Objetivos. Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. Testes não-paramétricos. Testes paramétricos

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1 Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacioametos ou modelos (testes ão paramétricos). Os testes de hipóteses ser: Paramétricos e Não Paramétricos. podem Testes ão-paramétricos Testes paramétricos Um teste ão paramétrico testa outras situações que ão parâmetros populacioais. Estas situações podem ser relacioametos, modelos, depedêcia ou idepedêcia e aleatoriedade. Evolvem parâmetros populacioais. Um parâmetro é qualquer medida que descreve uma população. 1

2 Os pricipais parâmetros são: µ (a média) π (a variâcia) (o desvio padrão) (a proporção) (1) Formular a hipótese ula (H 0 ) H 0 : θ θ 0 Epressar em valores aquilo que deve ser testado; Esta hipótese é sempre de igualdade; Deve ser formulada com o objetivo de ser rejeitada. () Formular a hipótese alterativa (H 1 ) (Testes simples) H 1 : θ θ 1 (Testes compostos) H 1 : θ > θ 0 (teste uilateral à direita) θ < θ 0 (teste uilateral à esquerda) θ θ 0 (teste bilateral). (3) Defiir um valor crítico (α) Isto evolve defiir um poto de corte a partir do qual a hipótese ula será rejeitada (aceita a hipótese alterativa). Esta hipótese é de fato a epressão daquilo que ser quer provar. (4) Calcular a estatística teste A estatística teste é obtida através dos dados amostrais, isto é, ela é a evidêcia amostral; A forma de cálculo depede do tipo de teste evolvido, isto é, do modelo teórico ou modelo de probabilidade.

3 (5) Tomar uma decisão A estatística teste e o valor crítico são comparados e a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese ula é formulada; Se for utilizado um software estatístico pode-se trabalhar com a sigificâcia do resultado (p-value) ao ivés do valor crítico. (6) Formular uma coclusão Epressar em termos do problema (pesquisa) qual foi a coclusão obtida; Não esquecer que todo resultado baseado em amostras está sujeito a erros e que geralmete apeas um tipo de erro é cotrolado. Em resumo Decisão a População: ser tomada Valor do Questão a ser parâmetro Não rejeitar a feita hipótese Qual é a difereça etre o Difereça valor observado da pequea estatística e o valor hipotético da parâmetro? Difereça grade Amostra: Valor Rejeitar a da estatística. hipótese Dispõem-se se de duas moedas com aparêcias idêticas, só que uma (M 1 ) é equilibrada, isto é, P(Cara) P(Coroa) 50%, equato que a outra (M ) é viciada de tal forma que favorece cara a proporção de 80%, ou seja, P(Cara) 80% equato que P(Coroa) 0%. Supõem-se que uma das moedas é laçada e que com base a variável úmero de caras, deve-se decidir qual delas foi laçada. Neste caso o teste a ser feito evolve as seguites hipóteses: 3

4 H 0 : A moeda laçada é a equilibrada (M 1 ) (p 50%) H 1 : A moeda laçada é a viciada (M ) (p 80%) p proporção de caras. Tem-se que tomar a decisão de apotar qual foi a moeda laçada, baseado apeas em uma amostra de, por eemplo, 5 laçametos. Lembrar que a população de laçametos possíveis é, este caso, ifiita. A decisão, é claro, estará sujeita a erros, pois se estará tomado a decisão em codições de icerteza, isto é, baseado em uma amostra de apeas 5 laçametos das ifiitas possibilidades. A decisão será baseada as distribuições amostrais das duas moedas. A tabela mostra as probabilidades de se obter os valores: 0, 1,, 3, 4 e 5, da variável úmero de caras, em uma amostra de 5, laçametos de cada uma das moedas. Sob H 0 ~ B(5; 0,5) Assim: 5 P ( ) p q 5 0,5 0,5 5 0, Sob H 1 ~ B(5; 0,8) Assim: P ( ) p q , 5 0,

