Departamento de Estatística UFSCar Probabilidade e Estatística Lista de Exercícios 2 Prof. José Carlos Fogo (11/09/2014)

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1 Departamento de Estatística UFSCar Probabilidade e Estatística Lista de Exercícios 2 Prof. José Carlos Fogo (11/09/2014) 1) Seja X v.a. representando o número de usuários de um microcomputador no período de um mês. A distribuição de probabilidade de X é dada abaixo: x Total p(x) a) Calcular P(X 3), P(X 4) e P(3 < X 5). b) Calcular E(X) e Var(X). c) Encontre a f.d.a. de X e construa seu gráfico. d) Quais valores de X estão no intervalo de ( - 2; + 2). X e) Encontre EY e VarY, onde Y ) Seja a função dada por px k 3 x, x = -2, -1, 0, 1, 2. a) Encontre a constante k para que a p(x) seja de fato uma densidade de probabilidade. X 0 X 1 P X 1 X 1. b) Com o valor de k encontrado, calcule c) Calcule E(X) e Var(X). P, P e 3) Seja X ~ binomial (20; 0.1). a) Calcular P(X = 10), P(X 2), e encontrar E(X) e Var(X). b) Achar a média e a variância de variável aleatória Y = 3X ) Numa indústria, 24% das ligações ao serviço de atendimento ao consumidor são de reclamações a respeito do produto. Num dia normal de trabalho qual é a probabilidade de que: a) A primeira reclamação aconteça na 5 a chamada? b) A primeira reclamação aconteça somente após a 8 a chamada? c) O número médio de chamadas atendidas até que ocorra a primeira reclamação. 5) Numa cidade, os casos de dengue são divididos em adultos e crianças. A proporção de adultos com dengue é de Se num dia 5 novos casos são registrados, qual é a probabilidade de que: a) Exatamente 2 sejam em adultos. b) No mínimo 3 sejam em adultos. c) Qual é o número de adultos que se espera sejam contagiados em um mês? d) Qual a probabilidade de que o primeiro caso de dengue numa criança seja o quarto caso registrado? e) Quantos casos são esperados até que se ocorra o primeiro caso em criança? 6) Um jogo é composto de 4 possíveis: A,B,C e D. Sabe-se que P(A) = 3P(C), P(B) = 2P(C) e que P(D) = Um jogador ganha R$ 4,00 cada vez que ocorre A, ganha R$ 3,25 cada vez que B ocorre, ganha R$ 10,00 em cada ocorrência de C e perde R$ 25,00 se ocorre D. Se cada aposta custa R$ 2,00 e ele consegue jogar 200 vezes numa noitada de apostas, qual o ganho esperado numa noite? 7) Numa fábrica têxtil, o número de impressoras que apresentam problemas, mensalmente, é uma v.a. com distribuição de Poisson com = 3. a) Qual a probabilidade de 7 impressoras problemas em um mês? b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?

2 8) Examinaram-se 2000 ninhadas de 5 porcos cada uma, segundo o número de machos. Os dados estão representados na tabela abaixo. Num. de Machos Num. de Ninhadas Total 2000 a) Calcule a proporção média de machos. b) Calcule, para cada valor de X, o número de ninhadas que você deve esperar se X ~ binomial (7; p), onde p é a proporção média de machos calculada em (a). 9) Uma no final de cada dia de trabalho uma máquina é inspecionada com a finalidade de se verificar se necessita ajustes ou reparos. Para isso um inspetor toma uma amostra de 10 ítens produzidos pela máquina, decidindo por ajustes de encontra de um a cinco ítens defeituosos e por reparos se encontra mais de cinco ítens defeituosos. Após a inspeção de uma amostra, determinar as probabilidades de: a) Não ser necessário ajustes ou reparos. b) Ser necessário apenas ajustes. c) Ser necessário apenas reparos. 10) Na fabricação de uma fita uma magnética, ocorrem fissuras a uma taxa de 1 por 2000 pés. Qual a probabilidade de que num rolo com 2000 pés de fita magnética tenha: a) nenhuma fissura; b) no máximo duas fissuras; c) pelo menos duas fissuras. 11) Se num cruzamento passam veículos numa taxa de 8 a cada minuto, determine: a) A probabilidade de que em 4 minutos passem exatamente 40 veículos. b) A probabilidade de que em meio minuto passem mais do que cinco veículos. c) Se no cruzamento for colocado um semáforo com tempo de 20 segundos, quantos carros em média ficarão esperando a abertura do semáforo? 12) Num comunidade com 4800 pessoas, a procura diária por leitos de um hospital segue uma distribuição binomial ( 4800 ; p ), onde p = 1/2500. a) Qual o número esperado de pessoas que, num dia, procuram leitos no hospital? b) Qual a probabilidade de que num dia, duas ou mais pessoas procurem leitos no hospital? (use a aproximação pela Poisson). c) Qual o número esperado de pessoas que procuram leitos no hospital numa semana? 13) Seja uma v.a. X f.d.p. f(x) = 1 x se 0 x k. a) Encontre k para que f(x) seja uma f.d.p. b) Encontre sua f.d.a. F(x). c) Calcule a média e a variância de X. 14) A data na qual será necessário revisar um equipamento é dada pela variável aleatória T, onde T é o número de milhares de horas de uso contínuo do mesmo. A função densidade de probabilidade f t da v.a. T é descrita abaixo.

