Exame final de Estatística 1ª Época - 3 de Junho de Duração: 2h30m. Note bem:

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1 xame fial de statística ª Época 3 de Juho de 4 Faculdade de coomia José Atóio iheiro Uiversidade Nova de Lisboa aria Helea Almeida Duração: h3m Note bem:. Resolva grupos diferetes em folhas diferetes. DNTFQU todas as folhas com úmero e ome LGÍVS 3. ara mater a ordem, a sereidade e a igualdade, ão se tiram dúvidas de iterpretação e ão são permitidas trocas de máquias de calcular ou tabelas 4. Não é permitido o uso de telemóveis para fazer cotas 5. No fial do exame etregue a sua prova e saia! Não se dirija aos docetes a dizer que se egaou umas vírgulas e que espera que ão lhe descotem muito ou outras cojecturas semelhates 6. AS NOTAS SÃO AFADAS DA 7 D JUNHO ÀS HORAS 7. OS ALUNOS NTRSSADOS OD VR OS AS NSS DA A ARTR DSSA HORA; TRATAS D UA SSSÃO ÚNA JUSTFQU ÁLULOS AFRAÇÕS Grupo ( valores) As duas frases seguites são ambas falsas. Justifique adequadamete a falsidade de cada uma um máximo de QUATRO LNHAS (se escrever mais cortamos a partir da quita liha). * i=. ara estimar a média μ de uma população utilizouse o estimador = que é eviesado; assim, uma determiada estimativa ( x ) uca poderá ser igual a μ.. Notícia da TV: se hoje houvesse eleições o SD teria etre 35 e 4 por ceto de votos. Notícia da S: se hoje houvesse eleições o SD teria etre 37 e 39 por ceto de votos. A otícia da S é mais precisa, mais iformativa, em suma, melhor do que a da TV! Grupo ( 8 valores ) As bolas de futebol utilizadas o uro 4 são fabricadas a hia; o tempo de fabrico de cada bola é uma variável aleatória que segue uma distribuição ormal em miutos, com média μ descohecida e desviopadrão σ = 4. O processo de fabrico associado a esta distribuição é cosiderado leto: as bolas são feitas maualmete com mãodeobra barata e ão especializada.

2 (.) a) A partir de uma amostra aleatória de bolas, costruiuse o seguite itervalo de cofiaça para a média μ da população de bolas: [9,;,98]. alcule o ível de cofiaça com que este itervalo foi costruído. (.5) b) ara melhorar a iformação, pretedese dimiuir a amplitude do itervalo em 5%, matedo o etato a mesma cofiaça; qual a dimesão da amostra ecessária? omete o resultado obtido. Uma alterativa à importação seria a compra das bolas a uma fábrica portuguesa de tecologia avaçada e operários altamete especializados. O tempo de fabrico segue igualmete uma distribuição ormal com média μ, descohecida, sedo σ =. (.5) c) om uma amostra aleatória de bolas fabricadas por este processo, obtevese um tempo médio de fabrico de x = 7 miutos. oderá afirmar que o processo de fabrico acioal é, em média, mais rápido do que o chiês? Decida trabalhado com %. (.5) d) alcule β (erro tipo ) associado à regra de decisão em c) supodo que o processo de fabrico acioal é de facto miutos mais rápido relativamete ao processo maual. (.5) e) cotre, gráfica e aaliticamete, a regra de decisão que garate a igualdade etre α e β ; calcule esse valor comum. (.) f) O valor de β ecotrado em d) permite dizer imediatamete a potêcia do esaio um certo poto. diqueos, o poto e a potêcia. Grupo ( 8 valores ) osidere que o tempo de motagem de um automóvel uma liha de produção resulta da soma dos tempos de três tarefas: strutura, otor e teriores. ada uma destas tarefas é uma variável aleatória com distribuição ormal em horas; as variáveis são idepedetes: N( μ =, σ =.5) N( μ =, σ =.6) N( μ =, σ =.5) A mpresa dá um prémio à asa do essoal de UR por carro sempre que o tempo de motagem for iferior a 4.5 horas mas mada ispeccioar cada carro cuja motagem for iferior a 3.5 horas por ser excessivamete rápida. ada ispecção custa 5 UR. (.) a) alcule a probabilidade de a média de motagem de estruturas de carros ser iferior a.5 horas. (.) b) Supodo que um carro passou a zoa da estrutura em.9 horas, qual a probabilidade de vir a ser ispeccioado? (.) c) Qual o ecargo esperado da mpresa (com prémios e custos de ispecção) com automóveis motados? (.5) d) arte dos automóveis são vedidos um Stad que defrota uma procura de oisso com média de 6 automóveis por dia. Qual a distribuição do úmero de dias, por semaa de sete dias, em que a procura é pelo meos igual à média? (pedese o ome da distribuição, o seu valor médio e a sua variâcia). (.) e) Acabou de ser vedido um automóvel. Qual a probabilidade que durate 3 horas ão se veda ehum? (o stad está aberto 4 horas por dia)

