Representação em espaço de estado de sistemas de enésima ordem. Função de perturbação não envolve termos derivativos.

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1 VARIÁVEIS DE ESTADO Defiições MODELAGEM E DINÂMICA DE PROCESSOS Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo Estado: O estado de um sistema diâmico é o cojuto míimo de variáveis (chamadas variáveis de estado) tal que o cohecimeto destas variáveis em t t, cojutamete com as etradas em t t, determiam totalmete o comportameto do sistema para qualquer tempo t t. Portato, o estado de um sistema diâmico em um istate t qualquer fica determiado uivocamete pelo estado o tempo t e as etradas para t t, e é idepedete do estado e das etradas ates de t. Variáveis de estado: As variáveis de estado de um sistema diâmico é o cojuto míimo de variáveis que determiam o seu estado. Cabe ressaltar que as variáveis de estado ão ecessariamete devem ser gradezas físicas. Vetor de estado: Se forem ecessárias variáveis de estado (t), (t),..., (t), para descrever um sistema, estas de variáveis de estado podem ser cosideradas como compoetes de um vetor (t), chamado vetor de estado. Espaço de estado: O espaço -dimesioal, cujos eios de coordeadas correspodem ao eio, eio,..., eio, é deomiado espaço de estado. Um estado qualquer pode ser represetado através de um poto o espaço de estado, e a evolução do comportameto diâmico de um sistema é represetada por uma trajetória o espaço de estado. Um sistema diâmico represetado por uma equação diferecial ordiária de ordem pode ser descrito através de equações ordiárias de a ordem, isto é, utilizado otação vetorial - matricial é possível epressar uma equação diferecial ordiária de ordem através uma equação vetorial - matricial de primeira ordem. Esta equação é chamada equação de estado. Represetação em espaço de estado de sistemas de eésima ordem Fução de perturbação ão evolve termos derivativos. Cosidere um sistema de ordem cuja fução de perturbação u (fução ecitadora), ão evolve termos derivativos. O sistema de eésima ordem é descrito pela seguite equação: ( ) ( ) y a y a y a y u ()

2 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo ode y y, são as derivadas de y. ( Para este sistema o cohecimeto das codições iiciais y( ), y ( ),, y ) ( ), cojutamete com a etrada u( t) para t, são suficietes para determiar o comportameto futuro do sistema. Portato, um cojuto possível de variáveis de ( ) estado é y( t), y ( t),, y ( t). y y y ( ) () Portato a equação () pode ser escrita como : a a u () ou, a forma matricial, como: ẋ A Bu (4) com, A, B (5) a a a a E a resposta do sistema (equação de saída) é:

3 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo y [ ] (6) ou em forma vetorial ode y C (7) C [ ] (8) Eemplo: Dado o sistema y 6 y y 6y 6 u (9) obter uma represetação do sistema o espaço de estado. Escolhedo as variáveis de estado como y y y () pode-se escrever 6 6 6u () Utilizado a otação vetorial - matricial

4 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo u A B () e a equação de saída é [ ] y C () Caráter ão úico das variáveis de estado O cojuto de variáveis de estado de um sistema ão é úico. Dado um cojuto de variáveis de estado,,, é possível defiir um ovo cojuto de variáveis de estado z, z,, z através de um cojuto de fuções X, X,, X z X (,,, ) z X (,,, ) z X (,,, ) (4) sempre que, para cada cojuto,,, correspoda um úico cojuto z, z,, z. Ou seja, defie-se uma trasformação liear etre os dois vetores de estado. z P (5) Para cumprir com as codições supracitadas, a matriz P ão pode ser uma matriz sigular. Eemplo: Para o sistema apresetado o eemplo aterior, defie-se um ovo vetor de estados z através da trasformação: ou z z 4 9 z (6)

