Análise Matemática I 2 o Exame

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1 Aálise Matemática I 2 o Exame Campus da Alameda LEC, LET, LEN, LEM, LEMat, LEGM 29 de Jaeiro de 2003, 3 horas Apresete todos os cálculos e justificações relevates I. Cosidere dois subcojutos de R, A e B, em que: A = { x 2 + 2x : x [0, 3[}, B = { cos(π) : N }. a) Escreva o cojuto A a forma de um itervalo ou reuião de itervalos. Resposta: Esboçado o gráfico da parábola de equação y = x 2 + 2x, cujas raízes são 0 e 2, e com cocavidade voltada para baixo, facilmete se verifica que quado x [0, 3[, y toma todos os valores do itervalo ] 3, ]. Note que a parábola sobe de y = 0 até y =, quado x varia de x = 0 até x =, e a partir desse máximo da parábola, ela desce até y = 3 o poto x = 3. É este, portato, o cojuto A: o itervalo ] 3, ]. b) Determie, se existirem, o supremo, ífimo, máximo e míimo dos cojutos A \ Q e B. Resposta: A \ Q =] 3, ] \ Q (ateção que isto ão é o mesmo que o cojuto ] 3, [) tem obviamete supremo e ífimo que são e 3, respectivamete, mas como e 3 são úmeros racioais, o cojuto ão tem em máximo em míimo. Quato ao cojuto B, e porque cos(π) = ( ), temos: { } B = { ( ) : N } = 2 : N {2 : N }. Uma vez que cotem todos os úmeros pares, o cojuto B ão tem majorates e, cosequetemete ão tem supremo em máximo. Como os elemetos da forma /(2 ) formam uma sucessão decrescete com limite 0, temos que 0 é o ífimo de B que, cotudo ão é míimo, uma vez que 0 B. c) Seja (a ) uma sucessão defiida por: a = 3, a + = 2a 2, para. i) Mostre, por idução fiita, que 0 < a < 2 para todo o N. Resposta: É claro que a = /3 satisfaz a codição dada. Supohamos agora que 0 < a < /2, para N (lembre-se que queremos provar que isto implica 0 < a + < /2). Neste caso tem-se 0 < a 2 < /4, uma vez que a fução quadrática é crescete em R +. Deste par de desigualdades resulta aida que 0 < 2 a 2 < /2, ou seja 0 < a + < /2. O resultado pode etão estabelecer-se recorredo ao pricípio de idução fiita, visto que foram provadas as duas codições que garatem a sua aplicação.

2 ii) Mostre que (a ) é decrescete. Resposta: Uma vez que já se demostrou que todos os termos de a são positivos e iferiores a /2, e que, por hipótese, os termos da sucessão (a ) satisfazem a relação a + = 2a 2, resulta desta última relação que, 0 < a + a = 2a2 a = 2a <. Ou seja a + < a. Como a relação é válida para todo o N, a sucessão é decrescete. iii) Justifique que (a ) é covergete e calcule o seu limite. Resposta: Toda a sucessão decrescete e miorada é covergete, dode se coclui, pelo que provámos as duas alíeas ateriores, que (a ) é obrigatoriamete covergete. Para calcular o seu limite, ote-se que a sucessão (a + ) é uma subsucessão de (a ) e, visto que esta é covergete, todas as suas subsucessões também o serão, para o mesmo limite. Chamemos L = lim a = lim a +. Aplicado limites aos dois lados da relação a + = 2a 2 cocluimos que L = 2L 2 L(2L ) = 0 L = 0 ou L = /2. Obviamete, sedo que a sucessão é decrescete e de termos iferiores a /2, destes dois valores obtidos só L = 0 poderá ser o limite procurado. II.. Estude a atureza (covergêcia simples, absoluta ou divergêcia) das seguites séries: a) =! b) ( ) se = Resposta: a) Usado o critério de d Alembert: c) = 2 7/2 + d) ( ) ( e / ) = lim ( = lim ( + )!! ( + ) (+)! = lim (+)! (+) (+) logo, a série dada, coverge. + ) = e < Resposta: b) Neste caso, o termo geral ão é um ifiitésimo. De facto, temos ( ) si = si ( ). Assim, a série dada é divergete. Resposta: c) Comparado o poliómio do umerador com o do deomiador, verificamos que os termos de maior grau têm uma difereça de 3/2 os seus expoetes. Assim, somos levados a comparar esta série com a série de termo geral 3/2 e temos: 2 7/2 + 3/2 = 7/2 7/2 +.

