Licenciatura em Economia REVISÃO DE ALGUNS CONCEITOS EM ESTATÍSTICA. Luís Filipe Martins.

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1 1 Ecoometria e Métodos de Modelização I Liceciatura em Ecoomia REVISÃO DE ALGUNS CONCEITOS EM ESTATÍSTICA Luís Filipe Martis luis.martis@iscte.pt Departameto de Métodos Quatitativos, ISCTE - Escola de Gestão Lisboa, Jaeiro de 2006

2 2 1 Variável Aleatória e Fuções de Desidade e Probabilidade Uma variável aleatória X é a iformação probabilistica de uma realização aleatória. O cojuto de realizações é composto pelos poteciais acotecimetos mutuamete exclusivos do processo aleatório. Uma realização é aleatória porque está associada a uma probabilidade (proporção de vezes que ocorre o logo prazo) a experiêcia. Example 1 X =#de caras quado se atira ao ar uma moeda válida por 10 vezes. O espaço probabilistico é {0, 1,..., 10}, uma particular realização é x =6e um particular eveto é obter um úmero par de caras. Variável aleatória Discreta versus Cotiua. Example 2 Beroulli e Poisso versus Normal ad Chi-Quadrado. Fução desidade probabilistica discreta (pdf), p j = P (X = x j )=f (x j ) ode a soma dos p 0 js é1eestes estão o itervalo etre 0 e 1. Fução distribuição cumulativa (cdf), F (x) =P (X x). A area ou itegral (caso cotiuo) abaixo da pdf é 1; F (x) éão decrescete em relação a x adestáetre0e1. Para qualquer c, P (X c) =P (X >c)=1 F (c)

3 Para qualquer a<b,p(a <X b) =F (b) F (a). F (x) Fução desidade (cotiua) (pdf), f (x j )= x x = x j. Pdf cojuta, f X,Y (x, y) =P (X = x, Y = y), para X, Y v.a. discretas; e f X,Y (x, y) = 2 F X,Y (x,y). x y P i,j f X,Y (x j,y i )=1; RR f X,Y (x, y) dxdy =1. Def: X, Y são idepedetes se e só se f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y), para todo x, y. Pdf Margial, f X (x). Para v.a. discreta, f X (x j ) = P m i=1 f X,Y (x j,y i );para cotiua, f X (x) = R f X,Y (x, y) dy = F X,Y (x, ) x = F X(x) x Pdf coditioal, f Y/X (y/x) = f X,Y (x,y) f X (x), para todo x em que f X (x) > 0. X, Y são idepedetes se f Y/X (y/x) =f Y (y). R fy/x (y/x) dy =1;F Y/X (y/x) = R y f Y/X (z/x) dz. 3

4 2 Valor Esperado e Variâcia 4 Valor esperado E(X) µ como medida de tedêcia cetral. E(X) = P k j=1 x jf (x j ) ou E(X) = R + xf (x) dx. Para X, Y disc., E [g (X, Y )] = P k P m j=1 i=1 g (x j,y i ) f X,Y (x j,y i ) Propriedades: Para c, a, b e {a 1,..., a } qq costates e {X 1,...,X } v.a., M1: E (c) =c M2: E (ax + b) =ae (X)+b M3: E ( P i=1 a ix i )= P i=1 a ie (X i ) Mediaa Med(X) como medida de tedêcia cetral. Distribuições (A)Simétricas. Variâcia Var(X) σ 2 como medida de variabilidade. Var(X) =E (X µ) 2 > 0, edesviopadrãosd(x) σ = + p Var(X) Facto: σ 2 = E(X 2 ) µ 2. Propriedades: V1: Var(X) =0seesóseP (X = c) =1 V2: Var(aX + b) =a 2 Var(X),sd(aX + b) = a sd(x). Variável aleatória Stadardizada, Z X µ σ.

