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1 Capítulo 3 Séries Numéricas 3. Geeralização da operação adição A operação adição ou soma é iicialmete defiida como a aplicação que a cada par de úmeros reais faz correspoder um úmero real, de acordo com determiadas regras. Essa operação goza de certas propriedades e verificamos que podemos geeralizar a operação a um úmero fiito de parcelas matedo todas as propriedades. A defiição de soma de um úmero fiito de parcelas é feita por recorrêcia: a, se a i = i= a i +, se > i= Podemos pesar agora em fazer uma geeralização a um úmero ifiito umerável de parcelas. As parcelas costituirão a sucessão a,a,...,,... Se existir uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão são ulos, tem-se a soma de todas as parcelas igual à soma dos p primeiros termos: a i = N p a i. i= Se existir uma subsucessão de termos ão ulos poderemos chamar soma ao limite, se existir e for fiito, da sucessão das somas dos primeiros termos de, sucessão essa S = a i. i= Se a sucessão tivesse todos os termos positivos, poderia parecer à primeira vista que S ão é covergete. De facto, supor que a soma de um úmero ifiito de parcelas positivas é um úmero real ão é um coceito ituitivo.

2 88 3. Séries Numéricas Neste caso, a ituição falha precisamete porque pretedemos geeralizar para o ifiito um coceito, o de soma, que temos ituitivo para um úmero fiito de parcelas. É comum que a ituição os egae em casos de passagem do fiito para o ifiito. De qualquer modo é verdade que S em sempre é covergete, ou seja, que em sempre poderemos defiir, por este processo, soma de um úmero ifiito de parcelas. Iteressa, o etato, saber como deve ser a sucessão de modo que a essa sucessão esteja associado um úmero real, soma de todos os seus termos. Citado o Prof. Campos Ferreira: Vem a propósito lembrar um dos paradoxos formulados, há mais de 000 aos, pelo filósofo grego Zeão. Zeão imagiou um corredor, deslocado-se de certo poto A para a meta B, com velocidade costate, e raciocioou de maeira que pode exprimir-se os termos seguites: desige-se por A o poto médio do segmeto AB, por A o poto médio de A B, etc. Em geral, para todo o N, A + desigará o poto médio do segmeto A B. A A A A 3 B Nestas codições, se for t o tempo gasto pelo corredor a percorrer a distâcia que vai de A a A, será t/ o tempo gasto de A a A, t/ o tempo ecessário para ir de A a A 3, etc. O tempo total ecessário para completar a corrida, T, equivaleria assim à soma de uma ifiidade de tempos parciais todos positivos: T = t + t + t t +... Daqui julgava Zeão poder deduzir que esse tempo total erecessariamete ifiito e que, portato, o corredor jamais poderia atigir a meta. Tal resultado, que lhe parecia solidamete estabelecido, estava porém em cotradição evidete com o facto de que, sedo o movimeto uiforme por hipótese, o tempo correspodete ao percurso deveria ser simplesmete o dobro do que o corredor gastava primeira metade, isto é, T = t. Além disso, aquele resultado estava aida em cotradição com a mais elemetar experiêcia do mudo físico. Por isso se dizia tratar-se de um paradoxo. O esclarecimeto completo da questão só veio a ser alcaçado, cerca de 000 aos depois de o paradoxo ter sido euciado por Zeão, com a criação da teoria das séries. Covém aida registar que coube a um matemático português, José Aastácio da Cuha, um papel percursor de grade relevo o estudo desta teoria em particular, deve- -se-lhe a primeira defiição rigorosa do coceito de série covergete, formulada em 790; mais tarde, graças a trabalhos de grades matemáticos como Cauchy, Weierstrass, etc., as séries torar-se-iam istrumetos de valor iestimável para o desevolvimeto de todos os ramos da Aálise Matemática.

3 3. Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais Defiição 3..0 Seja uma sucessão umérica. Chama-se série gerada por à sucessão S defiida do modo seguite: S = a S = a + a S 3 = a + a + a 3. S = a + a + a Para desigar a série usa-se qualquer das otações:, a, a + a + a 3 +. Os úmeros a, a,..., chamam-se termos da série, diz-se termo geral da série e as somas S, S,... chamam-se somas parciais. Defiição 3.. A série diz-se covergete se existir e for fiito o limite lim S = lim a i. + + Se este limite ão existir ou ão for fiito a série diz-se divergete. No caso de covergêcia chama-se soma da série ao valor, S, do limite, isto é, S = lim S =. + NOTA: A idetificação de uma série com o símbolo é um abuso de liguagem já que é a idetificação da série com a sua soma, quado ela existe. Este abuso, o etato, é de uso correte e tem-se demostrado útil e iofesivo. EXEMPLO : Chama-se série geométrica à série gerada por uma progressão geométrica: se é uma progressão geométrica de razão r temos que S = a i = a r i r = a r. i= i= i=

4 90 3. Séries Numéricas Sabemos que S é covergete se, e só se, r <, logo a série geométrica é covergete se, e só se, o valor absoluto da razão da progressão geométrica que a gerou for meor do que. No caso de covergêcia temos que = a r. Se r = a série é uma série de termo geral costate, isto é, = a, tedo-se, assim, S = a e, se a 0, a série será divergete. EXEMPLO : Cosideremos a série parciais e estudemos o seu limite:, costruamos a sucessão das suas somas S = S = + S 3 = S = Como = = e lim = +, a sucessão S tem limite + e a série em estudo é divergete. + EXEMPLO 3: Cosideremos a série. Sabedo que + + = + podemos escrever a sucessão das somas parciais:

5 3. Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais 9 S = S = + 3 = 3 S 3 = = 4. S = + Como lim + S =, a série é covergete e a sua soma é :. + =. EXEMPLO 4: A sucessão das somas parciais da série log = + log log + é a sucessão S = log log = log S = log + log log 3 = log 3 S 3 = log 3 + log 3 log 4 = log 4. S = log +. Como lim log + =, a série é divergete. + EXEMPLO 5: O termo geral da série pode escrever-se a forma A sucessão das somas parciais pode agora ser + 3

6 9 3. Séries Numéricas costruída: S = 3 4 S = = S 3 = = S 4 = = = S 5 = = = 8 3. S = Como lim S = , a série é covergete Os três últimos exemplos são casos particulares de um tipo de séries chamadas séries telescópicas. São séries cujo termo geral se pode escrever a forma α α +k, com k N: α α +k. Estas séries são covergetes se, e só se, lim + v, ode v = α α +k, existe e é fiito. No caso particular de existir, fiito, lim + α temos: α α +k = k α i ka, i=

7 3. Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais 93 sedo a = lim + α. De facto, a sucessão das somas parciais é a sucessão S = = α i α i+k i= α i i= i= α i+k = α + + α k + α k+ + + α α k+ + + α + α α +k = α + + α k α + + α +k k k = α i i= i= α i+ Sedo α covergete etão lim + α i+ existe e dode se coclui que lim S = + lim α = lim α i+ + + = k k α i lim α i+ + i= k α i ka. i= i= Teorema 3..3 Se a série é covergete etão é um ifiitésimo. Demostração: Como a série é covergete, a sucessão S = a i é uma sucessão covergete, o mesmo acotecedo a S, tedo-se lim + S = lim + S. Etão lim = lim S S = lim S lim S = i= NOTA: Este teorema idica uma codição ecessária, mas ão suficiete para que uma série seja covergete. Assim a sua utilidade é sobretudo para decidir que uma série é divergete já que se o termo geral ão for um ifiitésimo a série será cocerteza divergete. EXEMPLO 6: A série + é divergete porque lim + + =.

8 94 3. Séries Numéricas EXEMPLO 7: Cosideremos a série. Temos que lim = 0, o que ão os + permite cocluir ada pelo Teorema No etato, já demostrámos, o Exemplo, que esta série é divergete. Teorema 3..4 Sejam b séries covergetes de somas A e B, respectivamete, e λ R. Etão e a A série +b, a que se chama série soma, também é covergete e a sua soma é A + B: + b = + b. b A série λ é covergete e a sua soma é λa: λ = λ. Demostração: a Sejam S e S as sucessões das somas parciais das séries b, respectivamete. Como são séries covergetes temos que e lim + S = A e lim + S = B. Seja S a sucessão das somas parciais da série soma, isto é, S = a i + i= i= b i = S + S. Etão a i + b i = i= lim S = lim + + S + S = lim + S + lim + S = A + B, isto é, + b é covergete e tem soma A + B.

9 3. Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais 95 b Seja S a sucessão das somas parciais da série. Por hipótese, lim + S = A. Seja S a sucessão das somas parciais da série λ. Etão S = λa i = λ a i = λs. Assim, isto é, a série NOTAS: lim S = lim + + λs = λ lim + S = λa, λ é covergete e tem soma λa.. Da demostração da alíea a ressalta que pode acotecer que as séries dadas sejam divergetes e, o etato, a série soma seja covergete. Também se ota através da demostração que se as sucessões das somas parciais tiverem limites ifiitos do mesmo sial as séries são ambas divergetes a sucessão das somas parciais será divergete, o mesmo acotecedo se uma das séries for covergete e a outra divergete. Se S e S tiverem limites ifiitos, mas de siais cotrários, a série soma poderá ser covergete ou divergete já que o cálculo do limite aparece uma idetermiação.. Da demostração de b resulta que se λ 0, a série se, a série o for. Se λ = 0, a série termos serão ulos. i= i= λ é covergete se, e só λ é covergete pois todos os seus EXEMPLO 8: Cosideremos a série = A série é uma série telescópica em que α = e k = 3. Como + 3 lim α = 0 a série é covergete e a sua soma é = 6. A série + 3 é igualmete uma série telescópica em que α = e k = 3. Como lim α = 0 a série é covergete e a sua soma é =

10 96 3. Séries Numéricas Como são ambas covergetes, a série dada também é covergete e = Teorema 3..5 Uma série coverge se, e só se, δ > 0 p N : m > > p a m < δ. = Demostração: Como m a m = a i i= o que pretedemos demostrar é que a série a i = S m S, i= coverge se, e só se, δ > 0 p N : m > > p S m S < δ, ou seja, S é uma sucessão de Cauchy. Mas, por defiição, a série coverge se, e só se, S é uma sucessão covergete e em R uma sucessão é covergete se, e só se, é de Cauchy. O teorema fica assim demostrado. EXEMPLO 9: Cosideremos a série deomiada série harmóica. Vamos demostrar, utilizado o Teorema 3..5, que a série harmóica é divergete. Se a série fosse covergete, dado δ > 0, existiria p N tal que se m > > p etão a m < δ. Mas, se m = +, a m = = = = ou seja, a codição do teoremão se verifica para δ <. Portato, a série harmóica é divergete.

