1. Aula MIGUEL ABREU. Date: 21 de Dezembro de

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1 SEBENTA DE ANÁLISE MATEMÁTICA I AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS o SEMESTRE 004/05 E o SEMESTRE 005/06 CURSOS LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI E LEE INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO, TAGUSPARK, PORTUGAL MIGUEL ABREU Apresetação.. Aula Págia da cadeira. mabreu/ami Bibliografia. T.M. Apostol, Cálculo, Volumes I e II, Reverté, 994. (Nota: o volume I é a referêcia pricipal para esta cadeira.) J. Campos Ferreira, Itrodução à Aálise Matemática, Gulbekia, 995. Exercícios de Aálise Matemática I e II Departameto de Matemática, IST Press, 003. Avaliação. Mii-testes (50%) + Exame (50%). Há 5 mii-testes escritos com a duração de 5 miutos cada. Têm lugar o fial de cada aula prática das a, 4 a, 6 a, 9 a e a semaas efectivas de aulas. Cada mii-teste terá uma classificação etre 0, 0 e, 5 valores, cotado os 4 melhores. Nota míima os mii-testes é 5, 0 em 0, 0 valores. Há duas datas de exame fial escrito, tedo cada um a duração de horas. Cada exame terá uma classificação etre 0, 0 e 0, 0 valores, cotado o melhor dos dois. Nota míima o exame é 4, 0 em 0, 0 valores. A ota fial míima para aprovação a cadeira é 9, 5 em 0, 0 valores. Avaliação aluos(as) com ota fial superior a 7. Prova Oral Qualquer aluo com ota fial igual ou superior a 7,5 deverá apresetar-se para fazer uma prova oral. Se ão o fizer a sua ota fial a cadeira será de 7. Importate. Esqueçam máquias de calcular. Axiomática dos Numeros Reais (R). Caracterização dos úmeros reais a partir das suas propriedades mais básicas. Admitimos a existêcia de um cojuto R, cujos elemetos desigamos por úmeros reais, o qual supomos defiidas duas operações: a adição (+), que a cada dois úmeros reais a, b R faz correspoder um terceiro úmero real desigado por soma e represetado por a + b R; a multiplicação ( ), que a cada dois úmeros reais a, b R faz correspoder um terceiro úmero real desigado por produto e represetado por a b R. R, + e são exemplo do que se desiga por termos primitivos de uma axiomática, i.e. coceitos cuja existêcia se assume sem defiição. A axiomática dos úmeros reais cotém aida mais um termo primitivo que será itroduzido a próxima aula. As propriedades/proposições que, sem demostração, se admitem como verdadeiras para os termos primitivos são desigadas por axiomas. Na axiomática dos úmeros reais os axiomas estão divididos em 3 grupos: Date: de Dezembro de 005.

2 MIGUEL ABREU (i) Axiomas de Corpo (hoje); (ii) Axiomas de Ordem (próxima aula); (iii) Axioma de Supremo (próxima semaa). Axiomas de Corpo. São cico os axiomas de corpo. Axioma. (comutatividade de + e ) Axioma. (associatividade de + e ) Axioma 3. (distributividade) a, b R a + b = b + a e a b = b a. a, b, c R a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a b) c. Axioma 4. (elemetos eutros) a, b, c R a (b + c) = a b + a c. 0 R : a + 0 = 0 + a = a para qualquer a R. R \ {0} : a = a = a para qualquer a R. Axioma 5. (simétricos e iversos) a R b R : a + b = 0. Um elemeto b com esta propriedade é desigado por simétrico de a. Veremos que é úico e será represetado por a. a R \ {0} c R : a c =. Um elemeto c com esta propriedade é desigado por iverso de a. Veremos que é úico e será represetado por a. Exemplo.. O cojuto N = {,, 3,...} dos úmeros aturais satisfaz os Axiomas - 3. O cojuto N 0 = {0,,,...} também satisfaz o Axioma 4. O cojuto Q dos úmeros racioais satisfaz todos estes 5 axiomas. Voltaremos com mais detalhe a estes cojutos bem vossos cohecidos. Primeiros Teoremas. Desigam-se por Teoremas as propriedades/proposições que se demostram a partir dos axiomas e outros teoremas (previamete demostrados), usado as regras básicas da lógica matemática. Vejamos algus exemplos simples. Teorema.. (Uicidade dos Elemetos Neutros) Os úmeros 0 e são os úicos reais que satisfazem as propriedades do Axioma 4. Dem. Supohamos que 0 R também satisfaz a propriedade do elemeto eutro para a adição, i.e. 0 + a = a para qualquer a R. Temos etão que 0 = = 0, ode a igualdade da esquerda (resp. direita) é cosequêcia de 0 (resp. 0 ) ser elemeto eutro da adição. Cocluimos etão que 0 = 0, pelo que o elemeto da adição é úico. A demostração de uicidade para o elemeto eutro da multiplicação é iteiramete aáloga. Teorema.3. (Uicidade de Simétricos e Iversos) O simétrico a de qualquer a R e o iverso a de qualquer a R \ {0} são os úicos reais que satisfazem as propriedades especificadas o Axioma 5. Dem. Dado a R, supohamos que a R também satisfaz a propriedade do simétrico de a, i.e. a + a = 0. Podemos etão cosiderar a seguite sequêcia válida de implicações: a + a = 0 ( a) + (a + a ) = ( a) + 0 (( a) + a) + a = ( a) a = ( a) + 0 (Ax. 5 determia ( a)) (Ax. - associatividade) (Ax. 5 propriedade do simétrico) a = a (Ax. 4 0 é eutro para +)

3 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 3 Fica assim demostrada a uicidade do simétrico. A demostração de uicidade do iverso é iteiramete aáloga. Teorema.4. (Lei do Corte para a Adição Ficha (secção 38),.(a)) Para quaisquer a, b, c R, se a + b = a + c etão b = c. (I.e. a, b, c R, a + b = a + c b = c.) Dem. É válida a seguite sequêcia de implicações: a + b = a + c ( a) + (a + b) = ( a) + (a + c) (( a) + a) + b = (( a) + a) + c 0 + b = 0 + c (hipótese do teorema) (Ax. 5 determia ( a)) (Ax. - associatividade) (Ax. 5 propriedade do simétrico) b = c (Ax. 4 0 é eutro para +) Exercício.5. (Lei do Corte para a Multiplicação Ficha (secção 38),.(i)) Demostre aida hoje que a, b, c R, (a 0 e a b = a c) b = c.. Aula Última Aula. Axiomáticas dos Números Reais: Termos Primitivos: R, + e. Axiomas de Corpo: Ax. comutatividade, Ax. associatividade, Ax. 3 distributividade, Ax. 4 - elemetos eutros e Ax. 5 simétricos e iversos. Uicidade dos elemetos eutros, simétricos e iversos. Leis do Corte. Teor..4: a + b = a + c b = c. Exer..5: a 0 e a b = a c b = c. Mais Teoremas. Teorema.. (Zero é Elemeto Absorvete da Multiplicação Ficha (secção 38),.(g)) Para qualquer a R tem-se que 0 a = a 0 = 0. Nota.. O resultado deste teorema cojuga adição (através do seu elemeto eutro 0) e multiplicação. O úico axioma em que estas duas operações são relacioadas é o Axioma 3 da distributividade. Logo, é claro que este axioma terá que ser usado a demostração do teorema, embora para que ele iterveha tehamos que recorrer primeiro a um pequeo truque. Dem. Observem que usado o Axioma 4 com a = 0 obtemos = 0. Esta igualdade trivial é o poto de partida para a seguite sequêcia válida de implicações: = 0 ( truque ) (0 + 0) a = 0 a 0 a + 0 a = 0 a (multiplicação bem defiida) (Ax. 3 - distributividade) 0 a + 0 a = 0 a + 0 (Ax. 4 0 é eutro para +) 0 a = 0 Exercício.3. Mostre que ( ) a = a. Teorema.4. (Subtracção Ficha (secção 38),.(c)) a, b R x R : a + x = b. (Teor..4 Lei do Corte) Este úmero x é desigado por difereça etre b e a e represeta-se por b a. Dem. É ecessário mostrar dois factos idepedetes:

