PROF. DR. MARCONE AUGUSTO LEAL DE OLIVEIRA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE QUÍMICA GRUPO DE QUÍMICA ANALÍTICA E QUIMIOMETRIA (GQAQ) PROF. DR. MARCONE AUGUSTO LEAL DE OLIVEIRA

2 ESTATÍSTICA BÁSICA SUMÁRIO ( A PARTE) POPULAÇÕES E AMOSTRAS IMPORTÂNCIA DA FORMA DA POPULAÇÃO DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE GAUSS PARÂMETROS E ESTIMATIVAS TEOREMA DO LIMITE CENTRAL DISTRIBUIÇÃO Z E DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT HIPÓTESES ESTATÍSTICAS MECANISMO DOS ERROS EM UM TESTE ESTATÍSTICO PROTOCOLO PARA A REALIZAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES ESTIMATIVAS POR PONTO ESTIMATIVAS POR INTERVALO COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIAS UTILIZANDO O TESTE T TESTE DE COMPARAÇÃO ENTRE VARIÂNCIAS TEST F OU HARTLEY- TESTE DE LEVENE CONFIABILIDADE DOS RESULTADOS Mrcoe Marcoe/UFJF

3 POPULAÇÕES E AMOSTRAS Os aluos do curso de química l foram cotratados para avaliar o teor de itrato as águas do Lago dos Maacás. É ecessário que toda a água do lago seja aalisada para que se coclua sobre o teor de itrato? - População: É o cojuto de todos os idivíduos ou elemetos, que compartilham um grupo de características comus. ( é um ete teórico, em geral, iatigível). - População alvo ou população objeto: cojuto de idivíduos ou elemetos que possuem a iformação desejada pelo pesquisador. - Amostra: um subcojuto da população alvo, selecioado sob certas regras, que se presta para estimar, de modo cofiável, as iformações ecessárias ao pesquisador. 3

4 - Quato a forma de escolha : probabilística ou aleatória e ão probabilística ou determiística. Amostra aleatória ou probabilística: É aquela a qual cada elemeto da população alvo tem uma probabilidade fixa de ser icluído a amostra. Amostragem determiística ou ão probabilística: é aquela que ão utiliza seleção aleatória, trasferido o critério de seleção para o julgameto pessoal do pesquisador. - Quato à relação etre as respostas dos idivíduos: as amostras podem ser idepedetes (homogêea), pareadas ou emparelhadas (heterogêea). Amostras idepedetes: são aquelas as quais cada idivíduo é avaliado ou medido apeas uma vez durate o período experimetal. Isto é, a cada idivíduo está associado a apeas uma resposta. Amostras pareadas ou aos pares: são aquelas em que cada idivíduo é avaliado duas vezes, em tempos, locais e/ou codições diferetes. 4

5 IMPORTÂNCIA DA FORMA DA POPULAÇÃO METODOLOGIA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA PARAMÉTRICA ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA Média (µ) Variâcia (σ ) Distribuição ormal ou distribuição de Gauss Métodos que idepedem da forma de distribuição 5

6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU DE GAUSS µ + σ µ σ e ( x µ ) σ σ π dx σ σ σ µ z σ σ σ µ +.σ µ σ e ( x µ ) σ σ π dx f ( x; µ, σ ) ( x µ ) σ σ e π, < - cetrada a média µ ou x - desvio padrão σ ou s -simétrica - assitótica x < µ + 3σ µ 3σ e ( x µ ) σ σ π dx

7 PARÂMETROS E ESTIMATIVAS População Alvo Amostra µ N Amostragem Iferêcia Estatística x Parâmetros Descohecidos Estatística Descritiva Estimativas por itervalo Teste de hipóteses, Predições Tabelas, Gráficos, Estimativas por poto 7

8 Supoha como recurso didático que você coheça completamete uma população : Ela tem tamaho N 5 elemetos e está defiida através da variável X: µ X {,4,6,8,0} N i i i i ( x) N x x 6 σ ( x) N ( x i µ ) ( xi µ ) N 5 i i [( 6) + (4 6) (0 6) ] 8 5 Supoha aida que você ão saiba que µ (x) 6,0 e σ (x) 8,0, e que você deseja estimá-las por poto Supoha uma amostragem aleatória de tamaho com reposição: X 4, x 5 0, (x 4/ 7); x, x 4, (x 6/ 3) Note que os procedimetos são idêticos, mas como as amostras são aleatórias, isto é, foram obtidas por sorteio, elas podem coter quaisquer dois valores da população (variável X), resultado em diferetes estimativas por poto para a mesma média populacioal 8

