Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas"

Transcrição

1 Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas

2 SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre ites de sucessões Séries geométricas

3 3 Defiição de Sucessão: Uma sucessão real é uma fução f : N R que se desiga por ou por outra expressão semelhate. U Z V 5 U,, < 4 4 0, C, par ímpar

4 4 ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ;... ; 4; 8; 6; 3;... U ; 3; 9; 7; 8;... Sucessão por recorrêcia U U 6U 5 ; 0 ; 0 ; 40 ;...

5 5 Mootoia de uma Sucessão: U Uma sucessão é crescete se e só se para qualquer se verificar. N U > U U Se etão a sucessão U é estritamete crescete. U Exemplo: ; ; 3; 4; ; ; 3; 4... Não é uma sucessão crescete, em sempre é verdade que U U

6 6 Serão crescetes as sucessões? U si() V 5 W 6 Para ver se uma sucessão é crescete ão basta calcular algus termos, é preciso provar pela defiição!

7 7 Será U uma sucessão crescete? U U ( ) > 0 SIM V ( V ( ) ) 0 Será uma sucessão crescete? V > SIM

8 8 W Será uma sucessão crescete? W ( ) W < 0 NÃO C ( 4) Será uma sucessão crescete? C C ( 4) ( 4) 5 NÃO Esta expressão tato é positiva como egativa, depede do valor de

9 9 Z < Será uma sucessão crescete?,, 4 4 Se <3: Z Z ( ) > 0 Se >3: Z Z ( ) > 0 Se 3: Z 4 6 Z Z 4 Z3 < 0 NÃO

10 0 Capítulo 3 - Sucessões Será uma sucessão crescete? ímpar par C,, 0 Se par, ímpar: Se ímpar, par: > C C NÃO 0 0 < C C

11 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, C, par ímpar 0, 0,

12 U Uma sucessão é decrescete se e só se para qualquer se verificar. N U U U < U U Se a sucessão é estritamete decrescete. U Uma sucessão é moótoa se for crescete ou decrescete. Uma sucessão é estritamete moótoa se for estritamete crescete ou estritamete decrescete.

13 3 Uma sucessão diz-se majorada se existir um certo úmero real M tal que: U U M, N U ; U,5; U 3,67 ;... ; U00,99 Facilmete se percebe que os termos da sucessão covergem para, uca atigido este valor. Logo existe uma barreira superior em. U, N

14 4 U, N 4, N 67, N Se é verdade que U U ou que. também é verdade que Na verdade temos ifiitas barreiras à sucessão. Qualquer úmero real igual ou superior a serve de barreira superior à sucessão. A sucessão U majorates dado por [ ; [ é majorada sedo o cojuto dos

15 5 A sucessão V cos ( 7 l ) 3 é majorada pois um coseo (idepedetemete do argumeto) uca ultrapassa o valor, logo é verdade que: V, N V e, N 00, N V Assim, a sucessão V é majorada.

16 6 Uma sucessão diz-se miorada se existir um certo úmero real m tal que: 6 U U m, N U 6 ; U 3; U 3 ;... ; U00 0,06 Facilmete se percebe que os termos da sucessão covergem para zero, uca atigido este valor. Logo existe uma barreira iferior em 0. U 0, N

17 7 Se é verdade que U 4, N U 0, N 00, N U também é verdade que ou que. Na verdade temos ifiitas barreiras iferiores à sucessão. Qualquer úmero real igual ou iferior a 0 serve de barreira à sucessão. A sucessão U miorates dado por é miorada sedo o cojuto dos ] ; 0]

18 8 Uma sucessão é itada se for majorada e miorada. m U M, N U si( 5), U N É uma sucessão itada V 5 6 <, V N Não é uma sucessão itada, é apeas miorada

19 9 Exercícios: U ( ). Prove que a sucessão é itada. 3. Prove pela defiição que a sucessão é estritamete moótoa. V W 3. Prove que se é itada, também o será a sucessão C 5W

20 0 Limites de Sucessões: U 3 Não é difícil perceber que o ite da sucessão é 3. Mas como provar pela defiição o ite de uma sucessão? ε > 0, ( ε ) : > ( ε ) U L < ε

21 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0, A partir da ordem 6 os termos distam do ite meos que 0,

