Introdução à Inferência Estatística 1. Conceitos básicos em inferência

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1 Itrodução à Iferêcia Estatística 1. Coceitos básicos em iferêcia 1.1. População: cojuto de idivíduos, ou objetos, com pelo meos uma característica em comum. Também será deotada por população objetivo, que é sobre a qual desejamos obter iformações e/ou fazer iferêcias. Pode, aida, ser chamada de Uiverso. Será deotada por: U u,u,u, 1 3,u N u uidades elemetares, i = 1,,..., N. i N = o de elemetos, ou tamaho, da população. Na iferêcia estatística a população será defiida por: Cojuto de valores possíveis de uma característica observável (variável), associada a uma coleção de idivíduos ou objetos de iteresse. 1.. Amostra: subcojuto, ecessariamete fiito, de uma população. é selecioada de forma que todos os elemetos da população teham a mesma chace de serem escolhidos Plaejametos amostrais: são esquemas para coletas de dados uma pesquisa amostral. Existem vários tipos de plaejametos dos quais destacaremos: Amostra Aleatória Simples AAS Amostra Aleatória Estratificada AAE Amostra Aleatória por Coglomerados AAC

2 1.3. Estudo experimetal Experimeto o qual um tratameto é deliberadamete aplicado aos idivíduos (ou ites) a fim de observar a sua resposta. Exemplos: a) esaios para se verificar a dureza de materiais; b) estudos caso-cotrole em epidemiologia; c) pesos de cobaias submetidas à diferetes dietas; Requer um plaejameto experimetal. No estudo experimetal é muito importate determiar o úmero de elemetos ecessários, ou seja, o tamaho da amostra; É importate, também, plaejar adequadamete a amostra de maeira a ão iterferir os resultados Levatametos de dados A seguir, serão apresetadas algumas situações evolvedo levatametos de dados Uma amostra: sortear ao acaso elemetos de uma população para participar da amostra. Exemplos: a) detre os eleitores de um muicípio, sortear uma amostra para participar de uma pesquisa de iteção de votos; b) produzir uma amostra de peças de espuma, segudo uma específica formulação, para serem colocadas um teste de resistêcia à tração. Normalmete compara-se a amostra com um padrão já cohecido; Espera-se que a população seja homogêea (pouca variabilidade).

3 1 1 3 N População Amostra Duas amostras: amostras são retiradas de uma ou duas populações. quado dispomos de duas amostras, geralmete queremos realizar uma comparação etre as mesmas. i) Amostras idepedetes: ehum elemeto da primeira amostra iterfere os da seguda. a) Dois tratametos: tomar elemetos de uma úica população e dividi-los em dois grupos, de preferêcia de mesmo tamaho. (ou sortear, idepedetemete, duas amostras de uma mesma população) = 1 N População Amostras

4 b) Duas populações: sortear 1 elemetos da primeira população e da seguda e aplicar o mesmo tratameto em ambas N = N Populações Amostras ii) Amostras pareadas ou emparelhadas (depedetes): uma amostra observada em dois istates diferetes: (ates/depois), (tempo 1, tempo ). 1 1 Fazer as difereças: t d i = y i y i1 t 1 t Amostras

5 k amostras: quado se tem k 3 amostras para comparar. a) k grupos idepedetes: classificar, ao acaso, elemetos em k grupos tal que = k. O ideal é que todos os grupos sejam de mesmo tamaho: 1 = =... = k A 1 : 1,,..., 1 A : 1,,..., k grupos idepedetes A k : 1,,..., k A variável A é chamada de fator e os grupos A 1, A,..., A k são os tratametos ou íveis do fator A. b) Medidas repetidas: o mesmo grupo, de tamaho, é observado em k istates diferetes t 1 t t 3 t k

6 c) k grupos idepedetes com duas classificações: classificação de vários grupos quado se tem dois critérios (ou fatores) para a divisão dos mesmos. Cosidere, por exemplo, um fator com três íveis (A 1, A, A 3 ) e um segudo fator com dois íveis (B 1, B ), terem-se k = 3 = 6 grupos para serem comparados. A 1 B 1 A 1 B 1 B A 1 B A B 1 A B 1 B A B 6 grupos A 3 B 1 A 3 B 1 B A 3 B