5 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo Pz (7) com P 4 9 (8) substituido (7) em (4) tem-se P APz Bu (9) Pré-multiplicado ambos os membros por P -, e sabedo que P - P I, obtém-se: ou ż P APz P Bu () u () simplificado 6 u () A equação de saída é modificada e fica: ou y C CPz ()

6 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo z y [ ] z 4 9 z y [ ] z z z (4) (5) Autovalores da matriz A Os autovalores de uma matriz A são os escalares λ que resolvem a equação A para λ (6). Portato, os autovalores de A devem satisfazer λi A (7) ou seja, são as raízes da equação característica (7). Por eemplo, para a matriz A 6 6 (8) a equação característica é λi A λ λ 6 λ 6 (7) λ 6λ λ 6 ( λ )( λ )( λ ) Os autovalores de A são as raízes da equação característica, que este caso são -, - e -. Como pode ser observado a equação (), uma trasformação liear P ão altera os autovalores do sistema, idicado que os autovalores, também chamados valores característicos, estão associados ao sistema e ão à sua represetação. Formalmete,

7 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo pode-se provar que os poliômios característicos de ambas as represetações são idêticos: λi A λi P AP λip P P AP P ( λi A) P P ( λi A) P P P ( λi A) ( λi A) (8) Represetação em espaço de estado de sistemas de equações difereciais lieares a qual a fução de perturbação evolve termos derivativos. Seja a equação diferecial do sistema represetada por: ( ) ( ) ( ) ( ) y a y a y a y b u b u b u b u (9) ( o cojuto de variáveis y, y,, y, y ) ão serve como cojuto de variáveis de estado pois o cojuto de equações difereciais de primeira ordem obtidas a partir delas pode ão ter solução úica. As variáveis de estado devem ser tais que elimiem as derivadas de u a equação de estado. Assim, uma forma de defiir as variáveis de estado para este caso é : y u y u u u y u u u u () ode ( ) ( ) y u u u u b b a b a a b a a a () b a a a

8 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo que garate a uicidade da solução da equação de estado. Com esta seleção de variáveis de estado, as equações de estado para o sistema represetado pela equação (9) é dado por: a a a a u () E a equação de saída é: y [ ] u () ou ẋ A B u (4) y Du C (5) ode A B a a a a,, (6) [ ] C, D b Utilizado trasformada de Laplace, a represetação em forma de fução de trasferecia do sistema dado pela equação (9) é: Y s U s b s b s b s b s a s a s a ( ) ( ) (7)

9 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo Resolução da equação de estado ivariate o tempo A solução de uma equação diferecial escalar de primeira ordem ẋ a (8) pode ser dada através de : ( t) b b t b t b t (9) Substituido (9) em (8) tem-se: ( ) b b t b t b t a b b t b t b t (4) Igualado coeficietes: b ab b ab a b b ab a b (4) b! a b Substituido t a equação (9) determia-se o valor de b : ( ) b Portato, a solução pode ser escrita como: (!! ) at ( t) at a t a t ( ) e ( ) (4) Para a equação diferecial vetorial - matricial ẋ A (4) por aalogia com o caso moovariável a solução proposta é: ( t) b b t b t b t (44) Substituido (44) em (4)

10 Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo ( ) b b t b t b t A b b t b t b t (45) Igualado coeficietes tem-se: b Ab b Ab A b b Ab A b (46) b A b! Substituido t a equação (44) obtém-se: ( ) b Portato, a solução pode ser escrita como: (!! ) ( t) I At A t A t ( ) (47) a epressão etre parêtesis é uma matriz e, devido a sua semelhaça com uma série ifiita de potêcias deomia-se matriz epoecial. Eemplo: Seja o sistema represetado por: com A ( ) tlispace(,,); A[-,,;.,-,.4;.,,-5]; [;;]; []; for i:legth(t) [ epm(a*t(i))*];

11 ed plot(t,) label('tempo') MODELAGEM E DINÂMICA DE PROCESSOS Profa. Ofélia de Queiroz Ferades Araújo