22 U 3 < 0, 3 3 < 0, < 0, < 0, > 0, > 5 A partir da ordem 6 os termos distam do ite meos que 0,

23 3 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0, A partir da ordem os termos distam do ite meos que 0,

24 4 U 3 < 0, 3 3 < 0, < 0, < 0, > 0, > 0 A partir da ordem os termos distam do ite meos que 0,

25 5 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0,07 A partir da ordem 5 os termos distam do ite meos que 0,07

26 6 U 3 < 0, < 0,07 < 0,07 < 0,07 > 0,07 > 4,9 A partir da ordem 5 os termos distam do ite meos que 0,07

27 7 U 3 Qualquer que seja o valor de ε ecotramos sempre uma ordem (ε) a partir da qual todos os termos distam do ite meos que. ε Quato mais pequeo for o valor de maior é ε (ε ) 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3,

28 8 U 3 U ε > 0, ( ε ) : > ( ε ) U L < ε 3 < ε 3 3 < ε < ε < ε > ( ε ) ε A partir da primeira ordem atural superior a ε a distâcia etre os termos e o ite é meor que ε. Está provado que o ite é 3 pois há termos tão próximos do ite tato quato possamos imagiar. ε

29 9 Capítulo 3 - Sucessões V 6 ε ε ε ε < > > 5) ( ) ( ) : (, 0 V Prove pela defiição que o ite da sucessão ão é > < < < < < ε ε ε ε ε ε V Resultado absurdo, logo o ite ão é -5!

30 30 Limites Ifiitos de Sucessões: Uma sucessão U é um ifiitamete grade positivo se o seu ite for mais ifiito, ou seja: L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L Por maior que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão U são superiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão ão para de crescer, logo U é um ifiitamete grade positivo.

31 3 U 5 Quato maior for L maior a ordem a partir da qual os termos são superiores a L. L 90 L L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L L U > L 5 > L > ( L) 5 L 5

32 3 U Uma sucessão é um ifiitamete grade egativo se o seu ite for meos ifiito, ou seja: L < 0, ( L ) : > ( L ) U < L Por mais egativo que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão U são iferiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão ão para de decrescer, logo U é um ifiitamete grade egativo.

33 33 U 3 Quato meor for L maior a ordem a partir da qual os termos são iferiores a L. L 35 L L < 0, ( L ) : > ( L ) U < L < L 3 < L > 3 U -70 L ( L) L 3

34 34 U Uma sucessão é um ifiitamete grade positivo em módulo se, ou seja: U L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L Por mais positivo que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão em módulo são superiores a L. U

35 35 U ()

36 36 U ( )

37 37 Assim, a sucessão é um ifiitamete grade em módulo. Pela defiição: U () L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L U > L ( ) > L > ( L) L L A partir da primeira ordem atural superior a L os termos da sucessão são, em módulo, maiores que L.

38 38 Mostre, pela defiição, que L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L U > L > L < L Resultado totalmete absurdo, ão faz setido o sial, em faz setido que quato maior for L meor a ordem a partir do qual os termos são maiores que L.

39 39 Classificação de Sucessões: Covergete Sucessão Divergete Oscilate Propriamete Divergete

40 40 Sucessão covergete: sucessão que tem ite fiito cos U 3 V 4 6 W ( ) 6 Sucessão divergete oscilate: sucessão com sub-sucessões com ites diferetes U ( ) V ( ) 9 Sucessão propriamete divergete: ifiitamete grade positivo, egativo, ou em módulo. U 5 V ( ) 3

41 4 Propriedades dos Limites de Sucessões:. O ite, se existir, é úico.. Sejam duas sucessões U e V tais que U a, V b e a partir de uma certa ordem. Etão U V U V 3. Se a sucessão U tem ite a, etão qualquer subsucessão de tem aida ite a. U U 4. Se a partir de se puderem formar duas subsucessões com ites diferetes, etão é uma sucessão divergete. U

42 4 5. Toda a sucessão covergete é itada. 6. A soma de dois ifiitamete grades positivos é aida um ifiitamete grade positivo. 7. A soma de dois ifiitamete grades egativos é aida um ifiitamete grade egativo. 8. A soma de um ifiitamete grade positivo com um ifiitamete grade egativo origia uma sucessão com ite idetermiado. 9. Se U e V é miorada, etão U V 0. Se U e é majorada, etão V U V

