Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos

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1 Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010

2 Variável aleatória É uma função, com propriedades especiais, que transforma eventos em números, ou mais genericamente, em vectores: A função X : Ω R X R n diz-se uma variável aleatória (v.a.) se verifica a condição de mensurabilidade x R, X 1 ((, x]) A, onde X 1 ((, x]) = {ω Ω : X (ω) x}, e o espaço de resultados Ω está associado à σ-álgebra A. A v.a. diz-se unidimensional se n = 1; bidimensional se n = 2; multidimensional se n > 2. ou ainda discreta, caso tome valores em R X em número finito ou numerável; contínua, quando o seu conjunto de valores é infinito não numerável.

3 Função de probabilidade Seja X uma v.a. discreta (R X = {x 1, x 2,...} é um conjunto finito ou numerável). A função de probabilidade de X (f.p.) é dada por { P(X = xi ), x = x P(X = x) = P ({ω Ω : X (ω) = x}) = i R X 0, c.c. e satisfaz P(X = x) > 0, x R X ; x R P(X = x) = x R X P(X = x) = i P(X = x i) = 1.

4 Exemplo Considere-se um teste americano com 3 questões, cujas respostas são dadas de forma independente. A resposta a cada questão pode estar correcta (C), com probabilidade P(C) = 0.5, ou incorrecta (C), com probabilidade P(C) = 0.5. A classificação das 3 questões é então uma e.a. cujo espaço de resultados é formado por 8 eventos elementares: Ω = {CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC}. Considerando a v.a. X = n o de respostas correctas no teste, verificamos que o seu contradomínio é {0, 1, 2, 3} e portanto X é uma v.a. discreta. A sua f.p. é dada por P(X = 0) = P(CCC) = P(C 1 C 2 C 3 ) = P(C 1 )P(C 2 )P(C 3 ) = P(X = 1) = P(CCC) + P(CCC) + P(CCC) = P(X = 2) = P(CCC) + P(CC) + P(CCC) = P(X = 3) = P(CCC) = , x = 0, 3 ou resumidamente P(X = x) = 3 8, x = 1, 2 0, outros valores de x

5 Função de distribuição A função de distribuição (f.d.) de uma v.a. X (independentemente de esta ser discreta ou contínua) é dada por F X (x) = P(X x), x R. Nota: A f.d. tem como domínio R e toma valores no intervalo [0, 1] uma vez que se trata de uma probabilidade, i.e. F X (x) : R [0, 1] quer X seja uma v.a. discreta ou contínua. Função de distribuição de uma v.a. discreta A f.d. de uma v.a. discreta (com contradomínio R X = {x 1, x 2,...}) pode escrever-se à custa da f.p de X: F X (x) = P(X x) = x i x P(X = x i ), x R.

6 Exemplo No exemplo anterior, em que X =n o de respostas correctas no teste americano, temos 0, x < 0 1 F X (x) = 8, 0 x < , 1 x < , 2 x < , x 3

7 Uma v.a. pode ser caracterizada, embora parcialmente, por parâmetros que se podem dividir em três grupos: 1 Parâmetros de localização central valor esperado moda mediana 2 Parâmetros de localização não central quantil de probabilidade (ou quantil de ordem) p 3 Parâmetros de dispersão variância desvio padrão coeficiente de variação

8 Valor esperado de uma v.a. discreta O valor esperado de uma v.a. discreta (com contradomínio R X = {x 1, x 2,...}) é dado por: E(X ) = x xp(x = x).

9 O valor esperado de uma v.a. X satisfaz as propriedades 1 E(b) = b, b R; 2 E(aX + b) = ae(x ) + b a, b R; 3 Sendo Y = ψ(x ) uma v.a. função mensurável da v.a. discreta X, E(Y ) = E[ψ(X )] = x ψ(x)p(x = x); 4 Geralmente, tem-se E[ψ(X )] ψ[e(x )]; 5 Se X é uma v.a. inteira não negativa, i.e., R X = {0, 1, 2, 3,...}, então E(X ) = + x=0 P(X > x) = + x=0 [1 F X (x)].

