Pr = 6 = = = 0.8 =

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1 IND 5 Inferência Estatística Semestre Teste 05/0/004 GABARITO Problema (5 pontos) Uma gulosa professora de estatística é fissurada por trufas de chocolate. Em busca da trufa ideal, ela vai provando chocolates de maneira independente. A probabilidade dela gostar de uma trufa que prova é 80%. Ela decide passear por um shopping, provando todas as trufas que encontra, e decide parar só ao encontrar a 5a. trufa maravilhosa (para desespero da balança que tem em casa!). Qual a probabilidade dela ter que: a) Provar 6 trufas até encontrar a 5a. trufa maravilhosa? b) Ter que sofrer, provando 0 trufas, até encontrar a 5a. trufa maravilhosa? c) Na média, quantas trufas ela vai ter que provar até encontrar a 5 a. trufa maravilhosa? O modelo indicado é Binomial Negativo com r = 5 e p =0.8 pois ela só pára quando encontra a 5 a. trufa maravilhosa. Seja X o número de tentativas (trufas consumidas) até encontrar a 5 a. trufa maravilhosa Pr = 6 = = = 0.8 = a) ( X ) Pr = 0 = = b) ( X ) c) A média de uma variável Binomial Negativa é r/p, neste caso, 5/0.8 = 6.5. Problema (5 pontos) Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade Poisson com média λ, isto é: x λ λ. e Pr ( X = x) = onde x = 0,,,... x! Encontre a função geradora de momentos de X e, a partir dela, mostre que E(X) = λ. Dica: expansão de Taylor da exponencial. Mônica Barros - 05/0/004

2 x λ t λ e ( λe λ ) x= 0 x= 0 ( λ ) ( λ λ ) λ M () t = E e = e = e = e.exp e = exp + e x! x! x tx tx t t A primeira derivada da função geradora de momentos é: dm () t d { e λ.exp( e t) } e λ t t = λ = λ e exp( λ e ) dt dt dm () t λ 0 0 λ + λ = e λe exp ( λe ) = e. λ. e = λ = E( X) dt t = 0 Problema 3 (0 pontos) Você trabalha numa empresa de consultoria. Apenas 0% dos projetos apresentados resultam num contrato. Calcule as seguintes probabilidades: a) De que o primeiro contrato acontecerá no 4 o. projeto apresentado. b) De que o 3 o. contrato fechado acontecerá no 6 o. projeto apresentado. c) Se você faz exatamente 5 apresentações de projeto num mês, qual a probabilidade de fechar contratos? d) Quais são os modelos probabilísticos usados nos itens a), b) e c) basta escrever os nomes e os valores dos parâmetros. a) Neste caso X representa a tentativa (ou apresentação) em que ocorre o o. fechamento de contrato e X é uma variável Geométrica com probabilidade p = 0.. Logo: 3 Pr X = 4 = = b) Aqui a variável de interesse é o número de apresentações até que o 3 a. contrato seja fechado, ou seja, trata-se de uma variável Binomial Negativa com parâmetros r = 3 e p = Pr ( X = 6) = ( 0.9) ( 0.) = c) Neste caso o número de chamadas é fixo a priori e portanto temos uma variável Binomial. X aqui representa o número de apresentações que resultaram em contratos fechados dentre as 5 apresentações realizadas num mês. Então X é Bin(n = 5, p = 0.). 5 3 Pr ( X = ) = ( 0.) ( 0.9) = d) Os modelos são, respectivamente, Geométrica(p = 0.), NegBinomial (r = 3, p = 0.) e Binomial (n = 5, p = 0.). Mônica Barros - 05/0/004

3 3 Problema 4 (30 pontos) Fez-se uma pesquisa de preços de roupas masculinas num shopping center. Uma amostra dos produtos existentes revela que o preço das calças é uma variável Normal com média R$ 80 e desvio padrão R$ 30. O preço das camisas é, por sua vez, uma variável Normal com média R$ 60 e desvio padrão R$ 5. A correlação entre os preços de calças e camisas é 0.6. Calcule as seguintes probabilidades: a) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95. b) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 75 nesta loja. c) De um par de calças custar entre R$ 60 e R$ 95 sabendo que uma camisa custa R$ 50 nesta loja. d) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças é R$ 00? e) Qual é a distribuição condicional dos preços das camisas sabendo que o preço das calças é R$ 70? f) Escreva a média condicional dos preços das camisas como função de x, o preço das calças na loja. Seja X o preço ds calças. Então X é N(80, (30) ) X a)pr( 60< X < 95) = Pr < < = = Pr < Z < =Φ Φ =Φ +Φ + = = = b) Sabe-se que, se X e X tem densidade Normal bivariada N( µ, µ, ρ, σ, σ ) então: σ ( X X = x)~ N µ + ρ.. x µ, σ. ρ σ Neste caso: 30 ( X X = 75) ~ N ( ),(30).( 0.6 ) = ,(30).(0.64) (90.8,(30).(0.64)) (90.8,(4) ) = N + = N = N Mônica Barros - 05/0/004