43 43. lu l U U a V b. Sejam e, etão: ( U V ) a b ( U. V ) U V a b. a b se 0 U p a p U k k a ku ka V

44 44 U 0 3. Se e é itada, etão. U (U V (. ) 0 U V V 4. V (desde que ão dê idetermiação) ) Outras idetermiações:

45 e π

46

47 47 Um caso particular, o úmero e e, É um caso de idetermiação do tipo , ,77,78

48 48 Com base o resultado aterior demostra-se que k e k 3 3 e 0,5 e 0,5 e l 6 e l6 6

49 49 Demostração Seja k a ka k e k k a ka a a k a a k e k Notar que se tede para ifiito, também a tede para ifiito pois k é uma costate.

50 50 Mais um resultado U k U U e k 8 e e l 5 5

51 5 Capítulo 3 - Sucessões 9 l l 9 e 3 e e e e e

52 5 Resultados importates sobre Limites de Sucessões: Resultado : U Se a etão U U U a U é uma sucessão de termos ão egativos 4? U 4( ) 4 4 U 4 4

53 53!? U U! ( )!!! ( ) 0! 0

54 54 Resultado : ( U U ) a Se etão U a l( 4)? ( U U ) ( l(( ) 4) l( 4) ) l 6 4 l 6 4 l l 0

55 55 l( 4) ( U U ) 0 0 Faz setido porque cresce muito mais depressa do que l( )

56 56 Resultado 3: V Seja crescete. Sejam e ifiitamete grades U V Se etão V U U a a V U V l( 5)?

57 57 Capítulo 3 - Sucessões? 5) l( 0 5) l( 0 l l 5 6 l 5) l( 6) l(

58 ? ( ) ( ) 58 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

59 59 Resultado 4: Teorema das Sucessões Equadradas U Dada uma sucessão, se existirem duas subsucessões e tais que: V U W V W Etão teremos ecessariamete : V U W

60 60 si( )? Sabedo que si() está sempre etre - e podemos equadrar a sucessão dada. V U W si( )

61 6 Pelo Teorema das Sucessões Equadradas: si( ) 0 si( ) si( ) Logo: 0 0

62 6 Capítulo 3 - Sucessões U ( ) ( ) U U W U V

63 63 Capítulo 3 - Sucessões Pelo Teorema das Sucessões Equadradas: ( ) ( ) U U U

64 64 Capítulo 3 - Sucessões U U U Logo:

65 65 Séries: Seja a uma sucessão. Chamamos série umérica (ou série ifiita) à soma descrita da seguite forma: a a a a 3... a... Ou seja, uma série é formada pela soma dos sucessivos termos de uma sucessão.

66 66 Sequêcia das Somas Parciais: Chamamos de sequêcia das somas parciais à sequêcia: S a S... a a S a a... a S a

67 67 Série covergete: Seja a uma série e S a sequêcia das suas somas parciais. S S, S < Se, a série é covergete e tem soma. Caso cotrário a série diverge. S

68 68 Critério Geral de Covergêcia: Se a é uma série covergete etão 0. a Logo: a 0 Se a série a diverge. Codição suficiete para uma série divergir!

69 69 Capítulo 3 - Sucessões Exercícios: Quais das seguites séries são à partida divergetes, pelo critério geral de covergêcia? 6 3 ( ) [ ]

70 70 Propriedades das séries: a ± ± Sejam e b duas séries covergetes, etão a b a b também coverge. ( ) Se a coverge (diverge) e k 0, etão k.a k a também coverge (diverge). Se k 0 etão k. a 0 e por isso coverge. ± Se a coverge e b diverge, etão ( a b ) diverge.

