Da Definição 6.1 pode-se concluir que dada uma amostra aleatória X

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1 Capítulo 6 Distribuições Amostrais A iferêcia estatística está iteressada em tomar decisões sobre uma populaçao, baseado-se apeas a iformação cotida em uma amostra aleatória da população de iteresse. Por exemplo, o egeheiro de uma fábrica de refrigerates pode estar iteressado o volume médio de echimeto de uma lata de refrigerate que espera-se ser de 300 ml. Deste modo, para verificar se a máquia que faz o echimeto está regulada, o egeheiro coleta uma amostra aleatória de 25 latas e calcula o volume médio amostral obtedo x = 298ml. A próxima perguta que o egeheiro desejará respoder é qual a probabilidade do volume médio de echimeto de uma lata de refrigerate seja maior que 305 ml e meor que 295 ml dado que o valor observado da média amostral foi x = 298ml? Para respoder a esta questão, em primeiro lugar, ote que a média amostral X = P X i 1 i é uma fução de variáveis aleatórias, portato é também uma variável aleatória, logo X possui uma distribuição de probabilidade associada. Defiição 6.1. Uma amostra aleatória de tamaho de uma variável aleatória X com fução distribuição F, é um vetor X e =(X 1,X 2,...,X ) em que as compoetes X i são idepedetes e possuem distribuição F. Da Defiição 6.1 pode-se cocluir que dada uma amostra aleatória X e =(X 1,X 2,...,X ) de uma variável X com média µ e variacia 2 etão E (X i )=µ e Var(X i )= 2 para todo i = {1,2,...,}. Defiição 6.2. A distribuição de probabilidade de um estimador é chamada de distribuição amostral. Por exemplo, a distribuição de probabilidade de X é chamada de distribuição amostral da média. Portato, dado que X em uma distribuição de probabilidade pode-se calcular P(295 < X < 305) bastado para isso cohecer a distribuição de probabilidade de X. Observação 6.1. A distribuição amostral de um estimador depede da distribuição de probabilidade da população da qual a amostra foi selecioada, do tamaho da amostra e do método de seleção da amostra. Um resultado importate muito utilizado em iferêcia é o Teorema Cetral do Limite, que forece uma iportate coclusão a respeito da distribuição da soma de variáveis aleatórias idepedetes. 47

2 Teorema 6.1. eja {X, 1} uma seqüêcia de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamte distribuídas, com média µ e variacia 2 < 1. Etão, para = P X, tem-se E ( ) p = µ d p! N (0,1) Var ( ) 6.1 Distribuição Amostral da Média eja X uma variável aleatória com média µ e variâcia 2. Etão, (i) e X N (µ, 2 ) tem-se que, X N Ä µ; 2 ä, em que X = P X i = X 1 + X X, para X 1,...,X uma amostra aleatória da variável X. De fato, pode-se provar que a soma de variáveis aleatórias idepedetes, cada uma com distribuição ormal com média µ e variâcia 2 também terá um distribuição ormal, com média e variâcia Resultado: em que ÇP E (X )=E X å i = 1 X E (X i )= 1 µ = µ, ÇP Var(X )=Var X å i = 1 X Var X 2 i X Var X i = X X 1 Var(X i )+2 j =i +1 Cov(X i,x j )=E (X i X j ) E (X i )E (X j ) X Cov(X i,x j ) se X i e X j forem idepedetes etão E (X i X j )=E (X i X j ), logo Cov(X i,x j )=0 e portato para X 1,...,X idepedetes, segue que Deste modo, segue que, X Var X i = X Var(X i ). Var(X )= 1 2 X Var(X i )= 1 2 X 2 = = 2. Portato, Z = X µ p N (0,1)

