Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Teste de Hipótese

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1 Estatística: Aplicação ao Sesoriameto Remoto SER 4 - ANO 18 Teste de Hipótese Camilo Daleles Reó camilo@dpi.ipe.br

2 Estimação de Parâmetros Como já foi visto, um parâmetro pode ser estimado através de um úico valor (estimador potual) ou a partir de um itervalo de cofiaça Por exemplo: f(x) f( )? amostra 1,,..., descohecido IC Isso é particularmete útil quado ão se cohece ada a respeito do parâmetro e/ou distribuição estudada. Mas se já houvesse uma ideia de qual deveria ser o valor deste parâmetro descohecido, haveria algum procedimeto para comprovar ou refutar esta suposição? Teste de Hipótese

3 Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Hipóteses H : = 1 H 1 : 1 z (hipótese ula) (hipótese alterativa),4 defiição de uma estatística que relacioa o parâmetro ao seu, estimador (válida sob qualquer hipótese) ~ N(,1) Teste de Hipótese para,14,1,1,8,6 Pressuposições: a) População tem distribuição Normal ou Teorema do Limite Cetral é válido b) Variâcia populacioal é cohecida N(,1) - + 3

4 Teste de Hipótese para Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Hipóteses H : = 1 H 1 : 1 z Se H é verdadeira, etão 1 z ~ N (,1) (hipótese ula) (hipótese alterativa) ~ N(,1),14,1,1,8,6,4, (válida somete se H for verdadeira) Quais os valores desta estatística idicariam que H seria verdadeira? E quais os valores desta estatística idicariam que H seria falsa? N(,1) z <<< Se H falsa z = Se H verdadeira z >>> Se H falsa 4

5 Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Hipóteses H : = 1 H 1 : 1 z Se H é verdadeira, etão 1 z ~ N (,1) Região Crítica: (hipótese ula) (hipótese alterativa) ~ N(,1) aceito H se z crít < z < z crít rejeito H caso cotrário Teste de Hipótese para,14,1,1,8,6,4, -z crít 1 z crít N(,1) rejeição de H P( z crít < z < z crít ) = 1 - P( z > z crít ) = aceitação de H rejeição de H Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ) 5

6 Teste de Hipótese para Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Por simplificação, cosideremos que,14 = 16. Adote = 5%. Hipóteses H : = 1 H 1 : 1 z (hipótese ula) (hipótese alterativa) ~ N(,1),1,8,6,4, Se H é verdadeira, etão 1 11,3 1 z ~ N (,1) z 1, Região Crítica:,1 -z crít 1,96 z crít N(,1) - -1, rejeição de H aceito H se 1,96 z crít < z z < z crít 1,96 P( z crít < z < z crít ) = 1 - rejeito H caso cotrário P( z > z crít ) =,5% 195%,5% aceitação de H rejeição de H Coclusão: (sempre ão há razões associada para a discordar um ível de que sigificâcia) a média seja de fato 1, adotado-se 5% de sigificâcia 6 1,65

7 Teste de Hipótese para Em algus casos, há evidêcias de que, se o parâmetro ão for aquele defiido a hipótese ula, ele será maior ou etão meor do que o valor testado. No exemplo aterior, 11,3 Com esta média amostral, pode-se pesar que o verdadeiro valor de é a realidade maior do que aquele defiido a hipótese ula (H : = 1). Neste caso, pode-se defiir a hipótese alterativa como uilateral. 7

8 Hipóteses H : = 1 H 1 : > 1 z z ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão 1 ~ N (,1) Região Crítica: Teste de Hipótese para Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Por simplificação, cosideremos que = 16. Adote = 5%. (teste uilateral),14,1,1,8,6,4, aceito H se z < z crít P(z < z crít ) = 1 - rejeito H caso cotrário P(z > z crít ) = 1 N(,1) - z crít aceitação de H rejeição de H se H for falso, etão espera-se valores de z bem maiores que zero. Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ) 8

9 Hipóteses H : = 1 H 1 : > 1 z z ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão 1 ~ N (,1) Região Crítica: Teste de Hipótese para Uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado a uma média amostral igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1? Por simplificação, cosideremos que = 16. Adote = 5%. (teste uilateral),14,1,1,8,6,4, 11,3 1 z 1, aceito H se z < z1,645 crít P(z < z crít ) = 1 - rejeito H caso cotrário P(z > z crít ) = 95% N(,1) 5% ,645 z crít + aceitação de H 1,65 rejeição de H Coclusão: (sempre ão há razões associada para a discordar um ível de que sigificâcia) a média seja de fato 1, adotado-se 5% de sigificâcia 9

10 Teste de Hipótese para Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a variâcia amostral. Teste a hipótese de que a verdadeira variâcia seja igual a 4. Hipóteses H : = 4 H 1 : 4 ( 1) s (hipótese ula) (hipótese alterativa) ~ Se H é verdadeira, etão ( 1) s 4 Região Crítica: ~ 1 aceito H se x a < < x b P(x a < < x b ) = 1 - rejeito H caso cotrário xa xb + rejeição de H aceitação de H rejeição de H Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ) 1

11 Teste de Hipótese para Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a variâcia amostral. Teste a hipótese de que a verdadeira variâcia seja igual a 4. Supoha que s =,34. Cosidere = 5%. Hipóteses H : = 4 H 1 : 4 ( 1) s ~ 1,5% 95% 4,5% Se H é verdadeira, etão 4s 4 Região Crítica: ~ 4 4.,34 14,4 4 xa xb +?? 11