9 É esse cotexto que são defiidas estimativas por itervalo, também cohecidos como itervalo de cofiaça. Desse modo, pode-se obter itervalos que, com um NÍVEL DE CONFIANÇA estabelecido a priori, cotém a média populacioal µ. Supoha que sejam retiradas da população em questão. Todas as possíveis amostras aleatórias, com reposição, de tamaho elemetos. (;) (;4) (;6) (;8) (;0) (4;) (4;4) (4;6) (4;8) (4;0) (6;) (6;4) (6;6) (6;8) (6;0) (8;) (8;4) (8;6) (8;8) (8;0) (0;) (0;4) (0;6) (0;8) (0;0) Cada uma dessas 5 amostras forece estimativas para a média, para a variâcia e para vários outros parâmetros. No presete caso, as estimativas da média populacioal µ (x) calculadas são:,0 3,0 4,0 5,0 6,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 9 Marcoe/UFJF

10 6 Médias x j,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Frequêcias f j Frequêcias ,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 Médias 7,0 4 8,0 9,0 0,0 Total 3 5 Calculado-se a média e a variâcia da distribuição de x, pela tabela e ispeção do gráfico, verifica-se umérica e graficamete um teorema importatíssimo a teoria da iferêcia estatística, o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL µ σ ( x) ( x) µ ( x) σ ( x) 6,0 8 4,0 0 Marcoe/UFJF

11 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL - As técicas estatísticas que serão apresetadas são robustas em relação o desvio da ormalidade. - Mesmo que a população de iteresse ão se distribua ormalmete, as técicas podem ser usadas, porque cotiuam aproximadamete validas. - Esta robustez vem em última aálise, do TEOREMA DO LIMITE CENTRAL, um dos teoremas fudametais da estatística, que diz essecialmete o seguite: SE A VARIAÇÃO TOTAL NUMA CERTA VARIÁVEL ALEATÓRIA FOR O RESULTADO DA SOMA DAS FLUTUAÇÕES DE MUITAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DE IMPORTÂNCIA MAIS OU MENSO IGUAL, A SUA DISTRIBUIÇÃO TENDERÁ PARA A NORMALIDADE, NÃO IMPORTA QUAL SEJA A NATUREZA DAS DISTRIBUIÇÕES DAS VARIÁVEIS INDIVIDUAIS.

12 Distribuição z e distribuição t de Studet N (0,) t(v) As dificuldades do emprego de s como uma estimativa de σ o cálculo do erro padrão foram estudadas por William Sealy Gosset ( ), pesquisador da empresa Guiess, famosa cervejaria de Dubli, a Irlada. O iteresse de Gosset esse problema estatístico tiha fortes motivos práticos, uma vez que os métodos empregados a época eram adequados a amostras grades, muito diferetes das pequeas com as quais tiha de trabalhar. Quado σ fosse descohecido, que se substituísse o valor crítico obtido a curva ormal pelo valor crítico de uma ova distribuição, a qual foi chamada distribuição t f z ( z) e σ π, < x < z x µ σ Γ(( υ + ) / ) ( υ+ f ( t; υ) ( + t / υ) )/, Γ( υ / ) πυ < t < t x µ s Marcoe/UFJF

13 TABELA PARA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 3

14 HIPÓTESES ESTATÍSTICAS -Testes de hipóteses: regra de decisão que permite, com base em iformações cotidas os dados amostrais, cocluir sobre parâmetros da população. - Hipótese estatística é uma suposição sobre algum parâmetro da população, que será posta à prova através do teste de hipóteses. Cosideram-se, sempre, duas hipóteses: H 0 e H a, deomiadas, respectivamete, hipótese de ulidade e hipótese alterativa. - Hipótese de Nulidade: H 0 hipótese que está sedo posta à prova. - Hipótese Alterativa: H a é a hipótese que será aceita, se H 0 for rejeitada o teste. Exemplos: H a : O ph médio da população alvo é diferete de 5,0 Teste bilateral H a : µ 5,0 H a : O ph médio da população alvo é meor que 5,0 Teste uilateral à esquerda H a : µ <5,0 H a : O ph médio da população alvo é maior que 5,0 Teste uilateral à direita H a : µ >5,0 Apeas uma delas, estabelecida a priori, será utilizada. 4