3 Etretato, se o valor da variâcia ão for cohecido utilizaremos o estimador, P 2 = (X i X ) 2, 1 para 2. Deste modo temos que, T = X µ 2 t 1 e X ão tiver distribuição ormal etão pelo Teorema Cetral do Limite segue que a distribuição da média amostral será aproximadamete ormal com média µ e variâcia 2. Observação 6.2. A qualidade da aproximação ormal para a distribuição amostral da média depederá do tamaho da amostra e da distribuição da população de ode foi retirada a amostra. Em muito casos de iteresse prático, se 30 a aproximação ormal será satisfatória, idepedete da distribuição da população. Exemplo 6.1. Uma fábrica produz resistores que têm uma resistêcia média de 100 com desvio padrão de 10. upodo que a distribuição das resistêcias seja ormal, ecotre a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma média meor que 95. olução:! P(X < 95)=P Z < 10 p 25 = P(Z < 2,5)=0, Distribuição Amostral da Proporção eja X ber(p). Retirada uma amostra aleatória (X 1,...,X ) da variável X, tem-se que, Y = X 1 + +X b(,p), pois Y cota o úmero de vezes que um certo eveto de iteresse A aparece a amostra. Lembrado que E (Y )=p, isto é, E (Y ) é o úmero médio de vezes que o eveto de iteresse aparece em uma amostra de tamaho. Assim, p = E (Y ), logo p é a proporção de vezes que o eveto de iteresse aparece em uma amostra de tamaho. Portato, dada amostra aleatória (X 1,...,X ), um estimador para o parâmetro p é dado por, bp = X X. Agora ote que, para 0 apple k apple, tem-se, P bp = k X1 + + X = P = k = P(Y = k ) Portato, podemos obter a distribuição de probabilidade de bp a partir da distribuição de probabilidade de Y. Foi ateriormete visto que a distribuição da média amostral pode ser aproximada pela distribuição ormal para grade. Assim ote que, bp = X X = X.

4 Logo, do Teorema Cetral do Limite, segue que bp terá distribuição aproximadamete ormal com média, X1 + + X E (bp)=e = 1 E (X X )= 1 p = p e variâcia, X1 + + X Var(bp)=Var = 1 Var(X X )= 1 p) p(1 p)=p(1. 2 Portato, bp a N Ä p, ä p(1 p). Deste modo, Z = bp p p(1 p) Exemplo 6.2. Tem-se que p = 0,47 logo D GGGGA!1 N (0,1). Z = bp p bp(1 bp) a N (0,1) portato, P bp (bp > 0,5)=P Z 0 > 0,5 0,47 0,47 0, C A = P Z (Z > 1,34)=0,09 Exemplo 6.3. Tem-se que X N (180,40 2 ) logo para uma amostra de 16 elemetos tem-se que X N Ä ä 180, , portato: (a) P(X > 168,X < 192)=1 P(168 apple X apple 192)=1 P( 1,2 apple Z apple 1,2)=0,2301; (b) 36 P(X > 175)=P(Z > 0,125) 20; (c) Do problema tem-se que p = 0,2 ep bp (bp apple 0,1)=0,05 isto implica que, 0,1 0,2 0,2 0,8 = 1,64 logo «0,2 0,8 = 1 16,4 Deste modo, segue que P bp (bp > 0,25)=P Z (Z > 0,82)=0,2061.

5 Capítulo 7 Iferêcia Estatística Objetivo: Produzir afirmações a respeito de uma determiada população de iteresse, usualmete sobre características desta população, a partir de uma amostra desta população. Exemplo 7.1. Para ivestigar se um determiado processo está produzido peças detro das especificações técicas exigidas, este caso diâmetro omial de projeto é 15 mm, realizou-se o seguite experimeto: coletou-se uma amostra aleatória de 50 peças e mediu-se o diâmetro de cada uma, obtedo-se um diâmetro médio de X = 16,5 mm. Esta é uma estimativa potual da verdadeira média populacioal µ. A próxima questão é: Qual a margem de erro(e) desta estimativa? Ou de outra maeira, para qual itervalo de valores possíveis para µ, X E;X + E posso ter uma cofiaça 100(1 )% de que este itervalo coterá o verdadeiro valor µ? Uma outra questão de iteresse é: erá que o valor de X mostra evidêcias que µ = 15 mm? Descrevemos este exemplo, os três problemas básicos da Iferêcia Estatística: (i) Estimação potual; (ii) Itervalo de cofiaça; (iii) Teste de hipótese. 7.1 Estimação Potual Objetivo: Ecotrar estimadores que possuam boas propriedades, para que a partir deles se possa ecotrar estimativas para os parâmetros populacioais de iteresse. Defiição 7.1 (Estimador). É uma fução da amostra, logo é também uma variável aleatória. Ex.: Dada uma amostra aleatória X = X 1,...,X da variável X tem-se que um estimador para a média é dado por: X = X X. 51