7 RESUMO A) Estudo Amostral Amostragem Aleatória Simples - AAS Amostragem Aleatória Estratificada - AAE Amostragem Aleatória por Coglomerados - AAC Plaejametos Amostrais mais complexos 1 amostra 1 população B) Estudo Experimetal amostras k amostras ( k 3 ) Idepedetes Depedetes Idepedetes Depedetes tratametos (1 pop) 1 tratameto ( pop) dados pareados 1 fator fatores medidas repetidas

8 . Estimação.1. Parâmetro populacioal Geralmete deotado por, é uma característica populacioal de iteresse que pode ser expressa através de uma quatidade umérica. É descohecido e fixo. Exemplos: o de desempregados, salário médio de uma categoria ou população, opiião a respeito de uma dada atitude, casos de degue, tempo gasto com filhotes, tamaho da população tempo de vida o de votos para um determiado cadidato, produção agrícola, etc..... Espaço paramétrico Deotado por, é o cojuto dos possíveis valores de. Exemplos: = { < < }; = { 0 < < }; = { 0 1 }; = { ( 1, ) < 1 < e 0 < < }.

9 .3. Amostra aleatória: represetada pelas iiciais aa, é formada pela observação de variáveis aleatórias X 1, X,..., X, idepedetes e ideticamete distribuídas, iid. 1, X, X F ( x ) X, iid.4. Variável aleatória: uma variável aleatória ou va é uma característica descohecida, que pode variar de um idivíduo para outro da população e que, ao ser observada ou mesurada, deve gerar uma úica resposta. Tipos de variáveis: a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS. Podem ser classificadas em: ORDINAIS, quado obedecem a uma ordem atural ou NOMINAIS, quado ão seguem ehuma ordem. b) Variáveis quatitativas: variáveis cujos possíveis resultados são valores NUMÉRICOS, resultates de mesuração ou cotagem. Podem ser classificadas em: DISCRETAS, quado assumem valores um espaço fiito ou ifiito eumerável ou CONTÍNUAS, quado assumem valores um cojuto ão euméral (cojuto dos úmeros reais).

10 .5. Estatística: é uma medida umérica, S(X), que descreve uma característica da amostra e que ão depede de parâmetros descohecidos. A estatística é uma fução da amostra: S(X) = f (X 1, X,..., X ) toda estatística S(X) é uma va Exemplos: X i i X 1 média amostral, s i1 X i X 1 variâcia amostral, X (1) = míimo 1ª estatística de ordem, X () = máximo -ésima estatística de ordem. Nome PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS ESTATÍSTICA Amostra PARÂMETRO População Média X Variâcia s Correlação r X,Y X,Y Proporção pˆ p.6. Estimador: é uma quatidade, obtida a partir de uma amostra, que estima o valor de um parâmetro populacioal. Será deotado por T(X).

11 { T(X) } { S(X) }, ou seja, todo estimador é uma fução da amostra e, portato, é uma estatística, porém, em toda estatística é um estimador. todo estimador T(X) é uma va Notação: Como T(X) estima o parâmetro, uma otação simplificada para o estimador é dada por: T (X) ˆ.6.1. Estimativa: estimativa é o valor de T(X) obtido de uma aa, que será usada para estimar o valor descohecido de..7. A iferêcia estatística: A Iferêcia Estatística busca obter iformações de parâmetros populacioais por itermédio das características de uma amostra e de suas distribuições de probabilidade. Amostra aleatória = parâmetro ˆ = estimador Iferêcia: Itervalos de Cofiaça Testes de Hipótese

