Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach

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1 Sobre a ecessidade das hipóteses o Teorema do Poto Fio de Baach Marcelo Lopes Vieira Valdair Bofim Itrodução: O Teorema do Poto Fio de Baach é crucial a demostração de vários resultados importates da Matemática Na teoria das equações difereciais ordiárias, por eemplo, ele é utilizado para demostrar que se o campo vetorial f : D R é lipschitziao, etão o problema de valor iicial R ( P ) ' ( t) = f ( ( t)) () = possui uma úica solução : I R R defiida um itervalo maimal I cotedo a origem ( ver pe[] ou [3] ) Na demostração do Teorema de Stampacchia, o qual é útil a teoria das equações difereciais parciais elípticas, o Teorema do Poto Fio de Baach desempeha um papel crucial, coforme se pode ver à págia 8 de [] Além destes dois eemplos, vale citar que a eistêcia de solução f () para a equação itegral b f ( ) = λ K(, y) f ( y) dy + g( ), a ode K (, y) e g (y) são fuções cotíuas dadas, também pode ser estabelecida com o auílio do Teorema do Poto Fio de Baach, desde que λ seja suficietemete pequeo ( ver p e [3], à págia 9 ) Dada a importâcia deste teorema de poto fio é atural pergutar se as hipóteses do mesmo podem ser efraquecidas, o que levaria a evetuais geeralizações dos teoremas que dele depedem O que faremos este trabalho é discutir a ecessidade das hipóteses do referido teorema, mostrado por meio de eemplos que elas são realmete esseciais Acadêmico do Curso de Matemática da Uiversidade Federal de Uberlâdia Projeto de Iiciação Cietífica PROMAT FAMAT - UFU Professor da Faculdade de Matemática Uiversidade Federal de Uberlâdia Orietador de Projeto de Iiciação Cietífica o âmbito do PROMAT

2 Prelimiares: Defiição ( Cotração ): Sejam ( M, d ) e ( N, ρ ) espaços métricos Uma aplicação f : ( M, d ) ( N, ρ ) é dita ser uma cotração quado eiste uma costate c (,) tal que ρ ( f ( ), f ( y)) c, y ),, y M Defiição ( Sequêcia de Cauchy ): Uma seqüêcia ( ) um espaço métrico ( M, d ) é deomiada Sequêcia de Cauchy quado para cada ε > dado, eiste N tal que: m, > d ( m, ) < ε Defiição 3 ( Espaço Métrico Completo ) : Dizemos que o espaço métrico ( M, d ) é completo quado toda seqüêcia de Cauchy ( ) em M coverge para um poto p M a métrica d, isto é,, p) quado Defiição 4 ( Poto Fio ): Dizemos que p M é um poto fio da aplicação T : M M se T ( p) = p 3 O Teorema Pricipal e a ecessidade de suas hipóteses Teorema do Poto Fio de Baach: Seja M um espaço métrico completo e seja T : M M uma cotração Etão T possui um úico poto fio, isto é, eiste um úico p M tal que T ( p) = p Demostração: Seja um poto qualquer de M e cosidere a seqüêcia ( ) costruída da seguite forma: T ), = T ( ),, = T ( = ( + ), Observe que d (, ) = d ( T ( ), T ( )) c d (, ), 3) = T ( ), T ( )) c, ) c, )

3 Em geral temos que, + ) c, ) para todo iteiro positivo Segue, etão, que para todos os úmeros aturais [ c, + p + c ) + + c +, c ) + + p +, ] + ) +, ) = c +,, p temos: + 3 ) + + [ + c + + c p + p ], + p ) c, ) c e como < c <, segue que c quado, de ode cocluímos que ), ) uma seqüêcia de Cauchy em ( M, d) Sedo M completo, ) coverge para um poto p M Assim, como T é cotíua (pois sedo cotração, é lipschitziaa), T trasformará seqüêcia covergete em seqüêcia covergete, ou seja: ( T ( p) T (lim ) = limt ( ) = lim p = + = ( é Fica demostrada, portato, a eistêcia de poto fio de T Provemos agora a uicidade Para isso, supohamos que eistam a, b M tais que a = T (a) e b = T ( Etão, d ( a, = T ( a), T ( ) c a, ( c) a, e como c >, cocluímos que d ( a, =, ou seja, a = b Um fato que chama a ateção este teorema é a preseça de apeas duas hipóteses, suficietes para demostrá-lo Veremos agora algus eemplos que mostrarão ser estas hipóteses também ecessárias Precisamete, veremos que a coclusão do teorema fica prejudicada com a falta de qualquer uma delas Eemplo: Uma das hipóteses do Teorema do Poto Fio de Baach é que o espaço métrico seja completo Para mostrar que esta hipótese é essecial cosideremos o espaço métrico M = (,), o qual ão é completo, e a fução f : (,) (,) defiida por f ( ) = + É fácil ver que f é uma cotração e que f ão possui poto fio p o itervalo (,), pois f ( p) = p p + = p p = Este eemplo mostra que, mesmo tedo uma cotração, é impossível obter as coclusões do Teorema do Poto Fio de Baach caso o espaço métrico em questão ão seja completo A próima figura ilustra o comportameto da seqüêcia ( ) costruída

4 iterativamete a demostração do Teorema do Poto Fio de Baach Observe que apesar de ser de Cauchy, ela ão coverge para um poto do domíio da fução f Observe também que, se estedermos f cotiuamete o completameto do espaço (,), isto é, o domíio,] [, etão a seqüêcia ( ) poto fio de f, a saber, o poto p = covergirá, de fato, para o úico y = f ( ) = + y = 3 Eemplo : Quato à outra hipótese do teorema, basta tomarmos o espaço métrico completo dos úmeros reais com a métrica usual e a fução f : R R defiida primeiramete por f ( ) = + É fácil ver que esta fução ão é uma cotração o domíio R, e que ão possui poto fio pois f ( ) = + =, que ão possui solução real Logo, f ão possui ehum poto fio Por outro lado, se defiirmos f ( ) =, otamos facilmete que esta fução também ão é uma cotração, como o eemplo acima, mas agora perdemos a uicidade pois f possui dois potos fios, a saber: + 5 e 5

5 De fato, ± 5 f ( ) = = = = Eemplo 3: Não-epasões admitem poto fio? Não ecessariamete Neste caso tudo pode ocorrer As ão-epasões são aplicações f : ( M, d) ( M, d) tais que d ( f ( ), f ( y)), y ),, y M, e, a meos que se cosiga obter uma desigualdade aáloga com uma costate c (,), ão dá pra afirmar que f terá poto fio, ou etão que f terá um úico poto fio Os eemplos simples que seguem ilustram essa afirmação Um eemplo é a fução f : R R defiida por f ( ) = +, que é uma ão-epasão Neste caso claramete f ão possui poto fio, caso cotrário, teríamos a igualdade = Outro eemplo é a fução f : R R defiida por f ( ) =, que é uma ão-epasão Observe que, em oposição ao eemplo aterior, este caso todos os potos do domíio são potos fios Bibliografia [] Lima, Elo Lages; Espaços Métricos Rio de Jaeiro, IMPA, CNPq, 977 ( Projeto Euclides ) [] Brezis, H; Aalyse Foctioelle, Theorie et applicatios; Collectio Mathématiques Appliquées pour la maitrise [3] Goffma, C & Pedrick, G; First Course i Fuctioal Aalysis Pretice-Hall Series i Moder Aalysis

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