4 4 MIGUEL ABREU (i) Existêcia do úmero x. (ii) Uicidade do úmero x. Para mostrar existêcia, seja x = b + ( a) com ( a) determiado pelo Axioma 5. Temos etão que: a + x = a + (b + ( a)) (por defiição de x) = a + (( a) + b) (Ax. comutatividade) = (a + ( a)) + b (Ax. associatividade) = 0 + b (Ax. 5 propriedade do simétrico) = b (Ax. 4 0 é eutro para +)) Para mostrar uicidade, sejam x, x R tais que a + x = b = a + x. Temos etão que a + x = a + x, dode se coclui pela Lei do Corte para a Adição (Teorema.4) que x = x. Nota.5. A demostração do teorema mostra que b a = b + ( a). Quado b = 0 o euciado do Teorema.4 diz-os em particular que o simétrico, cuja existêcia é garatida pelo Axioma 5, é úico (facto que já tihamos demostrado a última aula - Teorema.3). Exercício.6. (Divisão Ficha (secção 38),.(k)) Demostre aida hoje que a, b R com a 0, x R : a x = b. Este úmero x é desigado por quociete de b por a e represeta-se por b/a. Nota.7. A resolução do exercício mostrará que b/a = b a. Quado b = o euciado do Exercício.6 diz-os em particular que o iverso, cuja existêcia é garatida pelo Axioma 5, é úico (cf. Teorema.3). Teorema.8. (Ficha (secção 38),.(m)) Para quaisquer a, b R, se a b = 0 etão a = 0 ou b = 0. Dem. Supohamos etão que a b = 0. Se a = 0 fica cocluída a demostração. Se a 0 podemos cosiderar a seguite sequêcia válida de implicações: a b = 0 (hipótese do teorema) a (a b) = a 0 (como a 0, Ax. 5 determia a ) (a a) b = 0 b = 0 (Ax. associatividade e Teor.. 0 é absorvete) (Ax. 5 propriedade do iverso) b = 0. (Ax. 4 é eutro para ) Nota.9. O Teorema.8 diz-os que em R ão existem divisores de zero. Axiomas de Ordem. São dois os axiomas de ordem e referem-se ao último termo primitivo da axiomática dos úmeros reais: o subcojuto R + de R, cujos elemetos se desigam por úmeros positivos. Axioma 6. (R + é fechado para + e ) a, b R + a + b R + e (a b) R +. Axioma 7. (tricotomia) Qualquer úmero real a R verifica uma e uma só da seguites três codições: a R + ou a = 0 ou ( a) R +.

5 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 5 Defiição.0. (do termo derivado R ) Um úmero real a R diz-se egativo quado ( a) R +. Desiga-se por R o cojuto de todos os úmeros egativos. Nota.. O Axioma 7 da tricotomia pode também ser escrito da seguite forma: ode o símbolo sigifica uião disjuta. R = R {0} R +, Defiição.. (Relações de Ordem) Sejam a, b R. Diremos que a é meor que b ou que b é maior que a, escrevedo a < b ou b > a, quado (b a) R +. Diremos também que a é meor ou igual a b ou que b é maior ou igual a a, escrevedo a b ou b a, quado (b a) R + ou b = a. Nota.3. As seguites equivalêcias são cosequêcias simples (verifiquem-o!) da Defiição.: Propriedades das Relações de Ordem. a > 0 a R + e a < 0 a R. Teorema.4. (Propriedade Trasitiva Ficha (secção 38),.(b)) Dem. a, b, c R, (a < b e b < c) a < c. É válida a seguite sequêcia de implicações: a < b e b < c (hipótese do teorema) (b a) R + e (c b) R + (Defiição.) ((b a) + (c b)) R + (Ax. 6 - fecho de R + ) (c a) R + (Ficha (secção 38),.(e)) a < c (Defiição.) Teorema.5. (Propriedades Algébricas Ficha (secção 38),.(c),(d) e (e)) Para quaisquer a, b, c R, tem-se que: (i) se a < b etão a + c < b + c; (ii) se a < b e c > 0 etão a c < b c; (iii) se a < b e c < 0 etão b c < a c. Dem. Faremos aqui a demotração de (i), sedo (ii) e (iii) demostrados a seguda aula prática. Supodo que a < b, ou seja (b a) R +, queremos mostrar que (a + c) < (b + c), ou seja ((b + c) (a + c)) R +. Usado os Axiomas de Corpo mostra-se facilmete que pelo que de facto (b + c) (a + c) = b a, a < b a + c < b + c. 3. Aula Última Aula. Axiomáticas dos Números Reais (cot.): Termo primitivo R + e termo derivado R = {a R : ( a) R + }. Axiomas de Ordem: Ax. 6 fecho de R + para operações + e, Ax. 7 tricotomia R = R {0} R +. Relações de Ordem: a < b (ou b > a) (b a) R +. Propriedades das Relações de Ordem: (i) a > 0 a R + e a < 0 a R. (ii) trasitividade: (a < b e b < c) a < c. (iii) a < b a + c < b + c. (iv) (a < b e c > 0) a c < b c. (v) (a < b e c < 0) b c < a c.

6 6 MIGUEL ABREU Mais um teorema. Teorema 3.. (Ficha (secção 38),.(g)) 0 <. Nota 3.. Uma outra maeira de euciar este teorema é o elemeto eutro da adição é meor do que o elemeto eutro da multiplicação. Talvez com este euciado seja mais fácil perceberem que o resultado ão é uma completa trivialidade e requer de facto demostração. Dem. Como o Axioma 4 especifica que 0, o Axioma 7 da tricotomia deixa-os com uma e uma só das seguites duas hipóteses: 0 < ou < 0. Supohamos que a seguda era a verdadeira. Seria etão válida a seguite sequêcia de implicações < 0 (hipótese assumida) > 0 (propriedade (v)) > 0 (Ax. 4 - é eutro para ) que coduzem a uma cotradição com o já referido Axioma 7 da tricotomia: um úmero real ão pode ser simultaeamete positivo e egativo. Cocluimos etão que a úica possibilidade verdadeira é de facto 0 <. Módulo ou Valor Absoluto. Defiição 3.3. O módulo ou valor absoluto de um úmero real x R é defiido por { x, se x 0; x = x, se x < 0. Exercício 3.4. Mostre que, para qualquer x R, Teorema 3.5. Sejam a, x R. Tem-se que x 0 e x x x. x a x a x a. Dem. ( ) Sabemos por hipótese que x a. Usado a propriedade algébrica (v) obtemos x a a x. Temos etão que a x x x a, ode as duas desigualdades do meio são o resultado do Exercício 3.4. A trasitividade (ii) implica immediatamete que a x a. ( ) Supomos agora por hipótese que a x a. Temos etão que: (a) x 0 x = x a. (b) x < 0 x = x a, ode a última desigualdade é obtida a partir da hipótese a x usado ovamete a propriedade algébrica (v). Coclui-se em qualquer dos casos que x a. Corolário 3.6. Sejam a, x R. Tem-se que x > a x > a x < a. Dem. Basta egar ambos os lados da equivalêcia do teorema aterior. Teorema 3.7. (Desigualdade Triagular) x + y x + y, x, y R.