12 .7.1. Questões que surgem: Quatos estimadores existem para um parâmetro populacioal? Quais as qualidades que se deseja de um estimador? Como escolher o melhor estimador? Resposta: Teoria da Otimalidade. Estimador ótimo A teoria da Otimalidade estuda as propriedades dos estimadores e defie critérios para a escolha do estimador ótimo. Segudo essa teoria um estimador é ótimo basicamete se for: cosistete, ão viesado e de míima variâcia..7.. Estimador ão viesado (ão viciado): o viés, do iglês bias, é defiido pela difereça etre o valor esperado do estimador e o parâmetro o qual este está estimado. Seja ˆ, estimador de, etão o viés de ˆ é defiido por: B(ˆ ) = E(ˆ ) em que é o espaço paramétrico. Se E(ˆ ) =, ˆ é dito ão viesado (ou ão viciado) e B(ˆ ) = 0

13 .7.3. Precisão: uma propriedade importate para um estimador é que seja preciso, em outras palavras, que teha baixa variabilidade ˆ deve ser escolhido tal que sua variâcia seja a meor possível ˆ Var (ˆ ) seja míima.7.4. Cosistêcia: além de ser ão viesado e de variâcia míima deseja-se que o estimador ˆ seja cosistete. Um estimador ˆ é dito ser cosistete para se lim E(ˆ) e lim Var (ˆ) 0 Coforme aumeta o tamaho da amostra, mais ˆ se aproxima de. Assim, a teoria da otimalidade procura, detre os estimadores ão viesados, aquele de meor variâcia.

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15 3. Estimadores para a média A maioria das aplicações em estatística evolvem a estimação da média populacioal. Quais os possíveis estimadores e qual deles é o melhor (estimador ótimo). Média aritmética ou média amostral ( X ); Média geométrica; Média harmôica; Média aparada; Média poderada; Qual desses estimadores é o melhor para estimar? 1º - escolher os ão viesados; º - detre os ão viesados, ecotrar o de meor variâcia. A teoria estatística (otimalidade) resolve esse problema e mostra qual o estimador ótimo para : Segudo essa teoria, o estimador ótimo para é a média amostral X.

16 Estudo das propriedades dos estimadores: média amostral, média harmôica, média geométrica e média poderada ( X 1 /3 + X /3 ) para amostras de tamaho =, com reposição. População Parâmetros Populacioais Média = 4.8 Variâcia = 4.56 Tamaho N = 5 =.8 Amostras Estimadores X1 X X M. Harm. M. Geom. M. Pod Médias Variâcias

17 Tabela resumo dos estimadores para a Média Populacioal. Estimadores X M. Harm. M. Geom. M. Pod. Média do Estimador Vício Variâcia do Estimador Relação da variâcia de X com as demais Pela tabela acima, pode-se ver claramete que: as médias harmôica e geométrica são viesadas para estimar a média μ; a média poderada com pesos 1/3 e /3 ão é viesada para estimar μ, porém ão tem a meor variâcia a média amostral X é o estimador ão viciado de meor variâcia Métodos de estimação: A teoria estatística defie diversos métodos de estimação, detre os quais destacamos: 3.. Método da máxima verossimilhaça: o estimador de máxima verossimilhaça (emv) é dado pelo valor que maximiza a distribuição cojuta da amostra, chamada de fução de verossimilhaça, represetada por L( dados). L( dados) f ( ) ˆ max[ L( dados)] i1 x i MV

18 3.3. Métodos dos mometos: o estimador é obtido igualado os mometos amostrais com os mometos populacioais. Depede da distribuição de probabilidade da população 3.4. Método míimos quadrados: o estimador é aquele que miimiza uma soma de quadrados de erros etre os valores da amostra e uma fução do parâmetro g (). SQE( ) [ x i g i ( )] ˆ mi[ SQE( )] i1 O estimador de míimos quadrados é mais utilizado o ajuste de modelos de regressão liear. MQ 3.5. Estimador Bayesiao: o estimador Bayesiao é obtido a partir de técicas da estatística Bayesiaa que faz uma poderação da fução de verossimilhaça L( dados) por uma distribuição de probabilidade para, ().