12 Distribuição t + P 4 x a P ( ),975 P 4 x b ( ),5 ( g t ) g,5,1,5,5,1,9,95,975,99, ,88 6,63 5, 3,84,71,16,39,1,16,4 1,6 9,1 7,38 5,99 4,61,1,1,51,,1 3 1,84 11,34 9,35 7,81 6,5,58,35,,11,7 4 14,86 13,8 11,14 9,49 7,78 1,6,71,48,3,1 5 16,75 15,9 1,83 11,7 9,4 1,61 1,15,83,55, ,55 16,81 14,45 1,59 1,64, 1,64 1,4,87,68 7,8 18,48 16,1 14,7 1,,83,17 1,69 1,4,99 8 1,95,9 17,53 15,51 13,36 3,49,73,18 1,65 1,34 9 3,59 1,67 19, 16,9 14,68 4,17 3,33,7,9 1,73 1 5,19 3,1,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,5,56, ,76 4,7 1,9 19,68 17,8 5,58 4,57 3,8 3,5,6 1 8,3 6, 3,34 1,3 18,55 6,3 5,3 4,4 3,57 3,7 13 9,8 7,69 4,74,36 19,81 7,4 5,89 5,1 4,11 3, ,3 9,14 6,1 3,68 1,6 7,79 6,57 5,63 4,66 4,7 15 3,8 3,58 7,49 5,,31 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3, 8,85 6,3 3,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5, ,7 33,41 3,19 7,59 4,77 1,9 8,67 7,56 6,41 5, ,16 34,81 31,53 8,87 5,99 1,86 9,39 8,3 7,1 6, ,58 36,19 3,85 3,14 7, 11,65 1,1 8,91 7,63 6,84 4, 37,57 34,17 31,41 8,41 1,44 1,85 9,59 8,6 7, ,4 38,93 35,48 3,67 9,6 13,4 11,59 1,8 8,9 8,3 4,8 4,9 36,78 33,9 3,81 14,4 1,34 1,98 9,54 8, ,18 41,64 38,8 35,17 3,1 14,85 13,9 11,69 1, 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33, 15,66 13,85 1,4 1,86 9, ,93 44,31 4,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,1 11,5 1,5 6 48,9 45,64 41,9 38,89 35,56 17,9 15,38 13,84 1, 11, ,64 46,96 43,19 4,11 36,74 18,11 16,15 14,57 1,88 11,81 8 5,99 48,8 44,46 41,34 37,9 18,94 16,93 15,31 13,56 1,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,9 19,77 17,71 16,5 14,6 13,1 3 53,67 5,89 46,98 43,77 4,6,6 18,49 16,79 14,95 13, ,77 63,69 59,34 55,76 51,81 9,5 6,51 4,43,16, ,49 76,15 71,4 67,5 63,17 37,69 34,76 3,36 9,71 7, ,95 88,38 83,3 79,8 74,4 46,46 43,19 4,48 37,48 35, ,1 1,43 95, 9,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43, ,3 11,33 16,63 11,88 96,58 64,8 6,39 57,15 53,54 51, ,3 14,1 118,14 113,15 17,57 73,9 69,13 65,65 61,75 59, 1 14,17 135,81 19,56 14,34 118,5 8,36 77,93 74, 7,6 67,33 1

13 Teste de Hipótese para Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a variâcia amostral. Teste a hipótese de que a verdadeira variâcia seja igual a 4. Supoha que s =,34. Cosidere = 5%. Hipóteses H : = 4 H 1 : 4 ( 1) s ~ 1,5% 95% 4,5% Se H é verdadeira, etão 4s 4 Região Crítica: ~ 4 aceito H se 1,4 < < 39,36 rejeito H caso cotrário 4.,34 14,4 4 xa xb +? 1,4? 39,36 Coclusão: Aceito H, ou seja, ão há razões para discordar que, a 5%, = 4. 13

14 Teste de Hipótese para com descohecida Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a média amostral e a variâcia amostral. Supodo que 1,7 e s = 4,5, teste a hipótese uilateral de que = 15. Hipóteses H : = 15 (hipótese ula) H 1 : < 15 (hipótese alterativa uilateral) t ~ t 1 s Se H é verdadeira, etão 15 t ~ t 1 s Região Crítica: aceito H se t > t crít P(t > t crít ) = 1 - rejeito H caso cotrário,14,1,1,8,6,4, Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ) t crít rejeição de H 1 t 1 aceitação de H 14

15 Teste de Hipótese para com descohecida Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a média amostral e a variâcia amostral. Supodo que 1,7 e s = 4,5, teste a hipótese uilateral de que = 15. Cosidere = 1%. Hipóteses H : = 15 H 1 : < 15 t s ~ t 1 Se H é verdadeira, etão 15 t ~ t4 s Região Crítica: 1, 7 15 t,1 5 5,43,14,1,1,8,6,4, 1% -? rejeição de H 99% t 4 aceitação de H 15

16 Distribuição t de Studet,14,1,1,8,6,4, t + P( T t),1 4 PT ( 4, 49), 1 P( T t) g g,1,5,5,1,5 1 3,78 6,314 1,76 31,81 63,656 1,886,9 4,33 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4,64 5 1,476,15,571 3,365 4,3 6 1,44 1,943,447 3,143 3,77 7 1,415 1,895,365,998 3, ,397 1,86,36,896 3, ,383 1,833,6,81 3,5 1 1,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,1,718 3,16 1 1,356 1,78,179,681 3, ,35 1,771,16,65 3,1 14 1,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,6, ,337 1,746,1,583, ,333 1,74,11,567, ,33 1,734,11,55, ,38 1,79,93,539,861 1,35 1,75,86,58, ,33 1,71,8,518,831 1,31 1,717,74,58, ,319 1,714,69,5,87 4 1,318 1,711,64,49, ,316 1,78,6,485, ,315 1,76,56,479, ,314 1,73,5,473, ,313 1,71,48,467, ,311 1,699,45,46, ,31 1,697,4,457,75 4 1,33 1,684,1,43,74 5 1,99 1,676,9,43, ,96 1,671,,39,66 1 1,89 1,658 1,98,358,617 1,8 1,645 1,96,36,576 16