7 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 7 Dem. Temos pelo Exercício 3.4 que x x x e y y y. Somado estas duas desigualdades obtemos (Ficha (secção 38),.(o)) ( x + y ) x + y x + y. Usado agora o Teorema 3.5, podemos colcuir que x + y x + y. Notação e Defiições Preparatórias para o Axioma de Supremo. Defiição 3.8. (Itervalos) a, b R. Itervalo aberto: ]a, b[ def = {x R : a < x < b}. (Notem que ]a, a[ = def = cojuto vazio. Porquê?) Itervalo fechado: [a, b] def = {x R : a x b}. (Notem que [a, a] = {a} = cojuto com apeas um elemeto.) Itervalos iitados: [a, + [ def = {x R : x a} ou ], a[ def = {x R : x < a}. (Notem que ]0, + [ = R +.) Defiição 3.9. (Majorates e Miorates) Seja A R um subcojuto qualquer. Um úmero real x R diz-se um majorate de A (resp. miorate de A) se x a (resp. x a) para qualquer a A. Exemplo 3.0. Seja A o subcojuto de R dado por A = { } ]0, [ = {x R : x = 0 < x < }. Temos etão que: Majorates de A = {x R, x } = [, + [, Miorates de A = {x R, x } = ], ]. Defiição 3.. (Supremo e Ífimo) Seja A R um subcojuto qualquer. Um úmero real b R diz-se supremo de A (resp. ífimo de A) se satisfaz as seguites duas codições: (i) b é majorate de A, i.e. b a para qualquer a A (resp. b é miorate de A, i.e. b a para qualquer a A); (ii) ão há majorates de A maiores do que b, i.e. b x para qualquer majorate x de A (resp. ão há miorates de A meores do que b, i.e. b x para qualquer miorate x de A). Teorema 3.. (Uicidade do Supremo e do Ífimo) O supremo e o ífimo de um cojuto A R, quado existem, são úicos e serão desigados por sup A e if A. Dem. Sejam b, b R supremos (resp. ífimos) de A. Sedo ambos majorates (resp. miorates) de A, a codição (ii) aterior implica simultaeamete que b b e b b. O Axioma 7 da tricotomia diz-os imediatamete que b = b. Defiição 3.3. (Máximo e Míimo) Seja A R um subcojuto qualquer. Quado existe supremo de A e este pertece ao cojuto A, i.e. sup A A, diremos que A tem máximo e que max A = sup A. De forma aáloga, quado existe ífimo de A e este pertece ao cojuto A, i.e. if A A, diremos que A tem míimo e que mi A = if A.

8 8 MIGUEL ABREU Exemplo 3.4. Cosideremos o subcojuto A R do Exemplo 3.0: A = { } ]0, [ = {x R : x = 0 < x < }. Temos etão que: sup A = / A A ão tem máximo, if A = A A tem míimo e mi A =. 4. Aula Última Aula. A R um subcojuto qualquer: x R é majorate de A se x a, a A. um úmero real é supremo de A, e represeta-se por sup A, se verificar as seguites duas codições: (i) sup A é majorate de A; (ii) sup A x para qualquer majorate x de A. Vimos também que sup A, quado existe, é úico. Propriedades do Supremo. Defiição 4.. (Vizihaça) Desiga-se por vizihaça de raio ε > 0 e cetro o poto a R, e represeta-se por V ε (a), o itervalo aberto V ε (a) = ]a ε, a + ε[. Teorema 4.. (Ficha (secção 39), I.,3) Seja A R um subcojuto com supremo s = sup A. Seja aida m R tal que m > s. Etão: (i) ε > 0 a A : a > s ε (i.e. V ε (s) A ); (ii) ε > 0 : a m ε, a A (i.e. V ε (m) A = ); Dem. Supohamos por absurdo que (i) ão era verdade. Etão existiria ε > 0 tal que a S ε para qualquer a A. Isto sigificaria que s ε era um majorate de A meor do que s = sup A, o que cotraria a defiição de supremo. Logo, (i) tem que ser verdade. Relativamete a (ii), seja ε = m s. Temos que ε > 0 pela hipótese m > s. Por outro lado, como s = sup A é um majorate de A, temos também que a s = m ε, para qualquer a A. Corolário 4.3. (Caracterização alterativa do supremo) Um úmero real s R é o supremo de um cojuto A R se e só se verificar as seguites duas codições: (i) s é majorate de A; (ii) ε > 0 a A : a > s ε. Exercício 4.4. Eucie e prove os aálogos do Teorema 4. e Corolário 4.3 para o ífimo. Axioma do Supremo. Defiição 4.5. Um cojuto A R diz-se majorado (ou itado superiormete, ou itado à direita) quado tem majorates. Defie-se cojuto miorado de forma aáloga. Axioma 8. (Axioma do Supremo) Qualquer subcojuto de R majorado e ão-vazio tem supremo. Teorema 4.6. ( Axioma do Ífimo ) Qualquer subcojuto de R miorado e ão-vazio tem ífimo.

9 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 9 Dem. Seja B R miorado e ão-vazio. Cosidere-se A R defiido por Tem-se etão que A = {x R : ( x) B}. B miorado e ão-vazio A majorado e ão-vazio (exercício). Logo, pelo Axioma 8, existe s = sup A e um exercício simples mostra que ( s) = if B. Vamos agora defiir o cojuto N dos úmeros aturais e, como primeira aplicação do Axioma do Supremo, provar a sua Propriedade Arquimediaa. Números Naturais. Defiição 4.7. (Cojuto Idutivo) Um subcojuto A R diz-se um cojuto idutivo se satisfaz as seguites duas codições: (i) A e (ii) a A (a + ) A. Exemplo 4.8. R e R + são idutivos (porquê?). R ão é idutivo (porquê?). Defiição 4.9. (Números Naturais) O cojuto dos úmeros aturais é o meor subcojuto idutivo de R e represeta-se por N. Mais precisamete, N def = { R : pertece a qualquer subcojuto idutivo de R}. Nota 4.0. (Iformal) Temos etão que: N; def = + N; 3 def = + N;.... Ou seja, Propriedades dos Naturais. Teorema 4.. O cojuto N ão é majorado. N = {,, 3, 4,...}. Dem. Supohamos que N era majorado. Etão, o facto de N e o Axioma do Supremo implicariam que existiria s = sup N. Como o supremo é o meor dos majorates e (s ) < s, teríamos que (s ) R ão seria majorate de N, pelo que existiria N com (s ) <. Isto implicaria que ( + ) N (porque N é por defiição idutivo) e s < ( + ) N, o que etraria em clara cotradição com o facto de s = sup N. Logo, N ão é de facto majorado. 5. Aula Última Aula. Axioma do Supremo: qualquer subcojuto de R majorado e ão-vazio tem supremo. A R diz-se idutivo se A e (a A (a + ) A). N def = { R : pertece a qualquer subcojuto idutivo de R} = {,, 3, 4,...} Teorema 4.: N ão é majorado. (Cosequêcia do Axioma do Supremo.) Mais Propriedades dos Naturais. Corolário 5.. Para qualquer x R, existe N com > x. Dem. Se assim ão fosse, N teria um majorate o que cotraria o Teorema 4.. Teorema 5.. (Propriedade Arquimediaa) Para quaisquer ε > 0 e x R, existe N tal que ε > x. Dem. Pelo Corolário 5., existe N tal que > x/ε. Como ε > 0, temos que > x ε ε > x ε ε = x.