5 3 Correlação, Idepedecia e Mometos Codicioados 5 Covariâcia Cov(X, Y ) σ XY e Correlação Corr(X, Y ) ρ XY como medidas de associação (liear). Cov(X, Y )=E [(X µ X )(Y µ Y )],Corr(X, Y )= σ XY σ X σ Y Facto: σ XY = E(XY ) µ X µ Y Propriedades: C1: Se X, Y são idepedetes, etão Cov(X, Y )=0. C2: Cov (a 1 X + b 1,a 2 Y + b 2 )=a 1 a 2 Cov(X, Y ) C3: σ XY σ X σ Y (desigualdade de Cauchy-Schwartz) C4: 1 Corr(X, Y ) 1 C5: Corr (a 1 X + b 1,a 2 Y + b 2 )=Corr (X, Y ),a 1 a 2 > 0; Corr(a 1 X + b 1,a 2 Y + b 2 )= Corr(X, Y ),a 1 a 2 < 0. C6: Var(aX+bY )=a 2 Var(X)+b 2 Var(Y )+2abCov(X, Y ) C7: Se {X 1,..., X } são v.a. ão autocorrelacioadas mutuamete, etão Var( P i=1 a ix i ) = P i=1 a2 i Var(X i ). Caso cotrário, Var( P i=1 a ix i )= P i=1 a2 i Var(X i)+ 2 P i>j a ia j Cov (X i,x j ) Valor esperado codicioal de Y dado X, E (Y/x) = P m j=1 y jf Y/X (y j /x) ou E (Y/x)= R + yf Y/X (y/x) dy, é uma fução de x.

6 Propriedades: Cosidere g(x) e h(x) qualquer duas fuções. CE1: E [g (X) /X] =g (X) CE2: E [g (X) Y + h(x)/x] =g (X) E (Y/X)+h(X) CE3: Se Y,X são idepedetes, etão E (Y/X)=E (Y ). Se E (Y/X)=E (Y ), etão Cov(g (X),Y)=0. CE4: E X [E (Y/X)] = E (Y ) (lei das expectativas iteradas) Variâcia codicioal de Y dado X, V ar (Y/x) ³ Var(Y/X = x) =E [Y E (Y/X)] 2 /x mx = [y j E (Y/x)] 2 f Y/X (y j /x) j=1 Var(Y/X = x) =E(Y 2 /x) [E (Y/X)] 2 Se Y,X são idepedetes, etão Var(Y/X)=Var(Y ). 6

7 4 Pricipais Distribuições 7 Distribuição Normal, X N µ, σ 2 é simétrica em toro de µ e 0.95 = P (µ 1.96σ <X<µ 1.96σ) Tabelas: Normal Stadard, Z = X µ ; P (Z z) =Φ (z) σ P (Z >z)=1 Φ (z) e P (a Z b) =Φ (b) Φ (a) Qualquer combiação liear de i.i.d.n. tem uma distribuição N. Example 3 Para Y i N µ, σ 2,i=1,...,, etão 1 P ³ i=1 Y i N µ, σ2. Normal Bivariada, N 2 (µ, Ω) Z X = f X,Y (x, y) 1 p exp 1 µ Z 2 X 2ρ XY Z X Z Y + ZY 2 2πσ X σ Y 1 ρ 2 XY 2 1 ρ 2 XY = x µ X σ X ; Z Y = y µ Y σ Y. Se X, Y são N 2 (µ, Ω), etão X, Y são idepedetes se e só se Cov(X, Y )=0. Distribuição do Chi-Quadrado com graus de liberdade, X χ 2 () éassimétricaex é ão egativa c.p.1 E(X) =, V ar(x) =2,

8 8 Se Z i i.i.d.n (0, 1),i =1,...,, etão X = P i=1 Z2 i χ 2 () Distribuição do t-studet com graus de liberdade, X t () é simétrica em toro de zero. E(X) =0, > 1,Var(X) = fiito). 2, > 2 (para que exista - t () tem mais massa as abas do que a N (0, 1) e t ( ) éiguala N (0, 1) c.p.1 Se Z N (0, 1),X χ 2 (),Z,X idepedetes, etão T = Z t (). X Distribuição do F-Sedcor com (k 1,k 2 ) graus de liberdade, X F (k1,k 2 ) é assimétrica e X é ão egativa c.p.1 Se X 1 χ 2 (k 1 ),X 2 χ 2 (k 2 ),X 1,X 2 idepedetes, etão F = X 1/k 1 X 2 /k 2 F (k1,k 2 ).