5 P( ) sob H 0 P( ) sob H 1 0 1/3 3,15% 1/315 0,03% 1 5/3 15,65% 0/315 0,640% 10/3 31,50% 160/315 5,10% 3 10/3 31,50% 640/315 0,480% 4 5/3 15,65% 180/315 40,960% 5 1/3 3,15% 104/315 3,768% Total 1 100% 1 100% Para poder aceitar ou rejeitar H 0 e como coseqüêcia, rejeitar ou aceitar H 1, é ecessário estabelecer uma regra de decisão, isto é, é ecessário estabelecer para que valores da variável iremos rejeitar H 0 Desta forma, estabelecedo-se que se vai rejeitar H 0, se a moeda der um úmero de caras igual a 4 ou 5, pode-se etão determiar as probabilidades de tomar as decisões corretas ou erradas. Assim o cojuto de valores que levará a rejeição da hipótese ula será deomiado de região crítica (RC) e, este caso, este cojuto é igual a: RC { 4, 5 } A faia restate de valores da variável é deomiada de região de aceitação ou de ão-rejeição (RA) e, este caso, este cojuto vale: RA { 0, 1,, 3 } Etão se H 0 for rejeitada porque assumiu o valor 4 ou 5, pode-se estar cometedo um erro. A probabilidade de se cometer este erro é igual a probabilidade de ocorrêcia destes valores sob H 0, isto é: 5

6 α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P( 4 ou 5 / p 0,50) 5/3 1/3 6/3 18,75% Nível de sigificâcia do teste. O outro tipo de erro possível de ser cometido é aceitar H 0 quado ela é falsa, que é deomiado de erro do tipo II. β P(Erro do Tipo II) P(Aceitar H 0 H 0 é falsa) P( 0, 1, ou 3 p 80%) 1/315 0/ / /315 81/315 6,7 7% β ( )/315 81/315 6,7% P( ) sob H 0 P( ) sob H 1 0 1/3 3,15% 1/315 0,03% 1 5/3 15,65% 0/315 0,640% 10/3 31,50% 160/315 5,10% 3 10/3 31,50% 640/315 0,480% 4 5/3 15,65% 180/315 40,960% 5 1/3 3,15% 104/315 3,768% Total 1 100% α 5/ % 1/3 6/3 18,75% Realidade H 0 é verda- deira H 0 é falsa Decisão Aceitar H 0 Decisão correta 1 - α P(Aceitar H 0 / H 0 é verdadeira) Erro do Tipo II β P(Cometer Erro do tipo II) P(Aceitar H 0 / H 0 é falsa) P(Aceitar H 0 / H 1 é verdadeira) Rejeitar H 0 Erro do Tipo I α P(Cometer Erro do tipo I) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) Nível de sigificâcia do teste Decisão correta 1 - β P(Rejeitar H 0 / H 0 é falsa) Poder do teste. 6

7 Uma ura cotém quatro fichas das quais θ são azuis e 4 - θ são vermelhas. Para testar a hipótese ula de que θ cotra a alterativa de θ, retiram-se duas fichas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese ula se as duas fichas forem da mesma cor. Determie o ível de sigificâcia e o poder do teste. Espaço amostra S { VV, AA, AV, VA } Sob H 0 : θ Região Crítica Região de Não Rejeição Sob H 0 : θ O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quado ela é verdadeira, este caso ele é a probabilidade de retirarmos duas fichas da mesma cor, quado a ura tem duas de cada cor. α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P(VV, AA / θ ) ,33% 1 Mas O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quado ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é a: P( VV, AA H 0 é falsa ) 1- β P( VV, AA / H 0 é falsa ) P( VV, AA / H 1 é verdadeira) P( VV, AA / θ ). Assim devemos aalisar quatro situações: θ 0, θ 1, θ 3 e θ 4 7

8 Isto é: θ 0 θ 1 θ 3 θ 4 θ 0 Neste caso Etão: 1- β P( P( VV, AA θ ) P( VV, AA θ 0 ) % 4 3 θ 1 Neste caso Etão: 1- β P( VV, AA θ ) P( VV, AA θ ) % θ 3 Neste caso Etão: 1- β P( VV, AA θ ) P( VV, AA θ 3) % 4 3 θ 4 Neste caso Etão: 1- β P( VV, AA / θ ) P( VV, AA / θ 0 ) % 4 3 Em Resumo, tem-se: θ β 1 - β α 0 0% 100% 1 50% 50% ,33% 3 50% 50% 4 0% 100% 8