11 3. Defiição de série. Covergêcia. Propriedades gerais 97 Corolário A atureza de uma série ão depede dos p primeiros termos, seja qual for p N, isto é, se e b são séries tais que p N : = b > p, etão ou são ambas covergetes ou são ambas divergetes. Defiição 3.. Chama-se resto de ordem p da série à série r p = +p = =p+ Pelo corolário aterior podemos cocluir que se uma série é covergete o mesmo acotece ao seu resto de qualquer ordem. A soma do resto de ordem p de uma série covergete dá-os o erro que se comete quado se toma para valor aproximado da soma da série a sua soma parcial S p. De facto, o erro é dado por: S p = p =. +p = r p. Corolário 3 A atureza de uma série ão é alterada se lhe suprimirmos um úmero fiito, arbitrário, de termos. O teorema que se segue pode cosiderar-se, de certo modo, uma geeralização da propriedade associativa da adição ao caso das séries covergetes. Teorema 3..6 Sejam uma série covergete e k,k,...,k,... uma sucessão de elemetos de N, estritamete crescete. Seja aida b a sucessão defiida do seguite modo: k a i, se = i= b = Etão a série b é covergete e k i=k + b = a i, se >.

12 98 3. Séries Numéricas Demostração: Por defiição de série covergete existe e é fiito o limite lim S = lim + + a i. Etão qualquer subsucessão de S será covergete e terá o mesmo limite S = A série b será covergete se, e só se, S = i= b i for covergete. Mas i=. S = k b i = a i + i= i= k i=k + a i + + k i=k + a i = k i= a i = S k, ou seja, S é uma subsucessão de S sedo, portato, covergete e para o mesmo valor: b = lim + S = lim + S =. NOTA: O teorema diz que se a série é covergete etão a + a + + a k + + a k + = a + + a k + a k a k + Esta propriedade associativa ão é válida se a série for divergete. Basta observar que se a demostração do teorema, S ão fosse covergete ada poderíamos dizer sobre a atureza de S. Por exemplo, a série é divergete pois o seu termo geral ão tede para zero. No etato, = 0.

13 3.3 Séries alteradas Séries alteradas Defiição 3.3. Uma série diz-se alterada se os seus termos são alteradamete positivos e egativos. Supodo que o primeiro termo da série é positivo podemos escrevê-la forma, > 0 N. Teorema 3.3. Critério de Leibitz Se é uma sucessão decrescete de termos positivos e lim = 0 etão a série + é covergete. Demostração: Seja S a sucessão das somas parciais desta série: S = a a + a 3 +. Vamos estudar as subsucessões de ídices pares e de ídices ímpares. Seja k N, qualquer; S k = a a + + a k a k S k+ = a a + + a k a k + a k+ A subsucessão S k é crescete porque, como é decrescete, S k+ S k e é uma sucessão limitada porque = a a + + a k a k + a k+ a k+ a a + + a k a k = a k+ a k+ 0 S S k = a [a a 3 + a 4 a a k ] < a Sedo uma sucessão moótoa e limitada, S k é uma sucessão covergete. Por outro lado, de S k+ = S k + a k+ coclui-se que lim S k+ = lim S k, visto que por hipótese k + k + é um ifiitésimo. Como as subsucessões dos termos de ordem par e de ordem ímpar têm o mesmo limite, S é covergete. Etão, por defiição, a série é covergete. Teorema 3.3. Sejam uma sucessão decrescete de termos positivos, tal que lim = 0, e S a soma da série. Etão + 0 S S + N.

14 00 3. Séries Numéricas Demostração: Sabemos da demostração do teorema aterior que S k é uma subsucessão de S crescete e com o mesmo limite, S, da subsucessão S k+. Prova-se, por um processo aálogo ao usado para S k, que S k+ é decrescete. Etão Destas desigualdades coclui-se que S k S e S S k+ k N. isto é, ou aida, 0 S k S S k S k = a k 0 S S k S k+ S k = a k+, 0 S k S a k 0 S S k a k+, 0 k S S k a k 0 k S S k a k+. Destas duas últimas desigualdades coclui-se que 0 S S +. Corolário Sejam uma sucessão decrescete de termos positivos tal que lim = 0 + e S a soma da série. Etão S S + N. NOTA: Do corolário aterior ressalta que, as codições idicadas, o erro que se comete quado se toma para valor aproximado da soma de uma série alterada alguma soma parcial é, em valor absoluto, iferior ao valor absoluto do primeiro dos termos desprezados. Com efeito, S S +, ou seja, S S +. EXEMPLO : Cosideremos a série, deomiada série harmóica alter- ada. Pelo Critério de Leibitz esta série é covergete, pois = é uma sucessão de termos positivos, decrescete e com limite zero. Se esta série tomarmos para valor aproximado da soma a soma parcial S 9 cometeremos um erro que em valor absoluto é iferior a, valor de a 0 0.