15 - Regiões críticas são as regiões de ão rejeição de H 0, que deotaremos RAH 0, e de rejeição de H 0, que deotaremos RRH 0. - Exemplo: esboço de um teste bilateral ou bicaldal, para a média de uma população ormal, Ha:µ µ 0 RAH 0 -alfa 0,95 RRH 0 alfa/ 0,05 RRH 0 alfa/ 0,05 -t Tab t Tab 5

16 MECANISMOS DOS ERROS NUM TESTE ESTATÍSTICO Realidade a População Resultado do Teste estatístico Não se rejeita H 0 Rejeita-se H 0 H 0 é verdadeira H 0 é falsa Resultado correto: Não há erro Erro do Tipo II Erro do tipo I Resultado correto: Não há erro Erro do tipo I ou da primeira espécie: rejeitar H 0, quado H 0 é verdadeira - A probabilidade de se cometer um erro tipo I, também cohecida como ível de sigificâcia do teste, é deotada por α e escolhida a priori pelo pesquisador. Em geral, o ível de sigificâcia α 0,05 (5%) é muito bem aceito pela comuidade cietífica. α P(erro tipo I) P(rejeitar H 0, quado H 0 é verdadeira) Erro do tipo II ou da seguda espécie: ão rejeitar H 0, quado H 0 é falsa -A probabilidade de se cometer um erro tipo II é deotada por β. β P(erro tipo II) P(ão rejeitar H 0, quado H 0 éfalsa) Poder de um teste estatístico: é a probabilidade de rejeitar H 0, quado H 0 éfalsa P - β 6 Marcoe/UFJF

17 PROTOCOLO PARA REALIZAÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES a- Euciar claramete as hipótese H 0 e H a ; b- Fixar o ível de sigificâcia α e determiar as regiões críticas do teste. Em geral α 0,05 (5%) ou α 0,0 (%); c- Calcular o valor da estatística, V, do teste, que depede do parâmetro que se quer testar; d- Decisão: se V RA, ão se rejeita H 0. Se V RR, rejeita-se H 0. Probabilidade de sigificâcia, p-valor ou ível descritivo do teste - Quado o teste de hipóteses é feito em computador, através de programa estatístico, recebemos como output o p-valor (p-value), ível descritivo ou probabilidade de sigificâcia do teste, que é a probabilidade de ocorrêcia de valores da variável V do teste (item c) mais extremos que o obtido através dessa amostra. - Assim a decisão pode ser feita em termos do p-valor: rejeitamos ou ão H 0, coforme o p-valor seja, respectivamete, meor ou ão que o ível α, de sigificâcia, estabelecido a priori. 7

18 RAH 0 -alfa 0,95 p-valor > 0,05 RRH 0 :alfa (α) 0,05 RRH 0 :alfa (α) 0,05 -t Tab -t Calc t Calc t Tab RRH 0 RAH 0 RRH 0 α 0,05 ível de sigificâcia área da direita de t Tab e esquerda de -t Tab p valor área `a direita de t Calc - Decisão: Se t Calc < t Tab, aceita-se H 0, caso cotrário, rejeita-se. - Decisão: Se p-valor > 0,05 (ível de sigificâcia ou seja o alfa α) aceita-se H 0, caso cotrário, rejeita-se 8

19 ESTIMATIVAS POR PONTO Média: x N i N x i Desvio padrão: s N i ( x i N x) S variâcia Muitas vezes, em situações práticas, precisamos comparar a variabilidade de dois ou mais cojutos de dados. Ocorre que tais cojutos podem estar descritos com diferetes uidades de medidas, por exemplo: metros e quilos, impossibilitado a comparação através das variâcias. Para viabilizar comparações desse tipo, defiiu-se o coeficiete de variação ou desvio padrão relativo, que exprime a variação percetual em relação à média e, idepede de uidades de medidas: CV % 00s x Coeficiete de variação: % 9