71 7 Séries Geométricas: São séries do tipo: a a. r a ar ar... r a a

72 7 Uma série geométrica coverge se: a 0 ou r < < r < a. r a. r a r

73 73 Se uma série geométrica coverge etão a. r a r r r a 0 a. r a a a r r r r Soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r Como a série coverge, -<r< logo r elevado a mais ifiito é zero

74 74 Exercícios: Quais das seguites séries são séries geométricas? Serão covergetes? Se sim, calcule a sua soma ( )

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões . Observe a sequêcia das seguites figuras: FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Vão-se costruido, sucessivamete, triâgulos equiláteros os vértices dos triâgulos equiláteros já existetes, prologado-se os seus

Leia mais

M23 Ficha de Trabalho SUCESSÕES 2

M23 Ficha de Trabalho SUCESSÕES 2 M Ficha de Trabalho NOME: SUCESSÕES I PARTE Relativamete à sucessão a =, pode-se afirmar que: (A) É um ifiitamete grade positivo (B) É um ifiitésimo (C) É um ifiitamete grade egativo (D) É limitada Cosidere

Leia mais

Sucessões Reais. Ana Isabel Matos DMAT

Sucessões Reais. Ana Isabel Matos DMAT Sucessões Reais Aa Isabel Matos DMAT 8 de Outubro de 000 Coteúdo Noção de Sucessão Limite de uma Sucessão 3 Sucessões Limitadas 3 4 Propriedades dos Limites 4 5 Limites I itos 8 5. Propriedades dos Limites

Leia mais

Apoio às aulas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II

Apoio às aulas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II Apoio às alas MAT II 8-5-6 INSTITTO SPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATRA EM GESTÃO MATEMÁTICA II APOIO ÀS ALAS DE 5/6 Mael Martis Carla Martiho Aa Jorge Defiições Defie-se scessão

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

SUCESSÕES E SÉRIES. Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v. r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é,

SUCESSÕES E SÉRIES. Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v. r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é, SUCESSÕES E SÉRIES Defiição: Chama-se sucessão de úmeros reais a qualquer f. r. v. r., cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais IN, isto é, u : IN IR u( ) = u Defiição: i) ( u ) IN é crescete IN, u u

Leia mais

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números reais ordenados.

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números reais ordenados. Cálculo I Egeharia Mecâica. Sequêcias Defiição : Sequêcia é uma lista ifiita de úmeros reais ordeados. 2º termo º termo Nome (x ) = (x, x 2, x,..., x,...) º termo º termo N R x Observação: Podemos pesar

Leia mais

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo Seqüêcias e Séries Notas de Aula 4º Bimestre/200 º ao - Matemática Cálculo Diferecial e Itegral I Profª Drª Gilcilee Sachez de Paulo Seqüêcias e Séries Para x R, podemos em geral, obter sex, e x, lx, arctgx

Leia mais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,

Leia mais

1 Formulário Seqüências e Séries

1 Formulário Seqüências e Séries Formulário Seqüêcias e Séries Difereça etre Seqüêcia e Série Uma seqüêcia é uma lista ordeada de úmeros. Uma série é uma soma iita dos termos de uma seqüêcia. As somas parciais de uma série também formam

Leia mais

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números ordenados.

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números ordenados. . Sequêcia Matemática I Tecólogo em Costrução de Edifícios e Tecólogo Defiição : Sequêcia é uma lista ifiita de úmeros ordeados. º, º, º,...,º,... O do ídice, idicado a otação abaixo, é viculado com o

Leia mais

Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Convergência absoluta

Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Convergência absoluta Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Covergêcia absoluta Prof. Flávia Simões AULA 4 Os testes de Comparação Comparar uma série dada com uma que já sabemos se coverge ou diverge. Usamos geralmete as

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas 6 2.1 Defiição, Exemplos e Operações........................ 6 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas........................

Leia mais

Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES

Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES -. Calcule os seguites limites Aálise Ifiitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES a) lim + ) b) lim 3 + 4 5 + 7 + c) lim + + ) d) lim 3 + 4 5 + 7 + e) lim + ) + 3 f) lim + 3 + ) g) lim + ) h) lim + 3 i) lim +

Leia mais

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009. Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta

Leia mais

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré.  1 Sequências de números reais 1 Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL - 200 Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessecial/ Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões

Leia mais

Instituto Universitário de Lisboa

Instituto Universitário de Lisboa Istituto Uiversitário de Lisboa Departameto de Matemática Exercícios de Sucessões e Séries Exercícios: sucessões. Estude quato à mootoia cada uma das seguites sucessões. (a) (g) + (b) + + + 4 (c) + (h)

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA SEQÜENCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Cláudio Martis Medes Primeiro Semestre de 2006 Sumário Seqüêcias e Séries Numéricas 2. Seqüêcias Numéricas............................... 2.2 Séries Numéricas..................................