3 (.5) f) omo o stock do stad pode ser cosiderado ilimitado, a procura iguala a oferta. alcule a probabilidade aproximada que o stad veda de a 3 automóveis por ao (o stad está aberto todos os dias e o ao ão é bissexto). Grupo V ( valores) A liha de motagem referida o grupo aterior defrota dois problemas: μ é cosiderado excessivamete baixo (receiase que ao trabalhar tão depressa se descurem pormeores de seguraça) e σ é cosiderado excessivamete alto. Depois da itrodução de ajustametos técicos, observouse uma amostra de dimesão 5 de tempos de estrutura e uma outra amostra de dimesão 6 de tempos de motagem; os resultados foram: strutura x 5 =. ' otagem s 6 =. 93 alcule os p value para cada um dos casos e decida se matém ou rejeita que os valores dos parâmetros aida se matêm.

4 xame fial de statística ª Época 3 de Juho de 4 Faculdade de coomia José Atóio iheiro Uiversidade Nova de Lisboa aria Helea Almeida Tópicos de resolução Grupo As estimativas podem ser iguais a qualquer valor real que perteça ao domíio do parâmetro. O facto de o estimador ser eviesado apeas diz que um grade úmero de estimativas vai cair maioritariamete ao lado do verdadeiro valor de μ. as uma certa estimativa pode ser igual a μ. Ou a qualquer outro úmero. mpossível avaliar da veracidade da frase sem fichas técicas. Duas iformações relevates faltam: a dimesão da amostra e o ível de cofiaça. Sem essa iformação todos os malabarismos podem ser feitos para iludir audiêcias que ão sabem teoria da amostragem. Grupo a) = Tempo de fabrico, em miutos, de cada bola de futebol a hia N( μ ; σ = ) = z ; z 9,;,98 omo o poto médio do itervalo correspode à média amostral será x, a margem de erro é de.98. tão 4 z,98 z,98 z,96,5 95% 8 O ível de cofiaça associado ao itervalo dado é de 95%. b) O itervalo da alíea aterior tem amplitude,96. Se queremos reduzila em 5%, sigifica,96*,75=,47; a margem de erro será,735. σ z α =,735,96 4 =,735 = 3,77 ara a redução desejada, a dimesão da amostra passa de para 4 bolas. Tratase de um resultado esperado porque, para o mesmo ível de cofiaça, quato maior for a dimesão da amostra, maior será a precisão graças à redução da variâcia da média amostral.

5 c) = Tempo de fabrico, em miutos, de cada bola de futebol em ortugal N( μ; σ = ) = x 7 H : : H ( ) Sob H N(,) ; o valor do teste será V ( 7) () 4,48,54,54 % om o ível de sigificâcia de % há evidêcia estatística para rejeitar a hipótese ula, logo podemos cosiderar que o tempo médio de fabrico das bolas é mais rápido em ortugal. odia ter optado logo pela resolução o espaço stadard. Faria, sob H, L ( μ ) μ <,54 L =.374 ; este limiar respeita a e como σ σ + x x 3, rejeitaria também a hipótese ula (ão poderia deixar de ser). d) Na resolução desta alíea pode recorrer logo ao valor.347 ou reecotrálo mais tarde. Note o etato que se ão o fizer, o primeiro passo para o cálculo de está a determiar a região de permaêcia (e implicitamete a de rejeição ) com base em H. rejeitar H H verdadeira,54,54,54,374,374,94,94,736 e) Nas codições da alíea aterior temos α =,, L =. 374 e β =, 736 :

6 β α Dada a simetria dos elemetos evolvidos, é imediato que a ova regra de decisão terá de ser costruída com base em L =, tal como ilustra o gráfico seguite: β α sta situação ão é geral pois depede das variâcias. odemos cofirmar a ova regra de decisão calculado os dois erros: rejeitar H H verdadeira L L L L rejeitar H H verdadeira L L L L gualado as suas expressões

