Probabilidades e Estatística MEEC, LEIC-A, LEGM

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1 Departamento de Matemática Probabilidades e Estatística MEEC, LEIC-A, LEGM Exame a Época / o Teste (Grupos III e IV) o semestre 009/00 Duração: 80 / 90 minutos /06/00 9:00 horas Grupo I Exercício 5 valores Quadro de eventos e probabilidades Evento Probabilidade Prob. pedida E existência de anti-corpos P (E) 0. D detecção de anti-corpos P (D)? D E detecção de anti-corpos dada a existência de anti-corpos P (D E) 0.99 D Ē não detecção de anti-corpos dada a inexistência de anti-corpos P ( D Ē) 0.8 Aplicando o teorema da probabilidade total (fazendo uso da partição E, Ē}), tem-se P (D) P (D) P (D E)P (E) + P (D Ē)P (Ē) ( 0.8) (b) Prob. pedida Aplicando desta feita o teorema de Bayes, tem-se P (Ē D) P ( D Ē)P (Ē) P ( D) P ( D Ē) [ P (E)] P (D) 0.8 ( 0.) Exercício V.a. X tempo (em segundos) entre chamadas consecutivas recebidas na linha SAÚDE 4 Distribuição de X X Exponencial(λ) Parâmetro λ : E(X) 30 λ 30 λ 30 F.d.p. de X f X (x) 30 exp 30, x 0 Página de

2 Moda de X Uma vez que f X (x) é uma função decrescente em IR + pode afirmar-se que: mo mo(x) : f X (mo) sup x IR f X (x) Mediana de X mo 0 me me(x) : F X (me) me 30 e t/30 dt Probabilidade pedida 0 e me/30 me 30 ln() me P (X > 60) F X (60) + 60 e 60/30 e e t/30 dt (b) Nova v.a. Y número de chamadas num intervalo de tempo de segundos Distribuição de Y Estando a lidar-se com tempos entre chamadas consecutivas, considerados independentes e com distribuição exponencial de parâmetro λ 30, pode afirmar-se que F.p. de Y Y Poisson(300 λ 0) P (Y y) e 0 0 y, y 0,,,... y! Probabilidade pedida P (Y 0) e ! 0.50 Probabilidade pedida cálculo alternativo por recurso às tabelas P (Y 0) F P oisson(0) (0) F P oisson(0) (9) tabela Página de

3 Grupo II Exercício 5 valores V.a. X peso (em g) de um pacote de flocos de cereais Distribuição de X X Uniforme(a, b) F.d.p. de X f X (x) b a, Parâmetros (a, b) : a x b V (X) P (X < 500) 0.05 (b a) 500 a dx 0.05 b a 500 a 0.05 a b a Valor esperado de X E(X) a + b (b) V.a. X i peso do i ésimo pacote, i,..., 00 Distribuição de X i X i i.i.d. X, i,..., 00 X Uniforme(499.4, 5.4) Valor esperado e de variância X i E(X i ) V (X i ) Nova v.a. Y 00 i X i peso total dos 00 pacotes Valor esperado e variância de Y E(Y ) V (Y ) Distribuição aproximada de Y Pelo Teorema do Limite Central (TLC) pode escrever-se Y E(Y ) V (Y ) a Normal(0, ). Página 3 de

4 Valor aproximado da probabilidade pedida P (Y > 000) P (Y 000) T LC Φ Φ(.45) tabela ( ) Valor aproximado da probabilidade pedida alternativa com E(X) e E(Y ) 000 ( ) T LC P (Y > 000) Φ 400 Φ(.04) tabela Exercício Par aleatório (X, Y ) X quantidade de matéria prima que uma fábrica recebe no início de cada semana (em toneladas) Y quantidade da mesma matéria prima que é efectivamente gasta na produção ao longo da semana (em toneladas) F.d.p. marginal de X 5x 4, 0 < x < f X (x) F.d.p. de Y condicional a X x} f Y Xx (y) 3y x, 3 0 < y < x F.d.p. conjunta de (X, Y ) Como f Y Xx (y) f X,Y (x,y) f X (x), se f X (x) 0 segue-se f X,Y (x, y) f Y Xx (y) f X (x), 3y x 3 5x 4 5xy, 0 < y < x < F.d.p. marginal de Y f Y (y) + Probabilidade pedida f X,Y (x, y) dx ( y 5xy dx 5y ) x 5y ( y ), 0 < y < y P (Y 0.9) 0 (y y 4 ) dy 5 ( ) y 3 3 y Página 4 de