Leia mais

a 1, se n=1 i=1 a i + a n, se n > 1 a i. i=1 n N

a 1, se n=1 i=1 a i + a n, se n > 1 a i. i=1 n N Capítulo 3 Séries Numéricas 3. Geeralização da operação adição A operação adição ou soma é iicialmete defiida como a aplicação que a cada par de úmeros reais faz correspoder um úmero real, de acordo com

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo 1 - Primeira Lista - 01/2017

Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo 1 - Primeira Lista - 01/2017 Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo - Primeira Lista - 0/207. Determie { ( se a seqüêcia coverge ou diverge; se covergir, ache o limite. 5 ) } { } { } { arcta(), 000 (b) (c) ( ) l() } { 000 2 } { 4

Leia mais

(x a) f (n) (a) (x t) n dt. (x t) f (n) (t)

(x a) f (n) (a) (x t) n dt. (x t) f (n) (t) . Aula Resto e Teorema de Taylor revisitado. Seja f : D R uma fução e p,a (x) o seu poliómio de Taylor de grau. O resto de ordem foi defiido ateriormete como sedo a fução: R,a (x) := f(x) p,a (x). O resultado

Leia mais

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Colégio de S. Goçalo - Amarate - F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, sob determiadas codições, apreseta vatages sobre os método ateriores: é de covergêcia mais rápida e, para ecotrar as raízes, ão

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º A1. Grupo I

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º A1. Grupo I ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO º A Grupo I As três questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são idicadas quatro

Leia mais

Probabilidade II Aula 12

Probabilidade II Aula 12 Coteúdo Probabilidade II Aula Juho de 009 Desigualdade de Marov Desigualdade de Jese Lei Fraca dos Grades Números Môica Barros, D.Sc. Itrodução A variâcia de uma variável aleatória mede a dispersão em

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

Exercícios Complementares 1.2

Exercícios Complementares 1.2 Exercícios Comlemetares 1. 1.A Dê exemlo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescete (c) limitada e ão moótoa (e) ão limitada e ão moótoa (b) limitada

Leia mais

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres-

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres- MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Geométrica I) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Progressão Geométrica é uma sequêcia de elemetos (a, a 2, a 3,..., a,...) tais que, a partir

Leia mais

CAPÍTULO III SUCESSÕES DE TERMOS REAIS

CAPÍTULO III SUCESSÕES DE TERMOS REAIS CAPÍTULO III SUCESSÕES DE TERMOS REAIS. Geeralidades Chama-se sucessão de termos reais a qualquer aplicação de N em R. O real u que correspode ao atural é o primeiro termo da sucessão o real u que correspode

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real.

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real. Resumo. O estudo das séries de termos reais, estudado as disciplias de Aálise Matemática da grade geeralidade dos cursos técicos de liceciatura, é aqui estedido ao corpo complexo, bem como ao caso em que

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,

Leia mais

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,... Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada

Leia mais

Apoio às aulas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II

Apoio às aulas MAT II INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II Apoio às alas MAT II 8-05-06 INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II APOIO ÀS AULAS DE 05/06 Mael Martis Carla Martiho Aa Jorge Defiições Chama-se

Leia mais

Análise Matemática 2 D. Filipe Oliveira, 2011

Análise Matemática 2 D. Filipe Oliveira, 2011 Aálise Matemática 2 D Itrodução às Séries Numéricas Filipe Oliveira, 20 Coteúdo Itrodução às séries uméricas 3. Prelúdio: O paradoxo de Aquiles e da tartaruga................... 3.2 Sucessão das somas

Leia mais

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 3. Sucessões; série geométrica

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 3. Sucessões; série geométrica Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Cadero de Exercícios 3 Sucessões; série geométrica Nota: Os problemas ão resolvidos as aulas costituem trabalho complemetar

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

Ficha de Problemas n o 10: Séries (soluções)

Ficha de Problemas n o 10: Séries (soluções) Ficha de Problemas o 0: Séries (soluções) Séries Numéricas (Soluções). a) diverge, o termo geral ão tede para 0; b) série geométrica de razão e π, coverge uma vez que e π

Leia mais

Aviso: Este documento é uma versão editada por Rodrigo Hausen do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Miranda.