4 Pr ( 60 < X < 95 X = 75) = Pr < Z < = 4 4 = Pr.833 < < 0.75 =Φ 0.75 Φ.833 =Φ Φ = ( Z ) = = c) Neste caso: 30 ( X X = 50) ~ N ( ),(30).( 0.6 ) = 5 = N = 80 7.,(30).(0.64) N(7.8,(4) ) Pr ( 60 < X < 95 X = 50) = Pr < Z < = 4 4 = Pr < < 0.95 =Φ 0.95 Φ =Φ Φ = ( Z ) = = d) A densidade condicional de X dado X é : σ ( X X = x)~ N µ + ρ.. x µ, σ. ρ σ Se o preço das calças é R$ 00 então: 5 ( X X = 00) ~ N , = N 70, e) Se o preço das calças é R$ 70 então: 5 ( X X = 00) ~ N , = N 55, f) A média condicional do preço das camisas como função do preço das calças é: 5 x EX ( X = x) = ( x 80) = 60 + ( x 80) = Problema 5 (0 pontos) Um computador gera 8 números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo (0,). a) Calcule a probabilidade de que o menor destes números será menor que 0.. b) Calcule o valor esperado do menor destes números. c) Encontre a densidade do maior destes 8 números. d) Encontre o valor esperado do maior destes 8 números. e) Calcule a probabilidade de que o maior destes números exceda 0.8. Mônica Barros - 05/0/004

5 5 Dica: você pode citar resultados dos slides, ao invés de demonstrar explicitamente todos os passos necessários aqui. Teorema Sejam X, X,..., X n variáveis aleatórias independentes com densidade Unif(0,). Seja Y r o r-ésimo maior número dentre os valores observados de X, X,..., X n. Então Y r tem densidade Beta com parâmetros r e n r +. a) A densidade do menor dos 8 números é uma Beta com parâmetros e 8. Isto é, se Y denota este número temos: Γ( 9) 8 8! 7 7 f ( y) = y ( y) = ( y) = 8( y) onde 0<y< Γ. Γ 8 0!7! () () A probabilidade deste número ser menor que 0. é: 0. Pr{ Y < 0.} = ( ) y dy Faça a mudança de variável: t = - y dt = -dy e se y 0., t 0.9 e se y 0, t. Logo: Pr{ Y < 0.} = 8t ( dt) = 8 t dt = t = ( 0.9) = b) Calcule o valor esperado do menor destes números. Y é Beta (,8) e portanto seu valor esperado é /(+8) = /9 = 0. c) A densidade do maior destes números é, pelo teorema, Beta(8,). d) Seja W o maior destes 8 números. Então E(W) = 8/(+8) = 8/9 = e) Pr(W > 0.8) =? A densidade de W é: Γ () Γ( ) 9 8 8! 7 7 f w = w w = w = 8 w onde 0<w< Γ. 8 0!7! Mônica Barros - 05/0/004

6 6 7 8 Pr(W > 0.8) = wdw w = = 0.8 = Mônica Barros - 05/0/004

7 Tabela Função de Distribuição N(0,) 7 z Φ(z) z Φ (z) z Φ (z) 0, ,00%, ,3%,05 97,79% 0, %, % % 0, % % % 0, % % % 0,0500 5,99%, ,3% % 0,000 53,98%, ,44% % 0,500 55,96%,000 86,43%,000 98,% 0,000 57,93%,80 86,8%,000 98,6% 0,36 58,85%,475 87,44%,36 98,73% 0,500 59,87%,500 87,49%, ,93% 0,3000 6,79%,553 87,60%,363 99,00% 0,305 6,85%,000 88,49%, ,0% 0, ,59%,060 88,6%, ,8% 0,349 63,65%,00 88,88%, ,38% 0, ,68%,500 89,44%, ,46% 0, ,54% %,568 99,48% %,86 90,00%, ,53% 0, ,67%, ,3%, ,60% 0, ,36%, ,88%, ,6% 0, ,5%, %, ,64% 0, ,88%,4000 9,9%, ,65% 0, %,4468 9,60% % 0,6000 7,57%,4500 9,65%, ,74% 0,650 73,40%, ,3%, ,8% 0, ,%, ,94%, ,84% 0, ,75%,58 94,3% 3, ,87% 0, ,88%, ,5% 3,000 99,90% 0, ,80%, ,00% 3,500 99,9% 0, ,34%, ,% 3,000 99,93% 0, ,8%, ,54% 0, %, ,4% 0, ,3% % %, ,3% 0,8944 8,45% % 0,9000 8,59%, ,50% 0,967 8,03%, ,6% 0,9500 8,89%, ,7% 0,9500 8,89%,000 97,78% 0, ,5%,000 97,78% 0, ,65% 0, ,89% Mônica Barros - 05/0/004