3 As séries têm a mesma atureza. Como 3/2 >, são ambas covergetes. Resposta: d) A série em causa é uma série alterada, que ão pode covergir absolutamete, uma vez que a respectiva série dos módulos tem como termo geral a sucessão e /, que podemos comparar com o termo geral da série harmóica. De facto tem-se: e pelo que, tal como a série harmóica, a série dos módulos é divergete. É o etato fácil costatar que e / decresce e é um ifiitésimo logo, resulta da aplicação do critério de Leibiz que a série origial, de siais alterates, é simplesmete covergete. 2. Determie para que valores de x R a seguite série coverge absolutamete, simplesmete ou diverge: e x +. = Resposta: Comecemos por calcular o raio de covergêcia. Temos: R = lim e + e = lim + e ( ) =. A série dada coverge, desde logo, absolutamete se x < e diverge se x >. Falta verificar os casos particulares x = e x =, em qualquer caso, coduzido à série: e +. = Comparado esta série com a série harmóica temos: e + = e + e R \ {0}, dode se coclui que a série é divergete para x = ±. III. Seja f uma fução real de variável real defiida por: f(x) = log( x 2 + 4) a) Justifique que o domíio de f é D = ] 2, 2[ \ { 3, 3 }. Resposta: O domíio de f é D = {x R : x > 0 log( x 2 + 4) 0}. A resolução da iequação coduz ao itervalo ] 2, 2[. Por outro lado tem-se log( x 2 +4) 0 se e só se x ou seja se x ± 3. Podemos, portato, cocluir que: D = ] 2, 2[ \ { 3, 3 }.

4 b) Calcule lim f(x), x 2 + lim x ( f(x), 3) lim x ( f(x). 3) + Resposta: Temos, lim f(x) = lim x 2 + x 2 + l( x 2 + 4) = 0. Quado x ( 3), etão l( x 2 + 4) tede para 0 por valores egativos e, este caso, f(x) tede para. Idêticos argumetos mostram que quado x ( 3) +, a fução f(x) tede para +. c) Estude f quato a difereciabilidade e determie f os potos em que existir. Resposta: A fução x 2 +4 é um poliómio, portato difereciável em R. Para x ] 2, 2[ este poliómio é positivo e assim a composta com a fução log está bem defiida e será difereciável, visto tratar-se da composta de duas fuções difereciáveis. Fialmete, o quociete etre a costate (difereciável) e esta fução composta é também difereciável, desde que o deomiador ão se aule, o que acotece em D. Cocluímos etão que f é difereciável em todos os potos de D. A sua derivada pode ser calculada usado as regras de derivação: ( ) f (x) = = (l( x2 + 4)) 2x l( x 2 + 4) (l( x 2 + 4)) = x (l( x 2 + 4)), 2 ou seja, f (x) = 2x (4 x 2 )(l( x 2 + 4)) 2. d) Estude f quato à existêcia de extremos e itervalos de mootoia. Resposta: Note-se, em primeiro lugar, que a fução f é par, isto é f(x) = f( x). Assim, o seu gráfico é simétrico relativamete ao eixo das ordeadas. Poderíamos, portato, estudar a fução apeas para x < 0, sabedo desde logo que para x > 0 o seu comportameto é exactamete simétrico. Fazedo o etato o estudo completo, tem-se que o domíio D, o sial de f (x) coicide com o sial de 2x. Note que, em D, a expressão 4 x 2 é sempre positiva, assim como o log ao quadrado. Assim f (x) é egativa em ] 2, 0[\{ 3} e positiva em ]0, 2[\{ 3}, aulado-se em x = 0. A fução f é pois estritamete decrescete de 0 até o itervalo ] 2, 3[. No itervalo ] 3, 0] a fução f é de ovo estritamete decrescete, desta feita desde + até ao seu poto de estacioaridade, em x = 0 ode atige o míimo relativo f(0) = / log(4). Em [0, 3[, f é estritamete crescete desde este míimo até + de ovo. E fialmete, duma forma simétrica ao que acotece para x < 0, f é estritamete crescete de até 0 para x ] 3, 2[. Saliete-se que existe apeas um úico extremo relativo, em x = 0, ode f toma o valor / log(4). Claramete ão é um extremo absoluto, visto que f atige valores tão egativos quato se queiram, em vizihaças de x = 3 ou x = 3.