17 Teste de Hipótese para com descohecida Uma v.a. qualquer tem uma distribuição ormal com média e variâcia descohecidas. Retira-se uma amostra de 5 valores e calcula-se a média amostral e a variâcia amostral. Supodo que 1,7 e s = 4,5, teste a hipótese uilateral de que = 15. Cosidere = 1%. Hipóteses H : = 15 H 1 : < 15 t s ~ t 1 Se H é verdadeira, etão 15 t ~ t4 s Região Crítica: aceito H se t > -,49 rejeito H caso cotrário 1, 7 15 t 5,43,1 5,14,1,1,8,6,4, - -, rejeição de H Coclusão: rejeito H, ou seja, a média é sigificativamete (a 1%) meor que 15 1% 99% t 4 aceitação de H 17

18 Hipóteses H : p = p H 1 : p p pˆ p pq ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão z pˆ p pq Região Crítica: Teste de Hipótese para p ~ N(,1) difereça para a abordagem do IC para p aceito H se z crít < z < z crít rejeito H caso cotrário,14,1,8,6,4, P( z crít < z < z crít ) = 1 - P( z > z crít ) = Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ),1 1 N(,1) - -z crít z crít rejeição de H aceitação de H rejeição de H 18

19 Teste de Hipótese Erros I e II Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia e portato ão pode ser cosiderado 1% cofiável. Imagie a seguite situação: Hipóteses H : = H 1 : > Mesmo sedo H verdadeira, existe a possibilidade de se selecioar uma amostra desta população e obter uma média amostral tão alta que leve a coclusão errada de que H,14 é falsa? N(,1) f(x),1 >>> z > z,1 crít Se H é verdadeira, etão H falsa,8 z,4 ~ N(,1),,6 1 - z crít aceita H rejeita H amostra { 1,, 3, 4, 5 } 19

20 Teste de Hipótese Erros I e II Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia e portato ão pode ser cosiderado 1% cofiável. Imagie a seguite situação: Hipóteses H : = H 1 : > Mesmo sedo H verdadeira, existe a possibilidade de se selecioar uma amostra desta população e obter uma média amostral tão alta que leve a coclusão errada de que H é falsa? Sim. Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao ível de sigificâcia. Este erro é sempre cohecido sedo, em geral, defiido previamete pelo tomador de decisão.

21 Teste de Hipótese Erros I e II Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia e portato ão pode ser cosiderado 1% cofiável. Imagie a seguite situação: Hipóteses H : = H 1 : >,14,1 Se H fosse verdadeira: z ~ N(,1) ~ N(, ) z Agora, sedo H falsa, existe a,8 possibilidade de se selecioar uma,6 amostra desta população cuja média,4 verdadeira é 1 (> ) e obter uma, média amostral tão pequea que leve a coclusão errada de que H é verdadeira?,1 1 - z crít aceita H rejeita H 1

22 Teste de Hipótese Erros I e II Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia e portato ão pode ser cosiderado 1% cofiável. Imagie a seguite situação: Hipóteses H : = H 1 : >,14 Agora, sedo H falsa, existe a,1 possibilidade de se selecioar uma,1,8 amostra desta população cuja média,6 verdadeira é 1 (> ) e obter uma,4, média amostral tão pequea que leve a coclusão errada de que H é verdadeira? Se H for, de fato, falsa: N ~ (, ) ~ N( 1, ) 1 crít 1 N 1 ~ (, ) Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro. aceita H crít z crít rejeita H

23 Teste de Hipótese Erros I e II Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia e portato ão pode ser cosiderado 1% cofiável. Imagie a seguite situação: Hipóteses H : = H 1 : >,14 Agora, sedo H falsa, existe a,1 possibilidade de se selecioar uma,1,8 amostra desta população cuja média,6 verdadeira é 1 (> ) e obter uma,4, média amostral tão pequea que leve a coclusão errada de que H é verdadeira? Se H for, de fato, falsa: N ~ (, ) ~ N( 1, ) crít 1 N 1 ~ (, ) Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro. aceita H rejeita H Este erro é quase sempre egligeciado sedo iflueciado por diversos fatores (ver detalhes adiate). 3

24 Teste de Hipótese Erros I e II Hipóteses H : = H 1 : >,14,1,1,8 N ~ (, ) N 1 ~ (, ) Aceita H H é verd.,4 H é falso 1 -,6, crít 1 Rejeita H 1 - aceita H rejeita H P(rejeitar H / H é verdadeira) = (ível de sigificâcia ou erro do tipo I) P(aceitar H / H é verdadeira) = 1 - (ível de cofiaça) P(aceitar H / H 1 é verdadeira) = (erro do tipo II) P(rejeitar H / H 1 é verdadeira) = 1 - (poder do teste) Alterativas para dimiuir : distaciar 1 de aumetar aumetar melhor opção!!! 4

25 Cálculo do erro tipo II (erro ) Exemplo: uma amostra de 5 valores foi selecioada, chegado-se a uma média amostral igual a 11,3. Através de um teste z uilateral, chegou-se a coclusão de que a verdadeira média poderia ser igual a 1, adotado-se um ível de sigificâcia de 5% (cosiderado = 16). Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma coclusão, sedo a verdadeira média igual a 1, ou seja, qual o valor de? H : = 1 H 1 : > 1 z ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão z 1 ~ N (,1) 11,3 1 z,14 1,65 4,1 5,1,8 aceito H se z < 1,645,6 rejeito,4 H se z > 1,645 N(,1) 95%, 5% z crít =? 1,645 Coclusão: Aceito H, ou seja, a média é igual a 1 cosiderado 5% de sigificâcia 5

26 Cálculo do erro tipo II (erro ) Agora, cosiderado = 1 H : = 1 H 1 : = 1 = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) P(aceitar H ) P( Z 1, 645),14,1,1,8,6,4, 1 P(aceitar H ) P( 1, 645) 4 5 N(,1) 95% 5% H verdadeiro z crít = 1,645 aceitação de H 6