19 4. Propriedades do estimador para a média Propriedades da média amostral Mostrar que a média amostral X atede às propriedades de estimador ótimo para. Seja a aa X 1, X,..., X, idepedetes e ideticamete distribuídas (iid) segudo uma fução distribuição de probabilidade tal que E (X ) e Var (X ), etão i) E( X ) E i1 Xi i1 E X i, ou seja, X ão é viesada para estimar a média μ, pois, E (X ) ii) a variâcia de X é dada por: Var( X ) Var X i Var X i 1 i 1 i. A partir de E (X ) e Var (X ) temos, aida que lim E( X ) lim lim Var( X ) lim 0 portato, X é um estimador cosistete.

20 iii) Neste poto devemos mostrar que, dos estimadores ão viesados para μ, X é o de variâcia míima, porém, tal demostração depede da distribuição de probabilidade f (x) e ão está a emeta desta disciplia. A teoria estatística mostra que existe um limite iferior para a variâcia dos estimadores ão viesados de um parâmetro θ, o caso a média μ, e que X atige este limite, sedo, assim, o estimador ão viesado para μ de meor variâcia. O que podemos mostrar aqui é que, dos estimadores para a média dados por uma combiação liear da amostra, aquele de meor variâcia é dado pela combiação a qual todos os coeficietes são iguais a 1/. Seja a aa X 1, X,..., X, e sejam os estimadores para a média do tipo ˆ a 1 X 1 a X a X Etão E ˆ Ea X a X a 1 E 1 1 a X X a EX a E 1 X a a 1 a 1 a a ou seja, para que ˆ seja ão viesado, a a a a 1 (1) 1

21 Desta forma, sob a restrição (1) e usado multiplicadores de Lagrage pode-se obter os valores de a 1, a,..., a que miimizam a Var ˆ. Var ˆ Vara X a X 1 1 a X X a VarX a Var a1 Var 1 X a1 a i 1 a a i A fução de Lagrage (ou lagrageao) é dado por: L(λ) 1 a () i1 i i1ai O primeiro termo de L(λ) é a variâcia de ˆ e, como o termo em λ, sob a restrição (1) é igual a zero, ecotrar os coeficietes que miimizam L(λ) equivale a miimizar Var ˆ. Derivado () em relação a cada um dos a i, i = 1,,..., e igulado cada derivada a zero, os valores dos a i s que miimizam a Var ˆ são dados pela solução do sistema: L a1 L a L a a a a

22 Das derivadas de L(λ) temos que: e, como o termo 1 a a a, é costate, segue-se que a1 a a. (3) Portato, das relações (1) e (3) tem-se que os valores dos coeficietes que miimizam a variâcia de ˆ são dados por: a 1 a a A distribuição da média amostral Como já vimos, a média amostral X é uma v.a. tedo, assim, uma distribuição de probabilidade que depede da distribuição f(x) da população de X. O teorema cetral do limite, cotudo, determia uma distribuição para a média amostral que idepede da distribuição de probabilidade da população O Teorema Cetral do Limite (TCL) Seja uma aa X 1, X,..., X, de uma população com média μ < e variâcia σ <. Etão, para suficietemete grade, a média amostral X tem aproximadamete uma distribuição ormal com E X e VarX, ou seja X ~ N,

23 O TCL aparece a maioria das vezes o seguite formato: se X é uma va com média μ < e variâcia σ <, etão X / ~ N 0,1, ou aida, X ~ N 0,1 Notas: i) Quato maior o tamaho da amostra, melhor será a proximação (um valor apropriado para o tamaho da amostra é 30); ii) Quado a distribuição da população for ormal, etão a distribuição de X também será ormal; iii) O TCL cosidera que a variâcia da população é cohecida. Exemplo: Cosidere quatro populações apresetadas a Figura 1: biomial(10, 0.10); Poisso(); expoecial(1) e Normal(50, 9). As duas primeira são distribuições discretas e assimétricas, a terceira é uma distribuição cotíua fortemete assimétrica e a última é uma população ormal, que é uma distribuição simétrica. Cosiderado essas quatro populações, foram geradas 1000 amostras de tamahos 8, 30 e 100. Para cada uma das 1000 amostras foi calculada a média amostral X, ao fial do que, foram costruídos os respectivos histogramas apresetados as Figuras a 5. Pelos histogramas pode-se observar itidamete a melhoria a simetria, idicado que a distribuição se aproxima da ormal.

