Mas, a situação é diferente quando se considera, por exemplo, a

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1 . NÚMEROS COMPLEXOS Se um corpo umérico uma equação algébrica ão tem raíes, é possível costruir outro corpo umérico, mais eteso, ode a equação se tora resolúvel. Eemplo: ± raíes irracioais Mas, a situação é diferete quado se cosidera, por eemplo, a equação. Neste caso, pretede-se determiar a solução de qualquer equação do tipo a com par e a<0. A sua resolução leva-os a um ovo corpo umérico O corpo dos úmeros compleos (C). Etão, em que i é a uidade imagiária. ± i DEFINIÇÃO: Desiga-se por corpo dos úmeros compleos o corpo (C,,.), tal que: (i) o grupo aditivo (C, ) é idêtico a (IR, ), ou seja, um elemeto de C é um par ordeado de úmeros reais e a adição é defiida por: ( a, b) ( c, d ) ( a c, b d ) (ii) a multiplicação é defiida por: ( a, b) ( c, d ) ( ac bd, ad bc) Desigemos o úmero compleo (0, ) por i. Obviamete, i ( 0,) ( 0,) ( 0 0,0 0) (,0)

2 Logo, i -. Seja, ( ) C. Etão: (, ) (,0) ( 0, ) (,0 ) ( 0, ) i, isto é, (, ) i Perate esta forma de represetar compleos, a adição e a multiplicação de compleos em C são dadas pelas seguites fórmulas: Se a, b, c, d IR temos: ( a bi) ( c di) ( a c) ( b d ) i ( a bi) ( c di) ( ac bd ) ( ad bc) i Usado a multiplicação complea defiida ateriormete, ( 0,) (,0) ( 0 0, 0 0) ( 0, ) ( 0, ) i i E temos: * i -; * o elemeto eutro para a adição em (C,,.) é 0; * o elemeto eutro para a multiplicação em (C,,.) é ; * o simétrico de i C é --i; * * o iverso de i C \ { 0} C é i. DEFINIÇÃO: Seja i C um úmero compleo. * Desiga-se por parte real de e represeta-se por ReZ o úmero. * Desiga-se por parte imagiária de e represeta-se por Im o úmero.

3 ImZ Geometricamete: Plao de Argad i A parte real (imagiária) de é a sua projecção o eio dos (). Quado 0, o úmero di-se imagiário puro. ReZ O corpo C goa das seguites propriedades algébricas: (i) w w,, w C (ii) ( w s) ( w) s,, w, s C (iii) 0, C (iv) ( ) 0, C (v) w w,, w C (vi) ( w s) ( w) s,, w, s C (vii), C (viii), C \ {} 0 (i) ( w s) w s,, w, s C Nota: Em C ão podemos usar as desigualdades do mesmo modo que em IR. Por eemplo, supohamos que: i 0 ii 0 0, Absurdo

4 PROPRIEDADES DOS NÚMEROS COMPLEXOS (i) a ib c id a c b d (ii) ( a ib) ± ( c id ) ( a ± c) i( b ± d ) (iii) ( a ib) ( c id ) ( ac bd ) i( bc ad ) (iv) bi ib (v) a i0 IR (vi) a ib c id ( a ib)( c id ) c d VALOR ABSOLUTO E CONJUGADO O módulo (ou valor absoluto) de um úmero compleo i é o úmero IR. O cojugado de um úmero i é o compleo i. Im Geometricamete: Z Re A cojugação é a refleão relativamete ao eio dos. O módulo de é a distâcia do úmero a ero. Algumas das relações etre estas operações, a adição e a multiplicação são dadas a seguite proposição: 4

5 PROPOSIÇÃO: Se, w C, etão temos: (i) (ii) (iii) Re e (iv) Se Im i Re e Im Notemos que Re Re ( w) Re Re w e Im ( w) Im Imw Re λ IR etão Re( ) λ Re λ e Im( λ ) λ Im (v) (vi) w w (Desigualdade Triagular) (vii) w w (viii) w w (i) () Se w 0 etão w w (i) (ii) w w (iii) w w (iv) 0 0 REPRESENTAÇÃO VECTORIAL E POLAR Im b θarg a aib Re tg(arg) b/a [ 0, [ θ π ρ 5

