Capítulo II Propagação de erros (cont.)

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1 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Capítulo II Propagação de erros (cot.) Propagação de icertezas idepedetes e arbitrárias Fuções de uma variável Determiação da propagação de icertezas por etapas vatages e icoveietes Erros de compesação Fórmula geral para a propagação de erros 36 Icertezas idepedetes e aleatórias Vimos que: quado as quatidades se adicioam ou subtraem, as icertezas adicioam-se q a + b c... z δa + δb + δc δz Quado as quatidades se multiplicam ou dividem, as icertezas relativas adicioam-se a b... r q s t... u δa δb δr δs δt δu q a b r s t u Demostraremos mais tarde que, se as icertezas são idepedetes e aleatórias, uma estimativa mais realista cosidera que as icertezas totais são mais pequeas do que as obtidas por soma simples e estão relacioados com a soma dos seus quadrados. Por exemplo, dados x best ± e y best ± δy, a icerteza em f será: ( ) + ( δy) x δy y É claro que a + b < a + b a + b a b 37 Dep. Física, FCTUC 19

2 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Geeralizado, dados q a + b c... z ou a b... r q s t... u ( δa) + ( δb) + ( δc) ( δ z ) q δa a δb b δr +... r δs s δt t δu +... u A soma simples das icertezas absolutas ou das icertezas relativas correspoderá sempre a uma majoração da icerteza total. δa + δb + δc δz δa δb δr δs δt δu q a b r s t u 38 Fuções arbitrárias de uma variável Muitos cálculos requerem fuções evolvedo operações mais complexas do que Simples adições ou multiplicações: seos, tagetes, raízes, etc. Supohamos que temos uma quatidade medida x best ± e que vamos calcular uma fução f(x) a partir dela. Uma maeira directa de estimar é costruir o gráfico de f(x) e marcar os poto x best, x best - e x best +. correspoderá f best. - correspoderá f mi + correspoderá f max A distacia etre f mi e f max é Obtém-se f best ± Cotudo, quado a fução f(x) é cohecida explicitamete, podemos recorrer ao cálculo Ifiitesimal para determiar. 39 Dep. Física, FCTUC 0

3 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Vê-se a figura que f(x best +)-f(x best ) Sabemos, do Cálculo Ifiitesimal que, para qualquer fução f(x) e qualquer icremeto suficietemete pequeo u: f ( x + u) f (x) u Etão, desde que a icerteza seja pequea (e assumimos que é), a comparação das duas expressões dá A icerteza em f é dada pela derivada de f em ordem a x, multiplicada pela icerteza em x. A derivada traduz o declive da curva f(x) o poto cosiderado (x best, f best ) Agora, o declive é egativo: Geeralizado: a icerteza uma qualquer fução de uma variável é dada por: 40 Dois casos particulares: icerteza a potêcia e o produto por uma costate Cosideremos f (x) x qualquer que seja. x 1 Se dividirmos por f x Obtemos: Icerteza a potêcia, qualquer que seja. f x Cosideremos f (x) Bx qualquer que seja B. B Icerteza o produto por uma costate B, qualquer que seja B. 41 Dep. Física, FCTUC 1

4 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Determiação da propagação de icertezas por etapas vatages e icoveietes Qualquer determiação de uma icerteza total pode ser calculada através de uma sequêcia de etapas, cada uma evolvedo a determiação da icerteza associada a cada determiado tipo de operação matemática. Por exemplo: temos x, y, z, u,, δy, δz e δu Queremos cohecer f x ( y z se u) e 1) δu δ(se u) ) δz e δ(se u) δ(z se u) 3) δy e δ(z se u) δ(y z se u) 4) e δ(y z se u) δ[x(y z se u)] Notas a) Como o cálculo de icertezas em somas e subtracções evolve a icerteza as quatidades (), equato o cálculo de icertezas em produtos ou divisões evolve icertezas relativas (/ x ), é ecessário passar facilmete de icertezas absolutas a fraccioárias e vice-versa. b) Pode acotecer que, para certas fuções, este método por etapas ão seja o mais adequado, como veremos a seguir. 4 Erros de compesação Supohamos a medida directa das variáveis x, y e z e a determiação da gradeza f: f x + y x + z a qual uma variável aparece mais do que uma vez. Se calcularmos por etapas, determiamos as icertezas de x+y e x+z separadamete, e só depois a icerteza o quociete. Deste modo, ão precavemos a possibilidade de erros em x o umerador poderem ser cacelados por erros em x o deomiador. Este efeito é por vezes desigado por erros de compesação. Se, por exemplo, estiver sobrestimado, o resultado fial da determiação da Icerteza por passos amplificará essa sobrestimativa do erro. A solução é determiar a icerteza total de uma úica vez, recorredo a uma fórmula geral de propagação de erros. 43 Dep. Física, FCTUC

5 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Fórmula geral para a propagação de erros Supohamos que f(x, y). Se x best e y best são as melhores estimativas para x e y, esperamos que a melhor estimativa para f, f best, seja: f best f(x best, y best ). Se x e y sofrerem pequeos icremetos u e v, respectivamete: f ( x + u, y + v) f ( x, y) u v (*) y yx Ode e são as derivadas parciais de f em ordem a x e y, matedo y e x y yx costates, respectivamete. Os valores extremos mais prováveis de x e y são x best ± ± δy y best Usado estes valores em (*) obtemos os valores extremos de f: f ( x ) best, ybest ± + δy y (**) 44 Comparado (**) com f best ±, obtém-se: + x δy y Quado as icertezas as gradezas medidas directamete são idepedetes e aleatórias, podemos adequar a icerteza total à fórmula quadrática: ou, uma forma δz para as gradezas x, y,..., z z mais codesada, i 1 i x i desigado as mesmas gradezas por x, x,..., x 1 Portato, δ f x δz, sejam, δz, idepedetes ou ão. z É acoselhável usar-se a fórmula geral quado uma variável existe mais do que uma vez a fução f (x,.,z). Podem existir erros de compesação e, este caso, a estimativa por passos pode coduzir a uma avaliação icorrecta da icerteza total. 45 Dep. Física, FCTUC 3