Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais"

Transcrição

1 Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i cojuto dos úmeros reais cojuto dos úmeros irracioais Números racioais e represetação decimal Um úmero x é um úmero racioal se, e somete se, ele pode ser escrito sob a forma de razão (ou de um quociete) etre dois úmeros iteiros, ode o divisor ão seja zero, como por exemplo: , assim, 5. 1 Os úmeros racioais podem gerar, quado se efetua a divisão de p por q, decimais exatos, ou etão, decimais ifiitos porém periódicos, deomiadas dízimas periódicas. Exemplos: 43 0, 43 é um úmero racioal que pode ser expresso como um úmero 1000 decimal fiito, isto é, com uma quatidade fiita de casas decimais. 0, 666 0, 6 e 31 0, , 936 são úmeros racioais que correspodem a úmeros decimais ifiitos periódicos simples, ode os períodos são, respectivamete, o 6 e a seqüêcia de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica simples. 1, , 4 3 é uma dizima periódica composta ode 1, 4 é o ão- período (ateperíodo) e 3 é o período. OBS: Nos exemplos acima, as frações são geratrizes de dízimas periódicas. Quer-se saber, como, dado um úmero decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua geratriz. No caso das dízimas periódicas simples: Seja o úmero decimal periódico D 0, d 1 d d etão se multiplicarmos D por 10, ode é a quatidade de dígitos formadores do período, obtem-se: 10 D = d d 1...d,d d 1...d 10 D = d1d...d + 0,d1d...d = d1d...d + D 10 D D = d d ( 10 1) = d1d 1...d D... d 1

2 d1d D = 10 REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte iteira igual a zero, é uma fração cujo umerador é o período e o deomiador é um umeral formado por tatos dígitos ove quatos são os algarismos do período e de tatos zeros quatos são as casas decimais ulas logo após a vírgula. OBS: Toda fração irredutível...d 1 p q, quado covertido à forma decimal, resulta uma decimal fiita ou períodica, ocorredo este último caso se o deomiador q cotiver algum fator primo diferete de e 5. Número irracioais Números cuja represetação decimal ão é em fiita em períodica. Exemplos:,, 0, Exercício 1: Provar que ão é racioal. Exercícios do livro: Págias 9 e 10: 1 a 3. Revisão de cojutos: págia 13: 1 a 11. Cojutos fiitos e ifiitos Defiição 1: A cardialidade de um cojuto é a quatidade de elemetos distitos deste cojuto. Dois cojutos são equivaletes, ou têm a mesma cardialidade, ou a mesma potêcia, quado é possível estabelecer uma correspodêcia que leve elemetos distitos de um cojuto em elemetos distitos de outro, todos os elemetos de um e do outro cojuto sedo objeto de correspodêcia. Defiição :Dois cojutos quaisquer têm a mesma cardialidade se eles forem equipotetes. Defiição 3: Seja F 1,, 3,. Um cojuto A se diz fiito quado existe uma úmero atural tal que A seja equipotete ao cojuto F. Um cojuto se diz ifiito quado ão for fiito.

3 Defiição 4: Os cojutos de cardialidade igual à cardialidade do cojuto são deomiados eumeráveis. Exemplos: São eumeráveis: 1) ) Cojuto dos úmeros iteiros pares 3) Cojuto dos úmeros iteiros ímpares 4) 5) 3

