Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

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1 Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i cojuto dos úmeros reais cojuto dos úmeros irracioais Números racioais e represetação decimal Um úmero x é um úmero racioal se, e somete se, ele pode ser escrito sob a forma de razão (ou de um quociete) etre dois úmeros iteiros, ode o divisor ão seja zero, como por exemplo: , assim, 5. 1 Os úmeros racioais podem gerar, quado se efetua a divisão de p por q, decimais exatos, ou etão, decimais ifiitos porém periódicos, deomiadas dízimas periódicas. Exemplos: 43 0, 43 é um úmero racioal que pode ser expresso como um úmero 1000 decimal fiito, isto é, com uma quatidade fiita de casas decimais. 0, 666 0, 6 e 31 0, , 936 são úmeros racioais que correspodem a úmeros decimais ifiitos periódicos simples, ode os períodos são, respectivamete, o 6 e a seqüêcia de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica simples. 1, , 4 3 é uma dizima periódica composta ode 1, 4 é o ão- período (ateperíodo) e 3 é o período. OBS: Nos exemplos acima, as frações são geratrizes de dízimas periódicas. Quer-se saber, como, dado um úmero decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua geratriz. No caso das dízimas periódicas simples: Seja o úmero decimal periódico D 0, d 1 d d etão se multiplicarmos D por 10, ode é a quatidade de dígitos formadores do período, obtem-se: 10 D = d d 1...d,d d 1...d 10 D = d1d...d + 0,d1d...d = d1d...d + D 10 D D = d d ( 10 1) = d1d 1...d D... d 1

2 d1d D = 10 REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte iteira igual a zero, é uma fração cujo umerador é o período e o deomiador é um umeral formado por tatos dígitos ove quatos são os algarismos do período e de tatos zeros quatos são as casas decimais ulas logo após a vírgula. OBS: Toda fração irredutível...d 1 p q, quado covertido à forma decimal, resulta uma decimal fiita ou períodica, ocorredo este último caso se o deomiador q cotiver algum fator primo diferete de e 5. Número irracioais Números cuja represetação decimal ão é em fiita em períodica. Exemplos:,, 0, Exercício 1: Provar que ão é racioal. Exercícios do livro: Págias 9 e 10: 1 a 3. Revisão de cojutos: págia 13: 1 a 11. Cojutos fiitos e ifiitos Defiição 1: A cardialidade de um cojuto é a quatidade de elemetos distitos deste cojuto. Dois cojutos são equivaletes, ou têm a mesma cardialidade, ou a mesma potêcia, quado é possível estabelecer uma correspodêcia que leve elemetos distitos de um cojuto em elemetos distitos de outro, todos os elemetos de um e do outro cojuto sedo objeto de correspodêcia. Defiição :Dois cojutos quaisquer têm a mesma cardialidade se eles forem equipotetes. Defiição 3: Seja F 1,, 3,. Um cojuto A se diz fiito quado existe uma úmero atural tal que A seja equipotete ao cojuto F. Um cojuto se diz ifiito quado ão for fiito.

3 Defiição 4: Os cojutos de cardialidade igual à cardialidade do cojuto são deomiados eumeráveis. Exemplos: São eumeráveis: 1) ) Cojuto dos úmeros iteiros pares 3) Cojuto dos úmeros iteiros ímpares 4) 5) 3

4 Cotra-exemplos: e Exercícios do livro: Págia 18: 1 a 5, 9 e 10 4

5 Corte de Dedekid Defiição 5 (de Eudoxo): Dadas quatros gradezas de mesma espécie A, B, C, e D (segmetos, áreas ou volumes), diz-se que A está para B assim como C está para D se, quaisquer que sejam os úmeros m e, se teha: A mb C md; A mb C md; A mb C md OBS: No caso comesurável, dizer que A : B C : D equivale a dizer que A mb C md. No caso icomesurável, estas igualdades uca acotecem. A razão de A para B ão é um úmero. Cosidere o caso de duas gradezas icomesuráveis, A e B, de forma que a igualdade A mb uca se verifica com m e iteiros; ou A mb ou A mb. Os úmeros racioais (positivos) ficam etão separados em duas classes: A classe E (esquerda) daqueles m/ que satisfazem A mb e A classe D (direita) dos que sastifazem A mb. OBS: Todo úmero da classe E é meor que todo úmero da classe D. Mas ão podemos escrever A/B m/ ou A/B m/, pois A e B são segmeto, ão úmeros! A razão A/B ão é um úmero. Assim, a defiição da razão A/B como úmero é impossível apeas porque ão existe um úmero (racioal) que esteja etre as duas classes E e D, isto é, que seja maior que todo elemeto de E e meor que todo elemeto de D. Isto leva a separação dos úmeros racioais em dois cojutos. Assim, qualquer úmero racioal r efetua um " corte" ou separação de todos os demais úmeros racioais o cojuto E dos úmeros meores do que r e o cojuto D dos úmeros maiores do que r. O próprio r pode ser icluído como o maior elemeto de E ou o meor elemeto de D. Seria preciso ivetar ovos úmeros, os irracioais. Mas Eudoxo ão o fez. Dedekid decerto observou a separação dos úmeros racioais em duas classes, sem que etre uma classe e outra houvesse um elemeto separador. Dedekid teve a idéia de caracterizar os irracioais através dessas classes "esquerda" e "direita". Defiição 6: Etederemos por corte, todo par E, D de cojutos ão vazios de úmeros racioais, cuja uião é, e tais que todo elemeto de E é meor que todo elemeto de D. 5