27 Cálculo do erro tipo II (erro ) Agora, cosiderado = 1 H H 1,14 H : = 1 H 1 : = 1 P(aceitar H ) P( 11,316) P ( 11,316 / 1),1,1,8,6,4 = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) P(aceitar H ) P( Z 1, 645), 1 P(aceitar H ) P( 1, 645) % aceitação de H 1 11,316 1 P( ) PZ (,855) PZ (,855), ,63% 1 crít 5% 11,316 1 Mas, e para outras hipóteses alterativas? + 7

28 Cálculo do erro tipo II (erro ) Cosiderado que a verdadeira média seja de fato igual a H : = 1 H 1 : = 11 = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) 5% 5 65,36% Este resultado idica que há uma alta probabilidade de se aceitar erroeamete a hipótese de que a média é igual a 1, mesmo sedo, de fato, a média igual a 11 Mas como dimiuir este erro, coservado-se o mesmo ível de sigificâcia ()? << aumetado-se o tamaho da amostra! >> 8

29 Cálculo do erro tipo II (erro ) Cosiderado que a verdadeira média seja de fato igual a H : = 1 H 1 : = 11 = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) 65,36% para = 5 45,11% para = 5 19, 6% para = 1 8 1,91.1 % para = % 9

30 Teste de Hipótese valor-p (p-value) Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia. Por exemplo: Com base um teste z uilateral a 5% de sigificâcia, pôde-se cocluir que a média é maior que uma vez que a estatística z obtida foi de,5 (z crítico = 1,645). H : = H 1 : >,14,1,1,8 Se H é verdadeira, etão,6 z z,5 ~ N(,1),4, N(,1) A média cotiuaria ser sigificativamete maior do que se fosse adotado um ível de sigificâcia de 1%? Para respoder a esta perguta, é ecessário calcular o ovo z crítico! 95% 1,645 5% Aceita H Rejeita H,5 Coclusão: Rejeita-se H a 5%, ou seja, a média parece ser mesmo maior que. 3

31 Teste de Hipótese valor-p (p-value) Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia. Por exemplo: Com base um teste z uilateral a 5% de sigificâcia, pôde-se cocluir que a média é maior que uma vez que a estatística z obtida foi de,5 (z crítico = 1,645). H : = H 1 : >,8 Se H é verdadeira, etão z z,5 ~ N(,1),14,1,1,6,4, 99% N(,1) ,33,5 Para = 1%, aida sim, rejeita-se H, ou seja, é maior que. 1% Aceita H Rejeita H Para que valores de, a média poderia ser cosiderada igual a? Coclusão: Rejeita-se H a 1% 31

32 Teste de Hipótese valor-p (p-value) Toda coclusão de um teste de hipótese está associada a um ível de sigificâcia. Por exemplo: Com base um teste z uilateral a 5% de sigificâcia, pôde-se cocluir que a média é maior que uma vez que a estatística z obtida foi de,5 (z crítico = 1,645). N(,1) H : = H 1 : >,14,1,1,8 Se H é verdadeira, etão z z,5 ~ N(,1),6,4, Aceita H Rejeita H Para = 1%, aida sim, rejeita-se H, ou seja, é maior que.,5,6%? valor-p = P(Z > z) Para que valores de, a média poderia ser cosiderada igual a? Pode-se aceitar H para qualquer ível de sigificâcia () meor que,6% uma vez que valor-p = P(Z >,5) =,6% 3

33 Teste de Hipótese valor-p (p-value) De fato, o valor-p refere-se à probabilidade de se obter uma estatística com um valor tão extremo (muito grade ou muito pequeo) quato ao obtido para uma amostra em particular. Este coceito pode ser aplicado para qualquer distribuição. Mas qual lado da distribuição devo escolher? Sempre o lado que iclui a área de rejeição de H ou aquele em que os valores mais raros estejam mais próximos da estatística calculada para a amostra,14 N(,1) 1 1,1,1,8,6,4, z valor-p = P(Z > z) valor-p = P( > ) valor-p = P( < ) 33

34 Teste de Hipótese valor-p (p-value) O valor-p quase sempre se refere a uma iterpretação de um teste uilateral pois é calculado cosiderado-se apeas um dos lados da distribuição Nos casos em que se pretede utilizar o valor-p para tirar coclusões a partir de testes bilaterais, basta multiplicar o valor-p por. 1 + valor-p = P( < ) valor-p bilateral = *P( < ) Para se calcular o valor-p, em geral, ão é possível utilizar tabelas de probabilidade, ecessitado o uso de fuções específicas em programas como o R ou o Excel R: pchisq(x,gl) Excel: DIST.QUIQUA(x;gl;1) ambas fuções calculam a área a esquerda do poto! Na prática, H será rejeitado toda vez que o valor-p for meor que o ível de sigificâcia () escolhido 34

35 Teste de Hipótese valor-p (p-value) Exemplo: Foram coletadas amostras (5 potos) em mapas a fim de avaliar sua exatidão. Procedeu-se o teste z para verificar quais deles possuíam exatidão (p) de,9 (ou 9%). A tabela abaixo apreseta a exatidão estimada, o resultado do teste (estatística z) e o valor-p de cada mapa. ˆp p Hipóteses H : p =,9 H 1 : p <,9 ˆp z valor-p Mapa 1,87 -,77,397 Mapa,6-6,6, Mapa 3,8-1,886,97 Mapa 4,84-1,414,786 z pq Quais mapas possuem exatidão meor que,9, com 5% de sigificâcia? Mapas e 3 Quais mapas possuem exatidão meor que,9, com 1% de sigificâcia? Somete Mapa 35