Aviso: Este documento é uma versão editada por Rodrigo Hausen do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Miranda. Aviso: Este documeto é uma versão editada por Rodrigo Hause do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Mirada. A omeclatura foi alterada para codizer com a adotada as aulas. Bases Matemáticas

Leia mais

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN 9788576055044.

Leia mais

Esta folha é para si, arranque-a e leve-a consigo.

Esta folha é para si, arranque-a e leve-a consigo. Esta folha é para si, arraque-a e leve-a cosigo. Os aluos poderão ser pealizados por apresetação ilegível das resoluções (gatafuhos, riscos, hieróglifos, pituras rupestres, etc.) EXAME DE CÁLCULO I / Ao

Leia mais

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4 Aálise Complexa Resolução de algus exercícios do capítulo 4. Caso de C0, 0, : Caso de C0,, + : Exercício º z z i i z + iz iz iz porque iz < i + z i +3 z. z z i i z + iz iz porque iz > iz i z 3 i 3 z..

Leia mais

Exame Nacional de Matemática A 1 a Fase 2017

Exame Nacional de Matemática A 1 a Fase 2017 Exame Nacioal de Matemática A a Fase 07 Proposta de Resolução Versão Nuo Miguel Guerreiro I Chave da Escolha Múltipla ABDABCDC. Pretedem-se formar úmeros aturais de quatro algarismos com os algarismos

Leia mais

Exercícios Complementares 1.2

Exercícios Complementares 1.2 Exercícios Comlemetares..A Dê exemlo de uma sequêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescete (c) limitada e ão moótoa (e) ão limitada e ão moótoa (b) limitada e decrescete

Leia mais

4.2 Numeração de funções computáveis

4.2 Numeração de funções computáveis 4. Numeração de fuções computáveis 4.1 Numeração de programas 4.2 Numeração de fuções computáveis 4.3 O método da diagoal 4.4 O Teorema s-m- Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 4.1 4.1 Numeração

Leia mais

Sucessão de números reais. Representação gráfica. Sucessões definidas por recorrência. Introdução 8. Avaliação 18 Atividades de síntese 20

Sucessão de números reais. Representação gráfica. Sucessões definidas por recorrência. Introdução 8. Avaliação 18 Atividades de síntese 20 Ídice Sucessão de úmeros reais. Represetação gráfica. Sucessões defiidas por recorrêcia Itrodução 8 Teoria. Itrodução ao estudo das sucessões 0 Teoria. Defiição de sucessão de úmeros reais Teoria 3. Defiição

Leia mais

Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov

Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de 2012 1 Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto

Leia mais

Sequências e Séries. Sadao Massago

Sequências e Séries. Sadao Massago Sequêcias e Séries Sadao Massago Setembro de 04 Sumário Aritmética Iitesimal Sequêcias Numéricas. Algumas propriedades operacioais............................. Teste da subsequêcia...................................

Leia mais

Sequências e Séries. Sadao Massago

Sequências e Séries. Sadao Massago Sequêcias e Séries Sadao Massago Maio de 0 Sumário Aritmética Iitesimal Sequêcias Numéricas. Algumas propriedades operacioais............................. Teste da subsequêcia...................................

Leia mais

Função Logarítmica 2 = 2

Função Logarítmica 2 = 2 Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos

Leia mais

n IN*. Determine o valor de a

n IN*. Determine o valor de a Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se seqüêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais ou complexos. Exemplo: A=(3, 5, 7, 9,,..., 35). Uma seqüêcia pode ser fiita ou ifiita.

Leia mais

Departamento de Matemática. CÁLCULO ii. Ady Cambraia Junior Braz Moura Freitas. Coordenadoria de Educação Aberta e a Distância

Departamento de Matemática. CÁLCULO ii. Ady Cambraia Junior Braz Moura Freitas. Coordenadoria de Educação Aberta e a Distância Departameto de Matemática CÁLCULO ii Ady Cambraia Juior Braz Moura Freitas 7 Coordeadoria de Educação Aberta e a Distâcia Uiversidade Federal de Viçosa Reitora Nilda de Fátima Ferreira Soares Vice-Reitor