4 Cotra-exemplos: e Exercícios do livro: Págia 18: 1 a 5, 9 e 10 4

5 Corte de Dedekid Defiição 5 (de Eudoxo): Dadas quatros gradezas de mesma espécie A, B, C, e D (segmetos, áreas ou volumes), diz-se que A está para B assim como C está para D se, quaisquer que sejam os úmeros m e, se teha: A mb C md; A mb C md; A mb C md OBS: No caso comesurável, dizer que A : B C : D equivale a dizer que A mb C md. No caso icomesurável, estas igualdades uca acotecem. A razão de A para B ão é um úmero. Cosidere o caso de duas gradezas icomesuráveis, A e B, de forma que a igualdade A mb uca se verifica com m e iteiros; ou A mb ou A mb. Os úmeros racioais (positivos) ficam etão separados em duas classes: A classe E (esquerda) daqueles m/ que satisfazem A mb e A classe D (direita) dos que sastifazem A mb. OBS: Todo úmero da classe E é meor que todo úmero da classe D. Mas ão podemos escrever A/B m/ ou A/B m/, pois A e B são segmeto, ão úmeros! A razão A/B ão é um úmero. Assim, a defiição da razão A/B como úmero é impossível apeas porque ão existe um úmero (racioal) que esteja etre as duas classes E e D, isto é, que seja maior que todo elemeto de E e meor que todo elemeto de D. Isto leva a separação dos úmeros racioais em dois cojutos. Assim, qualquer úmero racioal r efetua um " corte" ou separação de todos os demais úmeros racioais o cojuto E dos úmeros meores do que r e o cojuto D dos úmeros maiores do que r. O próprio r pode ser icluído como o maior elemeto de E ou o meor elemeto de D. Seria preciso ivetar ovos úmeros, os irracioais. Mas Eudoxo ão o fez. Dedekid decerto observou a separação dos úmeros racioais em duas classes, sem que etre uma classe e outra houvesse um elemeto separador. Dedekid teve a idéia de caracterizar os irracioais através dessas classes "esquerda" e "direita". Defiição 6: Etederemos por corte, todo par E, D de cojutos ão vazios de úmeros racioais, cuja uião é, e tais que todo elemeto de E é meor que todo elemeto de D. 5

6 Dedekid observa que a existêcia de cortes sem elemetos de separação o cojuto dos úmeros racioais é a expressão aritmética da descotiuidade de, ao passo que, com a adjução dos ovos elemetos - os úmeros irracioais - obtemos o cojuto dos úmeros reais, que, ao cotrário de, é agora um "cojuto umérico", pois os irracioais vêm preecher as "lacuas de descotiuidades existetes em. Defiição 7: Sejam e dois úmeros reais quaisquer, caracterizados pelos cortes que determiam o cojuto. Assim, E 1, D 1 e E, D. Dizemos que se E 1 E e se E 1 é um subcojuto próprio de E. Defiição 8: Dados os úmeros reais E 1, D 1 e E, D, defiimos sua soma como sedo o corte E, D, ode E x y : x E 1, y E e D é o cojuto dos demais úmeros racioais. OBS: e são corpos ordeados, porém é um corpo completo e ão é. Dizer que o cojuto ão é completo sigifica dizer que há cortes sem elemetos de separação em, ao passo que ser completo sigifica que todo corte tem elemeto de separação, este elemeto podedo estar em, como o caso de. Defiição 9: Etederemos por corte de úmeros reais, todo par E, D de cojutos ão vazios de úmeros reais, cuja uião é, e tais que todo elemeto de E é meor que todo elemeto de D. Teorema 1: Todo corte de úmeros reais possui elemeto de separação. Dem: 6

7 Defiição 10: Diz-se que um cojuto C de úmeros reais é limitado à direita ou limitado superiormete se existe um úmero K tal que c K para todo c C. O úmero K é chamado de cota superior de C. Diz-se que um cojuto C de úmeros reais é limitado à esquerda ou limitado iferiormete se existe um úmero k tal que k c para todo c C.O úmero k é chamado de cota iferior de C. Exemplos: 1) é limitado iferiormete e sua cota iferior é 1, mas ão é limitado superiormete. ) x /x 10 10, 10 x / 10 x 10 é limitado iferiormete e superiormete. Defiição 11: Um cojuto limitado superiormete e iferiormete é dito um cojuto limitado. Exemplo: 3, 4 é um cojuto limitado. Defiição 1: Um úmero K C é o máximo do cojuto C quado c K para todo c C. Isto quer dizer que K é cota superior de C e K C. Um úmero k C é o míimo do cojuto C quado k c para todo c C. Isto quer dizer que k é cota iferior de C e k C. Exemplos: 3, 4 3, 4 3, 4 x /x 10 A 1, 3, 3 4,, 1, 7

8 Defiição 13: Chama-se supremo de um cojuto C à meor de suas cotas superiores. Ou aida, chama-se supremo de um cojuto C ao úmero S que satisfaz as duas codições seguites: a) c S para todo c C (S é cota superior de C) b) Dado qualquer úmero 0, existe um elemeto c C tal que S c.( ão há outra cota meor do que essa. Logo, ela é a meor de todas). Notação: S supc Defiição 14: Chama-se ífimo de um cojuto C à maior de suas cotas iferiores. Ou aida, chama-se ifímo de um cojuto C ao úmero s que satisfaz as duas codições seguites: a) s c para todo c C (s é cota iferior de C) b) Dado qualquer úmero 0, existe um elemeto c C tal que c s.( ão há outra cota maior do que essa. Logo, ela é a maior de todas). Notação: s ifc Exemplos: 3, 4 3, 4 3, 4 x /x 10 A 1, 3, 3 4,, 1, B x /0 x 1 C 1 / 8

