Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Introdução às Probabilidades

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1 Ano lectivo: 2006/2007 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática ESTATÍSTICA Ficha de exercícios nº3: Introdução às Probabilidades Curso: Ciências do Desporto 1. Considere a experiência aleatória que consiste em verificar o resultado, em termos de nº de golos, de um jogo Benfica-Sporting. a) Descreva o espaço de resultados; b) Represente os acontecimentos: A: empate ; B: vitória do Benfica e C: vitória do Sporting. 2. Num determinado clube registaram-se, durante bastante tempo, as lesões dos seus desportistas. Chegou-se à conclusão que, ao longo de uma temporada, 20% dos desportistas tiveram lesões só no joelho, 40% só no tornozelo e 30% tiveram lesões no joelho e no tornozelo. a) Construa o diagrama de Venn que ilustra a situação descrita; b) Determine a probabilidade do acontecimento ter lesão no tornozelo ; c) Determine a probabilidade do acontecimento não ter lesão no joelho ; d) Determine a probabilidade do acontecimento não ter lesão no tornozelo nem ter lesão no joelho ; e) Os acontecimentos ter lesão no tornozelo e ter lesão no joelho são disjuntos? 3. Numa determinada universidade verificou-se que de entre os alunos do 1º ano: 51% estão inscritos em Análise 62% em Álgebra 40% em Probabilidades 28% simultaneamente em Análise e Álgebra 21% em Análise e Probabilidades 24% em Álgebra e Probabilidades 10% em Análise, Álgebra e Probabilidades a) Represente num diagrama de Venn os acontecimentos anteriores; b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso i) estar inscrito em Análise ou Álgebra; ii) só em Análise e Álgebra; iii) em pelo menos uma das cadeiras; iv) só em Probabilidades; v) não estar inscrito a nenhuma das cadeiras consideradas. 4. Sejam A, B e C três acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Exprima, em notação de conjuntos, as seguintes afirmações: a) pelo menos um dos acontecimentos ocorre; b) B não ocorre; c) apenas o acontecimento C ocorre; d) exactamente um dos acontecimentos ocorre; e) nenhum dos acontecimentos ocorre; f) não mais de dois acontecimentos ocorrem simultaneamente. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 1

2 5. Considere os acontecimentos A e B, e suponha que são conhecidas as seguintes probabilidades: P ( A) = x ; P ( = y e P ( A = z. Determine cada uma das probabilidades seguintes em termos de x, y e z : a) P( A ; b) P( A ; c) P( A ; d) P( A. 6. Sendo A, B e C acontecimentos tais que i) A B C = S ; ii) A B = = B C ; iii) P ( A) = 0,3; P( = 0,7 e P( = 0,5. Determine P( A. 7. Considere dois acontecimentos A e B tais que: P ( A) =, P( = e P( A = Calcule as seguintes probabilidades: a) P ( A/ ; b) P ( A / ; c) P ( A/ ; d) P ( B / A). 8. Sendo P ( A) = 0,5 e P( A = 0, 7, determine a probabilidade de ocorrência de B, quando: a) A e B são acontecimentos independentes; b) A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos; c) P ( A/ = 0, 5. Como relaciona o resultado obtido com a alínea a)? 9. Sejam A, B e C acontecimentos tais que: i) P ( A) = 2 / 3, P( = 1/ 5 e P( = 5/12; ii) C é independente de A e de B ; iii) A e B são mutuamente exclusivos. Calcule P( C /( A ). 10. Sendo P ( A) = 0, 4, P ( A = 0, 6 e P ( B / A) = 0, 3 determine a probabilidade de ocorrência de B. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 2

3 11. Considere os acontecimentos A, B e C, em relação aos quais se sabe que: i) A B C = S ; ii) A B = {}; iii) P ( A) = 0.4; P( = 0.3; P( A/ = 0.2; P( C ) = P ( A /( A. Desta forma, calcule ( ) 12. Considere os acontecimentos A, B e C, em relação aos quais se sabe que: i) A B C = S ; ii) A B = {}; iii) P( A) = 0.4; P( A/ = 0.2; P( C ) = 0.5; P ( A /( A ) = 5/ 7 Desta forma, calcule a probabilidade de ocorrência de B Quais das seguintes funções são funções massa de probabilidade? i) 0.2, x = 0 0.3, x = 1 = ii) 0.25, x = , x = , x = , x = 2 = iii) 0.1, x = 4 0.6, x = 6 0.2, x = 1 0.5, x = 0 = 0.1, x = 1 0.4, x = Quais das seguintes funções podem ser funções de distribuição de uma variável aleatória? Caso alguma seja f.d., caracterize a função massa ou densidade de probabilidade correspondente. i) 0, x < 2 1/ 4, 2 x < 2 F ( x) = 1/ 5, 2 x < 3 ii) 1/ 2, 3 x < 5 1, x 5 0, x 2 1/ 4, 2 < x 3 F ( x) = 1/ 3, 3 < x 4 iii) 1/ 2, 4 < x 5 1, x > 5 0, x < 2 1/ 4, 2 x < 2 F ( x) = 1/ 3, 2 x < 3 1/ 2, 3 x < 5 1, x Num determinado aparelho, a probabilidade de, em cada tentativa, se conseguir fazer uma leitura correcta da concentração de lactato no sangue é 0,9. Seja X a v.a. que representa o nº de tentativas necessárias até se conseguir uma leitura correcta. Determine: a) Os 3 primeiros termos para a f.m.p. de X; b) A expressão genérica da f.m.p. de X; c) A expressão da f.d. de X; d) A probabilidade de que sejam necessárias, no máximo, 4 tentativas para conseguir uma leitura correcta. e) A probabilidade de que sejam necessárias, no mínimo, 8 tentativas para conseguir uma leitura correcta. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 3