6 Dedekid observa que a existêcia de cortes sem elemetos de separação o cojuto dos úmeros racioais é a expressão aritmética da descotiuidade de, ao passo que, com a adjução dos ovos elemetos - os úmeros irracioais - obtemos o cojuto dos úmeros reais, que, ao cotrário de, é agora um "cojuto umérico", pois os irracioais vêm preecher as "lacuas de descotiuidades existetes em. Defiição 7: Sejam e dois úmeros reais quaisquer, caracterizados pelos cortes que determiam o cojuto. Assim, E 1, D 1 e E, D. Dizemos que se E 1 E e se E 1 é um subcojuto próprio de E. Defiição 8: Dados os úmeros reais E 1, D 1 e E, D, defiimos sua soma como sedo o corte E, D, ode E x y : x E 1, y E e D é o cojuto dos demais úmeros racioais. OBS: e são corpos ordeados, porém é um corpo completo e ão é. Dizer que o cojuto ão é completo sigifica dizer que há cortes sem elemetos de separação em, ao passo que ser completo sigifica que todo corte tem elemeto de separação, este elemeto podedo estar em, como o caso de. Defiição 9: Etederemos por corte de úmeros reais, todo par E, D de cojutos ão vazios de úmeros reais, cuja uião é, e tais que todo elemeto de E é meor que todo elemeto de D. Teorema 1: Todo corte de úmeros reais possui elemeto de separação. Dem: 6

7 Defiição 10: Diz-se que um cojuto C de úmeros reais é limitado à direita ou limitado superiormete se existe um úmero K tal que c K para todo c C. O úmero K é chamado de cota superior de C. Diz-se que um cojuto C de úmeros reais é limitado à esquerda ou limitado iferiormete se existe um úmero k tal que k c para todo c C.O úmero k é chamado de cota iferior de C. Exemplos: 1) é limitado iferiormete e sua cota iferior é 1, mas ão é limitado superiormete. ) x /x 10 10, 10 x / 10 x 10 é limitado iferiormete e superiormete. Defiição 11: Um cojuto limitado superiormete e iferiormete é dito um cojuto limitado. Exemplo: 3, 4 é um cojuto limitado. Defiição 1: Um úmero K C é o máximo do cojuto C quado c K para todo c C. Isto quer dizer que K é cota superior de C e K C. Um úmero k C é o míimo do cojuto C quado k c para todo c C. Isto quer dizer que k é cota iferior de C e k C. Exemplos: 3, 4 3, 4 3, 4 x /x 10 A 1, 3, 3 4,, 1, 7

8 Defiição 13: Chama-se supremo de um cojuto C à meor de suas cotas superiores. Ou aida, chama-se supremo de um cojuto C ao úmero S que satisfaz as duas codições seguites: a) c S para todo c C (S é cota superior de C) b) Dado qualquer úmero 0, existe um elemeto c C tal que S c.( ão há outra cota meor do que essa. Logo, ela é a meor de todas). Notação: S supc Defiição 14: Chama-se ífimo de um cojuto C à maior de suas cotas iferiores. Ou aida, chama-se ifímo de um cojuto C ao úmero s que satisfaz as duas codições seguites: a) s c para todo c C (s é cota iferior de C) b) Dado qualquer úmero 0, existe um elemeto c C tal que c s.( ão há outra cota maior do que essa. Logo, ela é a maior de todas). Notação: s ifc Exemplos: 3, 4 3, 4 3, 4 x /x 10 A 1, 3, 3 4,, 1, B x /0 x 1 C 1 / 8

9 Propriedade Todo cojuto ão vazio de úmeros reais, que seja limitado superiormete, possui supremo. Todo cojuto ão vazio de úmeros reais, que seja limitado iferiormete, possui ífimo. Dem: Exemplo. 1) Cosidere o cojuto F dos úmeros racioais positivos cujos quadrados sejam iferiores a : F f Q/f 0 e f Mostre que F ão tem máximo. F é cojuto das aproximações racioais de falta. por 9

10 ) Cosidere o cojuto E dos úmeros racioais positivos cujos quadrados sejam superiores a : E e Q/e 0 e e Mostre que E ão tem míimo. E é cojuto das aproximações racioais de excesso. por 10

11 Defiição 15: Valor absoluto (ou módulo) de um úmero real qualquer é defiido como sedo: ou seja x maxx, x x x se x se x 0 x x se x 0 OBS: 1) Tem-se - x x x para qualquer x real. ) Podemos caracterizar x como o úico úmero positivo cujo quadrado é x Teorema : Se x,y, etão x y x y (Desigualdade triagular) e xy x y. Dem: Teorema 3: Sejam a, x,. Tem-se x a a x a. Dem: 11

12 OBS: De modo aálogo x a a x a. Usaremos as seguites otações para represetar tipos especiais de cojutos de úmeros reais, chamados itervalos: Itervalos limitados: a, b x /a x b itervalo fechado a, b x /a x b itervalo fechado à direita a, b x /a x b itervalo fechado à esquerda a, b x /a x b itervalo aberto Itervalos ilimitados:, b x /x b, b x /x b a, x /a x a, x /a x, OBS: 1) Na otação de itervalos, o teorema aterior diz : x a x a, a x a x a, a ) O cojuto como uma reta. Os úmeros reais como potos a reta. 3) x y, a reta, o poto x está à esquerda de y. 4) Os itervalos são segmetos de reta. 5) x y é distâcia do poto x ao poto y. 6) x a, a sigifica que x é um poto que dista meos de do poto a. 1