INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

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1 Área Cientifica Matemática Curso Electrotécnica º Semestre º Folha Nº3 Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é dada na guinte tabela: a) Calcule o valor de k b) Calcule P(X ), P(X<0), P(X 0) e P(X 0) c) Calcule P(X<3 X>) d) Calcule a função de distribuição F de X e) Reprente graficamente f e F 0 3 c c f() k k 3k k 0 A variável aleatória X tem função de probabilidade dada por f() = k/, para =, 3, 5, 5 a) Calcule o valor de k b) Calcule a função de distribuição F de X c) Reprente graficamente f e F d) Calcule P(X=5), P(3<X 5) e P(X 5) e) Calcule E(X) e V(X) 3 Seja X a variável aleatória discreta com a guinte função de distribuição t < - / - t < 0 F( t) = 3 / 0 t < t a) Calcule a função de probabilidade f de X b) Calcule: P(X=), P(X ), P(X>), P(X ), P(X<), P(0<X<), P(0<X ) e P( X ) c) Determine a esperança e a variância de X Página de 8

2 º Semestre º A variável aleatória X é caracterizada pela guinte função densidade de probabilidade (fdp), / 6 f ( ) = ( ) 6 0 a) Mostre que f é, efectivamente, uma fdp 0 b) Determine P(<X<), P(<X 3), P(X>3), P(X ) e P(X ) < < < 0 5 Seja X uma variável aleatória com a guinte fdp, f ( ) = / 0 a) Verifique que f é, efectivamente, uma fdp - < 0 0 < < < 3 b) Determine a função de distribuição F de X e calcule P(X</), P(X>- /3) e P(/<X<) c c 6 Suponha que o número de utilizações diárias de um certo computador, em determinada empresa, é uma variável aleatória X, com a guinte função de probabilidade a) Mostre que k = 6 [ X ] P = b) Calcule a função de distribuição de X k =,,3, =!, com k IR + 0 caso contrário c) Calcule o número médio de utilizações diárias de um computador e o respectivo desvio padrão 7 O proprietário de um carro deja vende-lo por 3750 euros e está a estudar a hipóte de fazer publicidade, que lhe custará 50 euros Se a probabilidade de ele o vender ao preço de 3750 euros m publicidade for de 05 e com publicidade for de 09, deve ou não anunciar a venda, sabendo que não o vender pelo preço que estipulou à partida, vendê-lo-á a um amigo por 350 euros Página de 8

3 º Semestre º 8 Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a guinte função densidade de probabilidade, + k + - < 0 f X () = + k 0 < 0 caso contrário a) Calcule o valor de k b) Determine a função de distribuição de X c) Sabe- que 75 % das peças produzidas aprentam uma medida com desvio inferior a m em relação à norma especificada pelo mercado Determine o valor de m 9 Seja X uma va que toma os valores {0,,, 3, }, com um valor desconhecido Sabendo que os valores de X são igualmente prováveis e que E(X) = 6, calcule 0 Considere uma va X cuja função de probabilidade é dada na tabela guinte 0 6 c c f() f(0) / f() /8 0 Sabendo que E(X) = 9/, calcule f(0) e f() Dois projectos de publicidade distintos, A e B, para um mesmo produto, estão a r comparados com ba na receita prevista com a venda do produto publicitado Os estudos de marketing concluíram que a receita, optando pelo projecto A, é de $3 milhões (de dólares) No entanto, a receita optando pelo projecto B é mais difícil de determinar Sabe- apenas que há uma probabilidade de 03 de a receita r igual a $7 milhões, e de 07 de a receita r apenas de $ milhões Qual dos dois projectos rá preferido, tendo em conta: a) As receitas médias obtidas para os dois projectos; b) A variabilidade aprentada pelas receitas nos dois projectos Página 3 de 8

4 º Semestre º Uma caia contém quatro bolas marcadas com os números,, 3, Etrai-, com reposição, bolas e X é a Semi-diferença entre o nº obtido na ª e ª bola Determine: a) A função de probabilidade e de distribuição de X; b) A esperança e o desvio padrão de X; c) V(3X + ) e V(0,5X - ) 3 Considere a guinte função de distribuição (fd) de uma va X, F( ) = 5 5 a) Calcule P(X</), P(X>/3) e P(/<X</3) utilizando F b) Deduza a função densidade de probabilidade de X c) Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão de X 0 0 < < O director de compras da empresa Baratinho, pretende definir uma política de aquisição de matéria prima para o próimo ano As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade de probabilidade: 0 < < k f( ) = 0 outros valores a) Calcule k b) Se quir que a probabilidade de ruptura da matéria-prima ja igual a 00, qual o nível de abastecimento que deve r asgurado diariamente? c) Suponha que ele resolveu manter um nível de stocks que lhe asgure que a probabilidade de ruptura é de 00 A administração propôs-lhe dar-lhe um prémio de 0 unidades monetárias (um) por cada dia em que não houves ruptura, mas cobrar-lhe uma multa de 500 um mpre que tal verificas Acha que é de aceitar? Justifique Página de 8