6 a ρ cosθ Sedo, temos: b ρseθ ( cosθ iseθ ) ρ cisθ ρ cos θ iρ seθ ρ Etão, a represetação polar de um úmero compleo é: ρ cisθ (, θ ) ( ρ, θ kπ ), k Z ρ, isto é, θ arg Arg kπ, k Z Notemos que o argumeto ão está defiido de modo úico. Com efeito, se θ é um argumeto de, etão o úmero θkπ (k ±, ±, ±, ) também é argumeto de. PROPRIEDADES SIMPLES (i) arg( ) arg arg (ii) arg arg arg (iii) arg( ) arg [ 0,π [. Observação: Arg ( ) Arg Arg pois pode passar o domíio 6

7 PROPRIEDADES DA REPRESENTAÇÃO POLAR (i) ρ( cos θ iseθ ) ρ( cos( θ ) ise( θ )) ρ cis( θ ) (ii) ρ ρ ( cosθ iseθ )( θ iseθ ) ρ ρ cos ρ ρ ρ ρ [( cosθ cosθ seθseθ ) i( seθ cosθ cosθseθ )] ( cos( θ θ ) ise( θ θ )) cis( θ θ ) ρ ρ (iii) ( cosθ iseθ )( cosθ iseθ ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ cis ρ [( cosθ cosθ seθ seθ ) i( seθ cosθ cosθ seθ )] ( cos( θ θ ) ise( θ θ )) ( θ θ ) Observação: cos se ( θ θ ) cosθ cosθ seθseθ ( θ θ ) seθ cosθ cosθseθ 7

8 POTÊNCIAS E RAÍZES ENÉSIMAS. FÓRMULA DE MOIVRE. Sabedo que: etão ρ ρ cis( θ ) ρcisθ ρcisθ θ Se ρcisθ temos ρ ρ ρcis( θ θ θ ) e, assim, sucessivamete,... ρ ρ ρ... ρ cis( θ θ θ... θ ), isto é, i i ρ cis i i i θ i Se... etão ρ cis( θ ), ou seja, [ cos( θ ) ise( θ ), IN ρ ] FÓRMULA DE MOIVRE Aalogamete, ρ cis( θ ). Sejam ρ ( θ ise ) e ρ( θ iseθ ) cos θ cos. Pretedemos determiar o úmero que elevado a é igual a!!! Supohamos que: ρ cis( θ ) etão ρ cisθ ρ cis( θ ) E: ρ θ ρ ρ ρ θ kπ θ kπ Logo, ρcis, isto é, kπ θ, k Z θ As raíes dispõem-se segudo um _ágoo regular. θ kπ cis, k 0,,..., ρ raíes distitas. 8

9 FUNÇÃO EXPONENCIAL Recordemos os desevolvimetos das fuções trigoométricas e epoecial e, em séries de potêcias válidas para todos os valores reais ( ) da variável, recorredo à fórmula de Talor, f ( ) f (0), : 0! e... () 0!!! cos 0 ( ) ( )!! 4 4! 6 6!... se 0 ( ) ( )!! 5 5! 7 7!... Partido da epressão () para, temos a costate de Euler: e 0!!...! Cosiderado compleo ( parte real) temos: e i i! i! 4 4! 5 i 5! 6 6!... Fórmula de Euler! 4 4! 6 6!... i! 5 5! 7 7!..., isto é, e i cis( ) cos ise 9

10 i i E, e e e e e ( co ise) Fução Epoecial Logo, iθ ρ cisθ ρ e (Represetação polar) PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL: (i) e e w e w (ii) e e (iii) ( e ) ( e ) (iv) e 0, C Re( ) (v) e e π i π i (vi) iπ iπ e i ; e ; e i ; e (vii) e se e só se ikπ, k Z diâmetro. OBSERVAÇÃO: iπ e 0 relação do perímetro da circuferêcia com o seu 0