36 Iferêcia etre parâmetros de duas populações E ( ) 1 1 E( ) Mesmo ão se cohecedo as médias 1 e, seria possível verificar se elas são iguais a partir de seus valores amostrais? Se 1 e são iguais, etão 1 - =? ~? 1 36

37 Teste de Hipótese para 1 = Hipóteses H : 1 - = ( 1 = ) H 1 : 1 - i e i descohecidas mas 1 (t homocedástico) ( ) ( ) 1 1 ( 1 1) s1 ( 1) s ~ t 1,14,1 t 1,1 Se H é verdadeira, etão,8 t 1 ( 1 1) s1 ( 1) s 1 1 Região Crítica: 1 1 aceito H se t crít < t < t crít rejeito H caso cotrário,6 ~ t,4, t crít t crít P( t crít < t < t crít ) = 1 - P( t > t crít ) = 37

38 Teste de Hipótese para 1 = Hipóteses H : 1 - = ( 1 = ) H 1 : 1 - ( 1 ) ( 1 ) ~ t g s1 s 1 Se H é verdadeira, etão g,8 i e i s1 s, ,14 s1 s,1 1 descohecidas mas 1 (t heterocedástico) t g t 1 s s 1 1 ~ t g Região Crítica: aceito H se t crít < t < t crít rejeito H caso cotrário,6,4, 1 - -t crít t crít P( t crít < t < t crít ) = 1 - P( t > t crít ) = 38

39 Teste de Hipótese para 1 = Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições ormais com médias e variâcias descohecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variâcia para cada amostra. Teste a hipótese de que as médias populacioais ão diferem sigificativamete a 5% etre si, cosiderado que: 6 1,3 s, ,7 s 1, Usar teste t homocedástico ou heterocedástico? primeiramete deve-se testar se 1 39

40 Teste de Hipótese para Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições ormais com médias e variâcias descohecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calculam-se a média e a variâcia para cada amostra. Teste a hipótese de que as médias populacioais ão diferem sigificativamete a 5% etre si, cosiderado que: s s ,3 s, ,7 s 1, Hipóteses H : / 1 ( ) ~ F 1; 1 1 Se H é verdadeira, etão F 1 1 H : / s s 1 ~ F 1; 1 1 Região Crítica:,5%? 1 95% F 5;4,5% fa fb +? 4

41 Distribuição F P( F F),5 g, g 1 + F P F5,4 f b ( ),5 PF ( 5,4 1,99), 5 g , ,5 864, ,583 91, , ,17 956, ,85 968,67 973,5 976,78 984, ,13 998,81 11,414 15,598 18, ,175 38,563 39, 39, ,484 39,98 39, ,355 39,373 39, ,398 39,471 39, , , , , ,479 39, , , ,441 15,439 15,11 14, , ,644 14, , , ,374 14, ,57 14, , ,85 14,365 14,99 13, ,179 1,6491 9,979 9,645 9,3645 9,1973 9,741 8,9796 8,947 8,8439 8,7935 8,751 8,6565 8,5599 8,51 8,4613 8,4111 8,388 8, ,7 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6,757 6,6811 6,619 6,5678 6,545 6,477 6,386 6,679 6,69 6,175 6,1436 6,8 6 8,8131 7,599 6,5988 6,7 5,9876 5,8198 5,6955 5,5996 5,534 5,4613 5,498 5,366 5,687 5,1684 5,169 5,65 5,15 4,984 4, ,77 6,5415 5,8898 5,56 5,85 5,1186 4,9949 4,8993 4,83 4,7611 4,795 4,6658 4,5678 4,4667 4,445 4,364 4,389 4,763 4,11 8 7,579 6,595 5,416 5,56 4,8173 4,6517 4,586 4,4333 4,357 4,951 4,434 4,1997 4,11 3,9995 3,9367 3,894 3,8398 3,867 3, ,93 5,7147 5,781 4,7181 4,4844 4,3197 4,197 4,1 4,6 3,9639 3,911 3,868 3,7694 3,6669 3,635 3,564 3,555 3,4719 3, ,9367 5,4564 4,856 4,4683 4,361 4,71 3,9498 3,8549 3,779 3,7168 3,6649 3,69 3,517 3,4185 3,3546 3,311 3,554 3,14 3, ,741 5,559 4,63 4,751 4,44 3,887 3,7586 3,6638 3,5879 3,557 3,4737 3,496 3,399 3,61 3,1616 3,1176 3,613 3,68, ,5538 5,959 4,474 4,11 3,8911 3,783 3,665 3,5118 3,4358 3,3736 3,315 3,773 3,177 3,78 3,77,9633,963,8714, ,4143 4,9653 4,347 3,9959 3,7667 3,643 3,487 3,388 3,31 3,497 3,1975 3,153 3,57,9477,881,837,7797,7443, ,979 4,8567 4,417 3,8919 3,6634 3,514 3,3799 3,853 3,93 3,1469 3,946 3,5,9493,8437,7777,734,674,6384,5646 g 15 6,1995 4,765 4,158 3,843 3,5764 3,4147 3,934 3,1987 3,17 3,6 3,78,9633,861,7559,6894,6437,585,5488, ,1151 4,6867 4,768 3,794 3,51 3,346 3,194 3,148 3,488,986,9337,889,7875,688,6138,5678,585,4719, ,4 4,6189 4,11 3,6648 3,4379 3,767 3,1556 3,61,9849,9,8696,849,73,6158,5484,5,44,453, ,9781 4,5597 3,9539 3,683 3,38 3,9 3,999 3,53,991,8664,8137,7689,6667,559,491,4445,384,3468, ,916 4,575 3,934 3,5587 3,337 3,1718 3,59,9563,881,817,7645,7196,6171,589,448,3937,339,95,167 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,891 3,183 3,74,918,8365,7737,79,6758,5731,4645,3959,3486,873,493, ,866 4,4199 3,8188 3,4754 3,51 3,895,9686,874,7977,7348,6819,6368,5338,447,3558,38,465,81,18 5,7863 4,388 3,789 3,441 3,151 3,546,9338,839,768,6998,6469,617,4984,389,3198,718,97,171,91 3 5,7498 4,349 3,755 3,483 3,1835 3,3,93,877,7313,668,615,5699,4665,3567,871,389,1763,1374, ,7166 4,3187 3,711 3,3794 3,1548,9946,8738,7791,77,6396,5865,5411,4374,373,574,9,146,167,43 5 5,6864 4,99 3,6943 3,353 3,187,9685,8478,7531,6766,6135,563,5149,411,35,33,1816,1183,787 1, ,5675 4,181 3,5894 3,499 3,65,8667,746,6513,5746,511,4577,41,37,195,137,739,89 1,9681 1, ,439 4,51 3,4633 3,161,937,7444,638,589,4519,388,3343,88,1819,677 1,9943 1,949 1,875 1,834 1, ,343 3,9749 3,39 3,544,837,6736,553,4579,388,3168,67,16,19 1,9933 1,9186 1,8659 1,7963 1,75 1, ,1786 3,884 3,496,9166,6961,5374,4168,315,439,1793,145,773 1,9679 1,8486 1,775 1,7148 1,641 1,5917 1,