3 k a) Encontre o valor de k e determine t f. b) Calcule E(T) e Var(T). c) Qual a probabilidade de sermos obrigados a revisa-lo antes de 25 mil horas? d) Encontre a e b simétricos em torno da média tal que P(a X b) = T 15) Um fabricante de máquinas de lavar, sabe que a duração de suas máquinas tem distribuição Normal com média de 1600 dias e desvio padrão de 400 dias. Oferece uma garantia de um ano (365 dias). Produz 2000 máquinas mensalmente. Quantas espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente? 16) A duração de certo tipo de pneu, em quilometros rodados, é uma variável aleatória normal com duração média de km e desvio padrão de km. Qual a probabilidade de um pneu durar: a) Entre e km? b) Exatamente km? c) O fabricante deseja fixar uma garantia de fábrica G (km), tal que, se a duração do pneu for inferior à G, o pneu será trocado gratuitamente. De quanto deve ser G para que apenas 1% dos pneus sejam trocados? 17) Supor que os tempos de vida de um lote de componentes para rádio têm uma distribuição normal com média 500 horas e desvio padrão de 50 horas. Um comprador requer que pelo menos 95% dos componentes tenha uma durabilidade maior do que 410 horas de funcionamento. Você acha que o lote estará de acordo com as especificações do comprador? 18) Se X é uma v.a. com distribuição Normal com média = 200 e = 5, achar b tal que: a) P(X < b) = 0.67; b) P(X > b) = ; c) P( X 200 < b) = ) Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que o tempo de vida de uma lâmpada com uso de 10 h/dia tem distribuição normal com vida média de 2400 horas e desvio padrão de 360 horas. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão: a) menos que 1320 horas; b) mais de 3300 horas; c) entre 1878 e 3005 horas. c) quantas lâmpadas se esperam funcionando após 3030 horas? 20) Um fabricante de máquinas de lavar, sabendo que o tempo de vida de suas máquinas tem distribuição normal com média 2510 dias e desvio padrão 400 dias, oferece garantia de 3.5 anos. a) Se ele produz 2000 máquinas/mês, quantas espera trocar, por mês, pelo uso da garantia? b) De quanto deve diminuir a variabilidade para que, mantido o limite de garantia, esse número caia pela metade? 21) O diâmetro de um furo de uma engrenagem tem como especificação valor nominal de 0.80 mm. É característica que a sua produção tenha distribuição normal com média 0.80 e variância Considerando que os limites de especificação do produto é de 0.72 a 0.88, determine: a) Qual é proporção de engrenagens fora destes limites. a) De quanto deve ser diminuída a variabilidade para que a proporção de itens fora de especificação seja de no máximo 1%?

4 22) Suponha que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos do mesmo tipo, mas de marcas diferentes M 1 e M 2 tenham distribuições N 40, 36 e N 45, 9, respectivamente. Qual dos dispositivos deve ser escolhido: b) Se tiver que ser usado por um período de 52 horas? Justifique. c) Se tiver que ser usado por um período de 48 horas? Justifique. d) Se exigirmos que pelo menos 95% dos dispositivos escolhidos em (b) tenham duração superior a 40 horas, tal especificação é atendida? Justifique. e) Qual deve ser o tempo t * tal que os dois dispositivos tenham a mesma confiabilidade, ou seja PM1 t* PM2 t*? 23) Uma indústria metalúrgica produz um cilindro com diâmetro interno tendo distribuição normal com média 36 mm e desvio padrão 0.5 mm. O gerente de qualidade da empresa quer determinar limites de controle (inferior e superior) tal que 98% das peças produzidas tenham diâmetro dentro destes limites. a) Encontre esses limites. b) Se cada cilindro fora dos limites é sucateado a um custo de R$ 1.50, qual o prejuízo da empresa se a produção mensal é de peças? 24) Um produtor classifica suas frutas como Tipo A ou Tipo B segundo o peso. As frutas com peso acima de 158g são classificados como tipo A, caso contrário, como tipo B, sendo que o peso das frutas tem distribuição normal N(148, 141.6). a) Calcule a proporção de frutas com peso acima de 158g.? b) Considerando que os frutos embalados aleatoriamente em caixas com n = 12 unidades, determine o número esperado de frutas tipo A por caixa. c) Qual a probabilidade de que, numa caixa assim formada, exatamente metade das frutas sejam do tipo A? E no máximo duas. As frutas são vendidas com preço diferenciado sendo R$ 1,00 as de tipo B e R$ 1,55 as de tipo A. O produtor pretende selecionar as frutas e vendê-las separadamente por tipo, só que para isso ele terá um custo adicional de R$ 0,10 por unidade para fazer a seleção. d) Qual o preço médio de venda com o sistema atual de embalagem? e) Qual deverá ser o preço de vendas das frutas selecionadas por tipo mantendo-se a relação 1:1.55 no preço de venda? Nesse caso, qual o preço médio de venda por caixa? 25) Um produto usado na fabricação de automóveis tem dureza normalmente distribuída com média 12 e variância Considere que o produto é fabricado a um preço R$ 5,00/peça. Se a dureza for inferior a 10, então a peça é descartada, não servindo para utilização. Se a dureza estiver entre 10 e 14.4, a peça é considerada boa e é vendida a R$ 20.00, porém, se a dureza for superior a 14.4, a peça recebe um tratamento térmico, a um custo adicional de R$ 2,50, para corrigir a dureza. a) Determinar a probabilidade de que um item do produto seja descartado? b) Encontrar a probabilidade de um item do produto tenha dureza entre 10 e c) Determine o preço médio de produção por peça e o lucro esperado se forem produzidas 5000 peças. 26) Suponha que D a demanda diária de uma peça seja uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: d k P D d 2, d = 1, 2, 3, 4. d! a) Encontre a constante k. b) Faça os gráficos de f.d.p. e f.d.a. 27) Seja X uma v.a. com densidade uniforme sobre 0, 1,..., 99. Determine: a) F(x), P X 25 e P X 10. b) P 25 X 75. c) P 26. X 122..