20 ESTIMATIVAS POR INTERVALO Uma estimativa por itervalo para a média, µ, de uma população ormal, obtida através de uma amostra aleatória de tamaho, ao ível de cofiaça -α, é dada por: x IC[ µ ] ( α ) : x ± t( α ; ) Ode: é a estimativa por poto, da média; s é a estimativa por poto do desvio padrão; é o tamaho da amostra; t é um valor tabelado da distribuição t de Studet, obtido com - graus de liberdade e α bilateral. s Teoricamete, isto sigifica que se retiramos todas as amostras possíveis de uma população e, com cada uma delas costruímos um itervalo de cofiaça, etão, 95% dos itervalos costruídos devem coter a média populacioal. Em outras Palavras, 5 em cada 00 ou em cada 0 itervalos ão deve coter a média populacioal. 0

21 EXEMPLO : O teor de carboidrato de uma glicoproteía (uma proteía com açucares fixados a ela) foi determiado como.6,.9, 3.0,.7 e.5 g de Carbidratos por 00 g de proteía através de aálises repetidas. Calcule o itervalo de cofiaça de 90% para o teor de carboidrato. a- 90% de cofiaça x - calcular (.54) e s (0.40) para as cico medidas; -obter o valor de t a tabela de distribuição t de Studet para 4 graus de liberdade; - calcular a estatística. µ x s (.3)(0.40) ± t( 4;0.0).54 ±.54 ± Esse cálculo sigifica que existe uma chace de 90% de que µ esteja detro do Itervalo.54 ± 0.38 (.6 a.9) O que acotece com o resultado quado aumetamos ou dimiuímos o ível de cofiaça?

22 COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM O TESTE t - O teste t é usado para comparar um grupo de medidas com outro, a fim de decidir se eles são ou ão diferetes. - A estatística os permite obter a probabilidade de que a difereça observada etre duas médias seja devida a erros de medida puramete aleatórios Os três casos possíveis são: Caso : Mede-se uma quatidade várias vezes, obtedo-se um valor médio e um desviopadrão. Compara-se o resultado obtido com um determiado valor que é cohecido e aceito. A média obtida ão cocorda exatamete com o valor que é aceito. A difereça é aceitável levado-se em cota o erro experimetal? Caso (amostra homogêea) : Mede-se uma quatidade diversas vezes utilizado dois métodos distitos, que forecem duas respostas diferetes, cada um com seu desviopadrão. Levado em cota o erro experimetal, existe uma cocordâcia ou uma discordâcia etre os dois resultados? Caso 3 (amostra heterogêea) : A amostra é medida uma vez pelo método A e uma vez pelo método B, que ão forecem exatamete o mesmo resultado. A seguir, uma amostra diferete, deomiada, é também medida uma vez pelo método A e uma vez pelo método B. Novamete, os resultados ão são exatamete iguais etre si. O procedimeto é repetido para amostras diferetes. Se o erro experimetal for levado em cota, os dois métodos cocordarão etre si, ou um será sistematicamete diferete do outro?

23 3 Marcoe/UFJF

24 ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA MEDIDA - Verificação dos pressupostos: - Normalidade (teste de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Teste de kolmogorov-smirov > 50) - Estabelecimeto das hipóteses estatísticas H 0 : µ A µ 0 H a : µ A µ 0 3- Escolha do ível de sigificâcia: α Determiação do valor crítico do teste Vai depeder dos graus de liberdade (Tabela de distribuição t de Studet) 5- Determiação do valor calculado do teste x µ 0 ( valor cohecido) t calculado s 6- Decisão se t calc > t crítico, rejeita-se H 0 ; p-valor < 0.05 se t calc < t crítico, aceita-se H 0 ; p-valor > Coclusão 4 Marcoe/UFJF