24 Figura 1: Populações cosideradas a simulação do TCL para X. Figura : Histogramas para X em amostras de população biomial(10, 0.10). Figura 3: Histogramas para X em amostras de população Poisso().

25 Figura 4: Histogramas para X em amostras de população expoecial(1). Figura 5: Histogramas para X em amostras de população ormal(50, 9) O estimador para a proporção p Seja uma característica apresetada por uma parcela de uma população. Etão, defiimos a proporção p de idivíduos, ou objetos, da população com essa característica por úmero de idivíduos, ou ites,da população com a característica p tamaho da população

26 Exemplos: 1) Proporção de mulheres a população brasileira em 014 segudo estimativa do IBGE: Número estimado de mulheres = Número estimado de homes = Popualção total estimada = p Portato, segudo o IBGE, em 014 a proporção de mulheres a população brasileira é de ) Proporção de defeitos a liha de produção de uma idústria p P(defeito) Um estimador ituitivo para uma proporção populacioal é dado pela respectiva proporção amostral, a qual deotaremos por pˆ. Seja uma amostra aleatória iid X 1, X,..., X, etão pˆ úmero de idivíduos, ou ites, da amostra com a característica tamaho da amostra Obs: se pesarmos a observação de um idivíduo, ou item, da amostra com a característica de iteresse como um sucesso, podemos defiir pˆ por pˆ úmero desucessosa amostra Cosidere uma v.a. X, resultado de um esaio de Beroulli. Etão, X assume os valores 0 e 1 para sucesso e fracasso, respectivamete, com probabilidades (1 p) e p.

27 A distribuição de probabilidade de X é a Beroulli(p), cuja fução de probabilidade é dada por P( X x) p x (1 p) 1 x, x 0,1. A média e da v.a. de Beroulli é dada por E( X ) 1 p 0(1 p) p Como, E( X ) p, a variâcia da v.a. de Beroulli é Var( X ) E( X p p ) E( X ) p(1 p) p(1 p) Cosidere, agora, uma amostra aleatória iid X 1, X,..., X, de uma variável de Beroulli cuja probabilidade de sucesso é p. Para cotar a úmero de observações da amostra com a característica de iteresse basta somar as v.a. s já que estas assumem os valores 0 e 1. X1 X X X i, desta forma, a proporção amostral é dada por: i 1 X pˆ. Ou seja, o estimador para a proporção populacioal p é dado pela média amostral de uma v.a. de Beroulli, i i1 X pˆ i1 i X A distribuição da proporção amostral pˆ

28 Como o estimador para a proporção p é, de fato, uma média amostral, todas as propriedades de X também são válidas para pˆ. Desta forma, podemos afirmar que pˆ é o estimador ótimo para a proporção p. O valor esperado e a variâcia de pˆ são, portato, dados por E pˆ Var E i1 pˆ X i p i 1Var Xi p(1 p) p(1 p) Por se tratar de uma média amostral, o TCL é válido para a determiação da distribuição do estimador da proporção. Logo, pˆ tem uma distribuição aproximada ormal com média p e variâcia p(1 p), ou seja, p p(1 p) pˆ ~ N p,. (4) Aida: pˆ p p(1 p) / ~ N 0, 1 Exemplo: 3) Um dado equilibrado é laçado 18 vezes. Determie a probabilidade de que a proporção amostral dos múltiplos de 3 seja iferior a 0.7. Múltiplos de 3: {3, 6},

29 logo a proporção populacioal é p 1 3 Desta forma, a proporção amostral pˆ tem distribuição assitótica ormal com parâmetros: 1 E pˆ p 3 Var pˆ p(1 p) (1/3)(/3) p ˆ ~ 1 N, Portato, P 0.7 1/3 /115 pˆ 0.7 P Z PZ Determie, aida, qual o tamaho da amostra para que, com probabilidade 0.95 (95%), pˆ ão se afaste de p mais do que 0.03 (3%) para mais ou para meos. P P pˆ p pˆ p P 0.03 /9 Z 0.03 /

