Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

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1 Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de ídice e a o -ésimo elemeto da sequêcia, ou termo geral. a 1, a 2, a 3,,a, a a para sequêcia. a a 1, a 2, a 3,,a, é cojuto dos termos da sequêcia. Exemplos: 1) a 2) a 1 3) a a, a 4) a 0 par 1 ímpar 5) a a, a 6) a 1 1 7) a 5 e a 1 2a / 1 (sequêcia defiida por recorrêcia) 8) a 1, 2, 5,9, 1, 1, 1,,1, 9) a 2, 3, 5, 7, 11,,37, 10) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,1, 1 1

2 11) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 12) a 5 1 Defiição 2: Diz-se que uma sequêcia a coverge para o úmero L, ou tem limite L se, dado qualquer úmero 0, é sempre possível ecotrar um úmero N tal que N a L isto é, 0,N tal que N a L Uma sequêcia que ão coverge é dita divergete. Chama-se sequêcia ula toda sequêcia que coverge para zero. Notação: lim a L ou a L ou lim a L 1) Ao dizermos "dado qualquer 0" está implícito que pode ser arbitrariamete pequeo, ou seja, tão pequeo quato quisermos. Uma vez satisfeita para um certo 0, estará satisfeita com qualquer 0 ;portato, basta prová-la para todo positivo, meor do que um certo 0 para que ela provada para qualquer 0. 2) Supor que N é um iteiro positivo, um ídice da sequêcia; pois se ão for assim, é claro que ele pode ser substituído por qualquer iteiro maior. Mas N ão precisa ser iteiro! 3) Pode ser N a L ou N a L. 4) Se é possível fazer a L com qualquer 0, certamete é possível fazer a L /2, portato, a L. 5) Tato faz a L ou a L k para uma costate k 0, pois se é possível fazer a L k com qualquer 0, certamete é possível fazer a L k/k. 6) Se suprimirmos de uma sequêcia a um úmero fiito de seus termos, isso ão altera o caráter da sequêcia com. Assim, se a sequêcia origial coverge para L, ou diverge, a ova sequêcia covergirá para L ou divergirá, respectivamete. Defiição 3: Dado um úmero L qualquer, chama-se vizihaça de L a todos os úmeros x do itervalo L, L. Notação: V L Isto é, x V L x L x L L x L 2

3 Ao defiirmos limite, estamos dizedo N a V L, ou seja, N a L ou N a L, ou aida N L a L pode ser dado arbitrariamete mas, uma vez prescrito, ão pode ser mudado até a determiação de N. Exemplos: Prove, pela defiição, que as sequêcias covergem para os limites dados: 1) a ) a se2 3 3) a Defiição 4:Diz-se que uma sequêcia a de úmeros reais é limitada à direita ou limitada superiormete se existe um úmero B tal que a B para todo ; e limitada à esquerda ou limitada iferiormete se existe um úmero A tal que A a para todo. Uma sequêcia limitada superiormete e iferiormete é dita, simplesmete, limitada. Isto equivale a afirmar que existe um úmero M tal que a M para todo. Teorema 1: Toda sequêcia covergete é limitada. 1) A recíproca ão é verdadeira. Cotra-exemplos: 1) a 0 par 1 ímpar 2) a 1 3) A cotrapositiva é verdadeira: "Todo seqüêcia ão limitada ão coverge", o que é usado para provar quado a seqüêcia é divergete. 3

4 Teorema 2: Se uma seqüêcia a coverge para um limite L, e se A L B, etão, a partir de um certo ídice N, A a B. Corolário 1: Se uma seqüêcia a coverge para um limite L 0, etão, a partir de certo idíce N, a L 2. Sempre que tivermos uma seqüêcia com limite diferete de zero, poderemos ecotrar úmeros A e B de mesmo sial as codições do teorema. Em geral, as aplicações, utilizamos apeas uma das desigualdades, ou A a ou a B. Teorema 3: Sejam a e b duas seqüêcias covergetes, com limites a e b respectivamete. Etão a b, a b e ka, ode k é uma costate qualquer, são seqüêcias covergetes, além de que, a) lima b lim a lim b a b; b) limka k lim a ka; em particular, k 1 os dá a a a a; c) lima b lim a lim b ab; d) Se, além das hipóteses acima, b 0, etão existe o limite a b, igual a a b ; Exercício: Prove, por idução, a seguite desigualdade, devida a Jacques Beroulli: 1 x 1 x válida para x 1 e atural. Exemplo: 1) Dado um úmero a 0, prove que a 1. 2) Prove que 1. Defiição 5: Diz-se que uma seqüêcia a é crescete se a 1 a 2 a e decrescete se a 1 a 2 a. Diz-se que a seqüêcia é ão-decrescete se a 1 a 2 a e ão-crescete a 1 a 2 a.diz-se que a seqüêcia é se ela satisfaz qualquer uma dessas codições. 4