25 Caso - Comparado um resultado medido com um valor cohecido Exemplo : Uma amostra de carvão foi adquirida como sedo um Material Padrão de Referêcia, certificado pelo Istituto Nacioal de Padrões e Tecologia (NIST) dos Estados Uidos, cotedo 3.9% de exofre. Os valores medidos são 3.9, 3., 3.30 e 3.3% de exofre, dado uma média de x 3.6 e um desvio padrão de s Esta resposta cocorda com o valor forecido pelo NIST em um itervalo de 95% de cofiaça? - Verificação de pressupostos: - ormalidade (teste de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Teste de kolmogorov-smirov > 50) - Estabelecimeto das hipóteses estatísticas H 0 : µ A µ 0 H a : µ A µ 0 ; µ a < µ 0 ; µ a > µ 0 3- Escolha o ível de sigificâcia: α Determiar o valor crítico do teste (tabela t de Studet) -t (3; 0.05) Determiação do valor da estatística x µ 0 ( valor cohecido) t calculado s 6- Decisão: se t calc > t crítico, rejeita-se H 0 ; p-valor < 0.05 se t calc < t crítico, aceita-se H 0 ; p-valor > Como t calc < t tab, ão há evidêcias de difereças sigificativas etre as médias o itervalo de 95% (α 0.05) de cofiaça. 5 Marcoe/UFJF

26 ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES PARA UM GRUPO DE MEDIDAS - Verificação dos pressupostos: - Normalidade (teste de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Teste de kolmogorov-smirov > 50) - Verificação da relação e depedêcia ou idepedêcia etre as amostra (amostra homogêea ou heterogêea) gráfico de dispersão x.y - Teste de Homogeeidade ou homocedasticidade de variâcias (Teste F ou teste de Hartley / Teste de Levee) - Estabelecimeto das hipóteses estatísticas H 0 : µ A µ 0 H a : µ A µ 0 ; µ a < µ 0 ; µ a > µ 0 3- Escolha do ível de sigificâcia: α Determiação do valor crítico do teste Vai depeder da estatística utilizada (Tabela de distribuição t de studet) e dos graus de liberdade 5- Determiação do valor calculado do teste 6- Decisão se t calc > t crítico, rejeita-se H 0 ; p-valor < 0.05 se t calc < t crítico, aceita-se H 0 ; p-valor > Coclusão 6 Marcoe/UFJF

27 GRUPO DE MEDIDA NORMALIDADE (teste de Shapiro-wilk 3 < < 50 ou Teste de kolmogorov-smirov > 50) VERIFICAÇÃO DA RELAÇÃO DE DEPENDÊNCIA OU INDEPENDÊNCIA ENTRE AS AMOSTRAS (gráfico de dispersão) ALEATÓRIO? (homogêea) TENDÊNCIA? (heterogêea) TESTE t NÃO PAREADO TESTE t PAREADO HOMOCEDASTICIDADE Teste F ou teste de Hartley / Teste de levee σ A σ B σ A σ B TEST t AGRUPADO TEST t NÃO AGRUPADO 7

28 TESTE DE COMPARAÇÃO ENTRE VARIÂNCIAS - TESTE F ou Hartley - Hipóteses estatísticas H 0 : σ A σ B σ H a : σ A σ B - Escolha do ível de sigificâcia: α Determiação do valor crítico do teste gl N N - gl D D - Para se ecotrar valores iferiores, usa-se a idetidade: 4- Determiação do valor calculado 5- Decisão F ( ν, ν ) ( ν, ν) F s s maior Fcal meor se F calc > F crítico, rejeita-se H 0 ; p-valor < 0.05 se F calc < F crítico, aceita-se H 0 ; p-valor >

29 TABELA F BILATERAL 9

30 TABELA F : VALORES CRÍTICOS PARA UM TESTE UNILATERAL (α 0,05) 30

31 3 TESTE t NÃO PAREADO COM VARIÂNCIA AGRUPADA s x x t agrupado calculado + ) ( ) ( + + s s s agrupado ) / ; ( α + t Tabelado t TESTE t NÃO PAREADO COM VARIÂNCIA NÃO AGRUPADA s s x x t calculado + ) ( ) ( ) ( * + + s s s s ν *NOTA: Quado as variâcias são diferetes, o teste de médias é aproximado. Em outras palavras, a estatística do teste t calc tem distribuição aproximada de t, com ν graus de liberdade. O valor ν é obtido através da fórmula de Satterthwaite. Como esse valor ão é, em geral, iteiro, recomeda-se utilizar o valor iteiro mais próximo. a 0 ; ; : H ; : H : HIPÓTESES µ µ µ µ µ µ µ µ > < ) / ; ( α ν t Tabelado t Marcoe/UFJF