9 Propriedade Todo cojuto ão vazio de úmeros reais, que seja limitado superiormete, possui supremo. Todo cojuto ão vazio de úmeros reais, que seja limitado iferiormete, possui ífimo. Dem: Exemplo. 1) Cosidere o cojuto F dos úmeros racioais positivos cujos quadrados sejam iferiores a : F f Q/f 0 e f Mostre que F ão tem máximo. F é cojuto das aproximações racioais de falta. por 9

10 ) Cosidere o cojuto E dos úmeros racioais positivos cujos quadrados sejam superiores a : E e Q/e 0 e e Mostre que E ão tem míimo. E é cojuto das aproximações racioais de excesso. por 10

11 Defiição 15: Valor absoluto (ou módulo) de um úmero real qualquer é defiido como sedo: ou seja x maxx, x x x se x se x 0 x x se x 0 OBS: 1) Tem-se - x x x para qualquer x real. ) Podemos caracterizar x como o úico úmero positivo cujo quadrado é x Teorema : Se x,y, etão x y x y (Desigualdade triagular) e xy x y. Dem: Teorema 3: Sejam a, x,. Tem-se x a a x a. Dem: 11

12 OBS: De modo aálogo x a a x a. Usaremos as seguites otações para represetar tipos especiais de cojutos de úmeros reais, chamados itervalos: Itervalos limitados: a, b x /a x b itervalo fechado a, b x /a x b itervalo fechado à direita a, b x /a x b itervalo fechado à esquerda a, b x /a x b itervalo aberto Itervalos ilimitados:, b x /x b, b x /x b a, x /a x a, x /a x, OBS: 1) Na otação de itervalos, o teorema aterior diz : x a x a, a x a x a, a ) O cojuto como uma reta. Os úmeros reais como potos a reta. 3) x y, a reta, o poto x está à esquerda de y. 4) Os itervalos são segmetos de reta. 5) x y é distâcia do poto x ao poto y. 6) x a, a sigifica que x é um poto que dista meos de do poto a. 1

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer Cojutos Ifiitos Teorema (Cator) Se A é cojuto qualquer, #A #P(A). Mais precisamete, qualquer f : A P(A) ão é sobrejetora. Cosequêcia. Existe uma herarquia de cojutos ifiitos. Obs. Existe uma bijeção etre

Leia mais

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009. Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta

Leia mais

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS

ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r

Leia mais

DILMAR RICARDO MATEMÁTICA. 1ª Edição DEZ 2012

DILMAR RICARDO MATEMÁTICA. 1ª Edição DEZ 2012 DILMAR RICARDO MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Dilmar Ricardo Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição DEZ 0 TODOS OS DIREITOS

Leia mais

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1 Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre

Leia mais

1- Resolução de Sistemas Lineares.

1- Resolução de Sistemas Lineares. MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução

Leia mais

Planificação Anual de Matemática

Planificação Anual de Matemática Direção-Geral dos Estabelecimetos Escolares Direção de Serviços da Região Cetro Plaificação Aual de Matemática Ao Letivo: 2015/2016 Domíio Coteúdos Metas Curriculares Nº de Aulas (45 miutos) TEOREMA DE

Leia mais

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética

Leia mais

11. Para quais valores a desigualdade x + > x (ITA/2012) Sejam r 1. r D e m o n s t r a r q u e s e A, B, C R * + 02.

11. Para quais valores a desigualdade x + > x (ITA/2012) Sejam r 1. r D e m o n s t r a r q u e s e A, B, C R * + 02. Matemática Revisão de Álgebra Exercícios de Fixação 0. Ecotre os valores das raízes racioais a, b e c de x + ax + bx + c. 0. Se f(x)f(y) f(xy) = x + y, "x,y R, determie f(x). 0. Ecotre x real satisfazedo

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,... Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada

Leia mais

4.2 Numeração de funções computáveis

4.2 Numeração de funções computáveis 4. Numeração de fuções computáveis 4.1 Numeração de programas 4.2 Numeração de fuções computáveis 4.3 O método da diagoal 4.4 O Teorema s-m- Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 4.1 4.1 Numeração

