4 SÉRIES DE POTÊNCIAS

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1 4 SÉRIES DE POTÊNCIAS Por via da existêcia de um produto em C; as séries adquirem a mesma relevâcia que em R; talvez mesmo maior. Isso deve-se basicamete ao facto de podermos ovamete formular as chamadas séries de potêcias, agora de uma variável complexa, z; isto é, séries da forma c z c 0 + c z + c 2 z 2 + :::; em que os coe cietes, c ( ; 2; :::); são úmeros complexos. Séries deste géero possuem um papel fudametal a represetação de uma vasta classe de fuções complexas de variável complexa, ditas fuções aalíticas. Comecemos por otar que quado a série de potêcias de z; acima idicada, se tem c 6 0 e c k 0; para todos os valores k > ; se obtem um poliómio em z; de grau ; p(z) c z + c z + ::: + c z + c 0 ; o que iduz que, iformalmete, as séries de potêcias possam ser vistas como poliómios de grau i ito. 4. RAIO DE CONVERGÊNCIA Perate uma série de potêcias apreseta-se como tarefa primordial, em sempre simples de levar a cabo em toda a sua amplitude, a procura do seu domíio de covergêcia, ou seja, do cojuto dos úmeros complexos para os quais a correspodete série umérica é covergete. Neste setido, otemos desde já que qualquer série de potêcias, c z ; é covergete quado z 0: Pode até mesmo acotecer que z 0 seja o úico poto de covergêcia da série. Exemplo Por exemplo, a série z apeas coverge em z 0; De facto, se z 6 0; a sucessão j z j ( jzj)! +; o que implica a divergêcia da série umérica correspodete. Exemplo 2 A série de potêcias cohecida por série geométrica costitui uma série divergete se jzj : Na verdade, em tal situação z 9 0; já que jz j! se jzj e jz j! + se jzj > : No etato temos que a sucessão das somas parciais é z S + z + ::: + z ;

2 e por coseguite zs z z 2 ::: z z + : Assim, S zs z +, ( z) S z + o que implica S z+ z : Como jzj < implica z +! 0; obtemos que z z (jzj < ) : A cada série de potêcias associamos os valores e c z ; lim sup jc j ; 8 < 0; se +; +; se 0; : ; se 0 < < +: O valor 0 é desigado por raio de covergêcia da série de potêcias. características são apotadas o seguite teorema. () As suas Teorema 3 i) Se 0 etão a série de potêcias coverge apeas para z 0: ii) Se +; etão a série coverge para todos os complexos z 2 C: iii) Se 0 < < +; etão a série é absolutamete covergete para todos os complexos tais que jzj < e divergete para todos os complexos tais que jzj > : Dem.: a) Se jzj > etão jzj > : Deste modo teremos, a partir de certa ordem p; o que implica que para qualquer > p seja jc j jzj > ( > p) jc j jzj >, jc z j > : Nestas codições podemos a rmar que c z 9 0 e, por coseguite que c z é uma série divergete. b) Mas se 0 < + e jzj < etão jzj < ; e tomado 2 R tal que jzj < < ; teremos que a partir de certa ordem p jc j jzj < < ( > p) : 2

3 Cosequetemete temos etão que e da covergêcia da série geométrica deduzimos a covergêcia da série Logo é uma série absolutamete covergete. É cohecido das sucessões reais que jc j jzj <, jc z j < ( > p) jc z j : c z lim jc +j jc j sempre que este limite exista ( ito ou +): Este facto permite-os, em tais circustâcias, também calcular o raio de covergêcia, ; através da relação: lim jc j jc + j ; (2) caso este limite exista. Uma outra propriedade importate das séries de potêcias é expressa o seguite resultado cohecido por lema de Abel e devido ao matemático orueguês Niels Herik Abel ( ). Lema 4 (Lema de Abel) Série de potêcias covergete um poto z 0 6 0; é absolutamete covergete em qualquer complexo z tal que jzj < jz 0 j : Dem.: Na verdade, recordado que em tais circustâcias a sucessão c z0! 0; podemos a rmar que para qualquer " > 0; se tem jc z0 j jc j jz 0 j < "; para todos os valores aturais su cietemete grades, digamos > p: Como tal, temos > p ) jc z j jc j jz 0 j z < " z ; e dado que jzz 0 j < ; por comparação com a série geométrica real P jzz 0j ; podemos cocluir que jc z j ; é covergete. Assim, em particular, se a série de potêcias dada coverge um poto z z 0 6 0; etão jz 0 j : Porém, a divergêcia da série para um certo valor de z z ; implica a divergêcia para todos os valores de z tais que jzj > jz j ; já que se ela fosse covergete para um complexo z z 2 com jz 2 j > jz j ; etão, pelo lema de Abel, seria igualmete covergete para z z ; o que é cotraditório. 3 z 0 z 0

