O PROBLEMA DE TRANSPORTES SOB A ÓTICA DOS MODELOS DE EQUILÍBRIO ESPACIAL DE MERCADO

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1 O PROBLEMA DE TRANSPORTES SOB A ÓTICA DOS MODELOS DE EQUILÍBRIO ESPACIAL DE MERCADO Sérgio Ferado Mayerle, Dr. UFSC / CTC / EPS - mayerle@eps.ufsc.br - Floriaópolis - SC Thiago Dedavid de Almeida Bastos UFSC / CTC / EPS thiago@eps.ufsc.br - Floriaópolis - SC Resumo Neste artigo uma versão do problema clássico de trasportes é apresetada, a qual são cosiderados os mecaismos de equilíbrio de mercado a determiação das quatidades ofertadas pelos produtores e das quatidades cosumidas pelos mercados. Produtores e cosumidores ecotram-se geograficamete distribuídos, e as capacidades de trasporte e de produção, além dos custos de trasporte são cosiderados. Para a resolução do problema é sugerido um algoritmo de busca da codição de equilíbrio. Um exemplo umérico é apresetado e a solução ecotrada é aalisada. Abstract I this work a versio of the classical trasportatio problem is preseted, i which are cosidered the market equilibrium mechaisms to determie the product s offered ad demaded quatities. Producers ad customers are geographically distributed. The model cosiders productio ad trasportatio capacities, as well as the trasportatio costs. To solve this problem, a algorithm to search the equilibrium poit is suggested. A umerical example is preseted ad its solutio is aalysed. 1. Itrodução O problema clássico de trasportes cosidera um cojuto de m produtores e cosumidores, para os quais deseja-se ecotrar as quatidades trasportadas etre cada par produtorcosumidor, de modo a miimizar o custo total de trasporte. A formulação matemática para este problema é dada pelo seguite modelo de programação liear (veja [HIL]): Mi s.a: m c ij x ij i= 1 j = 1 x ij O i j = 1 m x ij D j i= 1 (1.a) i = 1,...,m (1.b) j = 1,..., (1.c) x ij 0 i = 1,..., m e j = 1,..., (1.d)

2 ode: c ij é o custo uitário de trasporte etre o produtor i e o cosumidor j; x ij é a quatidade trasportada etre o produtor i e o cosumidor j; O i é a quatidade de produto ofertada pelo produtor i; e D j é a quatidade de produto demadada pelo cosumidor j. Como é cohecido, este modelo as quatidades ofertadas e cosumidas são parâmetros costates. Isto faz com que o mesmo seja apropriado apeas à resolução de problemas de distribuição de produtos os casos em que os preços praticados por produtores e cosumidores ão variam com as quatidades trasportadas. Particularmete, este modelo é impróprio para os casos em que os preços os mercados são defiidos por quatidades ofertadas e demadadas sesíveis à variação de preços, e em situações em que é estabelecida a cocorrêcia pura etre diversos produtores a região em estudo. 2. Formulação do Modelo de Equilíbrio de Mercado para o Problema de Trasportes Segudo a visão clássica de uma ecoomia em cocorrêcia pura, as quatidades ofertadas e cosumidas de um produto são defiidas por fuções que relacioam estas quatidades com o preço praticado este mesmo mercado. Em geral é bem aceito que: a medida em que os preços aumetam, há uma tedêcia de que mais produtores se iteressem por colocar este produto o mercado, e cosequetemete maior será a quatidade ofertada. Seguido o mesmo pricipio, se os preços baixam a quatidade ofertada será meor. Por outro lado: a medida em que os preços aumetam, meor será a quatidade de cosumidores que estarão dispostos a cosumir o produto, e cosequetemete meor será a quatidade demadada; já o caso de dimiuição de preços, haverá um aumeto da demada (veja [WON]). Estes dois comportametos podem ser descritos, matematicamete, através das curvas de preço do produtor (oferta) e do cosumidor (demada), e que se caracterizam através de quatro situações distitas. Situação 1 A primeira situação, coforme apreseta a figura 1, correspode ao caso mais simples, ode produtor e cosumidor disputam preço em um mercado local, sem existir limites de capacidade de produção. Nesta figura, a curva de preço do cosumidor pode ser iterpretada como sedo a fução que determia o preço uitário máximo que os cosumidores estão dispostos a pagar, para um certo ível de cosumo. A curva de preço do produtor, por outro lado, idetifica o preço uitário míimo que os produtores estão dispostos a cobrar, cosiderado um certo ível de produção. A codição de estabilidade se verifica o poto de equilíbrio, quado para um dado ível de preço observa-se quatidades ofertadas e demadadas iguais. Para um determiado preço praticado o mercado, abaixo do preço de equilíbrio, existirá uma quatidade ofertada por produtores meor que a quatidade demadada pelos cosumidores. Esta situação caracteriza a escassez de produto o mercado, o que cosequetemete acarreta um aumeto o preço.

