Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos

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1 Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departameto de Computação/ICEB/UFOP. Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Míimos Marcoe Jamilso Freitas Souza, Departameto de Computação, Istituto de Ciêcias Exatas e Biológicas, Uiversidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, MG, Brasil. Homepage: marcoe@iceb.ufop.br 1 Itrodução Em muitas situações, cohece-se uma tabela de potos x i,, ode cada é obtido experimetalmete, e deseja-se obter a expressão aalítica de uma dada curva y = fx que melhor se ajusta a esse cojuto de potos. Por exemplo, sabe-se que o úmero y de bactérias, por uidade de volume, existete em uma cultura após um determiado úmero x de horas, cresce expoecialmete com o aumeto de x. Neste caso, o úmero de bactérias cresce com o decorrer das horas a forma y = αe βx. O problema cosiste, etão, em determiar os valores mais apropriados dos parâmetros α e β desta expoecial. 2 Ajuste a uma reta Mostremos, iicialmete, como ajustar um cojuto de potos a uma reta y = a + bx, ode a e b são parâmetros a serem determiados. Neste caso, estamos iteressados em miimizar a distâcia de cada poto x i, da tabela à cada poto x i, a + bx i da reta, coforme ilustra a gura 1. Figura 1: Distâcia de um poto x i, à reta y = a + bx é: A distâcia etre esses potos é a bx i e a soma dos quadrados dessas distâcias

2 2 Marcoe Jamilso Freitas Souza q = a bx i Os cadidatos a poto de míimo da fução 2.1 são aqueles para os quais são ulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus parâmetros, isto é: Tedo em vista que: a bx i = e que: = x i a bx i = a = 2 a bx i = b = 2 x i a bx i = a bx i a x i b x i x i a obtemos o seguite sistema de equações, deomiado equações ormais do problema, cujas icógitas são os parâmetros a e b da equação y = a + bx: a + x i a + b x i b = b = 2.4 x i Exemplo 1: Dada a tabela de potos x i, a seguir, determie pelo Método dos Quadrados Míimos a equação da reta que melhor se ajusta a esses potos. Solução: Como são = 4 potos, x i x i = 0.1, = 2.05, = e x i = , as equações ormais do problema são, de acordo com 2.4: { 4a b = a b = A solução deste sistema é a = e b = Assim, a reta que melhor se ajusta à tabela de potos dada é: y = x

3 Quadrados Míimos 3 3 Ajuste a uma expoecial Mostremos, agora, como ajustar um cojuto de potos x i, a uma expoecial do tipo y = αe bx. Esta fução expoecial pode ser ajustada através da seguite trasformação: l y = l αe bx = l α + bx. Fazedo Y = l y e a = l α, reduzimos o problema de ajustar a tabela de potos x i, referete a uma expoecial ao problema de ajustar a tabela de potos x i, Y i, ode Y i = l, à equação de uma reta Y = a + bx. Exemplo 2: Supohamos que em um laboratório obtivemos experimetalmete os seguites valores para fx i sobre os potos x i : x i Solução: Fazedo o diagrama de dispersão dos dados acima, verica-se que um ajuste do tipo y = αe bx é o mais idicado. Efetuado-se as trasformações Y = l, obtemos a tabela x i, l a seguir: x i l Como = 8 potos, x i = 0.3, equações ormais do problema são, de acordo com 2.4: { 8a b = a b = = 3.59, = e x i = 8.646, as A solução deste sistema é a = e b = 2.5. Como a = l α etão α = e a = e = Assim, a expoecial que melhor se ajusta à tabela de potos dada é: y = 3.001e 2.5x 4 Ajuste a uma hipérbole Para ajustar uma tabela de potos x i,, ode: basta fazer z = 1 y = α 1 + α 2 x. y = 1 α 1 + α 2 x Ajuste a uma curva expoecial y = α 1 α x 2 Para ajustar uma tabela de potos x i,, ode: y = α 1 α x 2 5.6

4 4 Marcoe Jamilso Freitas Souza basta fazer as seguites trasformações, cosiderado y > 0: z = l y = l α }{{} 1 +x l α 2 = a + bx }{{} a b 6 Ajuste a uma curva geométrica y = α 1 x α 2 Para ajustar uma tabela de potos x i,, ode: y = α 1 x α basta fazer as seguites trasformações, cosiderado y > 0 e x > 0: z = l y = l α }{{} 1 + α }{{} 2 }{{} l x = a + bt a b t Neste caso, estamos miimizado as somas dos quadrados dos desvios os logaritmos de y, para os logaritmos dos desvios de x. 7 Ajuste a um poliômio O objetivo, agora, é mostrar como ajustar os potos de uma tabela com potos a uma fução poliomial de grau m: P x = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m 7.8 ode m 1. Neste caso, a soma dos quadrados das distâcias de à P x i é dada por: q = P x i e depede de m + 1 parâmetros a 0, a 1,, a m. Para miimizar essa fução, temos que satisfazer às m + 1 codições a seguir: a qual forece um sistema de m + 1 equações ormais. No caso de a fução poliomial ser quadrática, isto é: as equações ormais são: a 0 + x i a 0 + a 0 + a i = 0 i = 0, 1,, m 7.10 P x = a 0 + a 1 x + a 2 x x i a 1 + a 1 + a 1 + x 3 i x 3 i x 4 i a 2 = a 2 = x i a 2 = 7.12 Observe que este sistema é simétrico. Para resolvê-lo, isto é, para ecotrar as icógitas a 0, a 1,, a m, podemos aplicar qualquer um dos métodos uméricos apresetados ateriormete.

5 Quadrados Míimos 5 8 Qualidade do ajuste A qualidade de um ajuste liear pode ser vericada em fução do coeciete de determiação r 2, dado por: r 2 = a + bx i ȳ ȳ 2 sedo ȳ = 1. Quato mais próximo da uidade r 2 estiver, melhor é o ajuste. Observe que o coeciete de determiação é uma medida da proporção da variação total dos dados em toro da média. De fato, o umerador desta expressão represeta a soma dos quadrados dos desvios de cada poto da reta de ajuste ao poto médio ȳ dos potos dados. Já o deomiador represeta a soma dos quadrados dos desvios de cada poto dado ao poto médio ȳ. Tedo em vista que: ȳ 2 = a bx i 2 + a expressão 8.13 pode ser reescrita como: Como: ȳ 2 = = r 2 = a + bx i ȳ 2 ȳ 2 a bx i 2 ȳ 2 yi 2 2ȳ + yi ȳ 2 a expressão para determiação do coeciete de determiação r 2 pode ser simplicada para: r 2 = 1 a bx i 2 yi