4 4.2 FUNÇÕES ANALÍTICAS Quado > 0; à bola aberta de cetro a origem B fz : jzj < g chamamos círculo de covergêcia da série de potêcias c z : Note-se que quado + esta bola cosiste a totalidade do espaço complexo C: Em B fz : jzj < g ecotra-se pois de ida a fução S (z) c z ; a qual possui algumas propriedades importates que destacamos o teorema que vai seguir-se. Ates, porém, otemos que se a série de potêcias c z tem raio de covergêcia ; etão o mesmo sucede à série de potêcias: c z obtida da aterior por derivação termo-a-termo. Na verdade, como a sucessão! ; as sucessões (jc j ) e jc j possuem os mesmos sublimites. Como tal, os valores de coicidem uma e outra série e portato o raio de covergêcia das duas séries é o mesmo. Teorema 5 Se > 0 etão: i) S (z) é cotíua em B : ii) (z) S (z) dz P c (z) z dz; para qualquer liha cotida em B e qualquer fução (z) cotíua em im: iii) S (z) é holomorfa em B : iv) S 0 (z) P c z : Dem.: i) Seja r 2 ]0; [ arbitrário. Com z e z 0 2 B r ; quaisquer, temos que S (z) S (z 0 ) c (z z0 ) c "(z z 0 ) X k z k z k 0 Pode mostrar-se facilmete por idução que z z 0 (z z 0 ) P k z k z k 0 : 4 # :

5 Assim, js (z) S (z 0 )j jz z 0 j " X # jc j jzj k jz 0 j k k " X # jz z 0 j jc j r k r k jz z 0 j jc j r : k Cosiderado etão a soma da série jc j r cocluímos que K js (z) S (z 0 )j K jz z 0 j ; quaisquer sejam z; z 0 2 B r ; o que, dada a arbitrariedade de r; prova a cotiuidade da fução S (z) em B : ii) Pretede-se mostrar que a sucessão X A c (z) z k dz tem como limite k A (z) S (z) dz: Nesse setido, seja M > 0 tal que j (z)j M; qualquer que seja z 2 im; e r 2 ]0; [ tal que im B r : Etão para z 2 im temos c k (z) z k j (z)j jc k j r k M jc k j r k em que a sucessão já que a série k+ é covergete. Por outro lado, como, ja A j R k+ k+ jc k j r k! 0; jc j r k+ X (z) S (z) dz c k (z) z k dz k " # X (z) S (z) c k z k dz k " # X (z) c k z k dz : k+ M c () R 5

6 podemos etão cocluir que A! A: iii) Seja um qualquer triâgulo cotido em B : Por ii) temos em virtude de ser, para cada ; S (z) z dz 0: z dz 0; Etão pelo teorema de Morera, S (z) é difereciável em B : iv) Cosideremos com r 2 ]0; [ ; uma qualquer circuferêcia simples e positivamete orietada, C r ; de cetro a origem e raio r: Sedo S (z) holomorfa em B ; resulta das fórmulas itegrais de Cauchy que S 0 (z) S (w) 2i (w z) 2 dw C r c 0 2i C r (w z) 2 dw + c 2i Mas pelas mesmas fórmulas itegrais de Cauchy, temos 2i C r (w z) 2 dw (D w) wz 0; e para ; Logo 2i C(r) w (w z) 2 dw : Cr w (w z) 2 dw (D ww ) wz z : S 0 (z) o que completa a demostração do teorema. c z ; Exemplo 6 Através da propriedade iv) do teorema aterior e relativamete à série geométrica, temos que para z 2 B fz : jzj < g ( z) 2 z ; tedo em cota que D z z ( z) 2 : Relativamete a séries de potêcias de z z 0 ; c (z z 0 ) ; 6

