Fundamentos de Estatística 2010/2011 Ficha nº 3

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Eduarda Figueiredo Valente
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Escola Superior de Tecnologia de Viu Fundamentos de Estatística 00/0 Ficha nº 3 Considere os casais que têm 3 filhos e a eperiência estatística em que regista o o de cada um dos 3 filhos por ordem

1 Escola Superior de Tecnologia de Viu Fundamentos de Estatística 00/0 Ficha nº 3 Considere os casais que têm 3 filhos e a eperiência estatística em que regista o o de cada um dos 3 filhos por ordem crescente de idades Estamos interessados no número de rapazes a) Defina uma variável aleatória (va) apropriada e calcule a sua função de probabilidade b) Calcule P(X ), P(X0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X X>) d) Calcule a função de distribuição e) Calcule E(X) e V(X) Considere as situações guintes Defina, em cada caso, as variáveis aleatórias de interes, indique a sua gama de valores possíveis e classifique-a a) Contam- as partículas emitidas por uma fonte radioactiva durante um determinado intervalo de tempo; b) Obrva- o tempo entre avarias de uma máquina em funcionamento numa fábrica; c) Analisam- os livros de 50 páginas para determinar o número de páginas com erros; d) Estima- o consumo de gasolina de um determinado automóvel Para isso, mete- um litro de combustível no tanque e regista- a distância percorrida até a gasolina esgotar (Admitir que não é razoável que essa distância eceda 50 km) 3 Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é dada na guinte tabela: 0 3 c c f() k k 3k k 0 a) Calcule o valor de k b) Calcule P(X ), P(X0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X3 X>) d) Calcule a função de distribuição F de X e) Reprente graficamente f e F f) Calcule E(X) e V(X) Página de 7

2 A loja de desporto do João vende máquinas de eercícios, bem como outros artigos de desporto Seja X o número de máquinas de eercício vendidas por dia A função de probabilidade de X é dada por: Número de máquinas de eercícios vendidas por dia a) Mostre que k = Probabilidade 008 k b) Calcule a função de distribuição cumulativa (distribuição) de X c) Determine a probabilidade que o número de máquinas de eercícios vendidas num determinado dia ja i) maior que 8 ii) no máimo 6 5 A variável aleatória X tem função de probabilidade dada por f() = k, para =, 3, 5, 5 a) Calcule o valor de k b) Calcule a função de distribuição F de X c) Reprente graficamente f e F d) Calcule P(X=5), P(3X 5) e P(X 5) e) Calcule E(X) e V(X) 6 Uma caia contém 0 chips dos quais 6 são defeituosos São etraídos, m reposição, chips, ao acaso, da caia Seja X a va que reprenta o número de chips defeituosos obtidos a) Construa as funções de probabilidade e de distribuição de X e reprente-as graficamente b) Calcule a média e a variância de X 7 Uma caia contém 5 parafusos defeituosos e 5 não defeituosos Etraem- parafusos Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da va X: Nº de parafusos não defeituosos obtidos a) Supondo haver reposição b)supondo não haver reposição Página de 7

3 8 Seja T a variável aleatória discreta com a guinte função de distribuição 0 t - / - t 0 F( t) = 3 / 0 t t a) Calcule a função de probabilidade f de T b) Calcule: P(T=), P(T ), P(T>), P(T ), P(T), P(0T), P(0T ) e P( T ) c) Determine a esperança e a variância de T 9 A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp b) Calcule a função de distribuição de X 0, f ( ) =, 6 0, c) Determine P(X=), P(X), P(X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) d) Determine a esperança e a variância de X e) Determine Var(3Y+5) onde Y=X/ 6 0 O director de compras da empresa Baratinho, pretende definir uma política de aquisição de matéria prima para o próimo ano As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade de probabilidade: a) Mostre que k= b) Esboce o gráfico de f() c) Calcule a função de distribuição de X d) Calcule a P(X) e) Determine a esperança e a variância de X 0 k f( ) = 0 outros valores f) Se quir que a probabilidade de ruptura da matéria-prima ja igual a 00, qual o nível de abastecimento que deve r asgurado diariamente? Página 3 de 7