6 Defiição 7.2 (Estimativa). É um particular valor umérico assumido por um estimador. Ex.: Dado a amostra X = 5,4,6 tem-se que, é uma estimativa para µ. Notação: ( : : X = parâmetro populacioal de iteresse Estimador para = Propriedades de um estimador Que propriedades deveríamos esperar de um bom estimador? É importate que a distribuição seja o mais cocetrada possível em toro do verdadeiro valor do parâmetro. e tal ocorrer, etão quase toda a vez que for extraída uma amostra, a estimativa resultate b estará próxima do verdadeiro valor. Não viciado. Um estimador b é ão viciado para se, E ( b )=, para todo 2 (espaço paramétrico) e para todo (tamaho da amostra). Portato o vício de um estimador é dado por, Exemplo 7.2. Para bµ = X temos que, b( )=E ( b ). X1 + + X E (X )=E = E (X 1)+ + E (X ) uposição: X = X 1,...,X é uma amostra aleatória da variável X que tem média µ e variâcia 2, portato E (X 1 )=E(X 2 )= = E (X m )=E(X)=µ evar(x 1 )=Var(X 2 )= = Var(X m )=Var(X)= 2. Logo, E (X )= µ = µ. Portato X é um estimador ão viciado para µ. Cosistêcia. Um estimador b é cosistete se ele for assitóticamete ão viciado, isto é, lim E ( b )=!1 e se sua variâcia tede a zero quado aumeta, isto é, lim Var( b )=0!1

7 7.2 Itervalo de Cofiaça Em muitas situações, uma estimativa potual ão forece iformação suficiete sobre um parâmetro. No exemplo sobre o processo produtivo de uma peça em que o diâmetro omial de projeto era 15 mm e a partir de uma amostra aleatória de 50 peças, verificou-se um diâmetro médio de X = 16,5 mm. Etretato, é improvável que a verdadeira média µ seja exatamete igual a 16,5. Assim, é ecessário que se saiba o quão preciso foi a estimativa potual obtida. Uma maeira de se fazr isso é atráves de uma estimativa itervalar do parâmetro deomiado itervalo de cofiaça. Um itervalo de cofiaça é um itervalo de valores utilizado para estimar o verdadeiro valor de parâmetro populacioal. De um modo geral, estamos iteressados em ecotrar um itervalo da forma b E ; b + E, em que b é o estimador de um parâmetro de iteresse e E é a margem de erro ou erro de precisão. Defiição 7.3 (Margem de Erro). eja = b o erro amostral, etão, a margem de erro é defiido como a difereça máxima provável, com probabilidade 1, etre o estimador b e o parâmetro, isto é, P( b applee )=1 Para BUAB E MORETTIN (2005) a margem de erro é deomiada erro amostral máximo, equato que TRIOLA (2005) afirma que a margem de erro é também cohecida como erro máximo de estimativa. Da defiição de margem de erro, percebe-se que todo itervalo de cofiaça está associado a um ível de cofiaça 100(1 )% que é a probabilidade de que o itervalo coteha o verdadeiro valor do parâmetro, isto é, P E < < b + E = 1, 0< <1 Logo, será a probabilidade de que o itervalo ão coteha o verdadeiro valor do parâmetro. A margem de erro E deverá ser tal que, P b applee. Deste modo,cosiderado que b 2 D(, ), segue que, b = ( se b ( b ) se b <. Assim, Portato, b o applee = P b applee = P = P o apple E \ E apple b E ( b o ) E = Ç apple E = P E apple E apple b o apple E apple E b å apple W apple E b = P( w 1 apple W apple w 2 )=1