9 Poder do Teste 1 β Erro do Tipo II β θ θ Um dado é laçado seis vezes para testar a hipótese ula de que P(F 1 ) 1/6 cotra a alterativa de que P(F 1 ) > 1/6 Rejeita-se a hipótese ula se úmero de faces um for maior ou igual a quatro. Determiar o ível de sigificâcia e o poder do teste. Espaço amostra S { 0, 1,, 3, 4, 5, 6 } Região de Rejeição (Crítica) Região de Não H 0 : p 1/6 Rejeição H 0 : p > 1/6 Sob H 0 : p 1/6 O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quado ela é verdadeira, este caso ele é a probabilidade de obtermos 4, quado 6 e p 1/6. α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) P( 4 p 1/6) ,87%

10 O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quado ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é P( 4 H 0 é falsa). Mas 1- β P( 4 H 0 é falsa ) P( 4 H 1 é verdadeira) P( 4 p > 1/6 ). Neste caso, o poder do teste é uma fução de p. Vamos avaliar esta fução para algus valores de p. Poder do Teste Erro do Tipo II p 1- β p 1- β p 1- β 0,0 1,70 0,55 44,15 0,90 98,41 0,5 3,76 0,60 54,43 0,95 99,78 0,30 7,05 0,65 64,71 1,00 100,00 0,35 11,74 0,70 74,43 0,40 17,9 0,75 83,06 0,45 5,53 0,80 90,11 0,50 34,37 0,85 95,7 β 1 β p Uma amostra Média Proporção Variâcia Duas amostras Depedetes Idepedetes Difereça de médias Difereça de médias Difereça de proporções Igualdade de variâcias 10

11 Média ( µ ) Proporção ( π ) Variâcia ( ) H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 (teste uilateral/uicaudal à direita) µ < µ 0 (teste uilateral/uicaudal à esquerda) µ µ 0 Neste caso a variável teste é: Z > z c (teste uilateral/uicaudal à direita) Z µ µ Z < z c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Z > z c Ode zc é tal que: Φ(z c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 α/ A eperiêcia passada mostrou que as otas de Probabilidade e Estatística, estão ormalmete distribuídas com média µ 5,5 e desvio padrão,0. Uma turma de 64 aluos deste semestre apresetou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este resultado mostra uma melhora de redimeto a uma sigificâcia de 5%. 11

12 Hipóteses: H 0 : µ 5,5 H 1 : µ > 5,5 Dados:,0 64 5,9 α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita com cohecido. A variável teste é: Etão: Z µ Z,0 µ 5,9 5,5 64 µ 0,4,0 8 3,,0 1,60 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) 1- α 1 0,05 95%. Etão z c Φ 1 (0,95) 1,645. Assim RC [1,645; ) Decisão e Coclusão: Como z 1,60 RC ou 1,60 < 1,645, Aceito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia ão se pode afirmar que os resultados desta turma são melhores. Região de Não Rejeição 1,60 α 5% RC [ 1,645 ; ) Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (1,60), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z > 1,60), isto é, p P(Z > 1,60) 1 Φ(1,60) Φ(-1,60) 5,48%. Como a sigificâcia do resultado (5,48%) é maior que a sigificâcia do teste (5%) ão é possível rejeitar a hipótese ula. Neste caso a variável teste é: t 1 ˆ µ µ s 1

13 t -1 > t c (teste uilateral/uicaudal à direita) t -1 < t c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) t -1 > t c Ode t c é tal que: P(t < t c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) P(t < t c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) P(t < t c ) α/ ou P(t > t c ) α/ Supoha que a sua empresa comprou um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a 5% de sigificâcia, a afirmação do fabricate de que a duração média das lâmpadas é maior que 800 horas. Para isto você usa uma amostra de 36 lâmpadas e ecotra uma média 80 horas com desvio de 70 horas. Isto cofirma a afirmação do fabricate? Hipóteses: H 0 : µ 800 horas H 1 : µ > 800 horas Dados: horas s 70 horas α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita com descohecido. A variável teste é: Etão: t t 1 µ ˆ µ s s µ 1,714 13

14 O valor crítico t c é tal que: P(T > t c ) 1- α Etão t c 1,690. Assim RC [1,690; ) Decisão e Coclusão: Como t 1,714 RC ou 1,714 > 1,690, Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia, pode-se afirmar que a duração média das lâmpadas é superior a 800 horas. Região de Não Rejeição 1, 714 α 5% RC [ 1,690 ; ) Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (1,714), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(T 35 > 1,714). Utilizado o Ecel, tem-se: Como a sigificâcia do resultado (4,77%) é meor que a sigificâcia do teste (5%) é possível rejeitar a hipótese ula. Vimos que a probabilidade de cometer erro do tipo I é determiada ou fiada. Já a probabilidade do erro do tipo II ormalmete ão é determiada, pois a hipótese alterativa forece um cojuto ifiito de opções. Etretato se supormos valores para a hipótese alterativa a probabilidade β de se cometer erro II pode ser determiada. 14