10 Recordemos o exemplo anterior, em que X = n o de respostas correctas no teste americano e Assim E(X ) = P(X = x) = 1 8, x = 0, 3 3 8, x = 1, 2 0, outros valores de x 3 xp(x = x) = = 1.5 x=0 Nota: Note que o valor esperado não pertence ao conjunto de valores possíveis da v.a. X.

11 Moda de uma v.a. discreta A moda de uma v.a. discreta X, mo = mo(x ), é o valor da v.a. que ocorre com mais frequência e como tal, corresponde ao ponto de máximo da f.p. de X, i.e. mo(x ) : P(X = mo) = max x P(X = x). Exemplo No exemplo que temos vindo a considerar, mo = mo(x ) = 1 e 2. Tal como este exemplo ilustra, nem sempre a moda é única. Diz-se, neste caso, que X é bimodal (tem duas modas).

12 Mediana de uma v.a. discreta A mediana de uma v.a. discreta, me = me(x ) = F 1 X tem a particularidade de verificar { P(X me) 1 2 P(X me) 1 2 o que é equivalente a me : 1 2 F X (me) 1 + P(X = me). 2 ( 1 ) 2, Nota: A mediana de uma v.a. discreta pode não ser única, passando, neste caso, a falar-se de classe mediana. Exemplo No exemplo que temos vindo a apresentar, a mediana não é única. Esta pode ser dada por qualquer valor no intervalo [1, 2]. Diz-se, neste caso, que o intervalo [1, 2] é a classe mediana.

13 Quantil de probabilidade p de uma v.a. discreta O quantil de probabilidade p de uma v.a. discreta, χ p = χ p (X ) = F 1 X (p), tem a particularidade de verificar { P(X χp ) p P(X χ p ) 1 p A mediana da v.a. discreta X, corresponde a χ 1 2. Outros quantis frequentemente usados: χ 1 4 = F 1 ( 1 ) X 4 1 o quantil ( 3 ) 4 3 o quantil χ 3 = F 1 4 X χ 1 = F 1 ( 1 ) X o percentil χ n = F 1 ( n ) 100 X 100 n ésimo percentil, n = 1, 2, 3,..., 99 χ 1 = F 1 ( 1 ) 10 X 10 1 o decil

14 Variância A variância de uma v.a. X discreta ou contínua é dada por: V (X ) = E(X 2 ) E 2 (X ). A variância de uma v.a. X satisfaz as propriedades 1 V (b) = 0, b R; 2 V (X ) 0, qualquer que seja a v.a. X ; 3 V (ax + b) = a 2 V (X ) a, b R. A variância não é expressa nas mesmas unidades que a v.a., pelo que é costume recorrer-se a outra medida de dispersão absoluta: o desvio padrão.

15 Desvio padrão É a raíz quadrada positiva da variância de uma v.a. X discreta ou contínua: DP(X ) = V (X ). Finalizamos, apresentando uma medida de dispersão relativa: Coeficiente de variação O coeficiente de variação de uma v.a. X discreta ou contínua, é dado por: CV (X ) = DP(X ) E(X ).

16 Distribuição uniforme discreta Esta distribuição é razoável quando a v.a. discreta toma n valores distintos x 1 < x 2 <... < x n, todos com igual probabilidade. Distribuição uniforme discreta A v.a. X diz-se ter distribuição uniforme discreta no conjunto {x 1, x 2,..., x n }, e escreve-se X uniforme discreta({x 1, x 2,..., x n }), caso a sua f.p. seja igual a { 1 P(X = x) = n, x = x 1, x 2,..., x n 0, c.c. Valor esperado: E(X ) = 1 n n i=1 x i Variância: V (X ) = 1 n n i=1 x i 2 ( 1 n n i=1 x ) 2 i