8 em que =. e a distribuição de b for simétrica, etão 1 = 2 =. Logo, cosiderado a 2 simetria tem-se que Notação: IC ; (1 )% = E = w 2 E ; b + E 7.3 Itervalo de Cofiaça para a Média eja X =(X 1,...,X ) uma amostra iid(idepedete e ideticamete distribuída) Caso 1: X possui distribuição ormal com Variâcia cohecida. Tem-se que, X = p e X µ p N (0,1) assim, E = z 2 p ) IC µ; (1 )% = X z 2 p ; X + z 2 p Caso 2: X possui distribuição ormal com Variâcia descohecida. Quado a Variâcia 2 é descohecida, substituímos 2 por 2, assim, X µ t 1 p portato, E = t ( 1, 2 ) p ) IC µ; (1 )% = X t ( 1, 2 ) p ; X + t ( 1, 2 ) p Caso 3: Grades Amostras: 30. e a Variâcia 2 for descohecida, logo, X µ p a N (0,1) E = z 2 p ) IC µ; (1 )% = X z 2 p ; X + z 2 p e a Variâcia 2 for descohecida, substituímos 2 por 2, X µ p a N (0,1)

9 logo, E = z 2 p ) IC µ; (1 )% = X z 2 p ; X + z 2 p Exemplo 7.3. Em uma amostra aleatória de 25 mulheres observou-se uma taxa média de hemoglobia de 16g /100ml. upodo que a taxa de hemoglobia em mulheres é uma variável aleatória com distribuição ormal com desvio padrão = 1g /100m l de sague. Determie um itervalo de cofiaça com um ível de cofiaça de 95% para a média µ. e a taxa média de hemoglobia em mulheres ormais fosse de 17g /100ml, o que você pode cocluir a partir do IC acima? olução: Do problema tem-se que X = 16 e = 1. Tem-se aida que = 0,05 portato z = 1,96. 2 Assim, IC µ ; 95% = 16 1,96p 1 ; ,96 1 p = 15,6 ; 16, Itervalo de Cofiaça para a proporção eja X ber(p). Retirada uma amostra aleatória (X 1,...,X ) da variável X, tem-se que, Y = X 1 + +X b(,p), pois Y cota o úmero de vezes que um certo eveto de iteresse A aparece a amostra. Um estimador para o parâmetro p é dado por, Do Teorema Cetral do Limite, segue que, bp = X X. Z = bp p p(1 p) D GGGGA!1 N (0,1) e portato, para grade mi(p,1 p) > 10, bp a p(1 p) N p,. Como p ão é cohecido a variâcia do estimador bp também ão é cohecida e portato deveremos utilizar o próprio estimador bp para estimá-la. Nestas codições, segue que, Z = bp p bp(1 bp) a N (0,1) Itervalo de Cofiaça para a proporção uposições: A amostra é aleatória simples; As codições para a distribuição biomial são satisfeitas.

10 A distribuição ormal pode ser utilizada para aproximar a distribuição das proporções amostrais se mi(p,1 p) > 10 são satisfeitos. Um itervalo de cofiaça com ível de cofiaça de (1 r r bp(1 bp) bp(1 E = z ) IC p ; (1 )% = bp z 2 2 )% é dado por: r bp) bp(1 ; bp + z 2! bp) Exemplo 7.4. Quado Medel realizou seus famosos experimetos em geética com ervilhas, uma amostra das descedetes cosistia de 428 ervilhas verdes e 152 ervilhas amarelas. (a) Determie um itervalo de cofiaça com ível de cofiaça de 95% para a porcetagem de ervilhas amarelas; (b) Com base a teoria da geética, Medel esperava que 25% das ervilhas descedetes fossem amarelas. Dado que a porcetagem das ervilhas amarelas ão é 25%, os resultados cotradizem a teoria de Medel? olução: (a) Dada a amostra de 580 ervilhas, temos que uma estimativa para a proporção de ervilhas amarelas é bp = = 0,262 portato, p = 152 > 5 e(1 p) > 5, assim, r r! 0, 262(1 0, 262) 0, 262(1 0, 262) IC p;95% = 0,262 1,96 ; 0, , =(0,262 0,036 ; 0, ,036)=(0,226 ; 0,298) 7.5 Teste de Hipótese Um hipótese é uma suposição a respeito de um determiado problema, por exemplo: Um lote de parafusos, de origem descohecida, será leiloada a um preço muito covidativo. Um idústria está iteressada em adquirir um lote desses parafusos, etretato, ela precisa saber se os parafusos satisfazem as especificações técicas relacioadas a resistêcia a tração. O edital do leilão diz que, pouco ates do iício do leilão será divulgada a resistêcia média de uma amostra de 25 parafusos. Qual a regra de decisão deve ser utilizada pela idústria? Estas suposições podem ser formuladas através de um teste de hipótese estatístico, que é um processo de decisão para avaliar as hipóteses feitas a respeito de uma determiada população. Desta forma, testar uma hipótese, sigifica verificar se um pressuposto é verdadeiro ou ão. Esta verificação é feita através de uma amostra coletada da população em estudo; o exemplo aterior a população era o lote de parafusos. Portato, o objetivo de um teste de hipótese é forecer uma metodologia(procedimeto) que os permita verificar se os dados amostrais trazem evidêcias que apóiem ou ão uma hipótese estatística formulada. Assim sedo, a formulação de um teste de hipótese estatístico iicia-se com a afirmação de uma hipótese estatística.