5 e) Determie o cotradomíio de f. Resposta: Tedo em cota que a fução é par, e portato simétrica em relação ao eixo das ordeadas x = 0; tedo em cota que a fução é cotíua, e que portato trasforma os itervalos ] 2, 3[, ] 3, 3[ e ] 3, 2[ em itervalos também; e tedo também em cota os resultados obtidos ateriormete o que diz respeito aos limites e ao crescimeto da fução, coclui-se que o cotradomíio de f é f(d) =], 0[ [/ l(4), + [. IV. Sejam f e g duas fuções difereciáveis em R sedo g(x) > 0 para todo o x R. Cosidere a fução defiida por: h(x) = f(log(g(x))). a) Estude h quato à difereciabilidade e determie h os potos em que existir. Resposta: A fução h resulta da composição de três fuções difereciáveis: f, log e g. Logo é difereciável em R (g(x) > 0 para todo o x R, pelo que a composta está bem defiida para todo o R). A sua derivada pode calcular-se através da aplicação sucessiva, duas vezes, do teorema da derivação da fução composta: h (x) = f (l(g(x))) (l(g(x))) = f (l(g(x))) g (x) g(x) b) Sabedo que g() = f ( 2) = e 2 e que h () =, determie g (). Resposta: Da igualdade aterior e particularizado para x = temos: = h () = f (l(g())) g () g() = f (l(/e 2 )) g () g() = f ( 2) g () /e 2 = Portato, g () =. = /e 2 g () /e 2 = g (). V. Seja f : R R uma fução que para todo o x > 0 é difereciável. Supodo que existem duas sucessões (x ) e (y ) tais que, para todo o N, se tem f(x ) = 0, f(y ) =, 0 < x + < y + < x < y. e aida lim x = lim y =

6 a) Mostre que, para todo o M > 0 existe c > 0 tal que f (c) M. Resposta: Fixemos M > 0 qualquer. Seja ɛ = /M. Como qualquer das sucessões tede para zero, podemos por exemplo cosiderar p N tal que para todo p se tem y < ɛ. Nesse caso temos 0 < x p < y p < ɛ, dode resulta que y p x p < ɛ. Aplicado o teorema do valor médio de Lagrage ao itervalo [x p, y p ], temos o seguite, existe c ]x p, y p [, tal que: como se pretedia provar. f (c) = f(y p) f(x p ) y p x p = y p x p > ɛ = M, b) Decida justificadamete se a fução f é ou ão difereciável em x = 0. Resposta: A fução f ão pode ser difereciável em x = 0 porque, de facto, em sequer pode ser cotíua esse poto. Existem duas sucessões, (x ) e (y ), ambas ifiitésimos, mas tais que: (f(x )) 0 e (f(y )). Pelo critério de cotiuidade à Heie, se f fosse cotíua em 0, qualquer que fosse a sucessão de potos do domíio covergete para 0, a sucessão das images teria que covergir para um úico valor f(0), o que ão acotece aqui.