3 Em caso cotrário, estado o preço do produto acima do preço de equilíbrio, haverá excesso de produto o mercado, o que acarretará uma redução o preço. Este mecaismo faz com que o equilíbrio seja alcaçado em um preço de mercado o qual o máximo que o cosumidor está disposto a pagar correspode ao míimo que o produtor está disposto a receber por uma uidade margial produzida, coforme é apresetado a figura 1. Preço Uitário Cosumidor Produtor P e Poto de Equilíbrio Q e Quatidade Figura 1. Poto de equilíbrio ( Q e, Pe ) cosiderado a curva de preço do produtor (oferta) e a curva de preço do cosumidor (demada), para um produto, em um mercado local, e sem limites de capacidade. Aida a figura 1, a área compreedida etre as curvas de preço do cosumidor e do produtor, para uma certa quatidade, correspode ao excedete da sociedade, que represeta a ecoomia obtida por produtores e cosumidores detro do mercado em questão. Para o poto de equilíbrio, o excedete da sociedade é máximo. Coforme pode ser visto a figura, este excedete divide-se em excedete do produtor (abaixo da liha horizotal tracejada) e excedete do cosumidor (acima da liha horizotal tracejada). Preço Uitário Cosumidor Produtor + Trasportador P e Poto de Equilíbrio Custo de Trasporte Q e Quatidade Figura 2. Poto de equilíbrio ( Q e, Pe ) cosiderado a curva de preço do produtor deslocada pelo custo de trasporte (oferta) e a curva de preço do cosumidor (demada), para um produto.

4 Situação 2 Os mesmos coceitos apresetados a situação 1 podem ser estedidos para os casos de existirem itermediários que trasportam o produto de um mercado de origem (produtor) para um mercado de destio (cosumidor). Na figura 2 é apresetado um exemplo típico, o qual o ovo poto de equilíbrio é assialado. Como se pode perceber, este caso, o preço determiado pela oferta do produtor se desloca em fução do acréscimo do custo de trasporte. Cosequetemete o preço de equilíbrio tede a ser maior e as quatidades produzidas e cosumidas tedem a ser meores. Situação 3 Uma terceira situação que merece destaque e aálise correspode ao caso em que existem evolvidas limitações de capacidade de produtores e/ou de trasportadores. Neste caso, coforme pode ser observado a figura 3, o poto de equilíbrio se estabelece o limite da capacidade, desde que a quatidade correspodete ao poto de cruzameto etre as curvas de oferta e de demada ão seja meor que estas capacidades. Preço Uitário Cosumidor Produtor + Trasportador P e Poto de Equilíbrio Custo de Trasporte Q e =Capacidade Quatidade Figura 3. Poto de equilíbrio cosiderado a curva de preço do produtor deslocada pelo trasportador (oferta) e a curva de preço do cosumidor (demada), para um produto, cosiderado limites a capacidade de produção e/ou trasporte. Observa-se que, com isto, surge uma terceira fatia o motate do excedete da sociedade (fatia etre as duas lihas tracejadas horizotais), que será disputado etre produtor e trasportador, e que geralmete fica com aquele que detém o limite de capacidade ativo. Situação 4 Para obter o poto de equilíbrio em situações mais complexas, evolvedo múltiplos produtores, cosumidores e trasportadores, que iteragem em um mercado geograficamete distribuído, e levado em cota suas respectivas capacidades, pode-se utilizar o seguite modelo de programação ão-liear, que se aplica geericamete a qualquer situação:

