Probabilidades e Estatística

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1 Departamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LEGM, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ 2 o semestre 2/22 o TESTE (Época de Recurso 25/6/22 9: Duração: hora e 3 minutos Justifique convenientemente todas as respostas! Grupo I valores. Numa dada experiência aleatória, sejam A e B dois acontecimentos independentes, tais que (2. P (A P (B /2. Calcule P [A (A B]. Eventos A, B : { P (A P (B 2 A B P (A B P (A P (B Probabilidade pedida P [A (A B] 2 3. P [A (A B] P (A B P (A P (A B P (A P (A + P (B P (A B Um jardineiro efectua uma sementeira de um determinado número de sementes calibradas de uma espécie de plantas. Por experiência, o jardineiro sabe que cada semente não germina com probabilidade.2, independentemente do que acontece com as restantes sementes. (a Se o jardineiro usar 2 sementes, qual é a probabilidade de menos de 4 não germinarem? (2.5 X número de sementes não germinadas, em 2 usadas Distribuição de X Supondo que as sementes germinam de forma independente, a v.a. X corresponde ao número de sucessos em n provas de Bernoulli i.i.d., pelo que X Binomial(n, p Parâmetros n 2 p P (semente não germinar.2 Prob. pedida P (X < 4 P (X 3 F Bin(2,.2 (3 tabela.44. Página de 8

2 Alternativa Prob. pedida P (X < 4 P (X 3 3 ( 2.2 x (.2 2 x x x.44. (.3 (b Qual é o menor número de sementes que o jardineiro deve semear para que, com probabilidade (.5 superior a 5%, pelo menos 3 sementes não germinem? X n número de sementes não germinadas em n usadas Distribuição de X n X n Binomial(n,.2 Obtenção do parâmetro n n : P (X n 3 >.5 P (X n 2 >.5 F Bin(n,.2 (2 <.5.5. Ora, ao pesquisar a tabela da função de distribuição da binomial, em particular a coluna correspondente a p.2, conclui-se que: F Bin(n,.2 (2 é uma função monótona decrescente de n; F Binomial(3,.2 (2.57; F Bin(4,.2 (2.448 e F Bin(n,.2 (2 <.5, para n 4. Conclusão O valor mínimo de n que satisfaz a condição P (X n 3 >.5 é n A distribuição de probabilidade do montante (em euros associado a um tipo de transacção efectuado via cartão de crédito por clientes individuais de um banco é função do tipo de vínculo forte ou fraco do cliente ao banco. Para clientes com vínculo forte ao banco essa distribuição é exponencial com valor médio de 5 euros, enquanto que para clientes com vínculo fraco ao banco a mesma é exponencial com valor médio de 75 euros. Considere que 5% das transacções do tipo referido são realizadas por clientes com vínculo forte ao banco. (a Sabendo que um cliente com vínculo forte ao banco realizou uma transacção do tipo referido de (2. valor superior a 9 euros, qual é a probabilidade do montante dessa transacção exceder 8 euros. X montante da transacção Outra v.a. Considerando o evento F cliente com vínculo forte ao banco, pode definir-se a v.a.: X F montante da transacção, sabendo que foi efectuada por cliente com vínculo forte Distribuição de X F X F Exponencial(λ F Parâmetro λ F : E(X F 5 λ F 5 λ F 5 F.d.p. de X F f X F (x 5 e x 5, x Página 2 de 8

3 Probabilidade pedida Atendendo a que a f.d. de X F é igual a F X F (x P (X x F x x ( e x 5 f X F (t dt 5 e t 5 dt x e x 5, x, tem-se P (X > 8 X > 9, F P (X > 8, X > 9 F P (X > 9 F P (X > 8 F P (X > 9 F F X F (8 F X F (9 ( e 8 5 ( e 9 5 e e 9 5 e Alternativa Probabilidade pedida P (X > 8 X > 9, F P (X > 8, X > 9 F P (X > 9 F P (X > 8 F P (X > 9 F 8 5 e t 5 dt 9 5 e t 5 dt ( e x 5 ( e x 5 e 8 5 e 9 5 e 9 5 e Alternativa 2 Probabilidade pedida Invocando a falta de memória da distribuição Exponencial tem-se: P (X > 8 X > 9, F P (X > 8 9 F 9 P (X > 9 F 9 5 e t ( e x 5 e 9 5 e dt Página 3 de 8

4 (b Sabendo que um cliente realizou uma transacção do tipo mencionado de valor superior a 9 euros, (2. qual é a probabilidade de esse cliente ter vínculo forte ao banco? Outra v.a. Considerando o evento F cliente com vínculo fraco, pode definir-se outra v.a.: X F montante da transacção, sabendo que foi efectuada por cliente com vínculo fraco Distribuição de X F X F Exponencial(λ F Parâmetro λ F : E(X F λ F λ F 75 Probabilidade pedida Aplicando o teorema de Bayes, tirando partido das duas distribuições condicionais ao vínculo e do facto de P (X > 9 F e 9 75 e.2 P (F P ( F.5, obtém-se: P (F X > 9 P (X > 9 F P (F P (X > 9 P (X > 9 F P (F P (X > 9 F P (F + P (X > 9 F P ( F e.6.5 e e.2.5 e.6 e.6 + e Grupo II valores. Seja X (respectivamente, Y o tempo em minutos entre chegadas sucessivas de mensagens electrónicas a um servidor A (respectivamente, B. Considere que (X, Y é um par aleatório contínuo com função de densidade de probabilidade conjunta f X,Y (x, y { 2 e ( x +y 2, x, y >, caso contrário. (a Determine o valor esperado do tempo que decorre entre chegadas sucessivas de mensagens (2.5 electrónicas ao servidor B. Par aleatório X tempo em minutos entre chegadas sucessivas de mensagens electr. a um servidor A Y tempo em minutos entre chegadas sucessivas de mensagens electr. a um servidor B F.d.p. conjunta { de (X, Y f X,Y (x, y 2 e ( x +y 2, x, y >, caso contrário. Página 4 de 8