7 se operarmos a trasformação w z potêcias de w; z 0 ; e cosiderarmos a correspodete série de c w ; caímos a situação aterior, decorredo daí que todos os coceitos e coclusões atrás formulados sejam obviamete passíveis de serem traspostos para aquele caso. Se esta série tiver raio de covergêcia ; otemos que o círculo de covergêcia da série de potêcias de z z 0 será agora a bola aberta de cetro em z 0 : B (z 0 ) fz : jz z 0 j < g : Para cada z 2 B (z 0 ) a série será absolutamete covergete e se z for tal que jz z 0 j > ; a série será divergete. Em B (z 0 ) de e-se etão a fução complexa de variável complexa a qual se relacioa com por meio da igualdade (z) c (z z 0 ) : S (w) c w ; (z) S (z z 0 ) : O Teorema 5 permaece itegralmete válido para (z) ; desde que se substitua B por B (z 0 ): Notemos, por exemplo, que por derivação termo-a-termo temos também que 0 (z) c (z z 0 ) : (3) E se procedermos idutivamete, coclui-se que para cada k ; 2; :::; é (k) (z) ( ):::( k + )c (z z 0 ) k ; (4) k a medida em que cada uma destas séries possui sempre B (z 0 ) como círculo de covergêcia. Em particular, ote-se que vido aida, pelas fórmulas itegrais de Cauchy, I(C r (z 0 ); z 0 )c k 2i (k) (z 0 ) k!c k ; (5) C r(z 0 ) (z) dz; (z z 0 ) k+ ode C r (z 0 ) desiga uma qualquer circuferêcia de cetro em z 0 e raio r < : Dada uma fução complexa de variável complexa de ida um certo cojuto aberto, U; do plao complexo, f : U C! C; se com z 0 2 U; existir uma série de potêcias c (z z 0 ) ; 7

8 com um determiado raio de covergêcia > 0; e um valor positivo ; tal que B (z 0 ) U e f(z) c (z z 0 ) ; para qualquer z 2 B (z 0 ); diremos que f é aalítica o poto z 0 : Se f for aalítica em cada poto de U; diremos que f é aalítica em U: Séries de potêcias de expoete egativo, ou seja séries do tipo c (z z 0 ) podem igualmete ser itegradas como resultates da série de potêcias de w mediate a trasformação w (z podemos a rmar que c w ; z 0 ) : Se esta série tiver raio de covergêcia ; etão c (z z 0 ) é uma série absolutamete covergete sempre que jz z 0 j > ; e divergete se jz z 0 j < : Isto é, a série em questão é absolutamete covergete a "coroa circular" de cetro em z 0 ; K (z 0 ; ; ) fz : < jz z 0 jg : Cosiderado as fuções S (w) c w e! (z) c (z z 0 ) ; a primeira de ida em B e a seguda em K (z 0 ; ; ) ; temos! (z) S : z z 0 Também a! (z) podem ser aplicados os resultados do Teorema 5 desde que se substitua B por K (z 0 ; ; ) : Nesta coroa circular,! (z) é igualmete uma fução difereciável e a sua derivada pode também obter-se por derivação termo-a termo:! 0 (z) c (z z 0 ) + : 8

9 4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Para que valores de w 6 2 coverge a série w? w Determie o raio de covergêcia das seguites séries de potêcias: a) b) c) P z : P z : 2 P! z : 3. Cosidere as seguites relações: i) S (z) z : ii) (z) iii) (z) ( ) (z ( + i)) :! (z 2i) : Idique os círculos de covergêcia de cada série idicada e determie: S (5) (0) ; (00) ( + i) e 00 (2i) : 4. Cosidere as seguites fuções: i) S (z) ( ) (2 + )! z2+ : ii) C (z) a) Justi que que S (z) e C (z) são ambas fuções iteiras. b) Mostre que S 0 (z) C (z) e C 0 (z) S (z) : 4.3. RESOLUÇÕES. A série w w + 2 ( ) (2)! z2 : é uma série geométrica e como tal será covergete para todos os valores de w 2 C tais que w w + 2 <, jw j < jw + 2j : 9