10 0 MIGUEL ABREU Corolário 5.3. (Propriedade Arquimediaa - versão alterativa) Para qualquer ε > 0, existe N tal que 0 < < ε. Dem. Basta usar a Propriedade Arquimediaa com x =. Exercício 5.4. Cosidere o cojuto A = {x R : x = para algum N}. (Usaremos frequetemete durate o semestre uma forma abreviada de represetar este tipo de cojutos: A = { : N}.) Mostre que if A = 0. Números iteiros e racioais. Defiição 5.5. O cojuto dos úmeros iteiros, represetado por Z, é defiido por Z def = {x R : x N x = 0 ( x) N}. O cojuto dos úmeros racioais, represetado por Q, é defiido por Q def = {x R : x = p q com p, q Z e q 0}. Exercício 5.6. Mostre que Z é fechado para a adição e subtracção, e que Q é fechado para a adição, multiplicação, subtracção e divisão. Sugestão: poderá ser-lhe útil usar o Método da Idução Matemática que será explicado a próxima aula. Teorema 5.7. (Desidade de Q em R Ficha (secção 39), I.3) Sejam a, b R com a < b. Etão, existe r Q tal que a < r < b. Dem. Vamos supor, sem perca de geeralidade, que a > 0. (Exercício: demostre o resultado quado a 0.) Pela versão alterativa da Propriedade Arquimediaa (Corolário 5.3), temos que existe N tal que e portato 0 < < b a, (b a) > b a > b > a +. Pelo exercício I. da Ficha (secção 39), sabemos que para qualquer c R + existe m N tal que (m ) c < m. Seja etão m N tal que (m ) a < m. Com estes aturais, m N, temos etão que Defiido r = m, temos assim que a < m a + < b a < m < b a < m < b. r Q e a < r < b.

11 Números Irracioais. É claro que N Z Q R. AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI Será que Q R? Exercício 5.8. Mostre que o cojuto Q, dos úmeros racioais, satisfaz todos os Axiomas de Corpo e de Ordem. O resultado do Exercício 5.8 mostra que a distição etre Q e R, se existir, terá que ser feita pelo Axioma do Supremo. Exemplo 5.9. Cosideremos o cojuto A = {r Q : r < }. É claro que A é ão vazio (porque, por exemplo, A) e majorado (porque, por exemplo, é um majorate de A). Logo, De facto, é claro que s = sup A R +. Axioma do Supremo existe s = sup A R. Proposição 5.0. O úmero real s = sup A R + é tal que s =, e será desigado por raiz quadrada de e represetado por. Dem. Pelo Axioma 7 da tricotomia, basta mostrar que em s < é verdade, em s > é verdade. Faremos o caso s <, deixado o outro como exercício. Provaremos que (s R + e s < ) r A : s < r. Isto é um absurdo, pois cotradiz o facto de s = sup A ser um majorate do cojuto A. Cocluiremos assim que s < é ecessariamete falso. Supodo etão s R + e s <, teríamos que (s > 0 e s > 0) s s + > 0 N : 0 < < s s +, ode a última implicação é cosequêcia da versão alterativa da Propriedade Arquimediaa (Corolário 5.3). Para este N, que satisfaz s+ < ( s ), teríamos etão que: (s + ) = s + s + s + s + (porque ) = s + s + < s + ( s ) (pela escolha de N) =. Teríamos assim que (s+ ) <. Usado agora o Teorema 5.7 (desidade dos racioais os reais), temos que existiria r Q tal que s < r < (s + ), pelo que r < e portato r A. Proposição 5.. Não existe r Q tal que r =. Dem. Ficha (secção 39), grupo I, exercícios 7 e 8. As Proposições 5.0 e 5. permitem-os cocluir que: (i) Q ão satisfaz o Axioma do Supremo e Q R. Desigaremos os elemetos do cojuto R \ Q por úmeros irracioais. (ii) A raiz quadrada de é um úmero irracioal, i.e. R \ Q.

12 MIGUEL ABREU Nota 5.. Por um processo aálogo ao descrito o Exemplo 5.9 mostra-se que x > 0 N y > 0 : y = x. Este úmero real y R + desiga-se por raiz- de x > 0 e represeta-se por x ou x /. Exercício 5.3. (Ficha (secção 39), I.4) Mostre que se r Q e y R \ Q, etão r y R \ Q. Teorema 5.4. (Desidade de R \ Q em R Ficha (secção 39), I.6) Sejam a, b R com a < b. Etão, existe x R \ Q tal que a < x < b. Dem. a < b a < b r Q : a < r < b. a < r < O Exercício 5.3 diz-os em particular que Defiido x = r, temos assim que b (pelo Teorema 5.7) (r Q e R \ Q) r R \ Q. x R \ Q e a < x < b. Nota 5.5. Existem a realidade muito mais irracioais do que racioais! Este assuto é para ser iformalmete discutido, cosoate o tempo de aula aida dispoível. Nota 5.6. Os exercícios 5 e 6 do grupo I da Ficha (secção 39) estão resolvidos o primeiro volume do Apostol. Cosultem-o! Peúltima Aula. 6. Aula A R diz-se idutivo se A e (a A (a + ) A). N def = { R : pertece a qualquer subcojuto idutivo de R} = {,, 3, 4,...} Idução Matemática. O facto de N ser, por defiição, o meor dos subcojutos idutivos de R implica que () se A R é idutivo etão N A. Teorema 6.. (Pricípio de Idução Matemática) Se A N é idutivo, etão A = N. Dem. Como A é idutivo temos por () que N A. imediatamete que A = N. Como por hipótese A N, coclui-se

13 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 3 Método de Idução Matemática. O Pricípio da Idução Matemática, euciado o Teorema 6., está a base de um método eficaz de demostração de determiadas proposições/propriedades relacioadas com os úmeros aturais: o chamado Método de Idução Matemática. Descrevemos de seguida este método, idicado etre paretesis como se relacioa com o Pricípio de Idução Matemática. Desigemos por P () uma determiada proposição ou propriedade que se pretede mostrar verdadeira para todo o N. (Seja A = { N : P () é verdade}. Segue da sua defiição que A N.) O Método de Idução Matemática cosiste em provar separadamete que (i) P () é verdadeira. ( A.) (ii) se P () é verdadeira para um determiado N, etão P ( + ) também é verdadeira. ( A ( + ) A.) Coclui-se a partir de (i) e (ii) que P () é verdadeira para todo o N. ((i) e (ii) implicam que A é idutivo, pelo que o Teorema 6. permite cocluir que A = N.) Exemplo 6.. (Ficha (secção 39), II.(a)) Cosideremos a seguite proposição, que queremos mostrar verdadeira para qualquer N: ( + ) P () = é válida a seguite fórmula: = Pelo Método de Idução Matemática, a prova faz-se em dois passos. (i) [P ()]. Mostrar que a fórmula dada é válida quado =, i.e. que ( + ) =, o que é claramete verdade. (ii) [P () P ( + )]. Assumido como verdadeira a hipótese P (), i.e. ( + ) =, para um determiado N, há que mostrar a validade da tese P ( + ), i.e. ( + )(( + ) + ) ( + ) =, para o mesmo determiado N. Isto pode ser feito da seguite forma: ( + ) = ( ) + ( + ) ( + ) = + ( + ) (pela hipótese P ()) ( + )( + ) = Símbolo de Somatório. O Pricípio de Idução Matemática está também a base de uma maeira de defiir etidades matemáticas relacioadas com os úmeros aturais: as chamadas Defiições por Recorrêcia. Descrevemos de seguida uma dessas defiições, a do símbolo de somatório, que ão é mais do que uma otação muito útil para lidar com somas de várias parcelas. Defiição 6.3. Para qualquer N e úmeros reais a, a,..., a R, o símbolo de somatório k= k= defie-se por recorrêcia da seguite forma: a k = a se =, e a k = k= a k ( ) a k + a se >. k=.