15 3.3 Séries alteradas 0 EXEMPLO : Cosideremos a série α, α R. Se α 0 a série diverge porque o seu termo geral ão tede para zero. Se α > 0 a série é covergete porque = é uma sucessão decrescete, de termos α positivos e lim = 0. + EXEMPLO 3: Seja o termo geral da série +. Como é um ifiitésimo e > 0 >, mas ão é decrescete, pelo Critério de Leibitz ada podemos cocluir. No etato, vê-se facilmete que a série dada é divergete porque é a soma de uma série covergete a série com uma série divergete a série.

16 0 3. Séries Numéricas 3.4 Covergêcia absoluta Teorema 3.4. Se a série é covergete, o mesmo acotece à série Demostração: A série é covergete se, e só se, δ > 0 p N : m > > p a m < δ.. Como e temos que ou seja, a série a m a m a m = a m δ > 0 p N : m > > p a m < δ, é covergete. NOTA: É importate observar que o recíproco deste teoremão é verdadeiro, isto é, a série pode ser covergete sem que a série dos módulos,, o seja. Basta observar a série harmóica divergete e a série harmóica alterada covergete: a série harmóica é a série dos módulos da série harmóica alterada. Defiição 3.4. Uma série diz-se absolutamete covergete se a série for covergete. Uma série diz-se simplesmete covergete ou codicioalmete covergete se for covergete e a série Defiição 3.4. Diz-se que a série for divergete. b é um rearrajo da série, ou que desta se obtém por reordeação dos seus termos, se existir uma bijecção φ de N em N tal que b = a φ. Teorema 3.4. Se a série é absolutamete covergete etão qualquer série que dela se obteha por reordeação dos seus termos é absolutamete covergete e tem a mesma soma.

17 3.4 Covergêcia absoluta 03 Este teorema geeraliza às séries absolutamete covergetes a propriedade comutativa da adição usual. Cotudo, é de referir que esta propriedade ão vale para as séries simplesmete covergetes e pode mesmo demostrar-se que por reordeação dos termos de uma série simplesmete covergete se pode obter outra série de soma previamete fixada e até uma série divergete. Teorema Seja uma série simplesmete covergete. Etão: a Existem bijecções φ : N N tais que a série a φ é divergete. b Para todo o úmero real k existe uma bijecção φ : N N tal que a série a φ é covergete e tem soma igual a k. EXEMPLO: Cosideremos a série harmóica alterada,, que sabemos ser simplesmete covergete. Reorgaizemos os seus termos por forma que cada termo positivo seja seguido por dois termos egativos. Obtemos a seguite série: Temos para esta série as somas parciais: S = S = S 3 = 4 = 4 = = S S 4 = S 5 = S 6 = = = = = S S 9 = S = = = = S 6

18 04 3. Séries Numéricas ode S = e i i. i= Etão S 3 = S o que implica que, sedo lim + S = S, lim + S 3 = S. Como S 3+ = S e S 3+ = S tem-se ou seja, lim + S 3+ = lim + S 3 + lim + + lim + S 3+ = lim + S 3 + lim + + lim + lim + S 3+ = lim + S 3+ = lim + S 3 = S. 4 + Coclui-se assim que lim + S = S, isto é, a série obtida por reordeação dos termos da série harmóica alterada é covergete e tem soma igual a metade da soma da série dada.

19 3.5 Séries de termos ão egativos Séries de termos ão egativos Neste parágrafo vamos estabelecer algus critérios de covergêcia de séries de termos ão egativos e, portato, aplicáveis também à ivestigação da covergêcia absoluta das séries em geral. É evidete que uma série de termos ão egativos se for covergete é absolutamete covergete uma vez que o valor absoluto do seu termo geral é ele próprio. Teorema 3.5. Seja uma série de termos ão egativos. Etão a série covergete se, e só se, a sucessão das suas somas parciais é limitada. Demostração: Seja S = é a i. Se a série é covergete etão, por defiição, a sucessão i= S tem limite fiito. Cosequetemete é uma sucessão limitada. Supohamos que S é limitada. Como 0 tem-se S + S N, ou seja, S é uma sucessão moótoa crescete. As duas afirmações ateriores implicam a covergêcia de S o que equivale a dizer que a série é covergete. Teorema 3.5. Critério do itegral Seja f : [, + [ R uma fução cotíua, positiva e decrescete em [, + [. Para cad N, seja = f. Etão a série e o itegral impróprio fxdx são da mesmatureza isto é, são ambos covergetes ou ambos divergetes. Demostração: x N : x +. Como f é decrescete, Mas f = e podemos escrever f + fx f. + fx. Itegrado em ordem a x etre e + obtemos + + dx + fx dx + dx + Somado ordeadamete desde = até = N temos N N + + fx dx N + N fx dx N + N fx dx.