17 Exemplo Um conjunto de n amostras de solo, das quais só uma está contaminada com uma perigosa substância química, chega a um laboratório. Suponhamos que a amostra de solo contaminado não foi devidamente etiquetada e consideremos a v.a. X que representa o n o total de amostras inspeccionadas, obviamente sem reposição, até ser identificada a amostra contaminada.. Determinemos a f.p. de X. Ora: P(X = 1) = 1 n P(X = 2) = n 1 1 n n 1 = 1 n P(X = 3) = n 1 n 2 1 n n 1 n 2 = 1 n. P(X = x) = { 1, x = 1, 2,..., n n 0, c.c. donde se conclui que X uniforme discreta({1, 2,..., n}).

18 A f.d de X é: F X (x) = P(X x) = 0, x < 1 1 n, 1 x < 2 2 n, 2 x < 3. n 1 n, n 1 x < n 1, x n e atendendo a que n x=1 x = n(n+1) e n 2 x=1 x2 = n(n+1)(2n+1), 6 o valor esperado de X é E(X ) = n xp(x = x) = x=1 e a variância de X é n x 1 n = 1 n x = 1 n n x=1 x=1 n(n + 1) 2 = n n ( ) n V (X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) = x 2 P(X = x) = 1 n ( ) n x 2 = n2 1 2 n 2 12 x=1 x=1

19 Distribuição de Bernoulli Uma e.a. diz-se uma prova de Bernoulli se tiver apenas dois resultados possíveis: um sucesso, que ocorre com probabilidade p, 0 p 1; um insucesso, que ocorre com probabilidade 1 p Distribuição de Bernoulli A v.a. X =n o de sucessos numa prova de Berrnoulli, tem distribuição de Bernoulli, com parâmetro p, e escreve-se X Bernoulli(p), e a sua f.p. é dada por { p P(X = x) = x (1 p) 1 x, x = 0, 1 0, c.c. Valor esperado: E(X ) = p Variância: V (X ) = p(1 p)

20 Distribuição binomial Esta distribuição é particularmente útil na caracterização probabiĺıstica do n o de sucessos em n provas de Bernoulli, realizadas de forma independente e com probabilidade de sucesso comum p. Distribuição binomial A v.a. X =n o de sucessos num conjunto de n provas de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso comum p, tem distribuição binomial, de parâmetros (n, p), e escreve-se X binomial(n, p), e a sua f.p. é dada por ( ) n p P(X = x) = x x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,..., n 0, c.c. ( ) n n! onde =. Valor esperado: E(X ) = np x x!(n x)! Variância: V (X ) = np(1 p)

21 A f.d. da v.a. X binomial (n, p) é dada por 0, x ( < 0 ) [x] n F X (x) = P(X x) = i=0 p i i (1 p) n i, 0 x < n 1, x n onde [x] representa a parte inteira do real x, i.e., corresponde ao maior inteiro menor ou igual a x. Assim, note que [1.7] = 1 e [ 1.7] = 2, por exemplo. Esta função encontra-se tabelada para alguns valores de n e p. Consultando as tabelas, podemos escrever, por exemplo v.a. x F X (x) X binomial(9, 0.1) X binomial(10, 0.4)

22 No scilab, sendo X binomial(n, p), o comando pr=binomial(p,n) devolve um vector pr cujas entradas são os valores de P(X = x), x = 0, 1, 2,..., n. Assim sendo, pr(k+1) representa P(X = k), k = 0, 1, 2,..., n. O comando cdfbin( PQ,x,n,p,1-p) representa F X (x). Para obter os valores da tabela, teríamos que executar os comandos cdfbin( PQ,4,9,0.1,0.9) cdfbin( PQ,8,10,0.4,0.6).