14 4 MIGUEL ABREU Ou seja, a k = k= 3 a k = k= a k + a = a + a, k= a k + a 3 = a + a + a 3,.... k= Nota 6.4. O ídice k do somatório é um ídice mudo, desempehado um papel muito auxiliar. Uma mesma soma pode aparecer a otação de somatório de formas diferetes. Por exemplo: a k = a i = a j. k= i= Exemplo 6.5. A fórmula que provámos por idução o Exemplo 6., pode ser escrita usado o símbolo de somatório da seguite forma: ( + ) k = (i.e. este caso a k = k para k =,..., ). Teorema 6.6. (Propriedades do Somatório Ficha (secção 39), III.) (a) (a k + b k ) = a k + (prop. aditiva) (b) (c) k= k= k= k= b k ( ) (c a k ) = c a k, c R (homogeeidade) k= k= (a k a k ) = a a 0 (prop. telescópica) k= Dem. (a) e (b) ficam como exercício. Provamos (c) por idução. [P ()]. Mostrar que a fórmula dada em (c) é válida quado =, i.e. que j= (a k a k ) = a a 0, k= o que é imediato a partir da Defiição 6.3 do símbolo de somatório quado =. [P () P ( + )]. Assumido como verdadeira a hipótese P (), i.e. (a k a k ) = a a 0, para um determiado N, k= há que mostrar a validade da tese P ( + ), i.e. + (a k a k ) = a + a 0, para o mesmo determiado N. k= Isto pode ser feito da seguite forma: + (a k a k ) = k= (a k a k ) + (a + a + ) (por def. de somatório) k= = (a a 0 ) + (a + a ) (pela hipótese P ()) = a + a 0

15 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 5 Última Aula. 7. Aula Método de Idução Matemática. Seja P () uma proposição que se pretede mostrar verdadeira para todo o N. Se (i) P () é verdadeira e (ii) P () verdadeira para um determiado N P ( + ) verdadeira, etão P () é de facto verdadeira para todo o N. Símbolo de Somatório, k= a k, defiido por recorrêcia: a k = a se =, e k= a k = k= ( ) a k + a se >. Mais Idução e Somatórios. Nem o Método de Idução, em o Símbolo de Somatório, têm ecessariamete que começar em =. Ambos admitem geeralizações simples, tedo como poto de partida um dado m Z. Se P (m) é verdadeira e se, para um determiado Z com m, P () verdadeira P ( + ) verdadeira, etão P () é verdadeira para todo o Z com m. m+ k=m+ a k def = k= a k+m, N. k= (Nota: o exercício III. 4 da Ficha (secção 39) pede para mostrar que esta defiição é equivalete a outra feita por recorrêcia resolvam-o!) Exemplo 7.. (Ficha (secção 39), III. 8) Vamos este exemplo mostrar que, para qualquer r R com r e qualquer N 0 = N {0}, () por dois processos distitos: k=0 r k = r+ r (a) usado o Método de Idução; (b) aplicado a Propriedade Telescópica do somatório (Teorema 6.6 (c)) a ( r) r k. (a) Método de Idução. [P (0)]. Mostrar que a fórmula () é válida quado = 0, i.e. que 0 k=0 k=0 r k = r r, o que é claramete verdade (ambos os termos são iguais a ). Nota: por defiição r 0 =. [P () P ( + )]. Assumido como verdadeira a hipótese P (), i.e. k=0 r k = r+ r há que mostrar a validade da tese P ( + ), i.e. k=0,, para qualquer r R e um determiado N 0, + r k = r+, para qualquer r R e o mesmo determiado N 0. r

16 6 MIGUEL ABREU Isto pode ser feito da seguite forma: + r k = r k + r + k=0 k=0 = r+ r (por def. de somatório) + r + (pela hipótese P ()) = r+ + r + r + = r+. r r (b) Aplicado as propriedades do somatório especificadas o Teorema 6.6, temos que: ( r) r k = (r k r k+ ) (homogeeidade) k=0 k=0 = (r k+ r k ) (homogeeidade) k=0 = (r + r 0 ) (prop. telescópica) = r +. Sucessões Reais defiição e exemplos. Uma sucessão real ão é mais do que uma sequêcia ifiita de úmeros reais. Usa-se ormalmete o cojuto N dos úmeros aturais para idexar os termos dessa sequêcia. Temos assim a seguite: Defiição 7.. Uma sucessão real é uma fução u : N R u(). Para cada N, desigaremos u() por termo geral ou termo de ordem da sucessão u, represetado-o ormalmete por u. Usaremos qualquer dos símbolos u, (u ) N ou (u ) para represetar uma mesma sucessão real. Existem várias maeiras de explicitar exemplos particulares de sucessões reais, como se ilustra de seguida. Exemplo 7.3. Uma sucessão real pode ser defiida através de uma fórmula explícita para o seu termo geral. Por exemplo: u = 3 (3, 3, 3,...) ; u = (,, 3,...) ; u = (, 4, 8,...). Há duas classes muito importates de sucessões reais, cuja defiição pode ser feita usado uma fórmula explícita para o seu termo geral. Exemplo 7.4. Progressões Aritméticas sucessões caracterizadas pelo facto de u + u = costate, para todo o N. O seu termo geral é da forma u = a + ( )r, ode a, r R são respectivamete o primeiro termo e razão da progressão aritmética (u ) (otem que a difereça u + u = r é de facto costate). A sucessão u = do Exemplo 7.3, é uma progressão aritmética, com primeiro termo e razão iguais a. Exemplo 7.5. Progressões Geométricas sucessões caracterizadas pelo facto de u + /u = costate, para todo o N. O seu termo geral é da forma u = a r, ode a, r R são respectivamete o primeiro termo e razão da progressão geométrica (u ) (otem que o quociete u + /u = r é de facto costate). A sucessão u = do Exemplo 7.3, é uma progressão geométrica, com primeiro termo e razão iguais a.

17 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 7 Exemplo 7.6. O termo geral de uma sucessão real pode também ser defiido por recorrêcia. Por exemplo: u =, u + = u +, N ; u = u =, u + = u + + u, N (sucessão de Fiboacci). Exercício 7.7. Defia por recorrêcia progressões aritméticas e geométricas, com primeiro termo a R e razão r R. Exemplo 7.8. Sucessões reais podem também ser defiidas por uma regra clara que permita idetificar, um a um, todos os seus termos. Um exemplo é a sucessão de todos os úmeros aturais primos, i.e. a sucessão (u ) cuja lista de termos é (,, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9,...). Limite de uma Sucessão. Ituitivamete, dizemos que uma sucessão (u ) tem por ite o úmero real a R, e escrevemos u = a ou u = a ou aida u a, se os termos da sucessão (u ) vão evetualmete acumular-se todos em a R, i.e. se por mais pequea que seja a vizihaça de a R, existir uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão (u ) estão essa vizihaça. De uma forma matematicamete mais precisa, temos a seguite Defiição 7.9. u = a def ε > 0 N N(ε) N : ( > N u a < ε). Uma sucessão (u ) diz-se covergete quado existe a R tal que u = a. Nota 7.0. u a < ε ε < u a < ε a ε < u < a + ε u V ε (a). Exemplo 7.. Vamos provar que u = 0. Supohamos dado um ε > 0 arbitrário. A versão alterativa da Propriedade Arquimediaa, Corolário 5.3, dá-os um atural N N tal que 0 < N < ε. É agora imediato verificar que ( > N 0 < ε) provado-se assim que de facto (3) = 0. Última Aula. 8. Aula Sucessão real: u : N R, u = (u ). Limite: u = a def ε > 0 N N(ε) N : ( > N u a < ε). Uma sucessão (u ) diz-se covergete quado existe a R tal que u = a. Exemplo: = 0 ( Propriedade Arquimediaa). Nesta aula euciaremos algumas propriedades básicas de sucessões e ites, ilustrado-as com algus exemplos. Serão feitas algumas das demostrações destas propriedades a próxima aula. Uicidade do Limite. Teorema 8.. O ite de uma sucessão, quado existe, é úico.