30 0.03 Portato: / Desta forma, uma amostra de 949 laçametos do dado garate uma margem de erro a estimativa de p de 3% para mais ou para meos O Estimador coservador para a variâcia da proporção amostral pˆ. Na aproximação da distribuição da proporção amostral dada em (4), observa-se que a variâcia de pˆ depede da proporção populacioal p. Como ão se cohece o valor de p, uma alterativa seria utilizar a sua estimativa pˆ para estimar a Var pˆ. Neste caso, tem-se Método coservativo: Uma seguda alterativa, muito utilizada, cosidera o valor de pˆ que maximiza Varpˆ Var pˆ p p logo, o valor de p que maximiza pˆ max Var p 4 Varpˆ é dado por 1 1 p e,

31 Exemplo: 4) Refazer a seguda parte do exemplo aterior com a variâcia de pˆ calculada pelo método coservativo. P / 4 Z / Portato: / Determiação do tamaho da amostra a estimação da média μ A determiação do tamaho da amostra é, talvez, o grade dilema dos pesquisadores, pois deve levar em cota a precisão desejada as estimativas. Essa precisão ormalmete é expressa por um erro tolerável 1 e, a determiação do tamaho da amostra, deve levar em cota a probabilidade de se cometer esse erro. Seja X estimador ão viesado para μ, etão, ao se cosiderar uma precisão a estimativa da média, deseja-se que X ão se afaste de μ mais do que uidades. 1 O erro tolerável é uma margem de erro das estimativas em relação à média μ, para mais ou para meos, o qual o pesquisador está disposto a aceitar.

32 X, e o tamaho da amostra é determiado tal que a probabilidade de que essa região coteha o real valor de μ seja alta, como por exemplo, de Na prática, defie-se a região X Em liguagem estatística: P X X Fazedo X P dp( X ) dp( X ) dp( X ) P / Z / 1, etão, temos que Z / / (ver figura). Desta forma, o tamaho da amostra desejado é determiado por: Z / / Z (5) Nota: a expressão (5) é cohecida como tamaho da amostra para populações ifiitas

33 Na estimativa da proporção temos que p(1 p), logo, a expressão (5) é escrita como / p(1 p) Z (6) E, caso seja cosiderada a estimativa coservadora para, temos Z / 4 Exemplos: 5) Para estimar o ível de dureza de peças de espuma produzidas para fabricação de bacos de automóveis, um técico decide selecioar uma amostra da produção para medição. Como os esaios para medição são destrutivos, o úmero de peças para aálise deve ser bem determiado para evitar gastos desecessários. Para a obteção do tamaho da amostra fixou-se uma precisão de 0.5ud. Determiar o úmero de peças para que, com probabilidade de 0.99 a precisão a estimativa seja alcaçada. Dados históricos do processo registram uma variâcia de. 96. P 0.5 Z.96 / / Como Logo Z Z. 575 / Portato

34 Ou seja, devem ser selecioadas = 79 peças para teste. 6) Na primeira fase de uma pesquisa eleitoral foi realizada uma préamostra de tamaho 40, obtedo-se a proporção de p ˆ 0. 4 eleitores que afirmaram votar o cadidato do partido PTK. Qual deve ser o tamaho da amostra para que, com probabilidade de 0.95 a estimativa pˆ ão se distacie do real valor mais do que 0.0 (0.0, ou %, é a margem de erro da pesquisa)? Da pré-amostra temos que uma estimativa da variâcia populacioal é dada por: ˆ 0.4(1 0.4) Como Z Da expressão (6), o tamaho da amostra para uma margem de erro de % é 0.4(1 0.4)(1.96) eleitores. (0.0) Como alterativa, podemos utilizar a estimativa coservadora de Neste caso, o tamaho da amostra seria de. (1.96) eleitores. 4(0.0)