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS , 2 OPERAÇÕES BÁSICAS APROVA CONCURSOS MINISTÉRIO DA FAZENDA. Prof. Daniel Almeida AULA 01/20

CONJUNTOS NUMÉRICOS , 2 OPERAÇÕES BÁSICAS APROVA CONCURSOS MINISTÉRIO DA FAZENDA. Prof. Daniel Almeida AULA 01/20 CONJUNTOS NUMÉRICOS - Números Naturais (IN ) Foram os primeiros úmeros a surgir devido à ecessidade dos homes em cotar objetos. IN = { 0,,,,,, 6,... } - Números Iteiros ( Z ) Se jutarmos os úmeros aturais

Leia mais

Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov

Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de 2012 1 Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto

Leia mais

O Teorema Fundamental da Aritm etica

O Teorema Fundamental da Aritm etica 8 O Teorema Fudametal da Aritm etica Vimos, o cap ³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os blocos usados para costruir, atrav es de produtos, todos os iteiros positivos maiores

Leia mais

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo Seqüêcias e Séries Notas de Aula 4º Bimestre/200 º ao - Matemática Cálculo Diferecial e Itegral I Profª Drª Gilcilee Sachez de Paulo Seqüêcias e Séries Para x R, podemos em geral, obter sex, e x, lx, arctgx

Leia mais

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré.  1 Sequências de números reais 1 Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL - 200 Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessecial/ Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões

Leia mais

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas),

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas), A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. Soluções. Progressões Aritméticas ) O aumeto de um triâgulo causa o aumeto de dois palitos.logo, o úmero de palitos costitui uma progressão aritmética de razão. a a +(

Leia mais

Solução Comentada Prova de Matemática

Solução Comentada Prova de Matemática 0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,

Leia mais

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia.

26/11/2000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR PROVA 2 MATEMÁTICA. Prova resolvida pela Profª Maria Antônia Conceição Gouveia. 6//000 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO VESTIBULAR 00- PROVA MATEMÁTICA Prova resolvida pela Profª Maria Atôia Coceição Gouveia RESPONDA ÀS QUESTÕES A SEGUIR, JUSTIFICANDO SUAS SOLUÇÕES QUESTÃO A

Leia mais

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres-

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres- MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Geométrica I) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Progressão Geométrica é uma sequêcia de elemetos (a, a 2, a 3,..., a,...) tais que, a partir

Leia mais

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas 6 2.1 Defiição, Exemplos e Operações........................ 6 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas........................

Leia mais

Sucessões Reais. Ana Isabel Matos DMAT

Sucessões Reais. Ana Isabel Matos DMAT Sucessões Reais Aa Isabel Matos DMAT 8 de Outubro de 000 Coteúdo Noção de Sucessão Limite de uma Sucessão 3 Sucessões Limitadas 3 4 Propriedades dos Limites 4 5 Limites I itos 8 5. Propriedades dos Limites

Leia mais

Em certas situações particulares é possível operar com raízes quadradas, raízes cúbicas,...

Em certas situações particulares é possível operar com raízes quadradas, raízes cúbicas,... Escola Secudária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ao Lectivo 000/0 Cojuto IR - Operações com radicais, racioalização de deomiadores e equadrametos 0º Ao Nome: Nº: Turma: NÚMEROS IRRACIONAIS

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e

MATEMÁTICA CADERNO 1 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e MATEMÁTICA CADERNO CURSO E FRENTE ÁLGEBRA Módulo Equações do ọ Grau e do ọ Grau ) [ ( )] = [ + ] = + = + = + = = Resposta: V = { } 9) Na equação 6 = 0, tem-se a = 6, b = e c =, etão: I) = b ac = + = b

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Andréa Pruner de Oliveira

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Andréa Pruner de Oliveira UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Adréa Pruer de Oliveira CONJUNTOS INFINITOS Floriaópolis 2005 Adréa Pruer de Oliveira CONJUNTOS

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Sequências, PA e PG material teórico

Sequências, PA e PG material teórico Sequêcias, PA e PG material teórico 1 SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo cojuto ode cosideramos os seus elemetos colocados, ou dispostos, uma certa ordem. Cosiderado a sequêcia (; 3; 5; 7;...), dizemos que:

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

n IN*. Determine o valor de a

n IN*. Determine o valor de a Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se seqüêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais ou complexos. Exemplo: A=(3, 5, 7, 9,,..., 35). Uma seqüêcia pode ser fiita ou ifiita.