11 Defiição 7.4 (Hipótese Estatística). É usualmete uma cojectura a respeito de um parâmetro populacioal. No exemplo dos parafusos, a idústria deseja saber se a resistêcia média à tração é superior a 145 Kg, isto é, µ>145. Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: a hipótese ula deotada por H 0 e a hipótese alterativa deotada por H 1 Existem básicamete 3 tipos de formulações para os testes de hipótese: ituação A. Uma máquia automática para echer pacotes de café foi regulada para colocar em média 500 g de café com uma variâcia de 400 g 2. Após algum tempo de trabalho, deseja-se verificar se a média do processo está sob cotrole, as hipóteses para esta situação são: ( H 0 : µ = 500 Este teste é deomiado teste bilateral; H 1 : µ 6= 500 ituação B. O doo de uma fábrica de cofecção de tapetes está descofiado que está havedo um gasto excessivo de tita em uma das etapas do processo. abe-se que a quatidade média de tita gasta o processo é de 1,6 l, as hipóteses para esta situação são: ( H 0 : µ = 1,6 ou µ apple 1,6 H 1 : µ>1,6 Este teste é deomiado teste uilateral à direita; ituação C. Uma compahia farmacêutica descofia que o tempo de duração do efeito de um medicameto da compahia cocorrete é meor que o auciado por ela que é 225 miutos, as hipóteses para esta situação são: ( H 0 : µ = 225 ou µ 225 H 1 : µ<225 Este teste é deomiado teste uilateral à esquerda. Em um teste de hipótese, existem apeas quatro resultados possíveis: H 0 é verdadeira H 0 é falsa Rejeitar H 0 Erro tipo I Decisão correta Não Rejeitar H 0 Decisão correta Erro tipo II Elemetos de um teste de hipótese Nível de sigificâcia: É a probabilidade de se cometer o erro tipo I, é deotado por, isto é, P(Erro tipo I)= = P(Rejeitar H 0 H 0 é verdadeira).

12 Beta do teste: É a probabilidade de se cometer o erro tipo II, é deotado por, e é dado por, P(Erro tipo II)= = P(Não Rejeitar H 0 H 0 é falsa). Região Crítica(RC): É o cojuto de valores de b para o qual a hipótese deve ser rejeitada, também chamada de região de rejeição. Nível descritivo ou p-valor do teste: É a probabilidade de ocorrer valores do estimador b, mais extremos que o valor observado b (!)=x, isto é, que a estimativa obtida, sob a hipótese que H 0 é verdadeira, isto é, e H 1 : > 0 etão x 0 > 0, assim p-valor = P >x b H 0 é verdadeira = P W > x 0 ; e H 1 : < 0 etão x 0 < 0, assim p-valor = P <x b H 0 é verdadeira = P W < x 0. Logo, em qualquer uma dessas situações tem-se que p-valor = P W > x 0! e H 1 : 6= 0 etão, x 0 > 0 ou x 0 < 0, assim p-valor = 2 P W > x 0! Observe que quato meor for o p-valor, mais forte será a evidêcia de que a hipótese H 0 ão é verdadeira. Portato, o p-valor mede a força da evidêcia cotra H 0. Em outras palavras, quato meor o p-valor meor será a probabilidade de H 0 ser verdadeira. Observação 7.1. empre que acotecer b (!)=x = 0 etão ão rejeita-se a hipótese H Procedimeto Geral do Teste de Hipótese - Uma Amostra 1. Formulação das hipóteses: 2. p-valor: ituação A: ( H 0 : = 0 H 1 : 6= 0 ituação B: ( ( H 0 : apple 0 H 0 : 0 ituação C: H 1 : > 0 H 1 : < 0