35 Exemplos: 7) Um elevador de capacidade 500kg serve um edifício. Se a distribuição do peso dos usuários for N(70, 100), determie: a) A probabilidade de que 7 passageiros ultrapassem esse limite. b) E 6 passageiros? 8) Um produto da marca XIS é comercializado em pacotes de 1kg, sedo que a distribuição do peso dos pacotes, em gramas, é N(1000, 51.). A fiscalização ispecioa o produto por amostras de 5 pacotes e aplica uma multa se a média for meor do que 4g a meos do que peso especificado o pacote. a) Qual a probabilidade de que o produto XIS seja multado? Os produtores de XIS pretedem dimiuir essa probabilidade. Para isso o Estatístico da empresa deu duas sugestões: deslocar a média, aumetado o peso dos pacotes ou aplicar ações visado reduzir a variabilidade do processo de empacotameto. b) Para quato deve ser regulada a ova média de tal forma que a probabilidade em (a) seja de o máximo 0.03? c) Uma seguda opção sugerida pelos supervisores é implatar medidas que dimiuam a variabilidade do processo de empacotameto, torado-o maos preciso. De quato deve dimiuir a variâcia do processo para se obter o mesmo resultado pretedido em (a)? Cosidere, agora, que a produtora teha um custo adicioal de 5 cetavos por cada pacote com peso acima de 1008g. Qual a alteração o custo em cada um dos casos para um produção de 5 toeladas?

36 Comados do R para visualizar os procedimetos: x1 <- seq(990,1010,by=0.) y1 <- dorm(x1,1000,3.) x <- seq(99,101,by=0.) y <- dorm(x,100,3.) x3 <- seq(990,1010,by=0.) y3 <- dorm(x1,1000,.147) my <- max(y1,y,y3) plot(c(990,101), c(0,my), axes=t, type="", mai="desidade Normal", xlab="x", ylab="") lies(c(1008,1008),c(-1,my+0.1), lty=) axis(1,1008, paste("1008")) lies(x1,y1, xlab="x", col="blue3", lwd=) lies(x,y, xlab="x", col="gree3", lwd=) lies(x3,y3, xlab="x", col="red3", lwd=) 9) Seja uma população com 0 e a) Numa amostra de tamaho = 9, qual a probabilidade de que a variâcia amostral seja superior a 4.3? b) Determie um limite iferior k para o qual a probabilidade de que ser meor do que k seja de s

37 Exercícios de revisão 1) Uma idústria de chocolates produz uma barra com peso médio de 180g e desvio-padrão de 1.8g. As barras são embaladas em caixas com 0 uidades. Admitido que o peso do produto teha distribuição ormal, qual é a probabilidade de que: a) Uma caixa do produto pese mais do que 3614g. b) A proporção de barras produzidas com peso acima de 18.3g. c) Numa amostra de 9 barras do chocolate, a média amostral ão se distacie do peso omial mais do que 1.4g. O supervisor de produção está descofiado de que a máquia que produz as barras está desgastada e, com isso, o peso está variado demais. Para fazer uma verificação ele decide retirar uma amostra de ites da produção, pesá-las e verificar qual é a proporção de barras com peso acima do limite de 18.3g. Ele deseja que a sua estimativa ão se distacie do real valor mais do que 0.0 com probabilidade Quatas barras ele deve pesar? ) 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão ode foram submersos em água salgada durate 60 segudos/dia. A corrosão foi medida pela perda de peso em miligramas/decímetro quadrado/dia (mdd). Os dados obtidos foram: a) De uma estimativa para a perda média de peso (em mdd) devido à corrosão. Cosiderado desvio padrão cohecido = 16 b) Ecotre o itervalo simétrico em toro de X que teha probabilidade igual a c) Supodo que a verdadeira média seja = 110mdd, calcule a probabilidade de que X seja superior ao máximo valor da amostra.

38 4.5. Distribuição da média amostral quado a variâcia σ é descohecida 4.6. Distribuição da variâcia amostral s 4.7. Distribuição da difereça etre duas médias amostrais º. Caso: variâcias cohecidas º. Caso: variâcias iguais e descohecidas º. Caso: variâcias diferetes e descohecidas

39 Resultados: i) Se X 1 N( 1 ; 1 ) e X N( ; ), idepedetes, etão X 1 ± X N( 1 ± ; 1 + ) ii) Se X 1, X,..., X N( ; ), iid X 1 + X X N( ; )