42 Distribuição F P( F F),5 g, g 1 + F P F5,4 f a ( ),5 PF ( 4,5?),5 PF ( 4,5,1), 5 1 PF ( 5,4 ),5,1 PF ( 5,4, 47), 5 g , ,5 864, ,583 91, , ,17 956, ,85 968,67 973,5 976,78 984, ,13 998,81 11,414 15,598 18, ,175 38,563 39, 39, ,484 39,98 39, ,355 39,373 39, ,398 39,471 39, , , , , ,479 39, , , ,441 15,439 15,11 14, , ,644 14, , , ,374 14, ,57 14, , ,85 14,365 14,99 13, ,179 1,6491 9,979 9,645 9,3645 9,1973 9,741 8,9796 8,947 8,8439 8,7935 8,751 8,6565 8,5599 8,51 8,4613 8,4111 8,388 8, ,7 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6,757 6,6811 6,619 6,5678 6,545 6,477 6,386 6,679 6,69 6,175 6,1436 6,8 6 8,8131 7,599 6,5988 6,7 5,9876 5,8198 5,6955 5,5996 5,534 5,4613 5,498 5,366 5,687 5,1684 5,169 5,65 5,15 4,984 4, ,77 6,5415 5,8898 5,56 5,85 5,1186 4,9949 4,8993 4,83 4,7611 4,795 4,6658 4,5678 4,4667 4,445 4,364 4,389 4,763 4,11 8 7,579 6,595 5,416 5,56 4,8173 4,6517 4,586 4,4333 4,357 4,951 4,434 4,1997 4,11 3,9995 3,9367 3,894 3,8398 3,867 3, ,93 5,7147 5,781 4,7181 4,4844 4,3197 4,197 4,1 4,6 3,9639 3,911 3,868 3,7694 3,6669 3,635 3,564 3,555 3,4719 3, ,9367 5,4564 4,856 4,4683 4,361 4,71 3,9498 3,8549 3,779 3,7168 3,6649 3,69 3,517 3,4185 3,3546 3,311 3,554 3,14 3, ,741 5,559 4,63 4,751 4,44 3,887 3,7586 3,6638 3,5879 3,557 3,4737 3,496 3,399 3,61 3,1616 3,1176 3,613 3,68, ,5538 5,959 4,474 4,11 3,8911 3,783 3,665 3,5118 3,4358 3,3736 3,315 3,773 3,177 3,78 3,77,9633,963,8714, ,4143 4,9653 4,347 3,9959 3,7667 3,643 3,487 3,388 3,31 3,497 3,1975 3,153 3,57,9477,881,837,7797,7443, ,979 4,8567 4,417 3,8919 3,6634 3,514 3,3799 3,853 3,93 3,1469 3,946 3,5,9493,8437,7777,734,674,6384,5646 g 15 6,1995 4,765 4,158 3,843 3,5764 3,4147 3,934 3,1987 3,17 3,6 3,78,9633,861,7559,6894,6437,585,5488, ,1151 4,6867 4,768 3,794 3,51 3,346 3,194 3,148 3,488,986,9337,889,7875,688,6138,5678,585,4719, ,4 4,6189 4,11 3,6648 3,4379 3,767 3,1556 3,61,9849,9,8696,849,73,6158,5484,5,44,453, ,9781 4,5597 3,9539 3,683 3,38 3,9 3,999 3,53,991,8664,8137,7689,6667,559,491,4445,384,3468, ,916 4,575 3,934 3,5587 3,337 3,1718 3,59,9563,881,817,7645,7196,6171,589,448,3937,339,95,167 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,891 3,183 3,74,918,8365,7737,79,6758,5731,4645,3959,3486,873,493, ,866 4,4199 3,8188 3,4754 3,51 3,895,9686,874,7977,7348,6819,6368,5338,447,3558,38,465,81,18 5,7863 4,388 3,789 3,441 3,151 3,546,9338,839,768,6998,6469,617,4984,389,3198,718,97,171,91 3 5,7498 4,349 3,755 3,483 3,1835 3,3,93,877,7313,668,615,5699,4665,3567,871,389,1763,1374, ,7166 4,3187 3,711 3,3794 3,1548,9946,8738,7791,77,6396,5865,5411,4374,373,574,9,146,167,43 5 5,6864 4,99 3,6943 3,353 3,187,9685,8478,7531,6766,6135,563,5149,411,35,33,1816,1183,787 1, ,5675 4,181 3,5894 3,499 3,65,8667,746,6513,5746,511,4577,41,37,195,137,739,89 1,9681 1, ,439 4,51 3,4633 3,161,937,7444,638,589,4519,388,3343,88,1819,677 1,9943 1,949 1,875 1,834 1, ,343 3,9749 3,39 3,544,837,6736,553,4579,388,3168,67,16,19 1,9933 1,9186 1,8659 1,7963 1,75 1, ,1786 3,884 3,496,9166,6961,5374,4168,315,439,1793,145,773 1,9679 1,8486 1,775 1,7148 1,641 1,5917 1,4833 4