18 8 MIGUEL ABREU Sucessões, Limite e Operações Algébricas. Dadas sucessões u = (u ), v = (v ) e uma costate real α R, podemos aturalmete cosiderar: (i) a sucessão soma/subtracção: (u ± v) = u ± v ; (ii) a sucessão produto: (u v) = u v ; (iii) a sucessão quociete: (u/v) = u /v, defiida se v 0, N; (iv) a sucessão (α u) = α u. Teorema 8.. (Ficha (secção 39), IV 5, 6, 7 e 8) Se u a, v b, w c com c 0 e w 0, N, e se α R é uma costate, etão: (i) (u ± v ) a ± b (ite da soma = soma dos ites); (ii) (u v ) a b (ite do produto = produto dos ites); (iii) (u /w ) a/c (ite do quociete = quociete dos ites); (iv) (α u ) α a. Exemplo = (3 + ) ( + ) = = = 3, usado as propriedades algébricas do ite, especificadas o Teorema 8., e o facto de = 0. Limite e Relações de Ordem. Teorema 8.4. (Ficha (secção 39), IV 3) Sejam (u ) e (v ) duas sucessões covergetes para as quais existe N N tal que > N u v. Etão, u v. Teorema 8.5. (Pricípio do Ecaixe ou da Sucessão Equadrada) Sejam (u ), (v ) e (w ) sucessões reais para as quais existe N N tal que > N u v w. Se (u ) e (w ) são covergetes com u = a = w, etão (v ) também é covergete e v = a. Exemplo 8.6. Para determiar ( ), observemos que para qualquer N tem-se ( ). Como = 0 =, cocluimos pelo Pricípio do Ecaixe que (4) ( ) = 0. Exemplo 8.7. Prova-se facilmete que, para quaisquer, p N, 0 p. Como 0 = 0 =, cocluimos pelo Pricípio do Ecaixe que, para qualquer p N, (5) p = 0.

19 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 9 Mais Exemplos e Propriedades do Limite. Exemplo 8.8. Dado um úmero real a R, queremos estudar a sucessão x = a, mostrado em particular que (6) se a < etão a = 0. Faremos aqui o caso 0 a <, deixado o caso < a < 0 como exercício. É válida a seguite sequêcia de implicações: 0 a < a > a = + b, com b > 0 a = + b, com b > 0 a =, com b > 0. ( + b) Tedo em cota a Desigualdade de Beroulli (Ficha (secção 39), II 4 - resolvam por idução) (7) ( + b) + b, N, b R com b, temos etão que Como 0 = 0 e 0 a = + b = ( ( + b) + b. + b) = + b = b = 0, para qualquer b R + (a realidade para qualquer b R \ {0}), cocluimos pelo Pricípio do Ecaixe que a = 0. Quado a = tem-se aturalmete que a = = =. Veremos mais à frete que, quado a = ou a >, a sucessão x = a ão é covergete. Exemplo 8.9. (Ficha (secção 39), IV.(v)) ( 3 3 = = 9 ( 4 9 ) ( 3 9 )) 9 (( 9 ) ) = ( 4 9 ) ( 3 9 ) ( 9 ) = = 0, usado as propriedades algébricas do ite, especificadas o Teorema 8., e o resultado (6) do Exemplo 8.8. Proposição 8.0. (i) Se u a etão u a (ite do módulo = módulo do ite). (ii) Se u 0 e u a etão u a (ite da raiz = raiz do ite). Nota 8.. A Proposição 8.0 afirma que u a u a. Não é verdade em geral que u a u a (e.g. se u = e a = temos que u = = = a mas u = a). No etato, verifiquem como exercício que u 0 u 0. Exemplo 8.. (Ficha (secção 39), IV.(h)) = 4 ( + 3 ) = = + 0 = =, usado as propriedades algébricas do ite, especificadas o Teorema 8., bem como os resultados do Exemplo 8.7 e Proposição 8.0 (ii).

20 0 MIGUEL ABREU Exemplo 8.3. (Ficha (secção 39), IV.(p)) ( ) ( + ) ( ) ( ( ) ( ( ) + ) ( ) + ) + ( ) = ( + ) + ( ) = = ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( + + = + + = = =. ) 9. Aula Última Aula. Limite: u = a def ε > 0 N N(ε) N : ( > N u a < ε). Recordem que u a < ε u V ε (a). Propriedades do Limite e Exemplos. Começaremos esta aula por fazer a demostração de algumas das propriedades do ite euciadas a última aula. Uicidade do Limite. Recordemos o euciado do Teorema 8.: o ite de uma sucessão, quado existe, é úico. Dem. Seja (u ) uma sucessão real e supohamos que existem a, a R tais que: u a ( ε > 0 N (ε) N : ( > N u V ε (a )) e u a ( ε > 0 N (ε) N : ( > N u V ε (a )). Queremos etão provar que a = a. Supohamos por absurdo que a a, e.g. a < a. Sejam ε = a a e N(ε) = max{n (ε), N (ε)}. Teríamos etão que, por um lado V ε (a ) V ε (a ) =, mas por outro o que é aturalmete absurdo. Logo, a = a. > N (u V ε (a ) e u V ε (a )) u V ε (a ) V ε (a ), Limite e Operações Algébricas. Vamos agora provar uma das propriedades do ite euciada o Teorema 8.: se u a e v b etão (u + v ) (a + b). Dem. Sabemos etão que e queremos provar que u a ( ε > 0 N (ε) N : ( > N u a < ε) e v b ( ε > 0 N (ε) N : ( > N v b < ε), (u + v ) (a + b) ( ε > 0 N(ε) N : ( > N (u + v ) (a + b) < ε). Seja etão ε > 0 arbitrário, N = N (ε/) N : > N u a < ε/, N = N (ε/) N : > N v b < ε/

21 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI e N = max{n, N }. Com esta escolha de N N, e para qualquer > N, é válida a seguite sequêcia de desigualdades: (u + v ) (a + b) = (u a) + (v b) u a + v b (pela Desig. Triagular - Teor. 3.7) < ε + ε = ε. (porque > N = max{n, N }) Limite e Relações de Ordem. O Teorema 8.4, que está a base do Pricípio do Ecaixe ou da Sucessão Equadrada (Teorema 8.5), diz o seguite: se (u ) e (v ) são duas sucessões covergetes, para as quais existe N N tal que > N u v, etão u v. Dem. Deixo como exercício, com a seguite sugestão: usem o método de redução ao absurdo, i.e. supoham que u > v e deduzam uma cotradição com a hipótese u v. Limite e Fução Módulo. Provaremos aqui o poto (i) da Proposição 8.0: se u a etão u a. Dem. Sabemos que e queremos provar que u a ( ε > 0 N(ε) N : ( > N u a < ε) u a ( ε > 0 N (ε) N : ( > N u a < ε) O resultado do exercício 3.(i) da Ficha (secção 38) diz-os que b a b a, para quaisquer a, b R. Esta desigualdade implica imediatamete que, para um ε > 0 arbitrário, o N (ε) N ecessário para provar que u a pode ser escolhido exactamete igual ao N(ε) N que os é dado pelo facto de u a. Notem que, quado a = 0, temos u a = u = u a, pelo que de facto u 0 u 0, como já tiha sido referido a Nota 8. da última aula. Exemplo 9.. (itada x ifiitésimo = ifiitésimo) O Exemplo 8.6 (( ) / = 0) pode ser geeralizado da seguite forma. Sejam: (i) (x ) uma sucessão com x = 0, i.e. x é um ifiitésimo; (ii) (l ) uma sucessão itada, i.e. para a qual existe M R + tal que M l M, N. Tem-se etão que, para qualquer N, Como M x l x M x. M x = M 0 = 0 = M 0 = M x, podemos cocluir pelo Pricípio do Ecaixe (Teorema 8.5) que l x = 0.

