Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina: Algumas Distribuições

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1 Deartameto de Iformática Discilia: do Desemeho de Sistemas de Comutação Algumas Distribuições Algumas Distribuições Discretas Prof. Sérgio Colcher Coyright by TeleMídia Lab. Distribuição de Beroulli Um eerimeto de Beroulli tem somete dois resultados aleatórios ossíveis: sucesso fracasso A variável aleatória que corresode ao eerimeto aterior é uma variável aleatória de Beroulli. A otação de uma distribuição de Beroulli é Be(), ode é a robabilidade de obter- se sucesso. Distribuição de Beroulli: Eemlos Laçameto de uma moeda Caso obteha-se uma cara: sucesso Caso obteha-se uma coroa: fracasso A direção que segue um veículo em uma bifurcação (camiho A ou B) Se segue o camiho A: sucesso Se segue o camiho B: fracasso 4

2 v.a. Be() Distribuição de Beroulli é uma variável aleatória discreta do eerimeto de Beroulli de arâmetro. Os resultados ossíveis deste eerimeto odem ser maeados os úmeros reais, logo: Domíio de : {, } P{ } P() P{ } P() Distribuição de Beroulli Fução Distribuição Cumulativa: F ( ) Valor eserado: E [ ]. + ( ).,, < 5 6 Distribuição de Beroulli: Gráficos Distribuição de Beroulli: Eemlo Fução Desidade de Probabilidade Fução Distribuição Cumulativa f() - E[] F() - T ifo Um acote de iformações é eviado elo trasmissor ao recetor através de uma coeão, sedo a robabilidade de que o acote chegue corretamete ao recetor. ifo chega corretamete a R: ifo ão chega corretamete a R: R 7 8

3 Distribuição geométrica 9 Cosidere N eerimetos de Beroulli ideedetes, cada um com robabilidade de êito A v.a Ge() rereseta o úmero de eerimetos (ou tetativas) até coseguir o rimeiro êito Fução de massa de robabilidade: P { } ( ),,... Fução Distribuição Cumulativa: ( ) F ( ) Distribuição Biomial Cosidere eerimetos ideedetes ideticamete distribuídos (iid), cada um com distribuição Beroulli de arâmetro. Se a variável de iteresse y corresode ao úmero de sucessos obtidos estes eerimetos, etão y é cohecida como uma variável aleatória biomial de arâmetros e. Uma distribuição biomial de arâmetros e se deota Bi(,), ode: é o úmero de eerimetos de Beroulli ideedetes realizados. é a robabilidade de obter um sucesso em cada um dos eerimetos,. Distribuição Biomial: Eemlos Uma moeda é laçada vezes. Se em cada laçameto se obtém cara (sucesso) com robabilidade,, qual é a robabilidade de que se obteha i sucessos ( i )? Observam-se veículos em uma bifurcação. Cada veículo segue o camiho A (sucesso) com robabilidade.. Qual é a robabilidade de que i veículos ( i ) ) sigam o camiho A (sucesso)? Distribuição Biomial: Eemlo T ifo... ifo ifo acotes de iformação são eviados elo trasmissor ao recetor através de uma coeão. A robabilidade de cada um dos acotes chegar corretamete a R é igual a. Qual é a robabilidade de que i acotes ( i ) de iformação cheguem corretamete ao recetor? R

4 Distribuição Biomial O eveto tetativas roduzem sucessos e - fracassos acotece de tatas maeiras quatas forem as amostras cotedo algarismos e - algarismos Logo Ou seja: de quatas maeiras diferetes odemos distribuir us elas osições Ou Aida: de quatas maeiras diferetes odemos escolher osições ara coter us o eveto tem tatos elemetos quato o úmero de suboulações (combiações) de tamaho da oulação de elemetos cada elemeto tem robabilidade ( ) - P( y ) ( ), j P( y ) ( ) j j j ( ), ( ) Distribuição Biomial Sejam,,,, ode as variáveis { i },,,,,,, são v.a. s iid Be(). Seja a v.a. y defiida or sua soma: etão: y i y Bi(, ) 4 E[ ] i P( i) i i i ( ) i! i i ( ) ( i)! i!! i ( ) ( i)!( i )! Distribuição Biomial i i ( )! ( i ) ( ) ( i)!( i )! Seja i E[ ] 5 i ( )! ( ) ( )!! ( ) P(y -) ara uma variável aleatória biomial formada de - eerimetos de Beroulli Logo: E [ ] Distribuição biomial: Gráficos P() P(<),,,.5.5 Fução de massa de robabilidade Bi(,.5) Fução de distribuição acumulada Bi(,.5)

5 Distribuição biomial: Gráficos P() P(<)... Fução de massa de robabilidade Bi(,.7) Fução de distribuição acumulada Bi(,.7) Distribuição biomial: Gráficos P() P(<)... Fução de massa de robabilidade Bi(,.5) Fução de distribuição acumulada Bi(,.5) Distribuição biomial: Gráficos Bi (,) P() P(<) Fução de massa de robabilidade Bi(5,.5) 5 5 Fução de distribuição acumulada Bi(5,.5) 5 5 9,4,5,,5 Bi (, ),,5,,5 4 i Com relação à fd de uma biomial tem-se que:..6.9 valor máimo se ecotra em E[] estritamete decrescete ara > E[] simétrica em relação a Eemlo:. e.9

6 Aroimação de Poisso Em várias alicações temos de tratar de eerimetos de Beroulli os quais, comarativamete, é muito grade e é muito equeo o que faz com que o roduto seja um valor de magitude moderada obs: é o valor eserado da Biomial Nesses casos, é coveiete usar uma aroimação obtida or Siméo D. Poisso (78-84) 84) ara a robabilidade de obtermos sucessos. Aroimação de Poisso Relembrado: Distribuição Biomial P( y ) ( ), ( ) P( y ) ( ) m lim e m m lim P( y ) e Aroimação de Poisso Aroimação de Poisso ( ) ( ) P( y ) ( )! P( y ) ( )!! P( y )!!! ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) P y P y ( ) ( ) + Se é muito equeo: P( y ) ( ) lim P y lim P( y ) e P( y ) P( y ) e P y P y e P( y ) e! 4 P( y ) ( ) lim P y P( y ) P( y ) e ( ) ( ) Aroimação ara Bi(,) quado é muito grade e é equeo. Defiido um arâmetrotal que etão: Aroimação ara Bi(, /) quado é muito grade e é equeo

7 Distribuição de Poisso Distribuição de Poisso Massa de Probabilidade P( y ) e! F ( ) P( ) i F ( ) e i! P{i},,8,6,4, i 5 6 { } P,,8,6,4, Distribuição de Poisso: Cumulativa Algumas Distribuições Cotíuas 8

8 Distribuição Uiforme 9 Uma v.a. é dita uiformemete distribuída o itervalo [a,b] quado sua f.d. é dada or a b b a f( ) caso cotrário F () a b b a f () a b Distribuição Eoecial e, f ( ) e u( ), < F ( ) f ( Y ) dy y e Y dy e, F ( ) ( e ) u( ), < Distribuição Eoecial Distribuição eoecial σ.5.5 E[] f - ( ) e f () f ( ) e

9 Distribuição Eoecial Distribuição Eoecial F ( ) e σ E[] F ( ) e Distribuição Normal (Gaussiaa) f ( ) e σ π ( µ ) σ ( ) µ σ, 5 F ( ) f ( Y ) dy y µ + erf σ µ σ µ σ 5