Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS

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1 Duração: 90 miutos Gruo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique coveietemete todas as resostas 1 o semestre 2017/ /01/ :00 2 o Teste C 10 valores 1. A variável aleatória X rereseta o úmero de acessos a um equeo servidor e ossui fução de robabilidade P(X x) (x + 1)(1 ) x 2, x 0,1,2,..., ode é uma robabilidade descohecida. Sejam (X 1,..., X ) uma amostra aleatória de X e X 1 i1 X i. (a) Mostre que o estimador de máxima verosimilhaça do arâmetro, com base a amostra aleatória (2.5) acima, é dado or 2/( X + 2). V.a. de iteresse X úmero de acessos a um equeo servidor F.. de X P(X x) (x + 1)(1 ) x 2, x 0,1,2,... Parâmetro descohecido, 0 1 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão roveiete da oulação X Obteção do estimador de MV de θ Passo 1 Fução de verosimilhaça L( x) P(X x) X i ide P(X i x i ) X i X i1 P(X x i ) i1 [ (xi + 1)(1 ) x i 2] i1 [ ] (x i + 1) (1 ) i1 x i 2, 0 1 i1 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll( x) l(x i + 1) + l(1 ) x i + 2 l() i1 Passo 3 Maximização A estimativa de MV de assa a ser reresetada or ˆ e d ll( x) d 0 (oto de estacioaridade) ˆ ˆ : d 2 ll( x) < 0 (oto de máximo) d 2 ˆ i1 x i 1 ˆ + 2ṋ 0 i1 x i 2 < 0 (1 ˆ) 2 ˆ 2 i1 Págia 1 de 7

2 ˆλ : ˆ x ˆ 0 ˆ 2 [ ( x ) ( 2 2 ) 2 x+2 x+2 ( x+2)3 2 x x+2 ] < 0 (ro. verdadeira orque > 0, caso x > 0). Passo 4 Estimador de MV de λ E MV () 2 X + 2. (b) Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça de P(X 4) baseada a cocretização (1.5) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (3,9,8,18,8). Estimativa de MV de ˆ 2 x Outro arâmetro descohecido h() P(X 4) 5(1 ) 4 2 Estimativa de MV de h() Ao ivocar a roriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, obtemos a estimativa de MV de h(): h() h( ˆ) 5(1 ˆ) 4 ˆ 2 5 ( ) (c) Sabedo que E(X ) 2 2, determie o eviesameto do estimador X averigúe se X é um estimador cetrado 1. Estimador de 1 T X a estimação de 1 e (1.5) Eviesameto do estimador E( X ) 1 E(X ) Coclusão Uma vez que T se diz um estimador cetrado de 1 E( X ) 1 odemos cocluir que 0, (0,1), 1 caso E(T ) 0,, X é um estimador ão cetrado (i.e., eviesado) de 1. Págia 2 de 7

3 2. O custo de rodução de um certo artigo (X ) ossui distribuição ormal com valor eserado descohecido e desvio adrão igual a 5 euro. Ao observarem-se os custos de rodução de 10 uidades desse artigo, obteve-se a seguite estatística: 10 i1 x i 429. (a) Teste a hiótese ula de o valor eserado do custo de rodução ser igual a 42 euro cotra a (3.0) alterativa de ser suerior a esse valor, ao ível de sigificâcia de 5%. V.a. de iteresse X custo de rodução de um certo artigo Situação X Normal(µ, 2 ) µ DESCONHECIDO 5 cohecido Hióteses H 0 : µ µ 0 42 H 1 : µ > µ 0 N.s. α 0 5% Estatística de teste T X µ 0 H0 ormal(0,1) [ois retedemos efectuar teste sobre o valor eserado de oulação ormal, com variâcia cohecida.] Região de rejeição de H 0 (ara valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste uilateral suerior (H 1 : µ > µ 0 ), a região de rejeição de H 0 (ara valores da estatística de teste) é do tio W (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., c : P(T > c H 0 ) α 0 c Φ 1 (1 0.05) t abel a/calc. c Decisão O valor observado da estatística de teste é igual a t x µ Como t W (1.6449,+ ), ão devemos rejeitar H 0 ao.s. α 0 5% [ou a qualquer.s. iferior a α 0 5%]. (b) Determie a robabilidade de o rocedimeto alicado a alíea (a) coduzir à rejeição de H 0, (1.5) caso o valor eserado do custo de rodução seja igual a 43 euro. Prob. edida Imorta otar que X µ ormal(0,1). Assim, P(Rejeitar H 0 µ 43) P(T > c µ 43) X µ 0 P > c µ 43 Págia 3 de 7