5 º Semestre º 5 O tempo, em gundos, que uma máquina demora a montar um conjunto de peças que constituem uma unidade é bem descrito por uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de probabilidade f é definida por 6 f()= ( a ), onde a é uma constante real 0 para ov a) Mostre que a =- ou a = b) Calcule o tempo médio que as unidades demoram a r montadas e o respectivo desvio padrão 6 O diâmetro, em mm, de uma peça produzida por determinada máquina é uma variável aleatória real X, cuja função de distribuição é definida por, F ( ) = 3a b < 0 0 < < < 3 3 a) Determine os valores das constantes a e b b) Deduza a função densidade de probabilidade de X c) De entre as peças cujo diâmetro é superior a 05 mm, calcule a percentagem de peças com diâmetro inferior a 5 mm 7 Uma máquina produz uma peça que é, no final, medida O instrumento de medição tem uma zona de indefinição entre e /3 Assim, o comprimento final das peças pode r descrito por uma variável aleatória X, com função densidade de probabilidade f () k = 0 0 < 3 < 0 ou > 3, k IR Página 5 de 8

6 º Semestre º d) Determine o valor de k e) Calcule a proporção de peças cujo comprimento está fora da zona de indefinição f) Cada peça é vendida por O custo de produção de cada peça é uma variável definida por + X, onde X é o comprimento final da peça produzida Qual o lucro médio por peça? 9 8 Seja X uma variável aleatória real cuja função densidade de probabilidade é definida por, ( + ) f () = 8 0 caso contrário a) Mostre que f é, efectivamente, uma densidade b) Calcule a função de distribuição de X c) Determine o valor de a, com a IR +, que verifica P(-a <X< a) = d) Considere a variável aleatória Y X = Calcule V(3Y+5) 9 Seja k IR + e f a função real de variável real definida por, + f ( ) = + k 0 < 0 0 < k > k a) Determine o valor de k para o qual f é a densidade de probabilidade de uma va X b) Mostre que { X> E(X) } é um acontecimento certo c) Calcule P[X k / 0<X<k Página 6 de 8

7 º Semestre º SOLUÇÕES a) k=/7; b)/7,0,/7,; c)3/; d) a) k=5/8; b) 3 a) 5 / F ( ) = 0 / 3 / - 0 f X () / / / / 7 F ( ) = 3 / 7 6 / 7 < 5 < 5 3 b) 0, 3/, /, /, 3/, 0, /, ¼; c)-/, 75 b)/6, 5/, 5/, 5/6, 5 b) 6 b) < 0 0 < < < 3 3 < 3 3 < 5 ;d)3/,3/,3/;e)5,875 < 3 / 3 + / 3 < 0 F ( ) = / + / 3 0 <, 0583, 0765, 0583 / + 9 / < 3 3 < / 6 < F ( ) = / 6 < 3 ; c), /8 3 < 7 Não deve fazer publicidade 8 k=0; b) 9 = F 0 ) = / ( + + / / + + / < < 0 ; c) m=093 0 < 3 Página 7 de 8

8 º Semestre º 0 f(0)=/, f()=/8 a) É preferível o projecto B; b) É preferível o projecto A a) -3/ - -/ 0 / 3/ f() /6 /6 3/6 /6 3/6 /6 /6 F ( ) = 0 / 6 3 / 6 6 / 6 0 / 6 3 / 6 5 /6 < 3 / 3 / < < / / < 0 ; b) 0, 07906; c)565, < / / < < 3 / 3 / < 3 a)0875, 0539,073; b) f ( ) = ; c) /3, 0037, o v a) k= b) 7 toneladas c) Não deve aceitar 5 b)5, < 0 > 3 6 a) a=0, b=3; b) / 0 < < f ( ) = ; c)7/5 / < < / + 3 / < < 3 7 k=; b)66,7%; c)3 0 < F < ; c) a=; d) 8 b) ( ) = / 8( / + + ) 9 a) k=/; c) ¾ Página 8 de 8