15 A probabilidade de erro II depede do valor real de θ (parâmetro sedo testado). Ela será grade para pequeos afastametos e pequea para grades afastametos. Se os valores de β forem plotados em fução do parâmetro suposto θ teremos uma curva represetado os valores de do erro do tipo II. Determiar a curva do erro do tipo II para os dados do problema das otas da turma de Estatística. Tem-se: Hipóteses: H 0 : µ 5,5 H 1 : µ > 5,5 Dados:,0 64 5,9 α 5% Devemos determiar: β P(Aceitar H o H o é falsa). Mas: µ β P( Z < 1, 645 ) P ( < 1, 645 ) 5,5 P ( < 1,645 ) P( < 1, 645.,0 64 P ( < 1, 645.,0 64,0 64 5,5 ) P ( < 6,35 ) 5,5 ) β para α 5%, 64 e s,0 µ β µ β µ β 5,5 95,00 6, 59,68 6,9 1,40 5,6 9,58 6,3 51,79 7,0 8,77 5,7 89,34 6,4 43,84 7,1 6,00 5,8 85,0 6,5 36,13 7, 3,96 5,9 80,09 6,6 8,94 7,3,53 6,0 74,05 6,7,51 7,4 1,59 6,1 67,18 6,8 16,98 7,5 0,93 Erro do tipo II para α 5%, 64 15

16 Cosidere as hipóteses: H 0 : µ µ e supoha que a 0 variabilidade é H 1 : µ µ 0 cohecida. Para determiar β (probabilidade de erro do tipo II) supohamos que a hipótese ula é falsa e determiamos a distribuição de Z 0. Vamos supor que a média verdadeira é µ 1 µ δ, δ > 0. Como H 1 é verdadeira Z 0 é distribuído como: Z µ µ 1 - µ -( δ δ Z µ 1 -δ ) Logo a distribuição de Z 0 é: Z 0 δ ~ N (, 1 ) Sob H 0 Sob H 1 N ( 0, 1 ) δ N (, 1 ) As distribuições de Z 0 sob H 0 e H 1 são mostradas a próima lâmia. Z α / β 0 Z δ α / Z 0 Note-se que se H 1 é verdadeira, o erro do tipo II só vai ocorrer quado o valor de Z 0 estiver a região de aceitação, isto é, δ quado -z a/ Z 0 z a/ ode ~ N (, 1 ) Z 0 Esta probabilidade é determiada por: δ β Φ( z / - ) Φ( z α / α - se o teste é bilateral e por: δ β Φ( z α - se o teste é uilateral ) δ ) 16

17 A CCO (Curva Característica de Operação) é represetada em um diagrama, ode o eio as abscissas é registrado o valor d δ / e o eio das ordeadas a probabilidade de erro do tipo II (β). Esta probabilidade em fução de d é: β Φ( z / -d ) -Φ( z α / α - se o teste é bilateral e por: β Φ( z α -d ) d ) se o teste é uilateral CCOs a 5% para um teste bilateral CCOs a 5% para um teste uilateral CCOs a 1% para um teste bilateral 17

18 CCOs a 1% para um teste uilateral H 0 : π π 0 H 1 : π > π 0 (teste uilateral/uicaudal à direita) π < π 0 (teste uilateral/uicaudalà esquerda) π π 0 Neste caso a variável teste é: P µ Z P P P π π( 1 π ) Z > z 0 (teste uilateral/uicaudal à direita) Z < z 0 (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Z > z 0 Afirma-se que 40% dos aluos de uma uiversidade são fumates. Uma amostra de 5 estudates selecioados ao acaso mostrou que apeas 7 eram fumates. Teste a 1% a hipótese de que a afirmação foi eagerada. Hipóteses: H 0 : π 40% H 1 : π < 40% Dados: f 7 5 p 7/53% α 1% Trata-se de um teste uilateral à esquerda para a proporção. A variável teste é: 18