20 06 3. Séries Numéricas N Se o itegral é divergete, pelas codições de f, lim fx dx = +. Etão, pela N + desigualdade da direita, o limite da sucessão das somas parciais da série é também +, isto é, a série diverge. Se o itegral coverge etão existe e é fiito lim fx dx. N + Em cosequêcia, a sucessão S = a i é limitada. Como a série é de termos positivos coclui-se que é covergete. i= EXEMPLO 5: Cosideremos a série α, α R, habitualmete desigada por série de Dirichlet. Se α 0, a série é divergete porque o seu termo geral ão tede para zero. Se α > 0, a fução fx = é cotíua, positiva e decrescete em [, + [. Sabemos xα + que dx coverge se, e só se, α >. Etão, pelo Critério do Itegral, a série xα coverge se, e só se, α >. EXEMPLO 6: Seja a série de termo geral = = fx = xlogx α. É uma fução positiva e cotíua em [, + [. Como, se x >, f x = 0 logxα + αlogx α x logx α = 0 logxα logx + α x logx α = 0 logx + α = 0 x = e α N log α, α R. Seja se x > e α vem f x < 0 e, portato, f é decrescete. Estudemos o itegral sedo p N tal que p e p e α. Se α = t p + p xlogx α dx x logx dx = [ loglogx ]t p = loglogt loglogp

21 3.5 Séries de termos ão egativos 07 e se α t [ logx α+ xlogx dx = α α + tedo-se p t lim t + p xlogx α dx = ] t p = logt α+ logp α+ α + +, se α logp α+, se α > α Etão o itegral coverge se, e só se, α >. Pelo Critério do itegral a série coverge se, e só se, α >. Teorema Critério geral de comparação Sejam e b duas séries de termos ão egativos tais que b, N. a Se a série b é covergete etão a série b Se a série é divergete etão a série Demostração: Sejam S = 0 S S. a Visto que a i e S = i= é covergete. b é divergete. b i. Como 0 b, N, temos que i= b é covergete a sucessão das suas somas parciais, S, é limitada Teorema 3.5. o que implica que a sucessão S também é limitada, isto é, a série é covergete. b Se a série é divergete etão a sucessão S ão é limitada Teorema Isto implica que a sucessão S também ão é limitada e, assim, a série b é divergete. NOTA: A omissão de um úmero fiito de termos ão altera atureza da série como vimos, portato, o teorema aterior matém-se válido se p N : b p. EXEMPLO : Cosideremos a série!. Como 0 <! =...

22 08 3. Séries Numéricas e a série é uma série geométrica de razão, portato covergete, a série! é covergete. EXEMPLO : Cosideremos a série α, α <. Com esta hipótese, α <, o que implica que > α. Como a série é divergete a série dada também será divergete. EXEMPLO 3: Estudemos atureza da série é covergete e como temos. Já vimos que a série + 0 < + < + podemos cocluir, pelo Teorema.5., que a série acotecedo à série Corolário Sejam porque difere desta apeas um termo. e é covergete, o mesmo + b duas séries de termos positivos, c uma costate positiva e p um úmero atural tais que c b, p. a Se a série b é covergete etão a série é covergete. b Se a série é divergete etão a série b é divergete. Demostração: Seja c = c b. Pelo Teorema, a se a série c é covergete etão a série é covergete; b se a série é divergete etão a série c é divergete.

23 3.5 Séries de termos ão egativos 09 Como c > 0, as séries pretedido. Corolário Sejam c e e b têm a mesmatureza e deste facto sai o resultado b duas séries tais que 0 e b > 0, N. Se lim = k R + etão as séries são da mesmatureza. + b Demostração: Seja lim = k. Por defiição, + b δ > 0 p N : > p k b < δ. Seja δ = k. A partir de certa ordem p temos k b < k k < k < k b k < < 3 b k e, portato, < 3 k b k e b <. Destas desigualdades coclui-se, pelo corolário aterior, o resultado pretedido. Corolário 3 Sejam e b duas séries tais que 0 e b > 0, N. Se lim = 0 etão + b a se a série b é covergete, a série b se a série é divergete, a série também é covergete; b também é divergete. Demostração: Seja lim = 0. Por defiição, + b A partir de certa ordem p temos δ > 0 p N : b > p = < δ, b b < δ. pois 0 e b > 0. Cosequetemete, 0 < δb, e do Corolário sai o resultado.

24 0 3. Séries Numéricas Corolário 4 Sejam lim = + etão + b a se a série b se a série e b duas séries tais que 0 e b > 0, N. Se b é divergete, a série é covergete, a série também é divergete; b também é covergete. Demostração: Seja lim = +. Por defiição, + b δ > 0 p N : > p b > δ. A partir de certa ordem p temos > δb > 0, pois b > 0, e desta desigualdade coclui-se, pelo Corolário, o que pretedíamos. Corolário 5 Sejam existir p N tal que etão a se a série b se a série e b duas séries tais que > 0 e b > 0, N. Se + b + b b é covergete, a série é divergete, a série p é covergete; b é divergete. Demostração: Como > 0 e b > 0 temos + b + b + b + b, ou seja, a sucessão b é uma sucessão decrescete a partir da ordem p. Etão existe uma costate k k a p b p tal que b k,

25 3.5 Séries de termos ão egativos ou seja, k b, p. Do Corolário sai o resultado. EXEMPLO 4: Cosideremos a série lim É uma série de termos positivos. Como 4 + = lim = + pelo Corolário as séries e têm a mesmatureza e como esta última é covergete Exemplo 3 a série dada é covergete. EXEMPLO 5: A série + é uma série de termos ão egativos. Como e a série 0 + é covergete, a série dada é covergete Corolário. EXEMPLO 6: A série covergete e log 3 lim + é uma série de termos ão egativos. Como log 3 log = lim + = 0 podemos cocluir, pelo Corolário 3, que a série dada também é covergete. é 3 EXEMPLO 7: Cosideremos as séries b = e 4 ambas séries de termos positivos, sedo a seguda divergete. Como b + b = verifica-se facilmete que = , e + = + = +,. São