5 F.d.p. marginal de Y f Y (y e y e y f X,Y (x, y dx 2 e ( x +y 2 dx e y, y > 2 e x 2 dx f Exp(/2 (x dx ou e y ( e x 2 Valor esperado de Y A consulta do formulário permite-nos concluir que Y Exponencial(λ, logo E(Y form. λ Alternativa Valor esperado de Y E(Y y f Y (y dy y e y dy ( y e y + + ( e y e y dy (.2 Alternativa 2 F.d.p. marginal de Y e valor esperado de Y E(Y y f X,Y (y dx dy y 2 e ( x 2 +y dx dy y e y ( 2 e x 2 dx dy y e y ( e x 2 dy y e y dy ( y e y + + ( e y e y dy (b Calcule P (X < Y. Probabilidade pedida P (X < Y P ( (X, Y {(x, y IR 2 : x < y} y y f X,Y (x, y dx dy 2 e ( x +y 2 dx dy ( y e y 2 e x 2 dx dy e y ( e x 2 y dy (2. Página 5 de 8

6 ( e y e y 2 dy ( e y e 3y O número de horas de sol descoberto, numa cidade do litoral, num dia aleatório do mês de Julho é uma variável aleatória X de valor esperado 9 horas e desvio padrão 2 horas. Admita-se que os números de horas de sol descoberto, nessa cidade, nos 3 dias do mês de Julho são variáveis aleatórias independentes. (a Calcule um valor aproximado para a probabilidade de essa cidade ter no total mais de 3 horas (3. de sol descoberto no mês de Julho. X i no. de horas de sol descoberto no i ésimo dia de Julho nessa cidade, i,..., 3 Distribuição, valor esperado e variância de X i i.i.d. X i X, i,..., 3 E(X i E(X µ 9 V (X i V (X σ Nova v.a. S 3 i X i no. total de horas de sol descoberto durante o mês de Julho nessa cidade Valor esperado ( e variância de S 3 E(S E i X i 3 i E(X i Xi X 3 E(X ( 3 V (S V i X Xi indep. i 3 i V (X i Xi X 3 V (X Distribuição aproximada de S Pelo Teorema do Limite Central (TLC pode escrever-se n S E(S i X i nµ a Normal(,. V (S nσ 2 Prob. pedida valor aproximado [ ] S E(S 3 E(S P (S > 3 P V (S V (S [ ] S E(S P V (S 24 T LC ( Φ 24 Φ(.89 tabela (b A família A passa férias nessa cidade nos primeiros 4 dias do mês Julho e a família B nos (2.5 últimos 6 dias do mesmo mês. Admitindo que X tem distribuição normal, calcule a probabilidade de a família A usufruir de pelo menos o dobro do número de horas de sol descoberto usufruídas pela família B durante as respectivas férias nessa cidade. X i no. de horas de sol descoberto no i ésimo dia de Julho nessa cidade, i,..., 3 Distribuição, valor esperado e variância de X i i.i.d. X i X Normal(µ, σ 2, i,..., 3 Página 6 de 8

7 E(X i E(X µ 9 V (X i V (X σ Novas v.a. S A 4 i X i no. de horas de sol descoberto durante as férias da família A S B 3 i26 X i no. de horas de sol descoberto durante as férias da família B Distribuições de S A e S B Tratando-se S A e S B de somas de v.a. independentes com distribuição normal, tem-se: S A Normal(E(S A, V (S A ; S B Normal(E(S, V (S B. Parâmetros ( de S A e S B 4 E(S A E i X i ( 4 V (S A V i X i ( 3 E(S B E i26 X i ( 3 V (S B V i26 X i Probabilidade pedida Importa notar que a probabilidade pedida é igual a P (S A 2 S B P (S A 2 S B P (S A 2 S B <. É, pois, conveniente lidar com a v.a. S A 2 S B, que não passa de uma combinação linear de duas v.a. independentes com distribuição normal logo também normalmente distribuída: S A 2 S B normal(e(s A 2 S B, V (S A 2 S B, onde E(S A 2 S B E(S A 2 E(S B V (S A 2 S B V (S A V (S B Conclui-se que P (S A 2 S B P (S A 2 S B < [ ] E(S A 2 S B Φ V (SA 2 S B ( 8 Φ 52 Φ(.46 Φ(.46 tabela Alternativamente, usando a máquina de calcular: P (S A 2 S B P (S A 2 S B < F N(8,52 ( Alternativa Probabilidade pedida Importa notar que a probabilidade pedida é igual a ( 4 3 P (S A 2 S B P X i 2 X i P i ( 4 X i 2 i i26 3 i26 X i < É, pois, conveniente lidar com a v.a. T 4 i X i 2 3 i26 X i, que não passa de uma combinação linear de v.a. independentes com distribuição normal logo também normalmente distribuída: T normal(e(t, V (T, onde E(T 4 i E(X i 2 3 i26 E(X i 4µ 2 6µ 8 V (T 4 i V (X i i26 V (X i 4σ σ Página 7 de 8.

8 Conclui-se que P (S A 2 S B P (T < [ ] E(T Φ V (T ( 8 Φ 52 Φ(.46 Φ(.46 tabela Alternativamente, usando a máquina de calcular: P (S A 2 S B P (T < F N(8,52 ( Página 8 de 8