4 A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), 0 / 6 f ( ) = ( ) 6 0 a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp 0 b) Determine P(X), P(X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) 0 O proprietário de um carro deja vende-lo por 3750 euros e está a estudar a hipóte de fazer publicidade, que lhe custará 50 euros Se a probabilidade de ele o vender ao preço de 3750 euros m publicidade for de 05 e com publicidade for de 09, deve ou não anunciar a venda, sabendo que não o vender pelo preço que estipulou à partida, vendê-lo-á a um amigo por 350 euros 3 Seja X uma va que toma os valores {0,,, 3, }, com um valor desconhecido Sabendo que os valores de X são igualmente prováveis e que E(X) = 6, calcule Considere uma va X cuja função de probabilidade é dada na tabela guinte 0 6 c c f() f(0) / f() /8 0 Sabendo que E(X) = 9/, calcule f(0) e f() 5 Dois projectos de publicidade distintos, A e B, para um mesmo produto, estão a r comparados com ba na receita prevista com a venda do produto publicitado Os estudos de marketing concluíram que a receita, optando pelo projecto A, é de $3 milhões (de dólares) No entanto, a receita optando pelo projecto B é mais difícil de determinar Sabe- apenas que há uma probabilidade de 03 de a receita r igual a $7 milhões, e de 07 de a receita r apenas de $ milhões Qual dos dois projectos rá preferido, tendo em conta: a) As receitas médias obtidas para os dois projectos; b) A variabilidade aprentada pelas receitas nos dois projectos Página de 7

5 6 O diâmetro, em mm, de uma peça produzida por determinada máquina é uma variável aleatória real X, cuja função de distribuição é definida por, F ( ) = 3a b a) Determine os valores das constantes a e b b) De entre as peças cujo diâmetro é superior a 05 mm, calcule a percentagem de peças com diâmetro inferior a 5 mm 7 Seja X uma variável aleatória real cuja função densidade de probabilidade é definida por, ( + ) f () = 8 0 caso contrário a) Mostre que f é, efectivamente, uma densidade b) Calcule a função de distribuição de X c) Determine o valor de a, com a IR +, que verifica P(-a X a) = X d) Considere a variável aleatória Y = Calcule V(3Y+5) Página 5 de 7

6 SOLUÇÕES DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS a) 0 3 f X () /8 3/8 3/8 /8 b) 7/8, 0, /8, c)0 0 0 d) / 8 0 F ( ) = / 8 7 / a) X nº de partículas radioactivas contadas; ={0,,, }=IN 0, va discreta b) X tempo entre avarias; =[0, + [, va contínua c) X nº de páginas com erros; =0,, 50; va discreta d) X distância percorrida com um litro de gasolina; =[0, 50]; va contínua 3 a) k=/7; b) /7; 0; /7; ; c) d) / 7 0 F ( ) = 3 / 7 f)/7; 0/9 6 / b) () = / 3 ( ) = 0 / / F X c) i) 05 ii) a) k=5/8; b) F ; d)3/,3/,3/; e)5,875 Página 6 de 7

7 6 a) 0 f X () 9/90 /95 3/38 E(X)=3/5; Var(X)=0 7 a) b) = 0 =, f X () = = 0 outros valores = 0 = 9 5 f () = =, X 9 0 outros valores () F X () F X 0 0 = 3 9 = a) t - 0 F T (t) / / / b) 0, 3/, /, /, 3/, 0, /, ¼; c)-/, b) c) 0; /6; /3; ½; 5/6; /6 d)e(x)=3; Var(X)=3 e) 7/ F ( ) = c) F ( ) = / 0 d) ¼ e) E(X)=/3; Var(X)=/9 f) 7 toneladas b)/6, 5/, 5/, 5/6, Não deve fazer publicidade 3 = f(0)=/, f()=/8 5 a) É preferível o projecto B; b) É preferível o projecto A 6 a) a=0, b=3; b)7/5 F ; c) a=; d) 7 b) ( ) = / 8( / + + ) Página 7 de 7

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