1. Revisão Matemática

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1 Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica que f é defiida o cojuto A (seu domíio) e toma valores o cojuto B (seu cotradomíio). Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

2 Notação x R é iterpretado como um vector colua x desiga o trasposto de x e é um vector liha x y = x y defie o produto itero de x, y. i i R i = x y = 0 sigifica que x e y são ortogoais Se x R as otações x > 0 e x 0 sigificam que todas as coordeadas x i de x são positivas ou ão egativas respectivamete Dados dois vectores x, y a otação x > y sigifica que x y > 0. ( x y, x < y, etc., são iterpretados do mesmo modo ). Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

3 Espaços Vectoriais Um espaço vectorial X é defiido por um cojuto de elemetos chamados vectores e por duas operações : A primeira operação é a adição que associa com quaisquer dois vectores x, y X um vector x+ y X (a soma de x e y ). A seguda operação é a multiplicação por um escalar que associa a um vector x Xe a um escalar α um vector α x X. OBS: Associado a todos os espaços vectoriais existe um cojuto de escalares usados para defiir a operação multiplicação por um escalar. Nas formulações mais abstractas exige-se apeas que os escalares sejam elemetos de um campo algébrico. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

4 Espaços Vectoriais - Axiomas O cojuto X e as operações de adição e multiplicação por um escalar satisfazem os seguites axiomas :. x+y = y+x (lei comutativa) 2. (x+y)+z = x+(y+z) (lei associativa) 3. Existe um vector ulo θ X tal que x +θ = x para x X 4. α (x+y) = α x+ αy (lei distributiva) 5. ( α + β )x = α x+ βx (lei distributiva) 6. ( α β )x = α ( β x ) (lei associativa) 7. 0x = θ, x = x Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

5 Subespaços e Idepedêcia Liear Um subcojuto S de R diz-se um subespaço de R se ax+ by S para qualquer x, y S e qualquer a, b R Um liear maifold em R é um subespaço trasladado, i.e. um cojuto da forma : y + S= y+ x x S ode y R e S é um subespaço de R Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

6 Subespaços e Idepedêcia Liear O espaço gerado (spa) por uma colecção fiita { x...,x m } de elemetos de R é o subespaço cosistido de todos os vectores y da forma Os vectores x cojuto de escalares m y = a x ode a R..., x m R dizem-se liearmete idepedetes se ão existir um a...,a m tal que m k= k= a x = 0 a meos que a = 0 para cada k k k (Defiição equivalete: x 0 e para qualquer k> o vector x ão pertece ao spa k de x..., x k ) k k k k Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

7 Subespaços e Idepedêcia Liear Dado um subespaço S de R cotedo pelo meos um vector ão ulo etão uma base para S defie-se como uma colecção de vectores liearmete idepedetes cujo spa é igual a S. ( Qualquer base de um dado subespaço tem o mesmo úmero de vectores este úmero é chamado a dimesão de S ) Por coveção o subespaço { 0 } tem dimesão zero A dimesão de um liear maifold y+s é a dimesão do correspodete subespaço S Qualquer subespaço de dimesão ão ula tem uma base ortogoal. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

8 Matrizes Para qualquer matriz A, A ij, A ou a desiga o seu elemeto ij. ij ij A trasposta de A é desigada A e: = B A A ij AB = a ji Se A é quadrada e A = Aetão A diz-se simétrica Se A = 0 sempre que i j etão A diz-se diagoal. ij Se A = 0 sempre que i < j etão A diz-se triagular iferior. ij Se A uma matriz m. O espaço de chegada (ou cotradomíio) de A é o cojuto de todos os vectores y Rm tal que y=ax para x R Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

9 Matrizes O espaço ulo ou Kerel de A é o cojuto de todos os vectores x R tal que Ax=0. O espaço de chegada de A e o espaço ulo de A são subespaços. A característica de A é dada pelo míimo das dimesões do espaço de chegada A e do espaço de chegada de A. ( A e A têm obviamete a mesma característica ). Diz-se que A tem característica completa ( full rak ) se a sua característica é igual a mi { m, }. Equivalete: A tem full rak sse ou as lihas A ou as coluas de A são liearmete idepedetes. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

10 DEFINIÇÃO.: A orma em Normas R é uma fução que atribui um valor escalar x a qualquer x R e que tem as seguites propriedades: (a) 0 x x R (b) cx = c. x para qualquer c R e para qualquer x R (c) x = 0 sse x=0 (d) x + y x + y para x, y R OBS: A orma Euclideaa é defiida por = x x 2 = i= 2 2 x i R equipado com esta orma desiga-se Espaço Euclideao x. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

11 Normas PROPOSIÇÃO.: (Teorema de Pitágoras) se x e y forem ortogoais etão x + y = x y PROPOSIÇÃO 2.: (Desigualdade de Schwartz) Para dois quaisquer vectores x e y temos x + y x y OUTRAS NORMAS: máxima orma x max = i orma l, defiida por (também desigada orma sup ou orma l defiida por x i = i= Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04 x x i 2

12 Normas de Matrizes A orma o cojuto de matrizes é uma fução real que tem as mesmas propriedades que as ormas de vectores quado a matriz é vista como um 2 elemeto de R. A orma de uma matriz ( ) é represetada por A Normas iduzidas são costruídas do seguite modo : Dada uma qualquer orma de vector, a correspodete orma de matriz iduzida é defiida por : A = max Ax x R x = NOTA: pela desigualdade de Schwartz temos A = max Ax = max y Ax A = A Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