5 Probabilidade pedida outra interpretação do enunciado P (Y 0.9X) 0.9x x x x y dy dx x 4 dx (b) Nova v.a. Z X Y quantidade de matéria prima que não é empregue na produção durante uma semana Valor esperado de X E(X) + 0 x f X (x) dx x 5x 4 dx ( ) 5x 6 6 y 5 6 Valor esperado de Y E(Y ) + y f Y (y) dy y 5y ( y ) dy 0 5 ( ) y 4 4 y6 6 y 5 ( 4 ) Valor esperado de Z E(Z) E(X Y ) E(X) E(Y ) Página 5 de

6 Grupo III Exercício 5 valores V.a. de interesse X F.d.p. de X f X (x) form λ e λx, x 0 Parâmetro desconhecido λ (λ > 0) Amostra x (x,..., x n ) amostra de dimensão n proveniente da população X n i x i 95 Obtenção da estimativa de MV de λ Passo Função de verosimilhança X i indep n L(λ x) f Xi (x i ) X i X i n ) (λ e λ x i i λ n e λ P n i xi, λ > 0 Passo Função de log-verosimilhança ln L(λ x) ln (λ n e P ) λ n i xi n ln(λ) λ n Passo 3 Maximização A estimativa de MV de λ é aqui representada por ˆλ e d ln L(λ x) dλ 0 (ponto de estacionaridade) λˆλ ˆλ : d ln L(λ x) dλ < 0 (ponto de máximo) λˆλ ṋ λ ˆλ i x i 0 i ṋ λ i x i < 0 ˆλ P n n i xi x x i Proposição verdadeira já que λ > 0 e i x i > 0 Passo 4 Estimador de MV de λ Será representado pela v.a. EMV (λ) X. Note-se que este resultado poderia ter sido facilmente encontrado argumentando que X possui distribuição exponencial de parâmetro λ. Página 6 de

7 (b) Estimativa de MV de λ Para esta amostra tem-se: ˆλ x Exercício Outro parâmetro desconhecido h(λ) P (X < 0.5) e λ x λ e λx dx e 0.5 λ Estimativa de MV de h(λ) Invocando a propriedade de invariância dos estimadores de máxima verosimilhança, pode concluirse que a estimativa de MV de h(λ) é ĥ(λ) h(ˆλ) e 0.5 (ˆλ) V.a. de interesse X tempo entre emissões sucessivas de partículas de um material radioactivo Situação X Exponencial(λ) λ desconhecido n suficientemente grande (n 00 > 30) Hipóteses H 0 : λ λ 0 0. vs. H : λ λ 0 Nível de significância α 0 % [Observação Comece-se por notar que: E( X) E(X) λ V ( X) V (X) n n λ < +. Então, de acordo com o TLC, pode afirmar-se que Z X E( X) V ( X) X λ n λ n (λ X ) a Normal(0, ). Substituindo λ por λ 0 na expressão desta v.a. fulcral, obtemos a seguinte estatística de teste com distribuição aproximada conhecida sob H 0.] Página 7 de

8 Estatística de teste T ( ) X n (λ 0 X ) 0 5 X 0 a H0 Normal(0, ) Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratando-se de um teste bilateral, a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é uma reunião de intervalos do tipo W (, c) (c, + ), onde c : P (Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., Decisão c Φ ( α 0 /) Φ (0.99) tabela.363. Dado que o valor observado da estatística de teste é igual a ( x ) t 0 5 ( ) 65/ W (,.363) (.363, + ), conclui-se que devemos rejeitar H 0 ao n.s. α 0 %. (b) Probabilidade pedida Se E(X) 8 então X Exponencial(λ /8), pelo que Logo: n (λ X ) 0 8 X 0 a λ/8 Normal(0, ) P [Rejeitar H 0 E(X) 8] P ( T >.363 λ /8) P (.363 X λ /8) P ( X λ /8) ( 0 0 P < 8 8 X 0 < 0 8 [Φ(.30) Φ( 5.0)] Φ(.30) + Φ( 5.0) ) λ /8 Devemos rejeitar H 0 a qualquer n.s. α 0 %. Página 8 de

9 Grupo IV Exercício 5 valores V.a. de interesse X quantidade de substância nociva em mg Situação X normal(µ, σ ) µ desconhecido σ desconhecido. Passo Selecção da v.a. fulcral para µ Z X µ S/ n t (n ) Passo Obtenção dos quantis de probabilidade Como n 4 e ( α) 00% 90% (ou seja, α 0.), far-se-á uso dos quantis a α Ft (n ) ( α/) Ft (40) (0.95) tabela.684 b α Ft (n ) ( α/) Ft (40) (0.95).684 Passo 3 Inversão da desigualdade a α Z b α P (a α Z b α ) α ( ) P a α X µ S/ n b α α ( P X bα n S µ X ) a α n S α [ P X Φ ( α/) n S µ X ] + Φ ( α/) n S α. Passo 4 Concretização onde [IC ( α) 00% (µ) n 4 x.4 s 0.6 F t (n ) ( α/).684.] [ x F t (n ) ( α/) Deste modo conclui-se que [ IC 90% (µ) , ] 4 4 (b) Resolução esperada [.40, ]. s n, x + F t (n ) ( α/) Invocando a relação entre intervalos de confiança e testes de hipóteses e dado que µ 0. IC 90% (µ) [.40, ], a hipótese H 0 : µ µ 0. deve ser rejeitada ao nível de significância α 0%. s ], n Devemos rejeitar H 0 a qualquer n.s. α 0 0%. Página 9 de