10 Fazedo w x + iy temos que jw j < jw + 2j, jx + iyj < jx iyj, (x ) 2 + y 2 < (x + 2) 2 + y 2, x 2 2x + + y 2 < x 2 + 4x y 2, 2x + < 4x + 4, 3 < 6x, 2 < x: Logo fw x + iy : x > 2g costitui o cojuto de covergêcia da série dada. 2.a): Aplicado a fórmula (2) à série de potêcias obtemos como raio de covergêcia lim + z ; lim + Logo a série é absolutamete covergete para qualquer complexo, z; tal que jzj < e divergete para qualquer z tal que jzj > : Logo B fz : jzj < g ; costitui o círculo de covergêcia da série. Cotudo, o domíio de covergêcia da série, para além do círculo de covergêcia, cotém pelo meos o poto z ; caso em que obtemos a série harmóica alterada, ( ) ; que, como se sabe, é covergete. A determiação do domíio de covergêcia desta série ão é parca de escolhos, e só um âmbito mais avaçado poderá ser esclarecido. : 2.b): Tal como o exemplo aterior, também a série de potêcias tem raio de covergêcia lim 2 (+) 2 2 z ; 2 + lim : Como tal, temos uma série absolutamete covergete para qualquer complexo, z; tal que jzj < ; e divergete sempre que jzj > : No etato, a covergêcia absoluta da série matém-se quado jzj ; dada a covergêcia da série de Dirichlet P :Assim, este 2 caso, o domíio de covergêcia da série coicide com a bola fechada B fz : jzj g : 2.c): A série de potêcias! z ; 0

11 tem raio de covergêcia +; dado que lim ( + )!! lim ( + ) +: Trata-se pois de uma série (absolutamete) covergete para qualquer complexo z: 3.i)): O raio de covergêcia ; da série de potêcias z pode ser obtido facilmete através da relação () já que lim sup lim 0: Logo +: Chegaremos aturalmete ao mesmo valor se usarmos (2): lim (+) + lim + ( + ) tedo em cota que + +! e: + lim ( + ) +; A série coverge pois absolutamete para qualquer complexo z: Quato ao valor de S (5) (0) ; otemos que por (5) e que portato S (5) (0) : 5! 5 5 ; S (5) (0) 5! : 3.ii): O raio de covergêcia ; da série ( ) (z ( + i))! pode ser obtido através da relação (2): ( )! lim ( )+ (+)! lim ( + ) +: Também este caso a série é absolutamete para qualquer complexo z: Quato a (00) ( + i) ; temos aida por (5) que (00) ( + i) 00! ( )00 : 00!

12 Logo (00) ( + i) : 3.iii): Para obtermos o raio de covergêcia da série 6 + (z i) podemos usar com vatagem a relação () otado que esta situação lim lim : Logo 3 e B 3 (2i) z : jz 2ij < : 3 costitui o círculo de covergêcia da série que de e (z) : Neste caso (2i) 2 + 3, 00 (2i) ! : 4.a): As séries de potêcias: ( ) (2 + )! z2+ e ( ) (2)! z2 : possuem ambas raio de covergêcia +: Para isso cosideremos os coe cietes, c ; dos termos destas séries e observemos que para a primeira é equato que para a seguda temos, jc 2 j 0 e jc 2+ j (2 + )! ; jc 2+ j 0 e jc 2 j (2)! : Mas de!( + )! ( + )! 0; podemos a rmar que (!)! 0; o mesmo sucededo às subsucesões ((2+)!) (2+) e ((2)!) 2 : Logo em qualquer dos casos é jc j! 0; ou seja 0; o que sigi ca que o raio de covergêcia destas séries é +: Etão quer S (z) ; quer C (z) são fuções de idas em C; e pelo Teorema 5 são ambas fuções iteiras. 4.b): Aida pelo Teorema 5 temos por derivação termo-a-termo que S 0 (z) ( ) (2 + )! (2 + ) z2 ( ) (2)! z2 C (z) : 2

13 Do mesmo modo C 0 (z) ( ) (2)! 2z2 ( )( ) (2 )! ( ) (2 )! z2 ( ) (2 + )! z2+ S (z) : z 2 3

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