43 Teste de Hipótese para Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições ormais com médias e variâcias descohecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calculam-se a média e a variâcia para cada amostra. Teste a hipótese de que as médias populacioais ão diferem sigificativamete a 5% etre si, cosiderado que: s s ,3 s, ,7 s 1, Hipóteses H : / 1 ( ) ~ F 1; 1 1 Se H é verdadeira, etão F 1 1 H : / s s 1 ~ F 1; 1 1 Região Crítica:,34 F 1,51 1,91 aceito H se,47 < F < 1,99 rejeito H caso cotrário,5%,47? 1 95% F 5;4,5% fa fb + Coclusão: Aceito H, ou seja, ão há razões para discordar que, a 5%, 1,99? 43 1

44 Teste de Hipótese para 1 = (cot.) Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições ormais com médias e variâcias descohecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variâcia para cada amostra. Teste a hipótese de que as médias populacioais ão diferem sigificativamete a 5% etre si, cosiderado que: 6 1,3 s, ,7 s 1, ,14 Hipóteses H : 1 - = ( 1 = ) H 1 : 1 -,1,1 t 65 ( ) ( ) 1 1 ( 1 1) s1 ( 1) s ~ t,8,6 1 (t,4 homocedástico),,5% 95%,5% Se H é verdadeira, etão t 1 ( 1 1) s1 ( 1) s ~ t t = -14, t crít t crít + Região Crítica: 1,997? aceito H se -1,997 < t < 1,997 rejeito H caso cotrário Coclusão: Rejeito H, ou seja, as médias são diferetes sigificativamete a 5% 44

45 Teste de Hipótese para p 1 = p Hipóteses H : p 1 p = (p 1 = p ) H 1 : p 1 p ˆ ˆ ( p1 p ) ( ) p1 p ~ N (,1) p q p q Se H é verdadeira, etão pˆ1 pˆ z 1 1 pq ˆˆ 1 Região Crítica: pˆ aceito H se z crít < z < z crít rejeito H caso cotrário,14,1,1,8,6,4, 1 1 pˆ ˆ 1 p - -z crít z crít rejeição de H P( z crít < z < z crít ) = 1 - P( z > z crít ) = 1 aceitação de H N(,1) rejeição de H Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia ) 45

46 para para Teste de Hipótese (resumo) N(,1) t 1 1 N(,1) se é cohecida se é descohecida ( 1) s 1 z t se e são cohecidas s para 1 - t 1 1 se e são descohecidas, mas 1 t g 1 se e são descohecidas, mas z ( ) ( ) t t homo hetero 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1) s1 ( 1) s ( 1 ) ( 1 ) s1 s 1 46

47 Teste de Hipótese (resumo) para N(,1) t 1 se é cohecida se é descohecida para 1 N(,1) 1 se e são cohecidas para 1 - t 1 1 se e são descohecidas, mas 1 F 1, 1 1 para 1 t g para p N(,1) para p 1 p N(,1) z F 1 se e são descohecidas, mas s s 1 1 ˆp p pq z ( pˆ pˆ ) ( p p ) pq ˆˆ pˆ 1 1 pˆ ˆ 1 p

48 Esquema mesma posição amostrada Esquema 1 escolha aleatória Comparado médias em images... 1 potos são escolhidos em cada imagem Imagem A Imagem B amostra A B amostra A B

49 Esquema Esquema 1 Comparado médias em images... amostra A B A B 1,8 sa 66,84 3, sb 41,11 H : A / B 1 H 1 : A / B 1 H : H: 1 A A B B teste F teste t (homo ou heterocedástico) amostra A B

50 Esquema Esquema 1 Comparado médias em images... amostra A B A B 1 1,8 sa 66,84 para teste bilateral multiplicar por 3, sb 41,11 H : A / B 1 H 1 : A / B 1 H : A H: A B B Fcalc 1,63 (valor-p =,4) Aceito H a 5% usar teste t homocedástico tcalc,37 (valor-p =,36) Aceito H a 5% (as médias são iguais) amostra A B A B 1,8 sa 66,84 3,4 sb 74,4 H : A / B 1 H 1 : A / B 1 H : H: 1 A A B B Fcalc,9 (valor-p =,44) Aceito H a 5% (usar teste t homocedástico) tcalc,43 (valor-p =,34) Aceito H a 5% (as médias são iguais) As amostras ão são idepedetes!!! 5

51 Esquema Esquema 1 Teste t pareado amostra A B A B 1 1,8 sa 66,84 3, sb 41,11 H : A / B 1 H 1 : A / B 1 H : A H: A B B Fcalc 1,63 (valor-p =,4) Aceito H a 5% usar teste t homocedástico tcalc,37 (valor-p =,36) Aceito H a 5% (as médias são iguais) amostra A B A-B AB H : A-B = H 1 : A-B < 1,6 sab, 7 Se H verdadeiro AB tcalc ~ t 1 s AB Teste t pareado tcalc 3,36 (valor-p =,4) Coclusão: Rejeito H a 5%, ou seja, a média da difereça é meor que zero 51

52 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Comparação de duas médias: teste-t Mas qual? Homo ou heterocedástico? 5

53 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo

54 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo

55 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Teste-F: duas amostras para variâcias Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 gl 9 9 F,5345 P(F<=f) ui-caudal,9349 F crítico ui-caudal 3, Para teste bilateral multiplicar por H : / 1 1 H : / Coclusão: através do teste-f, pode-se cocluir que ão há razões para discordar que as variâcias sejam iguais para os alvos 1 e, adotado-se um ível de sigificâcia de 5%, uma vez que valor-p foi maior que,5 (valor-p bilateral =,185). 55