5 28) Considere a v.a. dureza do exercício anterior. Num lote com N = 80 peças, há m = 10 peças misturadas indevidamente e que deveriam ser descartadas. Deste lote deve-se retirar 8 peças para a linha de montagem. a) Qual a probabilidade de que dentre as 8 peças selecionadas exatamente 3 sejam das peças para descarte? b) Ao saber do ocorrido, o encarregado decidiu separar as peças ruins do lote. Para isso ele pediu para um inspetor inspecionar uma a uma. Qual a probabilidade de que a última peça ruim seja encontrada ao se inspecionar a metade do lote? 29) Sabe-se que em um edifício existem 500 moradores, das quais 10 trabalham na empresa X. Se 5 moradores deste edifício são selecionados aleatoriamente para responder um questionário a respeito da eficiência da empresa, qual é a probabilidade de que nenhum deles trabalhem na empresa X. Observe que um morador não é sorteado mais de uma vez. 30) Suponha X uma v.a. para a qual = 10 e 2 = 36. Quais os valores de a e b para os quais Z = ax + b tenha esperança 0 (zero) e variância 1? 31) Ao comprar certo tipo de interruptor elétrico, o comprador faz a seguinte proposta ao fabricante: Uma caixa é selecionada ao acaso e todas as suas peças inspecionadas. Se forem encontrados 4 ou mais itens defeituosos o lote todo é devolvido. Caso contrário, o preço de compra seria de R$ 532,00 por caixa se nenhum item defeituoso for encontrado; R$ 520,00 por caixa caso seja encontrado 1 item com defeito; R$ 520,00 por caixa caso para 2 defeituosos e R$ 500,00 por caixa caso sejam encontrados 3 defeituosos. Além disso, todas as peças com defeito do lote identificadas na hora da montagem seriam devolvidas, ficando o fabricante com o custo. Considerando que cada caixa contém 25 peças e o índice de defeitos na produção é de 4%, determine: a) A probabilidade de que o lote seja devolvido. b) Qual o preço médio por item do produto pagaria o comprador segundo a sua proposta? c) O fabricante faz, então, a seguinte contraproposta: preço fixo de R$ 522,00 por caixa, ficando o comprador com o prejuízo mediante as peças defeituosas. Qual das duas opções você escolheria se fosse o comprador? d) De quanto seria o prejuízo esperado do comprador ao optar pela proposta do vendedor? 32) Seja uma v.a. X ~ Poisson(): a) Encontre E(X) e E(X 2 ). b) Verifique que Var(X) = E(X) =. 33) Seja N um número inteiro positivo e seja f uma função definida por: 2 x, se x 1, 2,, N. f x NN 1 0, outros valores de x Mostre que f(x) é uma f. de probabilidade discreta e obtenha a sua média. Dado: N 2 x1 x NN 1 2N ) Seja uma variável aleatória X com distribuição: x k 0 k p(x) p (1 2p) p a) Determine E(X), E(X 2 ) e Var(X). b) Se k = 2, onde 2 é a variância de X, qual deverá ser o valor de p? c) Mostre que se k =, então p = 1/2. 35) Seja uma v.a. X e seja g(x) uma função de X. Se g(x) = a + b x + c x 2, mostre que: E[g(x)] = a + b E(X) + c [E(X)] 2 + c Var(X).