Leia mais

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate

Leia mais

Notas de aula de Probabilidade Avançada

Notas de aula de Probabilidade Avançada Notas de aula de Probabilidade Avaçada Adilso Simois (professor) Tássio Naia dos Satos (aluo) primeiro semestre de 2012 compilado 2 de abril de 2012 Notas de aula de Tássio Naia dos Satos, aluo do curso

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

Stela Adami Vayego DEST/UFPR

Stela Adami Vayego DEST/UFPR Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros 1. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico

Leia mais

XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) E 6) C ) E 6) B ) D ) C 7) D ) C 7) A ) A ) B 8) B ) B 8) A ) B ) D 9) D ) A 9) B ) E 5) D 0) D 5) A

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na fgv

CPV O cursinho que mais aprova na fgv CPV O cursiho que mais aprova a fgv FGV ecoomia a Fase 0/dezembro/0 MATEMÁTICA 0. Chamaremos de S() a soma dos algarismos do úmero iteiro positivo, e de P() o produto dos algarismos de. Por exemplo, se

Leia mais

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES  U.E PROF EDGAR TITO ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES http://ueedgartito.wordpress.com U.E PROF EDGAR TITO Medidas de tedêcia cetral Medidas cetrais são valores que resumem um cojuto de dados a um úico valor que, de alguma

Leia mais

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Elementos da Análise. Mirian Buss Gonçalves Daniel Gonçalves

Elementos da Análise. Mirian Buss Gonçalves Daniel Gonçalves Elemetos da Aálise Miria Buss Goçalves Daiel Goçalves ª Edição Floriaópolis, 0 Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Aloízio Mercadate Coordeador Nacioal da Uiversidade

Leia mais

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da Fução Expoecial

Leia mais

Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas Laboratório de Física e Química

Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas Laboratório de Física e Química Uiversidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecologia e Ciêcias Exatas Laboratório de Física e Química Aálise de Medidas Físicas Quado fazemos uma medida, determiamos um úmero para caracterizar uma gradeza

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

VALDIR FILHO MATEMÁTICA. 1ª Edição ABR 2016

VALDIR FILHO MATEMÁTICA. 1ª Edição ABR 2016 VALDIR FILHO MATEMÁTICA TEORIA 179 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Valdir Filho Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição

Leia mais

INSTRUÇÕES. Esta prova é individual e sem consulta à qualquer material.

INSTRUÇÕES. Esta prova é individual e sem consulta à qualquer material. OPRM 016 Nível 3 Seguda Fase /09/16 Duração: Horas e 30 miutos Nome: Escola: Aplicador(a): INSTRUÇÕES Escreva seu ome, o ome da sua escola e ome do APLICADOR(A) os campos acima. Esta prova cotém 7 págias

Leia mais

Estudando complexidade de algoritmos

Estudando complexidade de algoritmos Estudado complexidade de algoritmos Dailo de Oliveira Domigos wwwdadomicombr Notas de aula de Estrutura de Dados e Aálise de Algoritmos (Professor Adré Bala, mestrado UFABC) Durate os estudos de complexidade

Leia mais

Capítulo 8 Teoria Informal dos Conjuntos

Capítulo 8 Teoria Informal dos Conjuntos Capítulo 8 Teoria Iformal dos Cojutos Neste capítulo, são apresetadas algumas idéias da Teoria Iformal dos Cojutos devida a George Cator, seguidas da proposição e demostração de algumas propriedades fudametais.

Leia mais

( 7) ( 3) Potenciação

( 7) ( 3) Potenciação Poteciação Defiição: Calcular a potêcia de um úmero real a equivale a multiplicar a, por ele mesmo, vezes. A otação da operação de poteciação é equivalete a: Eemplos: 6; 7 9 a a. a. a... a vezes Propriedades:

Leia mais

Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Cap. 4 - Estimação por Intervalo Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra:

Leia mais

2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES

2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES CAPITULO II COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os coceitos de Combiação Liear (CL) e de Depedêcia Liear serão melhor etedidos se forem apresetados a partir de dois vetores

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +

Leia mais

A letra x representa números reais, portanto

A letra x representa números reais, portanto Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da