56 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Teste-F: duas amostras para variâcias Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 gl 9 9 F,5345 P(F<=f) ui-caudal,9349 F crítico ui-caudal 3,

57 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Teste-F: duas amostras para variâcias Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 gl 9 9 F,5345 P(F<=f) ui-caudal,9349 F crítico ui-caudal 3,

58 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Teste-F: duas amostras para variâcias Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 gl 9 9 F,5345 P(F<=f) ui-caudal,9349 F crítico ui-caudal 3, H : 1 - = H 1 : 1 - Teste-t: duas amostras presumido variâcias equivaletes Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 Variâcia agrupada 63,44444 Hipótese da difereça de média gl 18 Stat t 4,94841 P(T<=t) ui-caudal 5,8E-5 t crítico ui-caudal 1,73464 P(T<=t) bi-caudal,16 t crítico bi-caudal,19 Coclusão: através do teste-t homocedástico (bilateral), pode-se cocluir que as médias dos alvos 1 e são diferetes, adotadose um ível de sigificâcia de 5%, uma vez que valor-p foi meor que,5 (valor-p bilateral =,16). 58

59 Teste de Hipótese / ECEL Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo Teste-F: duas amostras para variâcias Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 gl 9 9 F,5345 P(F<=f) ui-caudal,9349 F crítico ui-caudal 3, H : 1 - = H 1 : 1 - > Teste-t: duas amostras presumido variâcias equivaletes Alvo 1 Alvo Média 119, 11,6 Variâcia 9, ,4444 Observações 1 1 Variâcia agrupada 63,44444 Hipótese da difereça de média gl 18 Stat t 4,94841 P(T<=t) ui-caudal 5,8E-5 t crítico ui-caudal 1,73464 P(T<=t) bi-caudal,16 t crítico bi-caudal,19 Coclusão: através do teste-t homocedástico uilateral, pode-se cocluir que a média do alvo 1 deve ser maior que a do alvo, adotado-se um ível de sigificâcia de 5%, uma vez que valor-p foi meor que,5 (valor-p =,58). 59

60 Teste de Hipótese / R Exemplo: Para se comparar a resposta espectral de alvos, 1 pixels são escolhidos aleatoriamete de cada alvo, cujos resultados são apresetados abaixo. Adotado um ível de sigificâcia de 5%, podemos cocluir que, em média, os alvos apresetam a mesma resposta? amostra Alvo 1 Alvo > a1<-c(18,134,11,11,15,17,111,115,13,1) > a<-c(98,15,99,19,95,11,1,9,17,11) > var.test(a1,a) F test to compare two variaces data: a1 ad a F =.53, um df = 9, deom df = 9, p-value =.1847 alterative hypothesis: true ratio of variaces is ot equal to 1 > mea(a1) [1] 119. > mea(a) [1] 11.6 H : 1 - = H 1 : 1 - > H : 1 / = 1 H 1 : 1 / 1 > t.test(a1,a,var.equal=t,alterative="greater") Two Sample t-test data: a1 ad a t = 4.948, df = 18, p-value = 5.77e-5 alterative hypothesis: true differece i meas is greater tha Coclusão: a média do alvo 1 é sigificativamete (5%) maior que a média do alvo. 6

61 Pressuposição de Normalidade dos Dados Como foi visto, algumas distribuições usadas para a costrução de Itervalos de Cofiaça e Testes de Hipótese têm sua origem fudametada a codição de que as populações sejam ormalmete distribuídas. 1,,, amostra aleatória N i ~ (, ) s ~ t ~ 1 1 ( 1) s ( ) ( ) 1 1 ( 1 1) s1 ( 1) s ~ t 1 s s 1 1 ~ F 1, 1 1 Mas como a falta de ormalidade dos dados pode afetar os resultados? Para eteder o papel da ormalidade os testes de hipóteses, vamos simular amostrages de diferetes tamahos em populações com e sem ormalidade e avaliar os impactos sobre as coclusões de testes de hipóteses para e. 61

62 Testes de Hipótese para e Foram realizadas 1 simulações de amostras com tamaho = 5, 1 e 5 cosiderado as distribuições: 1 ~ Uiforme(1,3) : {1, 11,..., 3} = = 3366,67 ~ N( =, = 3366,67) Para cada amostra, foram calculadas a média e a variâcia amostrais e as respectivas estatísticas t e usadas pata testar as hipóteses cosiderado = 5%: H : = t H : = 3366,67 H 1 : s H 1 : 3366,67 ( 1) s A distribuição dos valores simulados foram comparados aos valores da distribuição teórica esperada Em seguida, cotabilizou-se a frequêcia com que as hipóteses ulas foram rejeitadas idevidamete, o que deveria correspoder, em teoria, ao valor de sigificâcia. (SimulacaoTesteHip.xlsx) 6

63 Testes de Hipótese para e Distribuições Simuladas: ~ N( =, = 3366,67) 1 ~ Uiforme(1,3) Proporção de H falsa (α) = 5 = 1 = 5 H : = 6,7% 5,6% 5,1% H : = 3366,67 1,7%,7%,% = P(rejeitar idevidamete H ) = 5% Rejeita mais! Aceita mais! = 5 = 1 = 5 = 1 s 1 σ t = 1 μ s 1 63

64 Testes de Hipótese para e Distribuições Simuladas: ~ N( =, = 3366,67) 1 ~ Uiforme(1,3) Proporção de H falsa (α) = 5 = 1 = 5 H : = 4,8% 5,1% 4,9% H : = 3366,67 4,7% 5,1% 5,% = P(rejeitar idevidamete H ) = 5% = 5 = 1 = 5 = 1 s σ t = μ s 64