Leia mais

Elementos de Análise - Verão 2001

Elementos de Análise - Verão 2001 Elemetos de Aálise - Verão 00 Lista Thomas Robert Malthus, 766-834, foi professor de Ecoomia Política em East Idia College e em seu trabalho trouxe à luz os estudos sobre diâmica populacioal. Um de seus

Leia mais

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da Fução Expoecial

Leia mais

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima

Leia mais

Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática

Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro - UFRJ Istituto de Matemática - IM Departameto de Matemática Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática Professor Adá J. Corcho Ferádez Rio de Jaeiro-RJ, 22 de ovembro

Leia mais

Mas, a situação é diferente quando se considera, por exemplo, a

Mas, a situação é diferente quando se considera, por exemplo, a . NÚMEROS COMPLEXOS Se um corpo umérico uma equação algébrica ão tem raíes, é possível costruir outro corpo umérico, mais eteso, ode a equação se tora resolúvel. Eemplo: ± raíes irracioais Mas, a situação

Leia mais

12 Séries. O esquema usado a seguir permite um melhor entendimento da forma de se obter a solução do problema.

12 Séries. O esquema usado a seguir permite um melhor entendimento da forma de se obter a solução do problema. 2 Séries 2. Sequêcia O matemático italiao Leoardo de Pisa (80 250), também chamado Fiboacci, escreveu em 202 o Livro Liber Abaci (O Livro do Ábaco), o qual propôs o seguite problema: Caso ão ocorram mortes,

Leia mais

Cálculo I Caderno de exercícios Três

Cálculo I Caderno de exercícios Três Uiversidade Nova de Lisboa Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa Semestre de Primavera 0/0 Cálculo I Cadero de exercícios Três Sucessões Todos os exercicios ão resolvidos as aulas são cosiderados

Leia mais

de uma PA é justamente o valor da DIFERENÇA entre qualquer termo e o anterior.

de uma PA é justamente o valor da DIFERENÇA entre qualquer termo e o anterior. 0. PROGRESSÃO ARITMÉTICA: É toda sequêcia em que é SEMPRE costate a DIFERENÇA etre um termo qualquer da sequêcia (a partir do segudo, claro!) e seu aterior, logo dada a sequêcia a a a a a a R. A razão

Leia mais

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach Sobre a ecessidade das hipóteses o Teorema do Poto Fio de Baach Marcelo Lopes Vieira Valdair Bofim Itrodução: O Teorema do Poto Fio de Baach é crucial a demostração de vários resultados importates da Matemática

Leia mais

5n 3. 1 nsen(n + 327) e)

5n 3. 1 nsen(n + 327) e) Exercícios 1 Mostre, utilizado a defiição, que as seguites sucessões são limitadas: 2 4 50 a) b) 3 +16 1 5 3 2 c) 1 4( 1) 8 5 d) 100 5 3 2 + 2( 1) 1 4( 1) 8 1 se( + 327) e) f) 5 3 2 4 4 2 2 Mostre, utilizado

Leia mais

4 SÉRIES DE POTÊNCIAS

4 SÉRIES DE POTÊNCIAS 4 SÉRIES DE POTÊNCIAS Por via da existêcia de um produto em C; as séries adquirem a mesma relevâcia que em R; talvez mesmo maior. Isso deve-se basicamete ao facto de podermos ovamete formular as chamadas

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios

Leia mais

Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4

Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4 Notas de Aula do Curso ET584: Probabilidade 4 Leadro Chaves Rêgo, Ph.D. 2010.1 Prefácio Estas otas de aula foram feitas para compilar o coteúdo de várias referêcias bibliográcas tedo em vista o coteúdo

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

2.1 Dê exemplo de uma seqüência fa n g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamente crescente;

2.1 Dê exemplo de uma seqüência fa n g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamente crescente; 2.1 Dê exemplo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamete crescete; (b) limitada e estritamete decrescete; (c) limitada e ão moótoa; (d) ão limitada

Leia mais

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética

Leia mais

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais.