Leia mais

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome

Leia mais

Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES

Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES -. Calcule os seguites limites Aálise Ifiitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES a) lim + ) b) lim 3 + 4 5 + 7 + c) lim + + ) d) lim 3 + 4 5 + 7 + e) lim + ) + 3 f) lim + 3 + ) g) lim + ) h) lim + 3 i) lim +

Leia mais

RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. Rodrigo Neves

RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. Rodrigo Neves RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. Rodrigo Neves Coceitos Prelimiares: Subcojutos Reais Os subcojutos mais comus da reta real são os itervalos. Por exemplo, o itervalo aberto (a,

Leia mais

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E Medidas de Tedêcia Cetral Itrodução... 1- Média Aritmética... - Moda... 3- Mediaa... Medidas de Dispersão 4- Amplitude Total... 5- Variâcia

Leia mais

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4 Aálise Complexa Resolução de algus exercícios do capítulo 4. Caso de C0, 0, : Caso de C0,, + : Exercício º z z i i z + iz iz iz porque iz < i + z i +3 z. z z i i z + iz iz porque iz > iz i z 3 i 3 z..

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 19

Sumário. 2 Índice Remissivo 19 i Sumário 1 Estatística Descritiva 1 1.1 Coceitos Básicos.................................... 1 1.1.1 Defiições importates............................. 1 1.2 Tabelas Estatísticas...................................

Leia mais

Sucessão de números reais. Representação gráfica. Sucessões definidas por recorrência. Introdução 8. Avaliação 18 Atividades de síntese 20

Sucessão de números reais. Representação gráfica. Sucessões definidas por recorrência. Introdução 8. Avaliação 18 Atividades de síntese 20 Ídice Sucessão de úmeros reais. Represetação gráfica. Sucessões defiidas por recorrêcia Itrodução 8 Teoria. Itrodução ao estudo das sucessões 0 Teoria. Defiição de sucessão de úmeros reais Teoria 3. Defiição

Leia mais

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais.

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais. Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se sequêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais. Exemplo: 7; 0; 3;... ; 34 Uma seqüêcia pode ser iita ou iiita. 7; 0; 3; 6;... esta sequêcia

Leia mais

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros

Leia mais

Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita

Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita Iduzido a um bom etedimeto do Pricípio da Idução Fiita Jamil Ferreira (Apresetado a VI Ecotro Capixaba de Educação Matemática e utilizado como otas de aula para disciplias itrodutórias do curso de matemática)

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

Introdução a Complexidade de Algoritmos

Introdução a Complexidade de Algoritmos Itrodução a Complexidade de Algoritmos Estruturas de Dados Prof. Vilso Heck Juior Apresetação Revisão - O Algoritmo; A Complexidade; Exercício. Complexidade de Algoritmos REVISÃO - O ALGORITMO O Algoritmo

Leia mais

Métodos de Classificação dos Objetos Segmentados(IAR) Vizinho Próximo Lógica Fuzzy

Métodos de Classificação dos Objetos Segmentados(IAR) Vizinho Próximo Lógica Fuzzy Viziho Próximo ógica Fuzzy Métodos de Classificação dos Objetos Segmetados(IAR) objeto REGRA CASSE Fuzzy Cohecimeto Miima Distâcia Viziho Próximo O método do viziho próximo é baseado o método da míima

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE PROVA DE MATEMÁTICA a FASE DEZ/04 Questão 1 a)o faturameto de uma empresa esse ao foi 10% superior ao do ao aterior; obteha o faturameto do ao aterior sabedo-se que o desse ao foi de R$1 40 000,00 b)um

Leia mais

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões

FICHA DE TRABALHO 11º ANO. Sucessões . Observe a sequêcia das seguites figuras: FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Vão-se costruido, sucessivamete, triâgulos equiláteros os vértices dos triâgulos equiláteros já existetes, prologado-se os seus

Leia mais

Números Complexos. David zavaleta Villanueva 1

Números Complexos. David zavaleta Villanueva 1 Material do miicurso a ser lecioado o III EREM-Mossoró-UERN UFRN - Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte Edição N 0 outubro 011 Números Complexos David zavaleta Villaueva 1 1 CCET-UFRN, Natal, RN,

Leia mais

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas. 6 6.. Distribuição limite 63 6.3. Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um

Leia mais

FORMA TRIGONOMÉTRICA. Para ilustrar, calcularemos o argumento de z 1 i 3 e w 2 2i AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS

FORMA TRIGONOMÉTRICA. Para ilustrar, calcularemos o argumento de z 1 i 3 e w 2 2i AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS 145 AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS FORMA TRIGONOMÉTRICA Argumeto de um Número Complexo Seja = a + bi um úmero complexo, sedo P seu afixo o plao complexo. Medido-se o âgulo formado pelo segmeto OP (módulo

Leia mais

ANDRÉ REIS RACIOCÍNIO LÓGICO / MATEMÁTICA. 1ª Edição AGO 2013

ANDRÉ REIS RACIOCÍNIO LÓGICO / MATEMÁTICA. 1ª Edição AGO 2013 ANDRÉ REIS RACIOCÍNIO LÓGICO / MATEMÁTICA TEORIA QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis

Leia mais

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Prof Dr José Augusto Baraauskas DFM-FFCLRP-USP A Aálise de Algoritmos é um campo da Ciêcia da Computação que tem como objetivo o etedimeto da complexidade dos

Leia mais

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A. MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto

Leia mais

Uma relação entre sincronização no mapa do círculo e os números racionais

Uma relação entre sincronização no mapa do círculo e os números racionais Uma relação etre sicroização o mapa do círculo e os úmeros racioais Mariaa P. M. A. Baroi Elbert E. N. Macau Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais

Leia mais

Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Prof. Daniel Furtado Ferreira 1 a Aula Prática Técnicas de somatório

Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Prof. Daniel Furtado Ferreira 1 a Aula Prática Técnicas de somatório Uiversidade Federal de Lavras Departameto de Ciêcias Exatas Prof. Daiel Furtado Ferreira 1 a Aula Prática Técicas de somatório Notação e propriedades: 1) Variáveis e ídices: o símbolo x j (leia x ídice

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015

RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015 RESOLUÇÃO DA PROVA DE RACIOCÍCNIO LÓGICO QUANTITATIVO P/ APO-MPOG 2015 Olá galera!!!! Hoje estou postado a resolução das questões de Raciocíio Lógico Quatitativo da prova de APO/MPOG, ocorrida o último

Leia mais

Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1 ESTUDO DOS POLINÔMIOS. nulo.

Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1 ESTUDO DOS POLINÔMIOS. nulo. Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues ESTUDO DOS POLINÔMIOS Questão 0 Dê o grau de P em cada caso: a) P() = 7 + b) P () = + + 7 c) P () = + d) P () = + e) P () = 0 f) P () = 0 Questão 0 Dado o poliômio P()

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES Aluo(a): Turma: Professores: Data: Edu/Vicete Noções de Estatística Podemos eteder a Estatística como sedo o método de estudo de comportameto coletivo, cujas coclusões são

Leia mais

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s)

Leia mais

Aviso: Este documento é uma versão editada por Rodrigo Hausen do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Miranda.

Aviso: Este documento é uma versão editada por Rodrigo Hausen do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Miranda. Aviso: Este documeto é uma versão editada por Rodrigo Hause do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Mirada. A omeclatura foi alterada para codizer com a adotada as aulas. Bases Matemáticas

Leia mais

CAP. I - ESTUDO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES.

CAP. I - ESTUDO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES. Aálise Matemática II- ao lectivo 6/7 CAP. I - ESTUDO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES. 1. Breves oções topológicas em 1.1 Distâcia etre dois potos R Dados dois potos x e y R, x = ( x1, x,...

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005

Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/2005 Virgílio A. F. Almeida DCC-UFMG 1/005 !" # Comparado quatitativamete sistemas eperimetais: Algoritmos, protótipos, modelos, etc Sigificado de uma amostra Itervalos de cofiaça Tomado decisões e comparado

Leia mais

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN 9788576055044.

Leia mais

2. Revisões e definições de matrizes

2. Revisões e definições de matrizes Apotametos de Processameto Adaptativo de Siais 2. Revisões e defiições de matrizes Breve revisão de propriedades de matrizes 1. Valores próprios e vectores próprios A cada matriz quadrada A, de dimesões

Leia mais

GEOMETRIA BÁSICA GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 18/11/2010

GEOMETRIA BÁSICA GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 18/11/2010 GEOMETRIA BÁSICA 200-2 GGM006-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 8//200 Defiição : PRISMA Cosidere dois plaos paralelos α e β e um segmeto de reta PQ, cuja reta suporte r itercepta o plao α.

Leia mais