5 Max d j m oi m 1 D - ( w) dw Oi ( w ) dw cij x j ij j = 1 0 i= 1 0 i= 1 j = 1 (2.a) s.a: x ij = o i j = 1 m x ij = d j i= 1 i = 1,...,m (2.b) j = 1,..., (2.c) 0 xij Cij i = 1,..., m e j = 1,..., (2.d) 0 oi Oi i = 1,..., m e j = 1,..., (2.e) Neste modelo, tem-se as seguites variáveis: x ij quatidade trasportada do produtor i para o mercado cosumidor j; o i quatidade ofertada pelo produtor i; d j quatidade demadada pelo mercado cosumidor j; parâmetros: e fuções: c ij custo uitário para trasporte etre o produtor i e o mercado cosumidor j; O i capacidade do produtor i; C ij capacidade de trasporte etre o produtor i e o mercado cosumidor j; Oi ( w ) D j ( w ) curva de preço do produtor i (iverso da fução de oferta); curva de preço do mercado cosumidor j (iverso da fução de demada). A fução objetivo (2.a) é defiida pelo pricípio de imização do excedete da sociedade. A primeira parcela, esta fução objetivo, correspode a área sob a curva do cosumidor; a seguda parcela da fução é a área sob a curva do produtor; e a última parcela refere-se a área defiida pelo custo dos trasportadores. As restrições do modelo, por sua vez, correspodem às restrições de um problema de trasportes, defiido as quatidades ofertadas pelos produtores (equações 2.b), as quatidades demadas pelos mercados cosumidores (equações 2.c), as capacidades míimas

6 e máximas dos trasportadores (iequações 2.d) e as capacidades míimas e máximas dos produtores (iequações 2.e). 3. Método de Resolução Proposto Para resolver o modelo de programação ão-liear apresetado a seção aterior, é proposto um método de otimização que passa a ser descrito a seguir. Iicialmete cosidera-se que ão há fluxo etre produtores e cosumidores ( x ij = 0 ). Posteriormete, de modo iterativo, busca-se a codição de equilíbrio idetificado um par produtor-cosumidor cujo fluxo de produto deverá ser icremetado (ou decremetado) de uma quatidade. Surgem, assim, dois subproblemas: (a) determiar em qual par produtor-cosumidor realizar a alteração do fluxo; (b) determiar a quatidade. Para resolver o primeiro subproblema, foi utilizado o critério do custo reduzido, que represeta a difereça etre o preço que o cosumidor j está disposto a pagar e o preço praticado pelo produtor i, acrescido do custo de trasporte, isto é: µ ij = D j ( d j ) [ Oi ( oi ) + cij ], i = 1,..., m; j = 1,..., (3) A variação margial do excedete da sociedade está diretamete relacioada com este valor. Quato maior for o custo reduzido, maior será o gaho margial do excedete da sociedade, para uma variação margial a quatidade. Como o equilíbrio do mercado é alcaçado quado a soma de todos os excedetes da sociedade é máxima, é iteressate alocar o par produtor-cosumidor ode haja o maior gaho margial possível, desde que as capacidades míimas e máximas dos produtores e trasportadores assim o permitam, ou seja: [ µ x < C e o < O ]; [ µ x > ] µ rs = ij ij ij i i ij ij 0 (4) ij ij Com o par determiado, o problema cosiste em calcular qual será a variação o fluxo existete, de modo que o poto de equilíbrio seja alcaçado. Para o cálculo de será realizada uma aproximação liear em série de Taylor das curvas de preço do produtor e do cosumidor, coforme mostra a figura 4. Observa-se, esta figura, que o valor de correspode ao acréscimo as quatidades ofertadas e demadadas, associadas ao par produtor-cosumidor, de modo a fazer com que os preços aproximados pelas retas sejam iguais, tato para produtor quato para cosumidor. De acordo com a figura, pode-se obter facilmete, para um produtor r e um cosumidor s, a seguite expressão para : = d dw µ rs d Ds ( ds ) Or ( or ) dw (5) Nota-se que pode ser positivo ou egativo, idicado se este valor deverá ser acrescido ou dimiuído do fluxo correspodete.