13 Matrizes Quadradas e Valores Próprios DEFINIÇÃO 2.: Uma matriz quadrada A diz-se sigular se o seu determiate é ulo. Caso cotrário diz-se ão-sigular ou ivertível. PROPOSIÇÃO 3.: (a) Seja A uma matriz. As seguites afirmações são equivaletes : (i) A matriz A é ão - sigular (ii) A matriz A é ão - sigular (iii) Para qualquer x R ão ulo, temos Ax 0 (iv) Para qualquer y R, existe um úico x R tal que Ax = y (v) Existe uma matriz B tal que AB=I=BA (vi) As coluas de A são liearmete idepedetes (vii) As lihas de A são liearmete idepedetes (b) Se A é ão sigular, a matriz B de (v) (iversa de A desigada A ) é úica. (c) Para duas quaisquer matrizes quadradas ivertíveis A e B da mesma dimesão,temos : ( ) = B A AB - Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

14 Matrizes Quadradas e Valores Próprios DEFINIÇÃO 3.: O poliómio característico φ de uma matriz A é defiido por φ λ = λi A, ode I é a matriz idetidade da mesma dimesão de A. As raízes de φ (possivelmete repetidas e complexas) são chamadas os valores próprios de A. Um vector x (possivelmete com coordeadas complexas) tal que valor próprio de A, é chamado um vector próprio de A associado de λ. PROPOSIÇÃO 4.: Seja A uma matriz quadrada. Ax = λx, ode λ é um (a) Um úmero complexo λ é um valor próprio de A sse existir um vector próprio ão ulo associado a λ. (b) A é sigular sse tiver um valor próprio que é igual a zero. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

15 Matrizes Quadradas e Valores Próprios PROPOSIÇÃO 5.: Seja A uma matriz (a) Os valores próprios de uma matriz triagular são iguais aos elemetos da sua diagoal. (b) Se S é uma matriz ão sigular e B =SAS, etão os valores próprios de A e B coicidem. (c) Os valores próprios de ci+a são iguais a c + λ,..., c + λ, ode λ,...,λ são os valores próprios de A. (d) Os valores próprios de A k são iguais a λ k,..., λk ode λ,...,λ são os valores próprios de A. (e) Se A é ão sigular, etão os valores próprios A são os iversos dos valores próprios de A. (f) Os valores próprios de A e A coicidem. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

16 Matrizes Quadradas e Valores Próprios DEFINIÇÃO 4.: O raio espectral p(a) de uma matriz quadrada A é defiido como o máximo das amplitudes dos valores próprios de A. PROPOSIÇÃO 5.: Os valores próprios de uma matriz quadrada A depedem cotiuamete dos elemetos de A. Em particular p(a) é uma fução cotíua de A. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

17 Matrizes Quadradas e Valores Próprios PROPOSIÇÃO 7.: Para qualquer orma iduzida e qualquer matriz quadrada A temos: lim k A k / k = ρ ( A) A Para além disso, dado um qualquer ε > 0, existe uma orma iduzida tal que PROPOSIÇÃO 8.: A Seja A uma matriz quadrada. Temos = ρ ( A) + ε ( A). lim k A k = 0 sse ρ < Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

18 Matrizes Simétricas PROPOSIÇÃO 9.: Seja A uma matriz simétrica. Etão (a) Os valores próprios de A são reais. (b) A matriz A tem um cojuto de vectores próprios ortogoais, reais, e ão ulos. x...,x mutuamete (c) Supoha que os vectores próprios em (b) foram ormalizados de modo Etão que x = para cada i. A = λixixi i= ode λ é o valor próprio correspodete a x. i i, Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

19 Matrizes Simétricas PROPOSIÇÃO 0.: Seja A uma matriz (reais), e sejam de modo que x = para i. Etão : simétrica, sejam λ λ... λ os seus vectores próprios 2 x, x,..., x os vectores próprios ortogoais associados, ormalizados 2 (a) A = p A = max λ,..., λ, ode é a orma matricial iduzida pela orma euclideaa. 2 2 (b) λ y y Ay λ y para y R Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

20 Matrizes Simétricas e Positivas Defiidas PROPOSIÇÃO.: Seja A uma matriz quadrada, e seja uma orma iduzida pela orma euclidiaa. Etão: k (a) Se A é simétrica, etão A k = A para qualquer iteiro positivo k. 2 (b) A = A A = AA. (c) Se A é simétrica e ão-sigular, etão A é igual ao iverso do mais pequeo dos valores absolutos dos valores próprios de A. DEFINIÇÃO 4.: Uma matriz simétrica A diz-se positiva defiida se x Ax > 0 para x R, x 0. Diz-se ão egativa defiida ou positiva semidefiida se x Ax 0 para x R. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

21 Matrizes Simétricas e Positivas Defiidas PROPOSIÇÃO 2.: (a) Para qualquer matriz defiida m A, a matriz A A é simétrica e ão egativa A A é positiva defiida sse A tiver característica. Em particular, se m=, A A é positiva defiida sse A é ão sigular (b) Uma matriz quadrada simétrica é ão egativa defiida (ou, positiva defiida) sse todos os seus valores próprios forem ão egativos (ou, positivos) (c) A iversa de uma matriz simétrica positiva defiida é simétrica e positiva defiida. Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04

22 Matrizes Simétricas e Positivas Defiidas PROPOSIÇÃO 3.: Seja A uma matriz quadrada,simétrica, ão egativa defiida (a) Existe uma matriz simétrica Q com a propriedade chamada raiz quadrada simétrica de A e é represetada por A / 2. Q 2 = A. Tal matriz é (b) Uma raiz quadrada simétrica A / 2 é ivertível sse A é ivertível. A sua iversa é represetada por A / 2. (c) Verifica-se / 2 A / 2 A = A (d) Verifica-se AA / 2= A/ 2 A Prof. João Setieiro ISR º Semestre 2003 / 04