4 16. A massa muscular (em kg) de um desportista qualquer de uma determinada modalidade é uma variável aleatória (X) com a seguinte função densidade de probabilidade: kx, 0 x < 5 = k(10 x), 5 x < 10 0, x < 0 ou x 10 a) Determine k de forma a f(x) poder ser considerada a f.d.p. da v.a. X; b) Calcule a f.d. de X. 17. Considere a seguinte f.d.p.: 0, x < 2 k( x + 2) / 2, 2 x < 0 = k, 0 x < 2 k(3 x),2 x < 3 0, x 3 a) Determine k de forma a f(x) poder ser considerada uma f.d.p.; b) Calcule a f.d Considere a v.a. X contínua, com a seguinte f.d.p.: x, 0 < x < 2 = 2 0, a) Mostre que se trata efectivamente de uma f.d.p.; b) Deduza a expressão da f.d. de X; c) Calcule P(X1), P(1/4<X1/2) e P(X>3/2); d) Calcule ainda P(X<1/X]1/2,2[). 19. A v.a. X é caracterizada pela seguinte f.d.p.: 2 x, 1 < x 0 x, 0 < x 1 = 1/12, 1 < x 3 0, a) Mostre que se trata efectivamente de uma f.d.p.; b) Determine a expressão de F(x); c) Calcule P(X<1/2), P(X>-2/3) e P(1/2<X<2). 20. Diga, justificando cada caso, se as seguintes funções são f.m.p. ou f.d.p.: ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 4

5 0.3, se x = 4 0.3, se x = 3 i ) = 0.3, se x = 2 0.3, se x = 1 x / 4, se x iii ) = 0, [ 0,10] ii ) iv ) x / 2, se x = 0, 0.2, se x = 1 0.3, se x = 2 = 0.2, se x = 3 0.3, se x = 4 ] 0,2[ 21. Relativamente à pergunta anterior, indique, para as funções que são de facto f.m.p. ou f.d.p., os valores médios das variáveis aleatórias associadas. 22. Diga, justificando cada caso, se as seguintes funções são f.m.p. ou f.d.p.: 0.3, se x = 4 0.3, se x = 3 i ) = 0.3, se x = 2 0.3, se x = 1 2 x, se x ii ) = 9 0, ] 0,3[ iii ) iv ) x /10, se x = 0, 0.2, se x = 4 0.3, se x = 3 = 0.2, se x = 2 0.3, se x = 1 [ 0,5] 23. Relativamente à pergunta anterior, indique, para as funções que são de facto f.m.p. ou f.d.p., os valores médios das variáveis aleatórias associadas, bem como os respectivos desvios-padrão. 24. Diga, justificando cada caso, se as seguintes funções são f.m.p. ou f.d.p.: 0.1, se x = 2 0.2, se x = 1 ) = 0.3, se x = 0 0.4, se x = 1 2 ii ) = 3 0, i x, se x ] 2, 1[ 25. Relativamente à pergunta anterior indique, para as funções que são de facto f.m.p. ou f.d.p.: a) Os valores médios das variáveis aleatórias associadas, bem como os respectivos desvios-padrão. 3 b) P 2 X. 2 ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 5

6 26. Considere a variável aleatória X que representa o tempo, em horas, que uma pessoa demora até atingir um certo estado de fadiga numa determinada actividade. As respectivas funções densidade de probabilidade e distribuição são: x, se 0 x 2 f (x) = 2 0, 0, se x < 0 x 2 F(x) =, se 0 x 2 4 1, se x > 2 a) Considera que a pessoa a que a v.a. X se refere é um desportista de alta competição ou amador? b) Calcule: i) P X <1U X > 3 2 ii) P X > 3 / X 1, 3 2 ] ] c) Calcule o valor médio e o desvio padrão da variável aleatória X. 27. Considere a variável aleatória X que representa a distância, em Km, que uma pessoa corre diariamente. A função densidade de probabilidade de X é: x, se 0 x 8 f (x) = 32 0, a) Considera que a pessoa a que a v.a. X se refere é um desportista que corre regularmente ou ocasionalmente? b) Calcule: i) PX< ( 2U X > 5) ii) PX ( ] 2,7] / X > 5) c) Calcule a distância média que a pessoa em questão corre diariamente. 28. Considere a variável aleatória X que representa a distância, em km, que um desportista corre diariamente. A função densidade de probabilidade e a função distribuição de X são: 0, se x < 0 x, se 0 x <10 f (x) = 70?, se 10 x <14 0, se x 14 Calcule: a) P (X < 9 X > 12). b) P (X < 8/X]4; 10]). c) O valor esperado da variável aleatória X. 0, se x < 0?, se 0 x <10 F(x) = x x 35, se 10 x < , se x 14 ESTATÍSTICA Ficha de exercícios /2007 6