19 Etão: P µ Z P P µ P Z P P P π π( 1 π) 0,3 0,40 0,40( 1 0,40 ) 5 0,08 0, 036,45 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,01 1%. Etão z c Φ 1 (0,01) -,33. Assim RC (- ;-,33] Decisão e Coclusão: Como z -,45 RC ou -,45 < -,33. Rejeito H 0, isto é, a 1% de sigificâcia posso afirmar que a afirmação é eagerada. α 1% RC ( ;,33],45 Região de Não Rejeição Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (-,45), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -,45), isto é, p P(Z < -,45) Φ(-,45) 0,71%. Como a sigificâcia do resultado (0,71%) é meor que a sigificâcia do teste (1%) é possível rejeitar a hipótese ula. H 0 : 0 H 1 : > 0 (teste uilateral/uicaudal uicaudal à direita) < 0 (teste uilateral/uicaudal uicaudal à esquerda) 0 Neste caso a variável teste é: ( 1 ) s χ 1 19

20 χ > χ 1 c (teste uilateral/uicaudal à direita) χ < 1 χ c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) ou χ > < 1 χ c χ 1 χ c Ode P( (teste uilateral/uicaudal à direita) P ( χ > χ χ 1 1 < χ ) 1 - α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) P( c c ) α χ < χ ) α / ou P( χ > χ ) α / 1 é tal que: c 1 c O fabricate de uma certa marca de surdia de carro divulga que as suas peças tem uma variâcia de 0,8 aos. Uma amostra aleatória de 16 peças mostrou uma variâcia de um ao. Utilizado uma sigificâcia de 5%, teste se a variâcia de todas as peças é superior a 0,8 aos. Hipóteses: H 0 : 0,8 aos H 1 : > 0,8 aos Dados: 16 s 1 ao α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita para a variâcia. A variável teste é: Etão: χ ( 1 ) χ 1 15 ( 1 ) s s ( 16 1 ) ,8 0,8 18, 75 O valor crítico c c é tal que: P(c > c c ) a 5%. Etão: c c 4,996. Assim: RC [4,996; ) Decisão e Coclusão: Como χ 15 18,75 RC ou 18,75 < 4,996, Aceito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia, ão se pode afirmar que a variâcia é maior que 0,80 aos. 0

21 Região de Não Rejeição 18,75 α 5% RC [ 4,996 ; ) Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (18,75), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(χ 15 > 18,75). Utilizado o Ecel, tem-se: Como a sigificâcia do resultado obtido (,59%) é maior que a sigificâcia do teste (5%) ão é possível rejeitar a hipótese ula. Depedetes Teste t para amostras emparelhadas Idepedetes Variâcias Cohecidas Variâcias Descohecidas Teste z Supostas iguais Supostas diferetes 1

22 Difereça etre duas médias (µ 1 - µ ) Difereça etre duas proporções (π 1 - π ) Igualdade etre duas variâcias ( Y ) Neste caso a variável teste é: Z > z c (teste uilateral/uicaudal à direita) Z Y µ Y m Z < z c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Z > z c Ode z c é tal que: Φ(z c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 α/ Uma grade empresa quer comprar peças de dois forecedores diferetes. O forecedor A alega que a durabilidade é de 1000 horas com desvio de 10 horas, equato que o forecedor B diz que a duração média é de 1050 horas com desvio padrão de 140 horas.

23 Para testar se a durabilidade de B é realmete maior, duas amostras de tamaho m 64, de cada um dos forecedores, foram obtidas. A duração média da amostra A foi de 995 horas e a B foi de 105. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia? Hipóteses: H 0 : µ 1 µ H 0 : µ 1 < µ Dados: m ; e Y 105 α 5% Trata-se de um teste uilateral à esquerda com 1 e cohecidos. A variável teste é: Z Etão: Z µ m Y m Y ,30 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,05 5%. Etão z c Φ 1 (0,05) -1,645. Assim RC (- ; -1,645] Decisão e Coclusão: Como z -1,30 RC ou -1,30 > -1,645, Aceito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia ão se pode afirmar que a média de A é meor que a média de B α 5% 1,30 RC ( ; 1, 645;] Região de Não Rejeição Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (-1,30), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -1,30), isto é, p P(Z < -1,30) Φ(-1,30) 9,68%. Como a sigificâcia do resultado (9,68%) é maior que a sigificâcia do teste (5%) ão é possível rejeitar a hipótese ula. 3

