GABARITO DO 2 a CHAMADA ET101 (2017.2)

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1 GABARITO DO 2 a CHAMADA ET101 (2017.2) 1) (a) Para o evento: nenhuma das máquinas esteja operacional escreve-se: A c 1 Ac 2 Ac 3. Deseja-se avaliar P (A c 1 Ac 2 Ac 3 ). Como A 1 A 2 A 3 são independentes, também o são A c 1 Ac 2 Ac 3, resultando: P (A c 1 A c 2 A c 3) = P (A c 1).P (A c 2).P (A c 3) = (1 p 1 )(1 p 2 )(1 p 3.) (b) Para o evento: pelo menos uma das máquinas esteja quebrada escreve-se como o complementar de todas as máquinas funcionando: 1 P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 p 1.p 2.p 3. (c) (esse item foi apagado no enunciado da prova, para simplificar). Para o evento: pelo menos uma das máquinas esteja operacional escreve-se A 1 A 2 A 3 (ou a 1a ou a 2a ou a 3a operando). P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 P [(A 1 A 2 A 3 ) c ]. Pelas leis de De Morgan, segue-se P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 P [A c 1 Ac 2 Ac 3 ]. Pela independência estatística dos eventos complementares, P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 P [A c 1 Ac 2 Ac 3 ]. P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 (1 p 1 )(1 p 2 )(1 p 3 ). 2) (a) Foram dados: P (Haskell) = 0.8 e P (C) = 0.2. Além disso, P (compilar C) = 0.2 e P (compilar Haskell) = 0.4. Compilar aqui denota compilar na primeira tentativa. Para avaliar a probabilidade que um programa selecionado aleatoriamente compile, usa-se a lei das probabilidades totais: P (compilar) = P (compilar, C) + P (compilar, Haskell). Note que se trata de uma partição. Logo P (compilar) = = 0.24 (resposta 24%). (b) Avaliar P (Haskell compilar), pela Regra de Bayes, P (Haskell compilar) = O denominador foi avaliado no item a precedente: P (Haskell compilar) = P (Haskell).P (compilar Haskell). P (compilar) /3 (resposta 33%.) 3) (a) Selecionado um turno de 8h, tem-se λ = 0.02 insucessos h.8 h = 0.16 insucessos. E(X) = 0.16 e X P oi(0.16). Assim, P (X = k) = 0.16k e k! 1

2 Não falhar corresponde à condição P (X = 0) = e (resposta 85%) (b) Selecionando o período de um dias, chega-se a: λ = 0.02 insucessos h.24 h = 0.48 insucessos. E(X) = 0.48 e X P oi(0.48). No mínimo um insucesso corresponde a avaliar: P (X 1) = P (X = i) = 1 P (X = 0). i=1 Não confundir com P (X = 0) avaliado no item anterior, pois o valor de λ não é o mesmo! P (X 1) = 1 e (resposta 38%) 4) Dado que R N(µ, σ = 3). Amostras X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 são Calcula-se os estimadores pontuais X e s: X = e s = (a) Para encontrar o intervalo de confiança sobre a média, usaremos: IC(µ, 95%) = ( X Z α/2 σ n, X + Z α/2 σ n ) O acumulado no intervalo (, Z α/2 ] é 0.975, então Z α/2 = φ 1 (0.975) = O resultado é IC = (90.48 ± ) IC(µ, 95%) = [87.85, 93.11] Aqui, explora-se o conhecimento que a distribuição é normal e o conhecimento do desvio padrão da população. (b) Usar-se-á: IC(µ, 95%) = ( X s t α/2;n 1, X s + t n α/2;n 1 ) n Agora adota-se t 0.025;4 = (vide tabela t), e, portanto: IC = ± IC(µ, 95%) = [89.05, 91.91] Comparativamente, o IC usando o dado de desvio populacional é mais largo, e se a amostra fornece um desvio de s = 1.15 (no lugar de σ = 3, quase três vezes menor), os resultados com IC são mais curtos. 5) Tem-se µ 0 = 90 e σ =

3 Calcula-se os estimadores pontuais (estatística dos dados): X e s: X = e s = (a) Hipóteses H 0 : µ = 90 minutos H 1 : µ > 90 minutos Portanto, teste monocaudal à direita. RC = { X X > µ CRIT }, σ A solução pode adotar a estatística Z, e definir: µ CRIT = µ 0 + z 0.05 n, o que implica em (z = φ 1 (0.95) = 1.65): µ CRIT = = Assim, ao nível de significância α = 0.05, a região crítica é definida por: RC = { X X > 91.43}. É mostrada aqui também outra solução quando não se usa o desvio padrão da população (dado s no enunciado), mas considerando o desvio amostral: µ CRIT = µ 0 + t 0.05;11 n. O valor de t CRIT = t 0.05;11 = (consultando a tabela t). Tem-se µ crit = = Assim, ao nível de significância α = 0.05, a nova região crítica é definida por: RC = { X X > }, (b) Encontrou-se X = Como X RC, conclui-se que há evidências para refutar H 0 com base nos dados apresentados. Pode ser concluído que, no nível de 5%, há aumento no tempo de permanência portanto, é recomendável para o proprietário adotar a estratégia. ALTERNATIVA O teste poderia ser conduzido apenas com a estatística z. O valor de z é: z calc = / 12 = Tem-se z crit = 1.65 e como z calc > z CRIT (18.09>1.65), então H 0 pode ser refutada ao nível de 5%. O teste poderia ser conduzido (no caso em que o desvio padrão da população não é fornecido) apenas com a estatística t. O valor de t é: t calc = / 12 = Tem-se t = 3.101, df = 11, e valor-p= Como t calc > t CRIT (3.101>1.7959), então H 0 pode ser refutada ao nível de 5%. 3

4 questão 4a: Use Wolframalpha z: confidence interval mean Figura 1: Intervalo de confiança para média via Wolframalpha. 4

5 questão 4b: Use Wolframalpha t: confidence interval mean Figura 2: Intervalo de confiança para média via Wolframalpha. 5

6 Use Wolframalpha: t test mean Figura 3: teste de hipóteses H 0 H 1. 6