32 TESTE t PAREADO HIPÓTESES: H H 0 a : µ µ 0 : µ µ 0; µ µ < 0; µ µ > 0 t calc d sd ; i di xi y ; i,,..., pares di ( d ) i d + i i ; sd [ di ]; sd sd i t Tabelado t ( ; α / ) 3

33 CASO COMPARANDO MEDIDAS REPETIDAS Exemplo 3: Podemos utilizar um teste t para decidir se dois grupos de medidas repetidas forecem resultados idêticos ou diferetes, detro de um determiado ível de cofiaça. Um exemplo é dado pelo trabalho de Lorde Rayleigh (Joh W. Strutt), que atualmete é lembrado por seus estudos sobre espalhameto de luz, sobre a radiação do corpo egro sobre odas elásticas em sólidos. Ele gahou o Prêmio Nobel em 904 pela descoberta do gás ierte argôio. Essa descoberta ocorreu quado ele observou uma pequea discrepâcia etre dois grupos de medidas da desidade do gás itrogêio. Vejamos como utilizar o teste t para decidir se o gás isolado do ar é sigificativamete mais pesado do que o itrogêio isolado de fotes químicas. MASAS DO GÁS ISOLADO POR LORDE RAYLEIGH Do ar (g) Da decomposição química (g) Média Média Desvio-padrão Desvio-padrão FONTE: R.D. Larse, J. Chem. Ed. 990, 67,95 33 Marcoe/UFJF

34 Teste de ormalidade Shapiro-Wilk Estatística p-valor Teste F ou teste de Hartley Teste-F: duas amostras para variâcias Variável Variável Média Variâcia.9E-06.03E-08 Observações 8 7 gl 7 6 F P(F<f) ui-caudal.06e-05 F crítico ui-caudal Verificação de depedêcia ou idepedêcia etre as amostras Determiação do valor calculado do teste Teste-t: duas amostras presumido variâcias diferetes Variável Variável Média Variâcia.03E-08.9E-06 Observações 7 8 Hipótese da difereça de média 0 gl 7 Stat t.680 P(T<t) ui-caudal 5.6E-08 t crítico ui-caudal P(T<t) bi-caudal.e-07 t crítico bi-caudal

35 Exemplo 3: O teste t com amostras de composições diferetes ( teste t pareado ou emparelhado). Dois métodos diferetes A e B, foram usados para aalisar cico compostos diferetes de ferro (% de Fe). Amostra Método A Método B Método A 7.6 Método B 7.9 d d d ( d d ) Shapiro-Wilk Estatística p-valor d 0. 5 d 0. ( d d ) Verificação de depedêcia ou idepedêcia etre as amostras s d t calculado d s d Marcoe/UFJF

36 CONFIABILIDADE DOS RESULTADOS Rejeição de valores: - após aplicação de teste estatístico apropriado; - quado existir uma razão química ou istrumetal suficiete óbvia que possa justificar a exclusão do resultado. Exemplo: Os seguites valores foram questioados para a determiação de cádmio em amostra de poeira: 4.3; 4.; 4.0; 3. µg/g. O último valor deve ser rejeitado? Q valor questioado valor mais próximo maior valor meor valor Se o valor de Q for maior que o valor crítico de Q, que está a tabela Q, etão o valor questioado deve ser rejeitado. Q Não há evidêcias o itervalo de 95% de cofiaça para rejeição do valor 3. µg/g 36

37 VALORES CRÍTICOS DE Q (P 0.05) Tamaho da amostra Valor crítico J. Am. Statist. Assoc., 958, 48,

38 Pesameto... Podemos ser ludibriados por três formas de preguiça: a que se maifesta como itolerâcia, que é o desejo de adiar; a que se maifesta como setimeto de iferioridade, que é duvidar da própria capacidade; e a que se maifesta com a adoção de atitudes egativas, que é dedicar um esforço excessivo àquilo que ão é virtude. Dalai-Lama 38

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