7 Preço Uitário Cosumidor Produtor + Trasportador D -1 (d) P e O -1 (o)+c trasp Poto de Equilíbrio d o Quatidade Figura 4. Aproximação das curvas de oferta e demada por retas. O acréscimo de aos valores ofertados e demadados determia um preço de equilíbrio aproximado para um par produtor-cosumidor. Além disto deve-se cosiderar o caso particular em que a capacidade de produção de um produtor r é atigida. Neste caso, apesar de ão ser mais possível aumetar a quatidade ofertada, é possível que uma redistribuição das quatidades trasportadas a partir deste produtor aida aumete a soma dos excedetes da sociedade. Na operação de redistribuição, a quatidade será adicioada ao fluxo existete etre o produtor r e um cosumidor s, e subtraída do fluxo existete etre o mesmo produtor e um cosumidor t. Novamete utilizouse o critério de imização do excedete da sociedade para idetificar os pares evolvidos esta operação. O custo reduzido da redistribuição possível que melhor atete este critério é dado pela seguite expressão: { µ = µ x < C ; x > 0 o = O } µ r, st = i, ik ij µ ik ij ij ik ; i i (6) i, jk Valedo-se ovamete de uma aproximação liear para as curvas de preço do produtor e dos cosumidores, determia-se a quatidade de modo que os custos reduzidos dos dois pares evolvidos com a redistribuição passem a ser iguais. Com isto, assume a seguite expressão: = d dw Ds ( ds ) + d dw µ r, st Dt ( dt ) 2 d dw Or ( or ) (7) Nas atualizações determiadas pelos valores de apresetados as expressões (5) e (7) devese observar os limites de capacidade míima e máxima, tato dos produtores como dos trasportadores evolvidos, isto é: 0 xrs + Crs (8)

8 0 or + Or (9) Dadas as duas maeiras distitas de se calcular a quatidade e a correspodete idetificação dos pares evolvidos, utiliza-se aquela que gerar a maior cotribuição margial para o excedete da sociedade, coforme pode ser observado o algoritmo apresetado a seguir. Algoritmo propriamete dito P0. Iicialize os parâmetros das curvas de preço dos produtores [ Oi ( w ) ] e dos cosumidores [ D j ( w ) ]; iicialize as capacidades dos produtores [ O i ], os custos uitários dos trasportadores [ c ij ] e as capacidades dos trasportadores [ C ij ]; defia a precisão ε desejada; faça x ij = 0, ij. P1. Calcule as quatidades ofertadas pelos produtores, usado as equações (2.b), e as quatidades demadadas pelos cosumidores, usado as equações (2.c); obteha os respectivos preços; P2. Calcule os custos reduzidos, de todos os pares produtor-cosumidor, usado a equação (3); P3. Obteha os valores µ rs e µ r, st usado, respectivamete, as expressões (4) e (6); P4. Se µ rs µ r, st, calcule pela expressão (5) e faça: Se Se < xrs, etão faça = xrs. > Crs xrs, etão faça = Crs xrs. Se > Or Or ( or ), etão faça = Or Or ( or ). Faça x rs = x rs + e vá ao passo P7. P5. Se µ r, st > µ rs, calcule pela expressão (7) e faça: Se Se > Crs xrs, etão faça = Crs xrs. > xrt, etão faça = xrt. Faça x rs = x rs + e x rt = x rt vá ao passo P7. P6. Se < ε, etão PARE. Em caso cotrário atualize as quatidades ofertadas, as quatidades demadadas e os respectivos preços. Atualize os custos reduzidos, e retore ao passo P3.