4 X µ + µ µ 0 P(Rejeitar H 0 µ 43) P > c µ 43 X µ P > c µ µ 0 µ 43 1 Φ c µ µ Φ Φ(1.01) tabel a/calc Gruo II 10 valores 1. A cotagem do úmero de fogos florestais de determiada dimesão, uma certa região e um eríodo (4.0) de 10 semaas, coduziu aos seguites dados: Dia da semaa seguda terça quarta quita sexta sábado domigo Número de fogos florestais Teste a hiótese de os fogos se distribuírem uiformemete elos 7 dias da semaa. Decida com base o valor-. V.a. de iteresse X dia da semaa em que ocorre fogo (1 seguda,..., 7 domigo) Hióteses H 0 : X uiforme discreta({1,...,7}) H 1 : X uiforme discreta({1,...,7}) Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β 1), ode: i1 k No. de classes 7 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta eserada, sob H 0, da classe i β No. de arâmetros a estimar 0 [dado que em H 0 se cojectura uma distribuição esecífica.] Frequêcias absolutas eseradas sob H 0 Atededo à dimesão da amostra 1120 e ao facto de a f.. cojecturada ser dada or P(X x H 0 ) 1 7, x 1,...,7, as frequêcias absolutas eseradas sob H 0 são, ara i 1,...,7, iguais a: E i 0 i Págia 4 de 7

5 [Não é ecessário fazer qualquer agruameto de classes uma vez que em elo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 ara todo o i. Caso fosse reciso efectuar agruameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 2 0 ) teriam que ser recalculados...] (k β 1) Região de rejeição de H 0 (ara valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita ara valores de T é o itervalo à direita W (c, + ). Decisão (com base o valor-) No cálculo do valor obs. da estat. de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. es. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i (o i E i ) 2 e i ( ) 1 seguda terça quarta quita sexta sábado domigo k i1 o i k i1 e i t k (o i e i ) 2 i1 e i Dado que a região de rejeição deste teste é um itervalo à direita, temos: valor P(T > t H 0 ) Logo, é suosto: 1 F χ 2 (t) (k β 1) 1 F χ 2 (17.5) (6) calc ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α %; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > %, omeadamete a qualquer dos.u.s. (1%,5%,10%). [Em alterativa, oderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado com 6 graus de liberdade e adiatar um itervalo ara o -value: F 1 χ 2 (6) Assim, é suosto: (0.99) < t 17.5 < F 1 (0.995) χ 2 (6) 0.99 < F χ 2 (17.5) < (6) < 1 F χ 2 (17.5) < (6) < valor < ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 0.5%; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 1%, omeadamete a qualquer dos.u.s. (1%,5%,10%). 2. Um cojuto de dados relativos a 161 aíses foreceu os seguites valores relativos ao úmero de mortes auais as estradas or habitates (Y ) e ao logaritmo (de base e) do úmero de veículos motorizados or 1000 habitates (x): 161 i1 x i 737.9, 161 i1 x2 i , 161 i1 y i , 161 i1 y 2 i , 161 i1 x i y i (a) Cosidere o modelo de regressão liear simles de Y em x e calcule a estimativa de míimos (2.0) Págia 5 de 7

6 quadrados de β 0 + β 1 x. Estimativas de MQ de β 0, β 1 e β 0 + β 1 x Dado que 161 i1 x i i1 x i x 1 i1 x2 i i1 x2 i ( x) i1 y i ȳ 1 i1 y i i1 y 2 i i1 y 2 i (ȳ) i1 x i y i i1 x i y i x ȳ , as estimativas de MQ de β 0, β 1 e β 0 + β 1 x são, ara este modelo de RLS, iguais a: i1 ˆβ 1 x i y i xȳ i1 x2 i ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x ( ) ˆβ 0 + ˆβ 1 x x. (b) Aós ter euciado as hióteses de trabalho que eteder coveietes, teste a sigificâcia do (3.0) modelo de regressão ao ível de 5%. Nota: Pode vir a ecessitar do quatil Ft 1 (159) (0.975) Hióteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0, 2 ), i 1,..., Hióteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 0 Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste T ˆβ 1 β 1,0 ˆ 2 i1 x2 x2 i H0 t ( 2) Região de rejeição de H 0 (ara valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : β 1 0), elo que a região de rejeição de H 0 é uma reuião de itervalos do tio W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., Págia 6 de 7

7 c F 1 t ( 2) (1 α 0 /2) F 1 t (161 2) (1 0.05/2) F 1 t (159) (0.975) calc Decisão Tedo em cota os valores [( obtidos ) em (a), bem como o de ˆ 2 1 y 2 i 2 ȳ 2 ( ] ) 2 ˆβ1 x 2 i x2 i1 i1 1 ( ( ) ) , o valor observado da estatística de teste é igual a t ˆβ 1 β 1,0 ˆ 2 i1 x2 x2 i Como t W (, 1.975) (1.975,+ ) devemos rejeitar H 0 ao.s. de 5% [bem como a qualquer.s. suerior que 5%. Com efeito, cocluímos que devemos rejeitar a hiótese de o úmero de mortes auais as estradas or habitates (Y ) ão ser iflueciado liearmete elo logaritmo (de base 10) do úmero de veículos motorizados or 1000 habitates (x).] (c) Calcule e iterrete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 i1 x i y i x ȳ ) 2 ( i1 x2 i x2) ( i1 y 2 i ȳ 2) ( ) Iterretação coeficiete de determiação Cerca de 44.5% da variação total da variável resosta Y é exlicada ela variável x, através do modelo de regressão liear simles ajustado. Dode ossamos afirmar que a recta estimada ão arece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia 7 de 7