24 Ode s é dado por: Neste caso a variável teste é: t υ ˆ µ s 1 1 m s ( s 1 ) ( m 1 ) m e v é dado por: m - s Y Um relatório da defesa do cosumidor mostrou que um teste com oito peus da marca A apresetaram uma vida média de km com um desvio padrão de 3500 km e que doze de uma marca cocorrete B, testados as mesmas codições, tiveram uma durabilidade média de km com variabilidade de 400 km. Supodo que as variâcias populacioais sejam as mesmas e admitido uma sigificâcia de 5%, verifique se é possível afirmar que as duas marcas diferem quato a durabilidade média. E se a sigificâcia fosse 1% qual seria a coclusão? Hipóteses: H 0 : µ 1 µ H 0 : µ 1 µ Dados: 8; m 1 s A 3500; s B ; Y α 5% ; Trata-se de um teste t bilateral com 1 e supostamete iguais. A B A variável teste é: t m Ode: s ˆ ( 1 ) µ S A m s. ( m 1 ) 1 S B 1 m 4

25 s Etão: Y t 18 1 S., m , , O valor crítico t c é tal que: P( Τ 18 > t c ) α 0,05 5%. Etão t c T 1 (0,9750),101. Assim RC (- ; -,101] [,101; ) Decisão e Coclusão: Como t -,19 RC ou -,19 < -,101, Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia posso afirmar que a vida média das duas marcas difere. ν m t ν t18 α α,5%,5% Região de Não Rejeição RC ( ;,101] U[,101; ),19 O valor crítico t c é tal que: P( T 18 > t c ) α 0,01 1%. Etão t c T -1 (0,9950),878. Assim RC (- ; -,878] [,878; ) Decisão e Coclusão: Como t -,19 RC ou -,19 > -,878, Aceito H 0, isto é, a 1% de sigificâcia ão posso afirmar que a vida média das duas marcas difere. Ode v é dado por: Neste caso a variável teste é: t υ ˆ µ s s Y m υ S S Y m S S Y m 1 m 1 5

26 Rejeita-se a hipótese ula se: t v > t c (teste uilateral/uicaudal à direita) t v < t c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) t v > t c Ode t c é tal que: P(t v < t c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) P(t v < t c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) P(t v < t c ) α/ ou P(t v > t c ) α/ Uma empresa fabrica trasistores do tipo A e do tipo B. A marca A, mais cara, é supostamete pelo meos 60 horas mais durável do que a marca B. Um usuário quer saber se vale a pea pagar mais pela marca A e resolve testar se, de fato, ela é mais durável. Testa 0 ites de A ecotrado uma vida média de 1000 horas com desvio de 60 horas, equato que 0 ites da marca B apresetam uma vida média de 910 horas com desvio de 40 horas. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia? Hipóteses: H 0 : µ 1 - µ 60 H 0 : µ 1 - µ > 60 Dados: m 0 s A 60; s B ; Y 910 α 5% ; A Trata-se de um teste t uilateral à direita com 1 e supostamete desiguais. B A variável teste é: Ode: t υ υ ˆ µ S S Y m Y 1 m 1 ( S ) ( S m) s s Y m 6

27 t E: υ s Y s m 0 0 1, υ O valor crítico t c é tal que: P(T 33 > t c ) α 0,05 5%. Etão t c T -1 (0,95) 1,69. Assim RC [ 1,69 69; ) Decisão e Coclusão: Como t 1,861 RC ou 1,861 > 1,69, Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia posso afirmar que a vida média da marca é pelo meos 60 horas maior que a marca B. t ν t33 Região de Não Rejeição υ α 5% RC [ 1,69 ; ) 1,861 Teste para a difereça etre duas proporções: H 0 : π 1 π H 1 : π 1 π > (teste uilateral/uicaudal à direita) π 1 π < (teste uilateral/uicaudal à esquerda) π 1 π Neste caso a variável teste é: Z P 1 P ˆ µ P 1 P P 1 P P 1 P P 1( 1 P 1 ) P ( 1 P ) m Rejeita-se a hipótese ula se: Z > z c (teste uilateral/uicaudal à direita) Z < z c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Z > z c 7