9 4. Exemplo Numérico e Aálise dos Resultados Como exemplo foi criado um pequeo mercado, com 4 produtores (P1, P2,P3 e P4) e 5 cosumidores (C1, C2, C3, C4 e C5), e rotas (cuja capacidade é de 30 uidades) de modo a coectar todos os produtores com os cosumidores. As curvas de preço dos produtores e cosumidores são descritas por fuções do tipo: cw O ( w) = a + be e cw D ( w) = a + be ode a, b e c são costates que determiam as características das curvas. Nas tabelas 1, 2 e 3 ecotram-se os dados utilizados, e as tabelas 4 e 5 os resultados obtidos com a aplicação do algoritmo proposto. Produtor a b c Capacidade P , P , P , P , Tabela 1. Dados de defiição das curvas de preço dos produtores e respectivas capacidades. Cosumidor a b c C ,089 C ,076 C ,065 C ,076 C ,067 Tabela 2. Dados de defiição das curvas de preço dos cosumidores. C1 C2 C3 C4 C5 P P P P Tabela 3. Custos uitários de trasporte etre produtores e cosumidores. C1 C2 C3 C4 C5 Produção Preço P1 0,000 0,000 10,377 18,628 12,555 41,561 42,449 P2 13,570 0,000 6,430 0,000 30,000 50,000 32,018 P3 0,000 0,000 5,764 0,000 30,000 35,764 40,449 P4 0,000 18,644 0,000 0,000 0,000 18,644 41,728 Cosumo 13,57 18,644 22,572 18,628 72,555 Preço 40,449 42,728 44,449 43,449 46,449 Tabela 4. Fluxo resultates, produção, cosumo e custos uitários relacioados com produtores e cosumidores.

10 C1 C2 C3 C4 C5 P1-5,000-3,721 0,000 0,000 0,000 P2 6,431 3,710 6,431 3,431 10,431 P3-1,000-6,721 0,000 0,000 4,000 P4-4,279 0,000-3,279-5,279-1,279 Tabela 5. Custos reduzidos para a solução ótima do problema proposto. A precisão utilizada par a obteção destes resultados foi ε = 10 6, e a covergêcia foi observada com 373 iterações. Coforme pode ser observado, para os produtores P1, P3 e P4, que estão abaixo da capacidade máxima, quado os custos reduzidos são egativos (idicação para a redução de fluxos) os fluxos são ulos e ão podem mais serem reduzidos. Já os casos em que o custo reduzido é positivo (idicação para aumeto do fluxo), a capacidade do trasportador ecotra-se esgotada. Nos demais casos, o custo reduzido é ulo, idicado que o máximo excedete foi obtido. Para o produtor P2, que ecotra-se com a capacidade esgotada, observa-se que o maior custo reduzido está associado ao cosumidor C5, e é positivo. Etretato, ão é possível aumetar o fluxo correspodete, pois a capacidade do trasportador está esgotada. O segudo maior custo reduzido, para este produtor, está associado tato ao cosumidor C1 como ao cosumidor C3. Como pode ser observado ambos apresetam fluxo iferior ao limite de capacidade do trasportador, e o aumeto do fluxo de um, em detrimeto da dimiuição do fluxo do outro ão cotribui para o aumeto do excedete da sociedade. Para C2 e C4, que apresetam custos reduzidos meores que os dos demais cosumidores, a dimiuição do fluxo já ão é mais permitida por estarem com o fluxo o limite míimo. 5. Coclusões O modelo apresetado pode ser utilizado em situações as quais os mecaismos de equilíbrio de mercado se fazem presetes, cotrariamete ao modelo clássico de trasportes, ode as ofertas e demadas são cosideradas costates. Como pode ser observado, este tipo de abordagem são determiados, além dos fluxos etre produtores e cosumidores, os preços praticados pelos agetes ecoômicos evolvidos. O algoritmo proposto para resolução deste problema é de fácil implemetação computacioal. Para problemas do porte apresetado o trabalho, o tempo computacioal gasto foi da ordem de cetésimos de segudos. 6. Bibliografia [WON] [HIL] WONNACOTT, Paul & WONNACOTT, Roald; Ecoomia; 2ª ed.; São Paulo: Makro Books, HILLIER, Frederick & LIEBERMAN, Gerald; Itroducció a la Ivestigació de Operacioes, 5ª ed.; México D.F.: McGraw Hill, 1996.