22 MIGUEL ABREU Sucessões Moótoas e Limitadas. Defiição 9.. Seja (u ) uma sucessão real. Etão: (i) (u ) diz-se itada se existir M R + tal que M u M para todo o N. (ii) (u ) diz-se crescete (resp. estritamete crescete) se u u + (resp. u < u + ) para todo o N. (iii) (u ) diz-se decrescete (resp. estritamete decrescete) se u u + (resp. u > u + ) para todo o N. (iv) (u ) diz-se moótoa (resp. estritamete moótoa) se for crescete ou decrescete (resp. estritamete crescete ou decrescete). Teorema 9.3. Se uma sucessão (u ) é covergete, etão (u ) é itada. Dem. Seja a R o ite da sucessão (u ). Fazedo ε = a defiição de ite, temos etão que existe N N tal que > N u a <, pelo que a < u < a + para todo o > N. Defiido m, M R por m = mi{a, u, u,..., u N } e M = max{a +, u, u,..., u N }, temos etão que m u M, para todo o N, pelo que a sucessão (u ) é de facto itada. Exercício 9.4. Usou-se esta demostração o facto de qualquer subcojuto de R fiito ter máximo e míimo. Demostrem este facto, provado pelo Método de Idução que a proposição P () = qualquer subcojuto de R com elemetos tem máximo e míimo é verdadeira para qualquer N. Nota 9.5. O Teorema 9.3 diz-os que (u ) covergete (u ) itada. A afirmação recíproca ão é em geral verdadeira, i.e. (u ) itada (u ) covergete. Por exemplo, a sucessão u = ( ) é claramete itada mas, como veremos a próxima aula, ão é covergete. Teorema 9.6. Se uma sucessão (u ) é moótoa e itada, etão (u ) é covergete e: (i) se (u ) é crescete etão u = sup {u : N}; (ii) se (u ) é decrescete etão u = if {u : N}. Dem. Faremos o caso em que (u ) é crescete (o caso decrescete é completamete aálogo). Como a sucessão (u ) é itada, em particular o cojuto dos seus termos é majorado, temos que existe a = sup {u : N} R. Queremos portato provar que u a i.e. ε > 0 N = N(ε) N : ( > N u a < ε). Seja etão dado um ε > 0 arbitrário. Pelo poto (ii) da caracterização de supremo dada pelo Corolário 4.3, temos que existe pelo meos um termo da sucessão (u ) a vizihaça V ε (a), i.e. existe N N tal que a ε < u N. Podemos etão cosiderar a seguite sequêcia de desigualdades, válida para qualquer > N: a ε < u N u a, ode a seguda desigualdade é cosequêcia de (u ) ser crescete e a terceira é cosequêcia de a ser um majorate do cojuto de todos os termos da sucessão (u ). Temos etão que como se pretedia mostrar. u a < ε para todo o > N,

23 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 3 0. Aula Última Aula. Provámos o Teorema 9.6: (u ) moótoa e itada (u ) covergete. Nota 0.. O Teorema 9.6 diz-os que (u ) moótoa e itada (u ) covergete. A afirmação recíproca ão é em geral verdadeira, porque embora o Teorema 9.3 os diga que temos que Por exemplo, a sucessão u = ( ) Exemplos de Aplicação. (u ) covergete (u ) itada, (u ) covergete (u ) moótoa. do Exemplo 8.6 é covergete mas ão é moótoa. Exemplo 0.. (Ficha 3 (secção 40), I 4.) Cosidere a sucessão (x ) defiida por (8) x = e x + = x + 3 para todo o N. 4 (a) Prove que (x ) é estritamete crescete e que x < 3/ para todo o N. (b) Mostre que (x ) é covergete e calcule o seu ite. Para resolver a alíea (a), começamos por mostrar pelo método de idução que a proposição P () = x < x + é verdadeira para qualquer N. [P ()]. Temos que verificar que x < x. Isto é de facto verdade, pois x = e x = x + 3 = + 3 = [P () P ( + )]. Assumido como verdadeira a hipótese P (), i.e. há que mostrar a validade da tese P ( + ), i.e. Isto pode ser feito da seguite forma: x < x +, para um determiado N, x + < x +, para o mesmo determiado N. x < x + x < x + x + 3 < x x + 3 < x x + < x + (por (8)) Para termiar a resolução da alíea (a), vamos mostrar pelo método de idução que a proposição P () = x < 3/ é verdadeira para qualquer N. [P ()]. Temos que verificar que x < 3/. Isto é de facto verdade, pois x = < 3. [P () P ( + )]. Assumido como verdadeira a hipótese P (), i.e. há que mostrar a validade da tese P ( + ), i.e. x < 3, para um determiado N, x + < 3, para o mesmo determiado N.

24 4 MIGUEL ABREU Isto pode ser feito da seguite forma: x < 3 x < 3 x + 3 < 6 x x + < 3 < 6 4 = 3 (por (8)) Para resolver a alíea (b), observemos primeiro que, pelo resultado da alíea (a), temos ((x ) estritamete crescete e x < 3, N) = x x < 3, N. Logo, a sucessão (x ) é moótoa e itada, pelo que o Teorema 9.6 garate a sua covergêcia. Desigemos por L R o seu ite. Temos etão que x = L e também x + = L (cf. Teorema 0.5 e Exemplo 0.6). Partido agora da defiição por recorrêcia (8), podemos calcular L da seguite forma: Cocluimos assim que x + = x Subsucessões: defiição e exemplos. x + = x L = L + 3 4L = L L = 3 L = 3. x = 3. Defiição 0.3. Sejam u = (u ) : N R uma sucessão real e k = (k ) : N N uma sucessão de úmeros aturais estritamete crescete. A sucessão composta v = (v ) = u k = ((u k) ) : N R desiga-se por subsucessão de u = (u ). O seu termo geral é dado por v = u k. Exemplo 0.4. Dada uma sucessão real (u ) qualquer, podemos por exemplo cosiderar as seguites subsucessões: (i) escolhedo k = obtemos a subsucessão (v ) com termo geral v = u, i.e. qualquer sucessão é subsucessão de si própria. (ii) escolhedo k = + obtemos a subsucessão (v ) com termo geral v = u +. (iii) subsucessão dos termos de ordem par correspode a escolher k =, i.e. a cosiderar a subsucessão (v ) com termo geral dado por v = u. (iv) subsucessão dos termos de ordem ímpar correspode a escolher k =, i.e. cosiderar a subsucessão (v ) com termo geral dado por v = u. a