13 Nas situações B e C, p-valor = P W > x 0! Na situação A, p-valor = 2 P W > x 0! 3. Região crítica: ituação A: RC = 1, w c1 [ wc2,1 ituação B: RC = 1, w c1 ituação C: RC = w c2,1 em que w c1 e w c2 satisfaz as seguites codições: P W apple w c1 = 1 P W w c2 = 2. em que =. e a distribuição de W for simétrica etão, w c2 = w c1 e esse caso 1 = 2 =. A variável trasformada W é chamada de estatística do teste, e esse caso como 2 a distribuição de W ão depede de ehum parâmetro descohecido, deomiamos de quatidade pivotal. e b ão for cohecido etão substitui-se pelo respectivo estimador b. 4. Decisões e Coclusões possíveis: Pelo método do p-valor: rejeitar H 0 se p-valorapple. Coclusão: Como p-valorapple rejeitamos H 0 ao ível de sigificâcia de 100 %. Logo, existem evidêcias de que a hipótese H 1 é verdadeira; ão rejeitar H 0 caso cotrário. Coclusão: Como p-valor> ão rejeitamos H 0 ao ível de sigificâcia de 100 %. Logo, ão existem evidêcias de que a hipótese H 1 é verdadeira. Pelo método da região crítica: rejeitar H 0 se W cal 2 RC. Coclusão: Como W cal 2 RC rejeitamos H 0 ao ível de sigificâcia de 100 %. Logo, existem evidêcias de que a hipótese H 1 é verdadeira; ão rejeitar H 0 se W cal /2 RC. Coclusão: Como W cal /2 RC ão rejeitamos H 0 ao ível de sigificâcia de 100 %. Logo, ão existem evidêcias de que a hipótese H 1 é verdadeira.

14 7.7 Teste de hipótese para a média eja X uma variável aleatória com média µ e desvio padrão µ e X o desvio padrão deste estimador.. eja bµ = X um estimador para Caso 1: X possui distribuição ormal com Variâcia cohecida. Estatística do teste: Região crítica: Z = X µ 0 X = X µ 0 p N (0,1) ituação A: RC = x 2 R : x apple z 2 ou x z 2 ituação B: RC = x 2 R : x z ituação C: RC = x 2 R : x apple z p-valor do teste: Para as situações B e C tem-se que p-valor= P Ç Z > x µ 0 p å Para a situação A tem-se que p-valor= 2 P Ç Z > x µ 0 p å Caso 2: X possui distribuição ormal com Variâcia descohecida. Estatística do teste: T = X µ 0 = X µ 0 t 1 ; X p Região crítica: p-valor do teste: p-valor = P ituação A: RC = x 2 R : x apple t ( 1, 2,) ou x t ( 1, 2,) ituação B: RC = x 2 R : x t ( 1,,) ituação C: RC = x 2 R : x apple t ( 1,,) Ç T > x µ 0 p å p-valor do teste: Para as situações B e C tem-se que p-valor= P Ç T > x µ 0 p å Para a situação A tem-se que p-valor= 2 P Ç T > x µ 0 p å

15 7.7.3 Caso 3: Grades Amostras: 30. Estatística do teste: e a variâcia for cohecida: e a variâcia for descohecida: Região crítica: Z = X µ 0 X Z = X µ 0 X = X µ 0 p a N (0,1) = X µ 0 p a N (0,1) p-valor do teste: ituação A: RC = x 2 R : x apple z 2 ou x z 2 ituação B: RC = x 2 R : x z ituação C: RC = x 2 R : x apple z Para as situações B e C tem-se que p-valor= P Para a situação A tem-se que p-valor= 2 P Ç Ç Z > x µ 0 p Z > x µ 0 p å å 7.8 Teste de hipótese para a proporção eja X uma variável aleatória com ditribuição X ber(p). eja X =(X 1,...,X ) uma amostra i.i.d. de X, etão um estomador para o parâetro p é dado por e bp = P em que k é o úmero de vezes que o eveto de iteresse aparece a amostra X e. Estatística do teste: pelo Teorema Cetral do Limite, tem-se para grade que a estatística do teste é dada por Z = bp p 0 p0 (1 p 0 ) = k a N (0,1) Região crítica: ituação A: RC = x 2 R : x apple z 2 ou x z 2 ituação B: RC = x 2 R : x z ituação C: RC = x 2 R : x apple z p-valor do teste:

16 Para as situações B e C tem-se que p-valor = P Para a situação A tem-se que p-valor= 2 P Ç Ç Z > p p 0 p0 (1 p 0 ) å Z > p p 0 p0 (1 p 0 ) å

17 Capítulo 8 Correlação e Regressão Liear imples Nesse capítulo iremos estudar a Correlação e a Regressão Liear imples. Na primeira seção iremos tratar sobre coefiete de correlação liear que é um coeficiete que mede a itesidade da relação liear etre duas variáveis. Na seguda seção trataremos da regressão liear simples. Na aálise de regressão o objetivo é ivestigar a relação etre as variáveis e predizer o valor de uma em fução da outra. 8.1 Coeficiete de Correlação Liear( ) O coeficiete de correlação liear é utilizado quado se desejar verificar se duas variáveis estão relacioadas. Mais especificamete, se duas variáveis possuem relação liear etre elas. Esse coeficiete é também deomiado correlação de Pearso. Defiição 8.1 (Coeficiete de Correlação Liear). ejam X e Y duas variáveis aleatórias com média µ X e µ Y e desvio padrão X e Y respectivamete, etão o Coeficiete de Correlação Liear é defiido como, E (XY) X,Y = (X,Y )= p E (X )E (Y ) p. Var(X ) Var(Y ) Propriedades: 1. O coeficete de correlação liear idepede da uidade de medida das variáves. Trata-se de um úmero adimesioal; 2. O coeficete de correlação liear é ivariate sobre trasformações lieares, isto é, se U = ax + b e V = cy + d etão, U,V = X,Y ; 3. O coeficete de correlação liear é um valor etre -1 e 1, em que: (a) e <0 temos uma relação egativa, isto é, uma relação liear iversa; (b) e >0 temos uma relação positiva, isto é, uma relação liear direta; (c) e = 0 temos uma ausêcia relação liear; 63

18 (d) e = 1 temos uma relação liear perfeita. Defiição 8.2 (Coeficiete de Correlação Liear amostral). Dada uma amostra i.i.d das variáveis XeY, (X 1,Y 1 ),...,(X,X ), etão um estimador ( b ) para o Coeficiete de Correlação Liear é dado por, P b = r = (X i X )(Y i Y ) P q P q P = X ÄP i Y i X ääp i Y ä i q (X i X ) 2 (Y i Y ) 2 P X ÄP 2 i X ä 2 i q P Y ÄP 2 i Y ä 2 i Iterpretação geométrica O produto escalar de dois vetores A = (a 1,a 2,,a ) e B = (b 1,b 2,,b ) é o resultado do produto do comprimeto (também chamado de orma ou módulo) de A pela [[projeção escalar]] de B em A, isto é, A B = kakkbkcos Ode é o âgulo formado pelos vetores e A e B são seus comprimetos, dados por, e A = p a a a 2 B = p b b b 2 O produto escalar etre dois vetores também pode ser visto como, A B = X a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a b Deste modo o cosseo do agulo etre os dois vetores ( ) é dado por: cos( )= A B P kakkbk = a ib i = a 1 b 1 + a 2 b a b p a 2 + a a 2 p b 2 + b b Cosidere duas amostras i.i.d. das variáveis X e Y, (X 1,...,X ) de X e (Y 1,...,Y ). Essas amostras podem ser cosideradas como vetores em um espaço de dimesões. Assim, subtraido cada valor de sua respectiva média, tem-se (X 1 X,...,X X ) e (Y 1 Ȳ,...,Y Ȳ ). Assim, da equação 8.1 o cosseo do âgulo etre estes vetores é dado por: Logo, cos( )=. edo assim: NX (X i X ) (Y i Ȳ ) cos( )= s s NX NX (X i X ) 2 (Y i Ȳ ) 2 e = 1, o âgulo = 0, os dois vetores são colieares (paralelos); e = 0, o âgulo = 90, os dois vetores são ortogoais; (8.1) e = 1, o âgulo = 180, os dois vetores são colieares com setidos opostos;