28 Ode z c é tal que: Φ(z c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 - α/ A reitoria de uma grade uiversidade etrevistou 600 aluos, 350 mulheres e 50 homes, para colher a opiião sobre a troca do sistema de avaliação da uiversidade. Da amostra 140 mulheres e 115 homes estavam a favor. Teste a 5% se eiste difereça sigificativa de opiião etre homes e mulheres. Hipóteses: H 0 : π 1 π H 0 : π 1 π Dados: 350; m 50 p 1 140/350 40% p 115/50 46% α 5% ; Trata-se de um teste bilateral para a proporção. A variável teste é: P 1 Z P 1( 1 P 1 ) P ( 1 P ) m 0,40 0,46 0 0,40( 1 0,40 ) 0,46( 1 0,46 ) ,06,1 0,0718 P O valor crítico z c é tal que: P( Ζ > z c ) α 0,05 5%. Etão z c Φ 1 (0,05) -1,96. Assim RC (- ; -1,96] [ 1,96; ) Decisão e Coclusão: Como z -,11 RC ou -,11 < -1,96, Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia posso afirmar que as opiiões diferem etre homes e mulheres.,1 α α,5% Região de Não Rejeição,5% RC ( ; 1,96 ] U[ 1,96 ; ) 8

29 Teste para a igualdade de duas variâcias: 1 H 0 : 1 H 1 : > (teste uilateral/uicaudal à direita) 1 < (teste uilateral/uicaudal à esquerda) Neste caso a variável teste é: S S F 1, m 1 Y 1 Rejeita-se a hipótese ula se: F -1, m-1 > f (teste uilateral/uicaudal à direita) F f -1, m-1 < (teste uilateral/uicaudal à esquerda) F > f ou F f c c -1, m-1 c -1, m-1 < c Ode F -1;m-1 é tal que: P( F 1, m-1 > F c ) α (teste uilateral/uicaudal à direita) P ( P ( F F 1, m-1 < F ) (teste uilateral/uicaudal à esquerda) 1, m-1 c α > F c ) α / ou P( F 1, m-1 < F ) α/ c O desvio padrão de uma dimesão particular de um compoete de metal é satisfatório para a motagem do compoete. Um ovo forecedor está sedo cosiderado e ele será preferível se o desvio padrão é meor do que o do atual forecedor. Uma amostra de 100 ites de cada forecedor é obtido. Forecedor atual: s 1 0,0058 Novo forecedor: s 0,0041 A empresa deve trocar de forecedor se for cosiderado uma sigificâcia de 5%? 9

30 Hipóteses: H 0 : 1 H 0 : 1 > Dados: m 100 s 1 0,0058 s 0,0041 α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita para a igualdade de variâcias. A variável teste é: F S S 1 Etão: Que apreseta uma distribuição F com 1 g.l. o umerador e m 1 g.l. o deomiador. f s s 1 0,0058 0,0041 1,41 O valor crítico f c é tal que: P( F > f c ) α 0,05 5%. Etão f c F 1 (0,05) 1,39. Assim RC [ 1,39; ) Decisão e Coclusão: Como f 1,41 RC ou 1,41 < 1,39, Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia posso afirmar que a variâcia do forecedor atual é maior do que a do ovo forecedor. F -1;m-1 F 99 ; 99 1,39 α 5% Região de Não Rejeição RC [ 1,39 ; ) 1,41 H 0 : µ D H 1 : µ D > (teste uilateral/uicaudal à direita) µ D < (teste uilateral/uicaudal à esquerda) µ D 30

31 Neste caso a variável teste é: t υ D ˆ D µ D D S D Ode : d d i ( d i d ) d i d s 1 1 e v é dado por: 1 m 1. Ode t c é tal que: t -1 > t c (teste uilateral/uicaudal à direita) t -1 < t c (teste uilateral/uicaudal à esquerda) t -1 > t c P(t -1 < t c ) 1 α (teste uilateral/uicaudal à direita) P(t -1 < t c ) α (teste uilateral/uicaudal à esquerda) P(t -1 < t c ) α/ ou P(t -1 > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal) Um laboratório possui dois equipametos de precisão. O diretor suspeita que eiste uma pequea difereça de calibração etre os dois (ele ão sabe em qual deles) de modo que um tede a dar leituras um pouco maiores do que o outro. Ele propõe testar os dois aparelhos através da leitura de 10 medidas (tabela a próima lâmia) em cada um dos aparelhos. Faça o teste adequado a uma sigificâcia de 5%. 31