26 3. Séries Numéricas o que permite cocluir, pelo Corolário 5, que a série b é divergete. Teorema Critério da Razão Seja a Se existirem r < e p N tais que + covergete. b Se existir p N tal que + Demostração: a A série b = covergete. Mas uma série de termos positivos., p, etão a série r <, p, etão a série é divergete. é r é uma série geométrica de razão r. Como 0 < r <, a série é + o que implica, pelo Corolário 5, que a série b A série b = r+ r = r, p, é covergete. é uma série divergete. Como + = b + b, p, o Corolário 5 permite-os afirmar que a série é divergete. Corolário Critério de D Alembert Seja + existir lim + a se a <, a série b se a >, a série uma série de termos positivos. Se = a a R + 0 ou a = +, etão é covergete; é divergete.

27 3.5 Séries de termos ão egativos 3 Demostração: Sabemos que, se a R, + lim + = a δ > 0 p N : > p + a < δ. a Seja δ tal que 0 < δ < a. Etão existe p N tal que + a < δ > p δ < + a < δ > p a δ < + < a + δ > p. Mas se δ < a etão a + δ < e a alíea a do Critério da Razão permite-os cocluir que a série é covergete. b Se a R, seja δ = a. Etão existe p N tal que + a < a > p < + < a > p. Pelo teorema aterior a série diverge. Se a = +, existe p N tal que e, aida pelo teorema aterior, a série + > > p, diverge. + NOTA: Se lim = ada se pode cocluir, pois existem séries divergetes e séries + covergetes esta situação. Por exemplo, a série harmóica é uma série divergete e e a série é covergete e + lim + + lim + = lim + + = = lim = No etato, se lim = e a covergêcia for por valores maiores do que, isso + sigifica que existe uma ordem p N a partir da qual +, o que implica, pelo Critério da Razão, que a série é divergete.

28 4 3. Séries Numéricas EXEMPLO 8: Seja k > 0. A série k! é uma série de termos positivos. Como lim + k + +! + + k! k + +! = lim = lim + k! + k = k e o Critério de D Alembert permite-os cocluir que: se k e <, isto é, se k < e, a série é covergete e se k e >, isto é, se k > e, a série é divergete. Se k =, isto é, se k = e, ada se pode cocluir pelo Critério de D Alembert. No e + etato, como é uma sucessão crescete com limite e, é uma sucessão + decrescete com limite e, o que implica que e será decrescete e terá limite +, ou seja, + tede para por valores maiores do que. Etão a série é divergete se k = e. EXEMPLO 9: A série! +! é uma série de termos positivos e 4! + 4 Estudemos a série! 4! 0 <! +! 4! + 4 <! 4!. pelo Critério de D Alembert. lim + +! 4 + 4!! 4! + = lim = 0 Cocluímos, assim, que a série! 4! coverge, logo a série dada coverge. EXEMPLO 0: Cosideremos a série de termos positivos

29 3.5 Séries de termos ão egativos 5 ou seja, a =, a = 3, a 3 = 3, a 4 =,..., ou aida, 3, se é par = 3 se é par etão se é ímpar etão = + = Pelo Critério da Razão a série coverge. Teorema Critério da Raiz Seja, se é ímpar = = = = = 3 = 3 uma série de termos ão egativos. a Se existirem r < e p N tais que r, > p, etão a série é covergete. b Se existirem p N e uma subsucessão, a k, de tal que k a k, k > p, etão a série é divergete. Demostração: a Se r, > p etão r < p. A série r é uma série covergete por ser uma série geométrica de razão r, com 0 < r <. Portato, a série é covergete. b Se k a k, k > p etão a k, k > p, pelo que ão tede para zero. Em cosequêcia, a sucessão ão tede para zero o que implica que a série é divergete. Corolário Seja uma série de termos ão egativos.

30 6 3. Séries Numéricas a Se lim + b Se lim + a <, a série a >, a série é covergete. é divergete. Demostração: Seja a = lim a. + a Seja r tal que a < r <. Podemos afirmar que p N : > p < r o que implica, pela alíea a do teorema, que a série coverge. b Por defiição de limite superior, existe uma subsucessão de com limite a >, pelo que esta sucessão tem uma ifiidade de valores maiores do que. Pela alíea b do teorema, a série diverge. Corolário Critério da Raiz de Cauchy Seja egativos. Se existir lim + a se a <, a série b se a >, a série Demostração: Se existir lim + NOTA: Se lim + uma série de termos ão a = a a R + 0 ou a = +, etão é covergete; é divergete. a = a, etão lim a = lim a = a e aplica-se o Corolário. + + a = ada se pode cocluir, pois existem séries divergetes e séries covergetes esta situação. Por exemplo, a série harmóica e e a série é covergete e lim + lim + = lim + = lim + = =. é uma série divergete