5 Exemplos: Classifique as seqüêcias como crescete, decrescete, ão-decrescete, ão-crescete e moótoa. Além verifique se elas são limitadas iferiormete, superiormete e limitada. 1) a 2) a 1 3) a a, a 4) a 0 par 1 ímpar 5) a a, a 6) a 1 1 7) a 5 e a 1 2a / 1 (seqüêcia defiida por recorrêcia) 8) a 1, 2, 5,9, 1, 1, 1,,1, 9) a 2, 3, 5, 7, 11,,37, 10) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,1, 11) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 12) a 5 1 5

6 Seqüêcia ão-decrescete é limitada iferiormete. Seqüêcia ão-crescete é limitada superiormete. Teorema 4: Toda seqüêcia moótoa e limitada é covergete. Exemplo: Prove que a seqüêcia a 1 1 que defie e é crescete e limitada, portato, tem limite. Subseqüêcias Defiição 6: Uma subseqüêcia de uma dada seqüêcia a é uma restrição dessa seqüêcia a um subcojuto ifiito do cojuto dos úmeros aturais. Dito de outra maeira, uma subseqüêcia de a é seqüêcia do tipo b j a j, ode j é uma seqüêcia crescete de iteiros positivos, isto é, 1 2. Notação: a k k ou a ou a k k 1) Qualquer subseqüêcia de a pode ser vista como uma seqüêcia. k k a k Exemplos: 1) a 1 2 par ímpar 2) a ) Subseqüêcia de seqüêcia moótoas também é moótoa. 2) Subseqüêcia de seqüêcia limitada também é limitada. 3) Subseqüêcia de seqüêcia limitada iferiormete também é limitada iferiormete. 4) Subseqüêcia de seqüêcia limitada superiormete também é limitada superiormete. 6

7 Teorema 5: Se uma seqüêcia a coverge para um limite L, etão toda sua subseqüêcia a j também coverge para L. Defiição 7: Diz-se que a seqüêcia a diverge (ou tede) para e escreve-se lim a ou lim a se, dado qualquer úmero positivo k, existe N tal que N a k.aalogamete, a diverge (ou tede) para e escreve-se lim a se, dado qualquer úmero egativo k, existe N tal que N a k; Exemplos: 1. a 2. a a 4. a 5. a a 6 Teorema 6: a) a a. b) Seja a uma seqüêcia ão limitada. Sedo ão decrescete, ela tede a ; e sedo ão crescete, ela tede a. c) Se lima, etão a 1 tede a zero. d) Se lima 0, etão a 1 tede a se a 0, e tede a se a 0. e) Se b é uma seqüêcia limitada e a ou a, etão a seqüêcia a b tede a ou a, respectivamete. f) Se a e b c, ode c é um úmero positivo, etão a b.(em particular, a e b a b. g) Se a.e a b, etão b. 7

8 Exemplos: 1. Prove que a seqüêcia a,com a 1, tede a ifiito. Teorema 7 (dos itervalos ecaixados):. Seja I a, b, 1, 2, 3,, uma família de itervalos fechados e ecaixados, isto é, I 1 I 2 I.Etão existe pelo meos um úmero c pertecedo a todos os itervalos I (ou, o que é o mesmo, c I 1 I 2 I. Se, além das hipóteses feitas, o comprimeto I b a do -ésimo itervalo teder a zero, etão o úmero c será úico, isto é, I 1 I 2 I c. 1) A codição de que os itervalos sejam fechados é essecial o teorema aterior: I 0, 1 são ecaixados e limitados mas ão são fechados. É fácil ver que sua iterseção é vazia. 2) A codição de que os itervalos sejam limitados é essecial o teorema aterior: I, é uma família de itervalos fechados e ecaixados, mas sua iterseção é vazia. Defiição 8: Diz-se que L é um valor de aderêcia ou poto de aderêcia de uma dada seqüêcia a se a possui uma subseqüêcia covergido para L. Teorema 8 (de Bolzao-Weierstrass): Toda seqüêcia limitada a possui uma subseqüêcia covergete. Teorema 9 (Critério de covergêcia de Cauchy): Uma codição ecessária e suficiete para que uma seqüêcia a seja covergete é que, qualquer que seja 0, exista N tal que, m N a a m. Dado 0, existe um ídice N tal que, para todo iteiro positivo p, N a a p. 8

9 Defiição 9: Chama-se seqüêcia de Cauchy toda seqüêcia que satisfaz uma das codições equivaletes. Exemplos: 1) a 1 2) a 1 Cotra-exemplo:a 1. 9

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