23 Exemplo A probabilidade de as leis de Kirchhoff virem a ser violadas, durante um teste laboratorial a que se submete certo tipo e indutor, é igual a 0.1. Determinemos a probabilidade desta lei vir a ser violada mais de 4 vezes em 9 destes testes laboratoriais. Sendo X = n o de violações das leis de Kirchhoff em 9 testes laboratoriais, tem-se X binomial(9, 0.1) A probabilidade pedida é dada por P(X > 4) = 1 P(x 4) = =

24 Distribuição geométrica Esta distribuição é útil quando pretendemos contabilizar o n o total de provas de Bernoulli realizadas até o registo do 1 o sucesso. Distribuição geométrica A v.a. X =n o de provas de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso comum p, realizadas até à ocorrência do 1 o sucesso, tem distribuição geométrica, de parâmetro p, e escreve-se X geométrica(p), e a sua f.p. é dada por { (1 p) P(X = x) = x 1 p, x = 0, 1, 2,... 0, c.c. Valor esperado: E(X ) = 1 p Variância: V (X ) = 1 p p 2

25 A f.d. da v.a. X geométrica(p) não está tabelada por se obter facilmente, uma vez que estamos a lidar com uma série geométrica. Com efeito: { 0, x < 1 F X (x) = P(X x) = [x] i=1 (1 p)i 1p = 1 (1 p)[x], x 1 onde [x] representa a parte inteira de x.

26 Exemplo Estudos efectuados indicaram que a probabilidade de ser detectada a presnça de alto teor de metais pesados numa amostra de solo proveniente de um certo local é de determinemos o valor esperado do n o total de amostras selecionadas ao acaso até que seja detectada a primeira com alto teor de metais pesados. Ora, sendo X = n o total de amostras seleccionadas até que seja detectada a primeira com alto teor de metais pesados, tem-se X geométrica(0.01). O valor pedido é então dado por E(X ) = 1 = 100 amostras. 0.01

27 Distribuição hipergeométrica Distribuição hipergeométrica Considere-se que N =n o total de elementos de uma população (dimensão da população); M =n o de elementos dessa população que possuem uma determinada característica (sucesso); N =n o de extracções sem reposição. A v.a. X =n o elementos com certa característica (sucesso), em n extraídos ao acaso, sem reposição, da população de dimensão N, tem distribuição hipergeométrica, de parâmetros (N, M, n), e escreve-se X hipergeométrica(n, M, n), e a sua f.p. é dada por P(X = x) = ( M x 0, c.c. )( ) N M n x ( ), x = max{0, n (N M)},..., min{n, M} N n Valor esperado: E(X ) = n M N Variância: V (X ) = n M N ( 1 M N ) N n N 1

28 Exemplo Na fase de concepção de um processo de controlo de qualidade do fabrico, foram escolhidos 100 cabos dos quais apenas 2 apresentavam desvios superiores a 9.8 microns. Se desses 100 cabos forem seleccionados 10 ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de mais do que um ter um desvio superior a 9.8 microns? Ora, sendo N = 100, M = 2 e n = 10, a v.a. X =n o de cabos com um desvio superior a 9.8 microns, em 10 cabos seleccionados ao acaso e sem reposição de um lote de 100, dos quais apenas 2 apresentam desvios superiores a 9.8 microns tem-se X hipergeométrica(100, 2, 10). A probabilidade pedida é então dada por ( 2 2 ) ( ) P(X > 1) = P(X = 2) = ( ) =

29 Distribuição de Poisson É frequentemente utilizada na contagem de ocorrências de certo tipo de eventos, em períodos fixos de tempo. Exemplos do tipo de eventos são chegadas, partidas, acidentes, falhas de equipamento, n o de excedências de níveis de pluviosidade, ondas, marés, etc. Distribuição de Poisson A v.a. X que tem distribuição de Poisson, de parâmetro λ, e escrevese X Poisson(λ), tem a particularidade de possuir valor esperado e variância iguais ao parâmetro que define a sua distribuição. A sua f.p. é dada por Valor esperado: E(X ) = λ Variância: V (X ) = λ { e λ λ x, x = 0, 1, 2,... P(X = x) = x! 0, c.c.