11 SUCESSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Uma sucessão de úmeros compleos,,, pode ser represetada por { }. Uma sucessão { } di-se covergete para um compleo 0 se e só se ε > 0, > 0 : p < ε p 0 Sedo uma sucessão de úmeros compleos, pode ser represetada sob a forma a ib, com a e b sucessões de úmeros reais. Cosiderado 0 a 0 ib 0, pela defiição de covergêcia da sucessão de úmeros compleos, a sucessão coverge para 0, se e só se as sucessões reais a e b covergem, respectivamete, para a 0 e b 0. Di-se que 0 é limite da sucessão { } e represeta-se por: lim lim ou 0 0 IN Assim, o estudo de covergêcia de sucessões de úmeros compleos pode reduir-se apeas ao estudo da covergêcia de sucessões reais. EXEMPLO: Cosideremos a sucessão 0 i. i ; i ; i ; L 0 i0 5 7 Etão: lim 0 i0 IN

12 A ESFERA DE RIEMANN Cosideremos o plao Z ão compacto. Qualquer sequêcia,,, para os quais ão tem poto limite o plao-z. Vamos, etão, itroduir um poto ideal com as seguites características: (i) é poto limite de { }; (ii) o poto limite de { } estará em alguma viihaça de. A úica forma de o coseguir é através da defiição de viihaças de, como sedo os cojutos A abertos que cotêm o eterior de algum círculo > k, para um k positivo depededo apeas de A. Se etão todo o cojuto A vai coter pelo meos um termo da sequêcia. Ora, os cojutos A eistem o setido covecioal e assim defiimos como sedo um poto que tem estas viihaças. Isto é, costruímos a viihaça e depois o poto. Este processo tem o ome de COMPACTAÇÃO. k i A NOTAS: ) Um cojuto A C di-se aberto se, para qualquer A, eistir um disco aberto cetrado em e cotido em A. ) Um cojuto di-se A fechado se C\A for aberto. ) Um cojuto é compacto se e só se é fechado e limitado..

13 EXEMPLO: Cosideremos o cojuto: D { C : < } D ão é compacto! Cosideremos a sucessão { } em que. D Itroduido o poto J ideal estamos a defiir cojutos abertos de D que cotêm aéis do tipo ε < < com 0 < ε < Etão o poto J é defiido como sedo a ível geométrico!!! Um poto ideal é defiido assim porque se trasforma algebricamete como se fosse um poto. Logo, a ideia de um poto em é tato algébrica como geométrica.

14 A ESFERA DE RIEMANN E O PONTO DO INFINITO É muito coveiete itroduir um poto em muitos raciocíios em C, de forma a falarmos de limites ifiitos e limites o ifiito. Equato a liha real falamos em e em -, em C temos, uma ve que C ão tem uma ordeação como IR. Formalmete, adicioamos o símbolo a C de forma a termos o plao estedido compleo, C C C { }, defiido as operações com o símbolo pelas regras:., 0. / 0, para C Notemos que /, 0., -, cotiuam a ser idetermiações, tal como acotece em IR. Assim, um poto C está próimo do quado está fora de um círculo de grades dimesões: { > k} :. Este tipo de proimidade pode ser represetado geometricamete pela Esfera de Riema. C 4

15 Mas podemos estabelecer a relação etre a esfera de Riema e a esfera euclidiaa em IR através da sua projecção estereográfica. Pelo método da projecção estereográfica, um poto A a esfera está associado a cada poto Z em C. Só um poto ão tem correspodêcia, que é o Pólo Norte da esfera, que cosigamos de N. Geometricamete, verificamos que o poto Z está próimo de se e só se os potos correspodetes a Esfera de Riema estão perto de o setido de proimidade dos potos em IR. A Esfera de Riema correspode a uma represetação geométrica adequada para o plao estedido C. A sua utilidade reside o facto de que sedo um cojuto limitado em IR é também um cojuto compacto. Dado a correspodêcia biuívoca dos potos da esfera com os potos do plao C, podemos dier que C é compacto. Por eemplo, é utiliada quado queremos visualiar o comportameto das fuções o ifiito. 5