32 Aparelho A Aparelho B 1, 1,5 1,1 1, 10,55 10,57 13,33 13,3 11,4 11,47 10,30 10,30 1,3 1,36 13,7 13,9 11,93 11,91 1,50 1,61 Hipóteses: H 0 : µ D 0 H 1 : µ D 0 Uma vez que as amostras ão são idepedetes, trata-se do teste t para amostras emparelhadas. Dados: m 10 α 5% A variável teste é: Ode: s t 1 D d ˆ D µ ( i d ) 1 D D S d D d d i i 1 d A B d i d i 1, 1,5 0,30 0,0900 1,1 1, 0,10 0, ,55 10,57 0,0 0, ,33 13,31-0,0 0, ,4 11,44 0,0 0, ,30 10,30 0,00 0,0000 1,3 1,36 0,04 0, ,7 13,9 0,0 0, ,93 11,90-0,03 0,0009 1,50 1,61 0,11 0, ,56 0,116 Tem-se: d i s d 1 A variável teste é: t d 0,56 d i 0, , , D 0, , S D 0,0971 0, ,0971 1,84 O valor crítico z c é tal que: P( T > t c ) α 0,05 5%. Etão t c T 1 (0,05),6. Assim RC [,6; ]. Decisão e Coclusão: Como t 1,84 RC ou 1,84 <,6, Aceito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia ão se pode afirmar que as leituras são diferetes. 3

33 t ν t9 α 5% Região de Não Rejeição 1,84 RC [,6 ; ) A prova χ² de uma amostra é aplicada quado se está iteressado o úmero de idivíduos, objetos ou respostas que se equadram em categorias (duas ou mais). Deve comprovar se eiste difereça sigificativa etre o úmero observado em determiada categoria e o úmero esperado, baseado a hipótese de ulidade. O método usado é comparar frequêcias observadas com esperadas de acordo com a hipótese de ulidade. A hipótese de ulidade pode ser testada por: χ k -1 k ( O i - E i 1 Ei i ) Se há cocordâcia etre os valores observados e os esperados, as difereças (O i - E i ) serão pequeas e χ será também pequeo. Se as divergêcias, etretato, forem grades, o valor de χ, será também grade. 33

34 A distribuição amostral de χ, sob Ho, calculada pela fórmula aterior, segue uma distribuição qui-quadrado com um úmero de graus de liberdade igual a k-1 sedo k o úmero de categorias em que a variável foi classificada. Verificar se eiste ifluêcia do dia da semaa sobre o úmero de acidetes que ocorrem em um trevo rodoviário. Foram aotados 140 acidetes de acordo com o dia da semaa (ver tabela). Acidetes o trevo Boa Viagem Dia Número de acidetes Seguda 16 Terça 5 Quarta 16 Quita 19 Seta 7 Sábado 10 Domigo 7 H 0 : O úmero de acidetes é igual H 1: O úmero de acidetes é diferete Dados: 140 k 7 α 5% gl k 1 6 Cálculo do Dia Observados Esperados (O i E i ) / E i Seguda ,80 Terça 5 0 1,5 Quarta ,80 Quita ,05 Seta 7 0,45 Sábado ,00 Domigo 7 0,45 Total ,80 Tem-se que: Etão: χ k -1 7 ( O - i 1 i k ( O i - E i 1 Ei χ i i 1,80 6 E ) E Valor observado do Qui-Quadrado i ) 34

35 χ 6 O valor crítico χ 6 é tal que P ( χ > t ) 5% 6 Assim, este valor é: t 1,59 Região de Não Rejeição 1,80 α 5% RC [ 1,59 ; ) Decisão e Coclusão: Como RC ou 1,80 > 1,59, c 1,80 Rejeito H 0, isto é, a 5% de sigificâcia se pode afirmar que os acidetes depedem do dia da semaa. Opção: Trabalhar com a sigificâcia do resultado obtido (1,80), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(χ 6 > 1,80). Utilizado o Ecel, tem-se: Como a sigificâcia do resultado obtido (4,63%) é meor que a sigificâcia do teste (5%) é possível rejeitar a hipótese ula. 35

Prof. Lorí Viali, Dr.

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) E X. ) = 0 2 ( 1 p ) p = p. ) E 2 ( X ) = p p 2 = p ( 1 p ) ( ) = i 1 n. ( ) 2 n E( X) = ( ) = 1 p ( ) = p V ( X ) = E ( X 2 E X 3.5 A distribuição uiforme discreta Defiição: X tem distribuição uiforme discreta se cada um dos valores possíveis,,,, tiver fução de probabilidade P( X = i ) = e represeta-se por, i =,, 0, c.c. X ~ Uif

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