31 3.5 Séries de termos ão egativos 7 EXEMPLO : A série + é uma série de termos positivos. Como lim + + = lim + + = e > a série é divergete. EXEMPLO : Cosideremos a série 3 + = 3 +., se é par 4, se é ímpar Etão <, N. Portato, pelo Critério da Raiz a série é covergete. NOTA: O Critério de Cauchy é mais geral do que o Critério de D Alembert. Isto sigifica que se ada se puder cocluir pelo Critério de Cauchy também ada se cocluirá pelo + Critério de D Alembert. De facto, sabe-se que lim = a lim a = a em + + particular, se a =, o Critério de D Alembert é icoclusivo, o mesmo acotecedo com o Critério de Cauchy. Note-se que o recíproco ão é verdadeiro. Pode, portato, acotecer que se possam tirar coclusões através do Critério de Cauchy sem que o possamos fazer com o Critério de D Alembert. EXEMPLO 3: Cosideremos a série. Usado o Critério de Cauchy, lim + = lim +. = < cocluímos que a série é covergete. Pelo Critério de D Alembert ada se pode cocluir. De facto, { = = + +, se é par = 3, se é ímpar Teorema Critério de Kummer Sejam positivos, com k =, etão b divergete. Se existir lim + e b b duas séries de termos + b + = k k R ou

32 8 3. Séries Numéricas a se k > 0, a série b se k < 0, a série é covergete; é divergete. Demostração: Se k R, = k δ > 0 p N > p b + b + Mas k b + b + < δ k δ < b lim + k b + b + < δ < k + δ + b + a Seja k R + e δ = k. Existe uma ordem 0 N a partir da qual se tem k k < b + b + k < b + < k b + < k + + < k b + + b a b + b + b + a + Somado ordeadamete os dois membros da desigualdade desde 0 + até + obtemos + i= i= i= 0 + a i < a i < k a i < k + i= 0 + a0 ai a i k b i b i b 0 b 0 + b 0 + a0 a + < 0 b 0 b + k b 0 Etão a sucessão das somas parciais da série i= 0 + b 0 + b a + b b + é limitada, pois + 0 < S + = a i = S S k b 0

33 3.5 Séries de termos ão egativos 9 e pelo Teorema 3.5. a série coverge. Se k = +, seja α > 0, qualquer. Existe uma ordem 0 N a partir da qual se tem > α b + b + e podemos aplicar o raciocíio aterior. b Seja k R e δ = k. Existe uma ordem 0 N a partir da qual se tem Como a série < 0 b + b + < b + b + + > b + b b é divergete, o Corolário 5 permite-os cocluir que divergete. Se k =, também existe uma ordem 0 N a partir da qual se tem e termia-se do mesmo modo. Corolário Critério de Raabe Seja lim a = a, etão + + a se a <, a série b se a >, a série é divergete; é covergete. < 0 b + b + é uma série de termos positivos. Se existir Demostração: Basta fazer o teorema aterior b =. A série lim + b = lim + b + + O corolário está demostrado. = lim + + é divergete e a + = a.

34 0 3. Séries Numéricas NOTA: Muitas vezes os casos que pelo Critério de D Alembert são icoclusivos podem ser resolvidos pelo Critério de Raabe. EXEMPLO 4: Cosideremos a série + lim = lim = =. e, assim, pelo Critério de D Alembert ada se pode cocluir. Pelo Critério de Raabe lim a + + = lim + portato, a série é covergete = lim = lim = 3 >

35 3.6 Multiplicação de séries 3.6 Multiplicação de séries Sejam e b duas séries covergetes de somas A e B, respectivamete. Ao pesarmos o produto b será atural defii-lo por forma que a série obtida, sedo covergete, teha soma A B. Podemos defiir, por exemplo b = b k obtedo-se b k = k= B = B k= = B A. Pode, o etato, pergutar-se se ão seria possível fazer o produto das séries multiplicado cada termo da primeira por cada termo b k e formar uma úica série cujos termos sejam os produtos b k por qualquer ordem, de modo que a soma dessa série fosse A B. Como resposta temos o teorema Teorema 3.6. Sejam e b duas séries covergetes, de somas A e B, respectivamete. Seja φ uma aplicação bijectiva, φ : N N, φi,j =. A cada φ podemos fazer correspoder uma série c, com c = c φi,j = a i b j. A série coverge, seja qual for a aplicação φ cosiderada se, e só se, b são absolutamete covergetes e, esse caso, tem-se absolutamete covergete. e c c = A B, sedo a série c também NOTA: Dizer que c coverge seja qual for a aplicação φ cosiderada, equivale a afirmar que a série produto coverge seja qual for a ordem por que se tomem os seus termos. Defiição 3.6. Chama-se produto de Cauchy de duas séries covergetes, b, à série a k b k+. k= e

36 3. Séries Numéricas NOTA: Se N 0 etão o produto de Cauchy escreve-se a k b k. Corolário Se e =0 k=0 b, são séries absolutamete covergetes de somas A e B, respectivamete, etão o seu produto de Cauchy é absolutamete covergete e tem soma A B. x EXEMPLO : Cosideremos a série, x R. Como! =0 x + +! x lim + x = lim + + = 0! a série é absolutamete covergete x R. Etão o produto de Cauchy de duas séries deste tipo é absolutamete covergete. Formemos o produto e verifiquemos que a série obtida é absolutamete covergete. = = x! =0 =0! =0 k=0 x + y =0! y =! =0! k! k! xk y k k=0 x k k! y k k! NOTA: O produto de Cauchy de duas séries ão absolutamete covergetes pode coduzir a uma série divergete. EXEMPLO : A série =0 + é uma série simplesmete covergete. Calculado o produto de Cauchy da série por ela própria, obtemos k k = =0 k=0 k + k + =0 k=0 k + k + = =0 k=0 k + k + = =0