30 A f.d. da v.a. X Poisson(λ), dada por { 0, x < 0 F X (x) = P(X x) = [x] λi i=0 e λ i! encontra-se tabelada. Podemos também recorrer ao scilab. X Poisson(λ) x F X (x) (tabelas) F X (x) cdfpoi( PQ, x, λ) (scilab) λ = F X (0) = cdfpoi( PQ, 0, 0.05) = λ = 3 1 F X (1) = cdfpoi( PQ, 1, 3) = λ = 12 1 F X (1) = cdfpoi( PQ, 1, 12) = λ = F X (14) = cdfpoi( PQ, 14, 20) =

31 Exemplo A procura de uma luxuosa marca de automóvel segue uma lei de Poisson. Sabe-se ainda que a probabilidade de numa semana não existir procura é igual a e 3. Pretende-se saber qual a probabilidade de a procura semanal exceder pelo menos 2 automóveis. Sabemos então que P(X = x) = e λ λx x!, x = 0, 1, 2,... e que P(X = 0) = e 3. Daqui resulta que P(X = 0) = e 3 λ λ0 e 0! = e 3 λ = 3. A probabilidade pedida é então dada por P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 P(X 1) = 1 F Poisson(3) (1) = =

32 Variável aleatória contínua A v.a X diz-se contínua,caso possua f.d. F X (x) = P(X x) contínua em R e exista uma função real de variável real f X (x), que verifique f X (x) 0, x R F X (x) = P(X x) = x f X (t)dt A função f X (x) é denominada de função densidade de probabilidade (f.d.p).

33 Propriedades da f.d.p + f X (x)dx = 1; b a f X (x)dx = P(a < x b), a < b. Note ainda que sendo X uma v.a. contínua: 1 P(X = x) = 0, x R 2 P(a < x b) = F X (b) F X (a), a < b.

34 Exemplo O tempo (em anos) entre duas colisões consecutivas de detritos espaciais com diâmetro maior que 1mm num satélite em MEO (Medium Earth Orbit) é uma v.a. contínua com f.d.p. dada por { 0, x < 0 f X (x) = 0.4e 0.4x, x 0 Determinemos a probabilidade do tempo entre duas colisões consecutivas exceder um ano e três meses: P(X > 1.25) = 1 P(X 1.25) = 1 = f X (x)dx = e f X (x)dx

35 Tal como no caso das v.a. discretas é importante sabermos determinar medidas de localização central localização não central dispersão. O processo é análogo ao caso discreto, tendo em conta que onde tínhamos v.a. discreta: x R ou P(X = x) passamos a ter v.a. contínua: + ou f X (x)

36 Distribuição uniforme contínua Distribuição uniforme contínua A v.a. X diz-se ter distribuição uniforme contínua no intervalo [a, b], e escreve-se X uniforme (a, b), caso a sua f.d.p. seja dada por { 1 f X (x) = b a, a x b 0, c.c. Valor esperado: E(X ) = a+b 2 Variância: V (X ) = (b a)2 12

37 A f.d. da v.a. X uniforme (a, b) é igual a 0, x < a x a F X (x) = P(X x) = b a, a x b 1, x > b Dada a sua simplicidade, não se encontra tabelada.