10 Resolução a considerar Hipóteses H 0 : µ µ 0. H : µ µ 0 Estatística de teste T X µ 0 S/ n H 0 t (n ) Decisão (com base em intervalo para o p-value) O valor observado da estatística de teste é igual a t x µ 0 s/ n / 4.3. Uma vez que este teste é bilateral temos: p value P ( T > t H 0 ) P (T >.3 H 0 ) [ F t(40) (.3) ] Recorrendo às tabelas de quantis da distribuição de t-student com 6 graus de liberdade podemos adiantar um intervalo para o p-value deste teste. Com efeito, ao enquadrarmos convenientemente t.3 por dois quantis, obtemos sucessivamente logo: F t (40) (0.975).0 < t.3 <.43 F t (40) (0.99) ( 0.99) < [ F t(40) (.3) ] < ( 0.975) 0.0 < p value < 0.05 não devemos rejeitar H 0 a qualquer n.s. α 0 %; rejeitar H 0 a qualquer n.s. α 0 5%. Decisão (com base em p-value determinado usando máquina de calcular) Uma vez que este teste é bilateral temos: Assim: p value P ( T > t H 0 ) P (T >.3 H 0 ) maq não devemos rejeitar H 0 a qualquer n.s. α %; rejeitar H 0 a qualquer n.s. α 0 > 3.94%. Página 0 de

11 Exercício [Modelo de RLS ln(s i ) β 0 + β ln(z i ) + ɛ i ln(s i ) logaritmo da tensão suportada pela liga i ln(z i ) logaritmo do número de milhões de ciclos até falha i epsilon i erro aleatório associado à liga i Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0, σ ), i,..., n (hipótese de trabalho) β 0, β, σ desconhecidos] Estimativas de MV de β 0 e β [Dado que n 5 i ln(z i) ln(z) i [ln(z i)] i [ln(z i)] n (ln(z)) 3.39 i ln(s i) ln(s) i [ln(s i)] i [ln(s i)] n (ln(s)) i ln(z i) ln(s i ) i ln(z i) ln(s i ) n ln(z) ln(s) ] As estimativas de mínimos quadrados ou de MV para este modelo são iguais a: ˆβ i ln(z i) ln(s i ) n ln(z) ln(s) ln(z)) ˆβ 0 ln(s) ˆβ ln(z) ( ) Estimativa do valor esperado de ln(s) A estimativa do valor esperado do logaritmo da tensão suportada pela liga ln(s) associada a um logaritmo do número de milhões de ciclos até falha ln(z) é, para z [0.95, 40] milhões de ciclos, igual a E[ln(S) ln(z)] ˆβ 0 + ˆβ ln z ln z. Logo, para 00 milhões de ciclos, tem-se: E[ln(S) ln(00)] ln(00) Página de

12 Mas para 500 milhões de ciclos a estimativa pode ser calculada E[ln(S) ln(500)] ln(500) , mas não deve ser utilizada, pois o modelo de regressão só é válido na gama de valores observados [0.95, 40] milhões de ciclos. Estimativa do valor esperado de S (Por lapso no enunciado não se pedia uma estimativa do valor esperado logaritmo da tensão mas sim uma estimativa do valor esperado da tensão ) A resposta correcta está fora do âmbito da disciplina de PE, pelo que se deve aceitar as estimativas incorrectas obtidas com base na fórmula: exp( ˆβ 0 + ˆβ ln z) exp( ln z) exp[ ln(00)], z 00 exp[ ln(500)], z 500 e , z 00 e , z 500 ( ) Para 500 milhões de ciclos a estimativa não deve ser utilizada, pois o modelo de regressão só é válido na gama de valores observados [0.95, 40] milhões de ciclos. (b) Coeficiente de determinação É dado por r ( n ) i ln(z i) ln(s i ) n ln(z) ln(s) ( i [ln(z i)] n (ln(z)) ) ( i [ln(s i)] n (ln(s)) ) (.69674) i.e., cerca de 95.35% da variação total da variável resposta ln(s) é explicada pelo modelo de regressão, o que indicia um bom ajustamento da recta estimada ao nosso conjunto de dados. Página de