruptura de kg. Pode-se confirmar a declaração de que a tensão de ruptura aumentou? Use um nível de significância de 1%. Questão 31. Retirada uma amostra de 15 parafusos, obteve-se uma média de 11, 33 mm de diâmetro e um desvio padrão amostral de 3, 24 mm. Teste se a média do diâmetro dos parafusos é menor do que 12, 5 mm, com nível de significância de 5%. Questão 32. As vésperas de um pleito eleitoral majoritária, uma pesquisa de opinião pública revelou que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como preferência o candidato A. É possível assegurar, usando um nível de 5% de significância, que esse candidato vencerá o pleito em questão? Questão 33. Até o ano passado, apenas 20% dos estudantes de uma certa cantina universitária aprovaram a qualidade das refeições servidas no seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas, 40 estudantes, foram escolhidos ao acaso, entrevistados, e o número daqueles que aprovaram a qualidade das refeições, usado para verificar se as medidas corretivas surtiram efeito. O número dos que ficaram satisfeitos foi 28. Realize o teste de hipóteses apropriado usando o nível de significância de 5%. Questão 34. Até o ano passado, apenas 26% dos estudantes de uma certa cantina universitária aprovaram a qualidade das refeições servidas no seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas, 40 estudantes, escolhidos ao acaso, serão entrevistados, e o número daqueles que aprovarem a qualidade das refeições, usado para verificar se as medidas corretivas surtiram efeitos. Formule a hipótese em termos da proporção de estudantes satisfeitos com a comida oferecida e teste a sua hipótese ao nível de significância de 0, 05. Feito a entrevista com os estudantes 28% aprovaram a qualidade das novas refeições.

5 Questão 35. Supõe-se que 5% das peças produzidas em um certo processo de fabricação sejam defeituosas. Para uma amostra aleatória de n=100 peças. 10 foram achadas defeituosas. Testar a hipótese a um nível de significância de: a) 5%. b) 1%. Questão 36. O patrocinador de um programa especial de TV supõe que pelo menos 40% de todos os telespectadores de um determinado setor metropolitano veria tal programa. De uma amostra aleatória de 100 famílias, com televisores ligados, somente 30 assistem ao programa. Com base nesta amostra pode-se rejeitar a suposição do patrocinador de que pelo menos 40% das famílias está vendo o especial a um nível de significância de: a) 10%? b) 5%? Questão 37. Um fabricante garante que, pelo menos 95% do equipamento que forneceu a uma fábrica está de acordo com as especificações. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou que 18 estavam defeituosas. Teste a afirmação do fabricante com um nível de significância de 5%. Questão 38. Devido ao baixo rendimento em Matemática dos alunos da terceira série dos colégios de uma cidade, resolveu-se testar uma nova técnica de ensino, objetivando aumentar esse rendimento. Depois que os alunos foram treinados com a nova técnica, selecionou-se uma amostra de 49 alunos, e aplicou-se um teste de Matemática de nível equivalente a um outro que havia sido aplicado no período em que foi usada a técnica anterior. O teste aplicado aos 49 alunos forneceu que 70% deles tiveram um rendimento considerado satisfatório. Realize um teste de proporções para testar as hipóteses Use o nível de significância de 1%. H 0 : p = 0, 65 H 1 : p > 0, 65