38 Distribuição normal Esta distribuição surge associada à modelação de observações relativas a diversas medições. Distribuição normal A v.a. X diz-se ter distribuição normal de parâmetros µ e σ 2, e escreve-se X normal (µ, σ 2 ), se a sua f.d.p. é f X (x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Valor esperado: E(X ) = µ Variância: V (X ) = σ 2 A sua f.d. é x F X (x) = que apenas pode ser obtida numericamente. 1 e (t µ)2 2σ 2 dt 2πσ

39 Se X normal(µ, σ 2 ), então a v.a. Z = X µ σ normal(0, 1). Z possui f.d. dada por F Z (z) = z 1 2πσ e t2 2 dt = Φ(z). A função Φ encontra-se tabelada. Podemos também recorrer ao scilab. z Φ(z)(tabelas) Φ(z) cdfnor( PQ, z, µ, σ) (scilab) cdfnor( PQ, 0, 0, 1)= cdfnor( PQ, 1.07, 0, 1)= cdfnor( PQ, 4.04, 0, 1)= Para o cálculo de Φ em valores negativos, recorrendo às tabelas, temos que atender em primeiro lugar à simetria da f.d.p. da normal padrão para concluir que dado z R, Φ( z) = 1 Φ(z) Exemplo No scilab faz-se cdfnor( PQ, 2.53, 0, 1). Φ( 2.53) = 1 Φ(2.53) =

40 Existem também tabelas de quantis da distribuição normal padrão. Os quantis de probabilidade p, 0.5 p 1, (F 1 Z (p), são obtidos sem dificuldade, como p.e., F 1 Z (0.975) = Φ 1 (0.975) = Mas note-se que os quantis de probabilidade p < 0.5 são negativos e p.e.: Φ 1 (0.023) = Φ 1 ( ) = No scilab para determinar o quantil de probabilidade p, (independentemente deste ser superior ou inferior a 0.5) de uma v.a. com distribuição normal, basta executar o comando cdfnor( X, µ, σ, p, 1 p).

41 Exemplo As especificações sobre o diâmetro de em certo tipo de cabo admitem um desvio máximo, face ao valor de referência de ±10 mícrons. Contudo, no seu fabrico apenas se consegue garantir que esse desvio tem distribuição normal de valor esperado igual a 0 mícrons. que valor deve ter a variância para se poder garantir que em 95% dos cabos produzidos os desvios estão entre ±9.8 mícrons? Recorrendo às tabelas: Considerando a v.a. X = desvio do diâmetro dos cabos face ao valor de referência, temos que X normal(0, σ 2 ). Ao considerar-se a v.a. Z = X 0 σ = X, temos Z normal(0, 1). σ Pretendemos assim o valor de σ 2 tal que: P( 9.8 X 9.8) = 0.95 P( σ ( ) ( 9.8 Φ Φ 9.8 σ σ Z {}}{ X 0 σ ) = Φ ) = 0.95 σ ( ) = σ = Φ 1 (0.975) σ = σ2 = 25 σ

42 Ou Recorrendo ao scilab: P( 9.8 X 9.8) = 0.95 F X (9.8) F X ( 9.8) = F X (9.8) 1 = 0.95 F X (9.8) = O comando cdfnor( Std, p, 1 p, x, µ) devolve o valor de σ tal que F X (x) = p, supondo X normal(µ, σ 2 ). Neste caso teríamos que fazer cdfnor( Std, 0.975, , 9.8, 0). Supondo X normal(µ, σ 2 ), explore no scilab os comandos cdfnor( Mean, σ, p, 1 p, x) e cdfnor( X, µ, σ, p, 1 p)

43 Distribuição exponencial Trata-se da distribuição mais utilizada na caracterização da duração de equipamento. Surge também na modelação dos tempos entre ocorrências de eventos do mesmo tipo, como p.e., chegadas de clientes, falhas mecânicas, colisões, etc. Distribuição exponencial A v.a. X diz-se ter distribuição exponencial de parâmetro λ, e escreve-se X exponencial(λ), caso a sua f.d.p. seja dada por { λe f X (x) = λx, x 0 0, c.c. Valor esperado: E(X ) = 1 λ Variância: V (X ) = 1 λ 2

44 A sua f.d. é { 1 e F X (x) = λx, x 0 0, c.c. que não se encontra tabelada dada a sua simplicidade.