25 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 5 Subsucessões e Limite de Sucessões. Teorema 0.5. Uma sucessão real é covergete se e só se todas as suas subsucessões forem covergetes para um mesmo ite. Dem. Parecida com a demostração do Teorema 8. uicidade do ite, feita a última aula. Fica como exercício. Exemplo 0.6. Aplicado este Teorema 0.5 ao Exemplo 0.4 (ii), obtemos o seguite resultado: se (x ) é uma sucessão covergete com x = L, etão (x + ) também é covergete e x + = L. Este facto foi implicitamete usado o Exemplo 0.. Exemplo 0.7. Cosideremos a sucessão real (u ) com termo geral dado por u = ( ). Temos que a sua subsucessão dos termos de ordem par satisfaz u = ( ) =, equato que a sua subsucessão dos termos de ordem ímpar satisfaz u = ( ) =. Assim, a sucessão u = ( ) tem duas subsucessões com ites distitos,. Usado o resultado do Teorema 0.5, podemos etão cocluir que a sucessão u = ( ) ão é covergete. Subites e o Teorema de Bolzao-Weierstrass. Por falta de tempo, e apesar da sua muita importâcia e iteresse, os resultados que agora euciaremos ão serão demostrados este curso de Aálise Matemática I. Defiição 0.8. Um úmero real a R diz-se um subite de uma sucessão real (u ) se existir uma subsucessão (v = u k ) com v = a. Teorema 0.9. Qualquer sucessão real tem subsucessões moótoas. Corolário 0.0. (Teorema de Bolzao-Weierstrass) Qualquer sucessão itada tem subsucessões covergetes, i.e. qualquer sucessão itada tem subites. Teorema 0.. Uma sucessão itada é covergete se e só se tiver apeas um subite. Observações. Por falta de tempo, sucessões de Cauchy e sucessões cotractivas ão serão tratadas este curso de Aálise Matemática I. Assim, os exercícios 4, 5 e 6 do grupo I da Ficha 3 (secção 40), ão são para resolver.. Aula Peúltima Aula. Provámos os seguites resultados: Teorema 9.3 (u ) covergete (u ) itada. Teorema 9.6: (u ) moótoa e itada (u ) covergete. Sucessões Não-Limitadas. Defiição.. Dizemos que uma sucessão real (u ) coverge para + (resp. ), e escrevemos u = + ou u + (resp. u = ou u ), se ε > 0 N = N(ε) N : > N u > ε (resp. ε > 0 N = N(ε) N : > N u < ε ). Exemplo.. Assim como provámos que / = 0, podemos também usar a versão alterativa da Propriedade Arquimediaa, Corolário 5.3, para provar que (9) = +.

26 6 MIGUEL ABREU Proposição.3. Seja (u ) uma sucessão de termos positivos (resp. egativos). Etão u = 0 u = + Dem. Exercício. Recta Acabada e Idetermiações. (resp. u = 0 u = ). Defiição.4. Desiga-se por recta acabada, e represeta-se por R, o cojuto R def = R {, + }. Os elemetos e + satisfazem a relação de ordem < x < +, x R, bem como as regras operacioais algébricas que se descrevem de seguida. As regras operacioais algébricas com os elemetos e + são determiadas por forma a que os Axiomas de Corpo cotiuem a ser válidos a recta acabada R. Quado uma determiada operação ão for possível determiar uma regra estas codições, diremos que estamos perate uma idetermiação. Relativamete à adição, temos que bem como Por outro lado, a + (+ ) = + e a + ( ) =, a R, (+ ) + (+ ) = + e ( ) + ( ) =. (0) (+ ) + ( ) é uma idetermiação do tipo. Relativamete à multiplicação, temos que Temos também que Por outro lado, a (± ) = { ±, se a > 0;, se a < 0. (+ ) (+ ) = + = ( ) ( ) e (+ ) ( ) =. () 0 (± ) é uma idetermiação do tipo 0. Esta idetermiação dá aturalmete origem a idetermiações a divisão: as chamadas idetermiações do tipo () = = 0 e 0 (3) 0 = 0 0 = 0. Relativamete à poteciação a b, com a 0, temos que { a + 0, se 0 a < ; = e a = +, se a > ; a +, bem como Por outro lado (+ ) b = { 0, se b < 0; +, se b > 0. (4) + é uma idetermiação do tipo,

27 AULAS TEÓRICAS E FICHAS DE EXERCÍCIOS DE AMI 7 e (5) (+ ) 0 é uma idetermiação do tipo 0. Esta última idetermiação está directamete relacioada com a (6) idetermiação do tipo 0 0 já existete em R. Levatameto de Idetermiações em Limites de Sucessões. Já vimos em vários exemplos como levatar (i.e. resolver) algus tipos de idetermiações que surgem o cálculo do ite de sucessões: (i) idetermiações do tipo 0 ou / ou 0/0, podem ormalmete ser levatadas podo em evidêcia os termos de maior grau; (ii) idetermiações do tipo que evolvem a raiz quadrada podem ormalmete ser levatadas multiplicado pelo cojugado. Idetermiações do tipo são também bastate importates o cálculo do ite de sucessões. O caso mais simples é o que se apresete o exemplo seguite. Exemplo.5. Cosideremos a sucessão (e ), com termo geral dado por ( e = + ). O cálculo do seu ite dá imediatamete origem a ( e = + ) = + = idetermiação, que pretedemos levatar ou resolver. Usado a fórmula do Biómio de Newto (Ficha (secção 39), III 9.) ( ) (7) (a + b) = a k b k, para quaisquer a, b R e N 0, k k=0 ão é difícil mostrar que: (i) (e ) é estritamete crescete, i.e. e < e +, N; (ii) e < 3, N, i.e. (e ) é itada. Coclui-se etão pelo Teorema 9.6 que (e ) é covergete. O seu ite é um dos úmeros reais mais importates da matemática, o chamado úmero e. Temos etão que e R é defiido por (8) e def = ( + ). O seu valor umérico é aproximadamete, 78..., ficado desta forma resolvida a idetermiação iicial. Outras idetermiações do tipo serão levatadas com base o teorema seguite. Teorema.6. Sejam a R um úmero real e (u ) uma sucessão real tal que u = +. Etão ( + a ) u = e a. u Dem. Exercício. Exemplo.7. (Ficha 3 (secção 40), I.(b)) Temos que ( + ) 3 = + = idetermiação. Usado o Teorema.6, podemos resolver esta idetermiação da seguite forma: ( + ) 3 ( = + 6 ) 3 = e 6 (porque u = 3 + ). 3

28 8 MIGUEL ABREU Idetermiações do tipo 0 ou 0 0 são também frequetes o cálculo do ite de sucessões. O caso mais otável é (u ) u, quado u 0, para todo o N, e u = 0 ou u = +. Este tipo de idetermiações é resolvido com base o teorema seguite. Teorema.8. Seja (u ) uma sucessão real de termos positivos. Se etão Dem. Próxima aula. u + u = a R, u = a. Exemplo.9. (Ficha 3 (secção 40), I 3.(c)) Temos que ( + ) = 0 = idetermiação. Fazedo u = + temos que u ( ) + = + + u + = + ( ) + = + ( ) + ( ) =. Cocluimos etão pelo Teorema.8 que Ordes de Gradeza. ( + ) =,. Defiição.0. Diremos que uma sucessão (v ) tem uma ordem de gradeza superior a outra sucessão (u ), e escreveremos u v ou v u, quado u v = 0. A seguite proposição é bastate útil o levatameto de idetermiações do tipo 0, / e 0/0. Proposição.. Para quaisquer < a R e p N, tem-se que Dem. Próxima aula. p a!. Exemplo.. (Ficha 3 (secção 40), I 7.(c)) (9) + ( + )! 3 +! =! (! + ( + ))! ( 3! + ) =! = 0 + (+ ) 0 + = +. + ( + ) 3! + (porque! e 3!). Aula Última Aula. Recta Acabada, Idetermiações e Ordes de Gradeza. Levatameto de Idetermiações em Limites de Sucessões. Começaremos esta aula por fazer a demostração de algus dos resultados euciados.