7 .939 L.6 L L (.49) f) É sabido que π ( ) = β(), com as devidas cautelas a leitura de ( ) (erro de seguda espécie mometâeo); etão π ( ) = β() =. 8. Grupo.5.5 a) N( μ =, σ = ) ; ( <.5) = ( ) = (.3) =. 67 φ φ.58 b) Se já gastou.9 horas, será ispeccioado se gastar meos de.6 horas as duas restates secções. O tempo a gastar essas secções tem a distribuição N( ; ) (.6).6 ( ).9 (.43).3336 c) Seja Y = + + ; Y N( μ = 4, σ =.) (Y 4.5) ( Y 3.5) (.48).6844 (.48).356 m automóveis, esperase que.6844*=68 teham um tempo de motagem iferior a 4.5 horas e que.356*=3 teham um tempo de motagem iferior a 3.5 horas. Sempre que a duração seja iferior a 4.5 horas, a empresa paga euros à asa do essoal e quado é iferior a 3.5 horas a empresa gasta 5 euros para ispeccioar, logo o ecargo global da empresa será 68*+3*5=84 euros. Outra forma de chegar ao mesmo resultado: A probabilidade do tempo de motagem ser iferior a 4.5 horas é 68% e iferior a 3.5 horas cerca de 3%. Tal iformação, expressa a figura seguite, ajuda a perceber que a primeira área egloba a seguda.

8 A probabilidade do tempo de motagem se situar etre 3.5 e 4.5 horas é de 68% 3%=36%. ara calcular o motate global dos ecargos da mpresa, é ecessário otar o seguite: sempre que o tempo de motagem esteja compreedido etre 3.5 e 4.5 horas a empresa tem de pagar euros à asa do essoal; sempre que o tempo seja meor que 3.5 horas, a mpresa terá de pagar os euros mais 5 euros pela ispecção, totalizado 5 euros. O motate global de ecargos por automóvel será *.36+5*.3=84 euros que, para os automóveis implica um ecargo de 84 euros. d) = Número de automóveis procurados por dia oisso ( λ = 6) W = Número de dias, por semaa de sete, em que a procura é pelo meos igual à média. W Biomial ( 7; p ( 6)) ; ( 6) F(5) p ( W ) = p = 7.55 = 3.85 ; V ( W ) = p( p) = =. 735 e) Se oisso ( λ = 6) por dia, o tempo etre acotecimetos é expoecial com 8 λ = 6 também por dia; assim sedo, ( T 3horas) ( T dia) e (ote que 3 horas são /8 do dia; se passasse a referêcia directamete para horas os 3* seriam iguais a e etão ( 3) 4 T e. 474 ). 4 6* Também se pode resolver esta questão a partir da distribuição oisso: ( 3Horas e ( ).75.75).75! e

9 f) = Número de automóveis vedidos (ou procurados) por ao ( λ = = 9) ( (.93 3) ( ) (.36) (.93) 3.5) (.973) Grupo V omo sempre estes casos, os cálculos podem ser feitos de duas maeiras equivaletes: ara a média o espaço amostral:.5 p value ( 5. 5 N(, )) 5 o espaço stadard:. ( ). (.45) H :. Sob H = =. 447 é uma cocretização de um ; etão H :.5 5 p value = ( >.447) = φ(.45) =.3 omo o p value é relativamete grade ão costitui prova suficiete cotra a hipótese ula, ou seja esta deve ser matida. Os ajustametos técicos parecem ão ter sido eficazes. ara o teste sobre a variâcia apresetase a resolução com as mesmas alterativas: p value ou ' ' 5* S 5*.93 ( S.93) ( ) ( (5)...878).5 H :. (6 ).93 Sob H, V H : é uma cocretização de um χ (5) ; etão p value ( (5).878). 5 Neste caso a decisão ão é tão clara como o caso aterior pois ão há uma evidêcia clara cotra ou a favor da hipótese ula! Um p value, apesar de muito baixo, aida deixa margem ao decisor para mater ou rejeitar a hipótese ula cosoate os seus desejos políticos e a sua sesibilidade. m geral a decisão deve ser de rejeitar a hipótese ula...as... Note que pode dialogar com : se habitualmete trabalhássemos com valores de α acima dos.5%, há evidêcia estatística para rejeitar a hipótese ula, logo podemos cocluir que os ajustametos técicos foram eficazes. Se trabalharmos com valores para α abaixo dos.5%, a decisão e coclusão fiais serão cotrárias. Note o etato que a ideia do p value ão é de dialogar com (sempre descofortável para quem se iicia esta liturgia) mas dar ao decisor a possibilidade de optar mais flexivelmete por uma ou outra das situações.

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