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais. Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se sequêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais. Exemplo: 7; 0; 3;... ; 34 Uma seqüêcia pode ser iita ou iiita. 7; 0; 3; 6;... esta sequêcia

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Duração: 90 minutos 5º Teste, Junho Nome Nº T:

Duração: 90 minutos 5º Teste, Junho Nome Nº T: Escola Secudária Dr. Âgelo Augusto da Silva Teste de MATEMÁTICA A 11º Ao Duração: 90 miutos 5º Teste, Juho 006 Nome Nº T: Classificação O Prof. (Luís Abreu) 1ª PARTE Para cada uma das seguites questões

Leia mais

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias

Leia mais

Sequências, PA e PG material teórico

Sequências, PA e PG material teórico Sequêcias, PA e PG material teórico 1 SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo cojuto ode cosideramos os seus elemetos colocados, ou dispostos, uma certa ordem. Cosiderado a sequêcia (; 3; 5; 7;...), dizemos que:

Leia mais

Stela Adami Vayego DEST/UFPR

Stela Adami Vayego DEST/UFPR Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros 1. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico

Leia mais

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r

Leia mais

= o logaritmo natural de x.

= o logaritmo natural de x. VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite

Leia mais

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia.

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia. 6//000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR 00- PROVA MATEMÁTICA Prova resolvida pela Profª Maria Atôia Coceição Gouveia RESPONDA ÀS QUESTÕES A SEGUIR, JUSTIFICANDO SUAS SOLUÇÕES QUESTÃO A

Leia mais

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros

Leia mais

Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Cap. 4 - Estimação por Intervalo Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra:

Leia mais

CÁLCULO II Bacharelado Oceanografia - 2º semestre de 2010 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira

CÁLCULO II Bacharelado Oceanografia - 2º semestre de 2010 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira CÁLCULO II Bacharelado Oceaografia - 2º semestre de 2010 Professor Oswaldo Rio Braco de Oliveira Fudametos de Aálise Clássica: o Supremo, Teoremas de Bolzao e Weierstrass e a Itegrabilidade das Fuções

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Exercícios A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico estudado as Aulas a 5 deste módulo à resolução de um cojuto de exercícios. objetivo Esperamos que, após o térmio desta aula, você teha cosolidado

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

Introdução a Complexidade de Algoritmos

Introdução a Complexidade de Algoritmos Itrodução a Complexidade de Algoritmos Estruturas de Dados Prof. Vilso Heck Juior Apresetação Revisão - O Algoritmo; A Complexidade; Exercício. Complexidade de Algoritmos REVISÃO - O ALGORITMO O Algoritmo

Leia mais

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),

Leia mais

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias 0. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias egearias ecoomia etc. são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO LIMITES. Itrodução: Usamos a palavra ite o osso cotidiao para idicar, geericamete, um poto que pode ser evetualmete

Leia mais

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer Cojutos Ifiitos Teorema (Cator) Se A é cojuto qualquer, #A #P(A). Mais precisamete, qualquer f : A P(A) ão é sobrejetora. Cosequêcia. Existe uma herarquia de cojutos ifiitos. Obs. Existe uma bijeção etre

Leia mais

Proposta de Exame de Matemática A 12.º ano

Proposta de Exame de Matemática A 12.º ano Proposta de Eame de Matemática A 1.º ao Nome da Escola Ao letivo 0-0 Matemática A 1.º ao Nome do Aluo Turma N.º Data Professor - - 0 GRUP I Na resposta aos ites deste grupo, selecioe a opção correta. Escreva,

Leia mais

Exercícios de Cálculo III - CM043

Exercícios de Cálculo III - CM043 Eercícios de Cálculo III - CM43 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Dispoível o sítio people.ufpr.br/ eidam/ide.htm o. semestre de 22 Lista Sequêcias e séries de úmeros reais. Decida se cada uma das

Leia mais

Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM123 - Cálculo Diferencial e Integral II Lista 3 - Tiago de Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM123 - Cálculo Diferencial e Integral II Lista 3 - Tiago de Oliveira Uiversidade Federal de Ouro Preto Departameto de Matemática MTM - Cálculo Diferecial e Itegral II Lista - Tiago de Oliveira. Ecotre uma fórmula para a -ésima soma parcial de cada série e use-a para ecotrar

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e MATEMÁTICA CADERNO CURSO E FRENTE ÁLGEBRA Módulo Equações do ọ Grau e do ọ Grau ) [ ( )] = [ + ] = + = + = + = = Resposta: V = { } 9) Na equação 6 = 0, tem-se a = 6, b = e c =, etão: I) = b ac = + = b

Leia mais