37 3.6 Multiplicação de séries 3 que é uma série alterada e como = k=0 k + k + k=0 + + = ão tede para zero, sedo a série produto uma série divergete. Teorema 3.6. Mertes Se pelo meos uma das séries covergetes e b é absolutamete covergete, etão o seu produto de Cauchy é covergete e tem por soma o produto das somas das séries dadas. Teorema Se as séries e b são covergetes, de somas A e B, respectivamete, etão, se o seu produto de Cauchy é covergete, tem soma A B. EXEMPLO 3: A série é uma série simplesmete covergete e a série é uma série absolutamete covergete. Pelo Teorema de Mertes a série produto, que é uma série alterada, é covergete: k k+ = k k + k= = +. k k + k=

38 4 3. Séries Numéricas 3.7 Exercícios. Determie o termo geral e a soma de cada uma das seguites séries: a ; b c ; Determie a soma das séries: a b c d + + ; a tg + ; x, sabedo que tg x = cotg cotgx; 3. Seja uma série covergete. Mostre que é divergete a série a Idique os valores de x para os quais covergem as seguites séries e, quado possível, calcule a sua soma: a b c =0 8 x + 3; x ; x +. =0

39 3.7 Exercícios 5 5. Mostre que se = A R, etão = = 3A a a Estude do poto de vista da covergêcia as seguites séries e, em caso de covergêcia, se esta é absoluta ou codicioal: a b c + ; ; Cosidere a seguite série: +. a Estude-a quato à covergêcia. b Qual a soma S da série que dá um erro iferior a 000? c Idique um majorate do erro que se comete quado se toma para soma da série S Cosidere a série: +. a Verifique que é covergete. b Calcule a soma com erro iferior a Sejam e b duas séries covergetes, c e d duas séries divergetes e α 0 um úmero real. O que se pode afirmar sobre atureza das seguites séries? a + b b b c α d + c e c f αc g c + d h c d

40 6 3. Séries Numéricas 0. Determie atureza das seguites séries por um critério de comparação: + a b c e g + d + f h = Estude atureza das seguites séries pelo Critério da Raiz ou da Raiz de Cauchy: k a b 4!, k costate c + d π se. Estude atureza das seguites séries pelo Critério da Razão ou pelo de D Alembert: 3 a b!! c! d e 3 +! 3 + 3! f

41 3.7 Exercícios 7 3. Estude atureza das seguites séries pelo Critério de Raabe:! a b +! +! c d + e = Usado o Critério do Itegral, estude atureza das seguites séries: a b log log c + d 5. Estude quato à covergêcia as seguites séries: a c e g i k m =0 + e =3! = b d f π tg h +! π + π +...π +! + + j l = =0 =3 + p!! + q!, p, q N cos π e cos π tg se + log +

42 8 3. Séries Numéricas o q s u x =0 + a, a R+ 0 p + p se 3π + = + log + + r t v z =3 = 3 +!! log e log = 6. Estude quato à covergêcia as seguites séries: seπ a b c e g =0 a, a R d + 3 cos θ =0 5! x + f h =0 5 +! +! =0 log! log = log! +! + log 4 + i j 7. Seja uma série covergete. Mostre que a série b, ode + b = a + a b = a 3 + a 4 + a 5 b 3 = a 6 + a 7 + a 8 + a 9 b 4 = a 0 + a + a + a 3 + a também é covergete e as somas coicidem. 8. Para que valores de α são simples ou absolutamete covergetes as seguites séries:

43 3.7 Exercícios 9 a b + seα =0 + α 9. Sejam e b duas séries covergetes, > 0, b > 0. Mostre que a série a b também coverge. Sugestão: prove que + b b. 0. Sabedo que é covergete, > 0, e b > 0, qual atureza da série a + b?. Sabedo que e b são covergetes, estude quato à covergêcia as seguites séries: a + sedo > 0 e b > 0. b b +.. Seja uma série divergete, 0, e seja s a soma dos seus primeiros termos. Mostre que a série s+ s é divergete. 3. Prove que a série a0 p + + a p b 0 q + + b q em que a 0,..., a p, b 0,..., b q são úmeros reais e a 0 > 0, b 0 > 0, é covergete se e só se q p >. 4. Estude quato à covergêcia simples e absoluta as séries a b + a + a... +, a > 0 α + α +...α + β + β +...β + i. Se α, β R \ Z. ii. Se α Z. 5. Seja u > 0 e u + u +. Mostre que u é covergete.

44 30 3. Séries Numéricas 6. Seja u > 0 e u + u 7. Estude atureza da série. Mostre que u é divergete. =0 3! 7! Cosidere as séries 0! e a Calcule a soma de ordem três do produto de Cauchy das duas séries. b Estude quato à covergêcia a série produto.

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