19 8.1.2 Teste de hipótese para o Coeficiete de Correlação Hipótese: ( H 0 : = 0 H 1 : 6= 0 Estatística do Teste: T = r «2 1 r 2 Região crítica: RC= x 2 [0,1) : x t 2 Decisão: rejeitar H 0 se T cal 2 RC 8.2 Regressão Liear imples Tem por objetivo ecotrar qual a relação liear etre as variáveis aleatórias, se a mesma existir. Relação liear simples: Y = b 0 + b 1 X + e. Em que, e é erro aleatório. Dada uma amostra X = (X 1,Y 1 ),...,(X,Y ) tem-se que, e Y i = b 0 + b 1 X i + e i ode e i é suposto ter distribuição ormal com média zero e variâcia 2 com (e 1,...,e ) idepedetes e ideticamete distribuídos. Nestas codições deseja-se estimar b 0 e b 1 obtedo-se assim a reta estimada by i = b 0 + b 1 X i, para a partir dela podermos fazer predições de Y a partir de valores cohecidos de X. Observação 8.1. A variável X é deomiada variável idepedete ou explicativa e a variável Y de variável depedete ou resposta. 8.3 Estimação dos parâmetros O método de míimos quadrados é usado para estimar os parâmetros do modelo (b 0 e b 1 )e cosiste em fazer com que a soma dos erros quadráticos seja meor possível, ou seja, este método cosiste em obter os valores de b 0 e b 1 que miimizam a expressão: f (b 0,b 1 )= X e 2 = i X (Y i (b 0 + b 1 X i )) 2 Aplicado-se derivadas parciais à expressão acima, e igualado-se a zero, acharemos as seguites estimativas para b 0 e b 1, as quais chamaremos de b b 0 e b b 1, respectivamete: b b0 = P Y i b b1 P X i

20 b b1 = P X ÄP i Y i X ääp i Y ä i P X ÄP 2 i X ä 2 i A chamada equação (reta) de regressão é dada por by i = b b 0 + b b 1 X i. A difereça etre os valores observados e os preditos é chamada de resíduo (be i ): be i = Y i by i O resíduo relativo à i-ésima observação (be i ) pode ser cosiderado uma estimativa do erro aleatório (e i ) desta observação Coeficiete de Determiação (R 2 ) O coeficiete de determiação é uma medida descritiva da proporção da variação de Y que pode ser explicada por variações em X, segudo o modelo de regressão especificado. Ele é dado pela seguite razão: R 2 = 1 P (Y P i by i ) 2 P (Y i Y i ) = 1 Y P 2 b i b0 Y P b i b1 X i Y i 2 P Y ÄP 2 i Y ä 2. i

21 Referêcias Bibliográficas BUAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica,5 a Edição, ão Paulo: araiva, FIHER, R. A. O the Mathematical Foudatios of Theoretical tatistics. Philosophical Trasactios of the Royal ociety, A, v.222, p , FIHER, R. A. tatistical methods for research workers. Ediburgh: Oliver ad Boyd, (Biological moographs ad mauals,.5) GRAUNT, J. (1662). Bills of Mortality. Lodo. Dispoível em < stepha/graut/bills.html>. Acesso em: 5 de ovembro de FUNDAÇÃO INTITUTO BRAILEIRO DE GEOGRAFIA E ETATÍTICA (IBGE). Normas de apresetação tabular. 3. ed. Rio de jaeiro, p. KOLMOGOROV, A. N. Foudatios of the Theory of Probability. 2. ed., New York: Chelsea Publishig Compay, p. Origial publicado em 1933 em Alemão como Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug. Dispoível em < Acesso em: 5 de ovembro de TRIOLA, M. F. Itrodução à Estatística, Tradução da 9 a Edição, Rio de Jaeiro: LTC,