9 9 5 Estimação Processo de apredizagem sobre a população (descohecido) com o recurso à iformação cotida uma amostra dispoível que é extraída da população. Estimação Potual; Estimação de Itervalos e Esaios de Hipóteses. Exemplo de um objecto de iteresse: O valor esperado da população. Supoha que a pdf dos Y 0 s é dada por f (y; θ). Etão, {Y 1,..., Y } é uma amostra aleatória de f (y; θ) se Y i i.i.d.f (y; θ),i =1,...,. Os dados {y 1,...,y } são habitualmete diferetes para cada amostra distita. Estimador Potual para θ, W = h (Y 1,..., Y ) eestimativa w = h (y 1,..., y ) Propriedade de Amostra Fiita da distribuição da v.a. W : W é cetrado se E(W )=θ.bias(w)=e(w) θ. Var(W ) (eficiêcia) W 1 éeficiete relativamete a W 2 quado Var(W 1 ) < Var(W 2 ), com W 1,W 2 cetrados. Mea squared error (erro quadrático médio) MSE(W )= Var(W )+[Bias(W)] 2. Example 4 A média amostral Y é um estimador para o valor esperado (média populacioal) µ e a variâcia amostral S 2 = 1 1 P i=1 Yi Y 2 para a variâcia (populacioal) σ 2.

10 6 ItervalodeCofiaça 10 Estimação de Itervalos e Itervalo de Cofiaça para o exemplo Y N (µ, 1). Neste caso, Y N µ, 1. ³ (IC) P Y 1.96 <µ<y =0.95 (IE) Y 1.96 <µ<y é um itervalo aleatório ³ P y 1.96 <µ<y =0ou 1 Outros resultados importates para o parâmetro de iteresse µ: h i y 1.96 σ, y σ (σ cohecido) N (0, 1). (σ descohecido, s = Y µ porque Y µ σ/ q P 1 1 i=1 (y i y) 2 ). Porque S/ t ( 1) etão, o IC a 100 (1 α)% édadopor h i s y c ( 1,α/2) s, y + c ( 1,α/2). Lembrar que para α =0.05, c ( 1,α/2) tede para 1.96 (aprox. 2) quado tede para ifiito. Quado, Y NÃO é ormalmete distribuido, desde que ésuficietemete elevado, pelo h TLC (CLT), pode-se iusar a APROXIMAÇÃO a 95% IC y 1.96 s, y s. Em relação ao parâmetro de iteresse σ 2, usar o resultado ( 1)S 2 σ 2 χ 2 ( 1) ode Y N µ, σ 2.

11 7 Iferêcia 11 Passos um Esaio de Hipóteses: (1) Defiir a hipótese ula H 0 e hipótese alterativa H 1 em relação ao parâmetro (por exemplo) de iteresse, que é descohecido e do qual se procura iferir (ex: H 0 : µ =1vs H 1 : µ 6= 1) (2) Selecioar a estatistica de teste apropriada T (ex: T = Y ) (3) Determiar ³ a distribuição da estatistica de teste T (ex: Y N µ, σ2 ) (4) Escolher o ível de sigificâcia do teste α = P (Re jh 0 /H 0 ) (erro do tipo I). Default: α =0.05. Com base em α, esobh 0, obter o(s) valor(es) critico(s) vc : (a) (b) H 1 Uilateral: P H0 (T>vc)=α, para H 1 : θ > θ 0, OU P H0 (T<vc)=α, para H 1 : θ < θ 0. H 1 : θ 6= θ 0 Bilateral (ormalmete): P H0 ( T >vc)= α, se simétrica OU P H0 (T>vc 1 )= α 2,P H 0 (T<vc 2 )= se ão é simétrica. α 2 (5) Defiir a regra de decisão (itervalos para T obs delimitados com base o(s) vc) e as correspodetes regiões crítica e de aceitação. Decidir em relação ao teste vedo em que região cai T obs. Este procedimeto é equivalete à aálise do IC a 100 (1 α)%da distribuição em 3., sob H 0.

12 12 Potêcia do teste π(θ) =1 P H1 (AcH 0 ) p value éomaiorvalorparaα para o qual aida ão se rejeita H 0 : (a) H 1 Uilateral: p = P H0 (T>T obs ), para H 1 : θ > θ 0. (b) H 1 : θ 6= θ 0 Bilateral: p = P H0 ( T > T obs ) se simétrica.