b) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça

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1 Capítulo 5 - Distribuições cojutas de probabilidades e complemetos 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Em relação a uma mesma eperiêcia podem ser cosideradas várias variáveis aleatórias. Eemplos: a) Trasmissão/recepção de siais em que cada um é classificado como: alta, média ou baia qualidade. Cosiderem-se as v.a. X - º de siais de alta qualidade Y - º de siais de baia qualidade Trata-se de duas variáveis discretas. 1 b) Fabrico de peças cilídricas X - comprimeto da peça Y - diâmetro da peça Trata-se de duas variáveis cotíuas. Nos Capítulos 3 e 4 estudou-se a distribuição de probabilidade de v.a. (discretas ou cotíuas), cosideradas isoladamete. Para duas ou mais v.a. o seu comportameto simultâeo é estudado usado as chamadas distribuições de probabilidade cojutas. Defiição: Dadas duas variáveis aleatórias discretas, chama-se fução de probabilidade cojuta a f XY (, ) P( X,Y ), tal que (1) f XY (, ) 0,, () f XY (, ) 1 Eemplo: Laçameto de dois dados perfeitos. Seja Orgaização da fução de probabilidade cojuta em tabela: X - º de vezes que sai a face 6 Y - º de vezes que sai a face 5 0,1, 0,1, Y \ X /36 8/36 1/36 P( X 0,Y 0) P( X 1,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 1) Gráfico: 1 8/36 /36 0 1/ P( X,Y 0) P( X 0,Y ) 3 P( X 1,Y ) 0 P( X,Y 1) 1/36 P( X,Y ) 0 P( X,Y ) /36 /36 16/36 8/36 1/

2 A partir da tabela podem calcular-se também as probabilidades (chamadas margiais) para X ou Y. Por eemplo: P( X 0) f XY ( 0,0) + f XY ( 0,1) + f XY ( 0,) f XY 0, 0 Estas probabilidades podem ser acrescetadas à tabela da fução de probabilidade cojuta: Y \ X 0 1 P( Y ) 0 16/36 8/36 1/36 5/36 1 8/36 / /36 1/ /36 5/36 10/36 1/36 1 P X 5 Nota: verificar que X ~ Bi, 1 6 e Y ~ Bi, 1 6 (diz-se que X e Y são ideticamete distribuídas) Defiição: Se X e Y forem v.a. discretas com fução de probabilidade cojuta f XY (, ), as fuções de probabilidade margiais de X e Y são f X f Y f XY (, ) P X P Y f XY (, ) Nota: dada uma fução de probabilidade cojuta, E( X), V( X), E( Y) e V( Y) podem ser calculados usado a f.p. cojuta ou as f.p. margiais: µ X f X E X f XY (, ) f XY, 6 Defiição: Dadas as v.a. discretas X e Y com f.p. cojuta f XY (, ), a fução de probabilidade codicioada de Y dado X (tal que f X > 0) é e verifica f Y (1) f Y f (, ) XY P Y X 0, () f Y Nota: Defiições semelhates para X dado Y. 7 f X 1 (tem as propriedades de uma f.p.) Defiição: O valor esperado codicioado de Y dado X é E Y µ Y f Y e a respectiva variâcia codicioada é µ Y V Y f Y Eemplo (cot.): Y X1 P( Y 0 X 1) P( Y 1 X 1) P( Y X 1) E( Y X 1) Y X0 P( Y 0 X 0) P( Y 1 X 0) P( Y X 0) E Y X

3 O coceito de idepedêcia de acotecimetos pode ser estedido a variáveis aleatórias. Defiição: Dadas duas v.a. discretas X e Y, se uma das seguites codições se verificar etão as outras também se verificam e as v.a. são idepedetes (1) f XY (, ) f X f Y,, () f Y f Y,, com f X > 0 (3) f X f X,, com f Y > 0 Eemplo (cot.): Serão X e Y idepedetes? Não, porque, por eemplo, P( X,Y ) 0 P( X )P( Y ) Cosequêcia da defiição de idepedêcia: Se X e Y são idepedetes, etão P( X A e Y B) P( X A) P( Y B) 9 5. Duas variáveis aleatórias cotíuas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Do mesmo modo que para caracterizar uma v.a. cotíua foi ecessário itroduzir o coceito de fução de desidade de probabilidade, defie-se para duas variáveis aleatórias cotíuas a fução de desidade de probabilidade cojuta. Defiição: A fução de desidade de probabilidade cojuta para duas v.a. cotíuas, X e Y, represetada por f XY,, satisfaz: (1) f XY (, ) 0, + + () f XY (, )dd 1 f XY (, ) (3) P ( X,Y) R R dd região R 10 Defiição: Dadas duas v.a. cotíuas, X e Y, com f.d.p. cojuta f XY (, ), as fuções de desidade de probabilidade margiais de X e Y são dadas por f X f Y + f XY (, )d + f XY (, )d Defiição: Dadas duas v.a. cotíuas, X e Y, com f.d.p. cojuta f XY (, ), a fução de desidade de probabilidade codicioada de Y dado X (tal que f X > 0) é f Y f (, ) XY f X e verifica: (1) f Y + 0, () f Y d 1 Defiição: O valor esperado codicioado de Y dado X é µ Y f Y E Y + d e a respectiva variâcia codicioada é µ Y V Y + f Y d Nota: Defiições semelhates para X dado Y. A defiição de idepedêcia coicide com a que foi dada para as variáveis discretas mas em que (, ), f X, f Y, f Y e f X são f XY fuções de desidade de probabilidade. f Y (3) P Y B X B d 11 1

4 5.3 Covariâcia e correlação Pretede-se uma medida que meça algum aspecto da variação cojuta de duas variáveis aleatórias. Iterpretação do sial da covariâcia: cov( X,Y) > 0: Defiição: a covariâcia etre duas v.a., X e Y, é dada por Y E X µ X cov X,Y [( Y µ Y )] Se ambas as v.a. forem discretas tem-se µ Y ( µ X ) µ Y f XY (, ) µ Se ambas as v.a. forem cotíuas tem-se Nota: potos com iguais probabilidades. Y + + ( µ X ) µ Y f XY, dd cov( X,Y) 0: cov( X,Y) < 0: Propriedades da covariâcia: 1) cov( X,Y) E( XY) µ X µ Y ) cov( X,Y) cov( Y, X) 3) cov( X, X) V( X) 4) cov( ax,y) acov( X,Y) cov( X,Y) + cov( Z,Y) 5) cov X + Z,Y 6) cov X i, j 1 Y j j 1 cov ( X i,y j ) 15 16

5 Eemplo (cot.): Calcular a covariâcia etre X e Y Y \ X /36 8/36 1/36 1 8/36 /36 0 1/ E( XY) X e Y ~ Bi, 1 6 E X logo E( Y) cov( X,Y) Sigificado: em média há uma tedêcia para decrescer quado cresce e vice-versa. O valor absoluto da covariâcia ão é iterpretável porque esta pode ser arbitrariamete alterada por uma mudaça de escala (propriedade 4). 17 Medida cujo sial dá a mesma idicação mas que é adimesioal e cujo valor absoluto já é iterpretável: Defiição: A correlação ou coeficiete de correlação etre duas v.a. X e Y é ρ XY Propriedades: 1) 1 ρ XY 1, X,Y Y cov X,Y V( X)V Y ) a) ρ XY 1 sse Y ax + b com a > 0 b) ρ XY 1 sse Y ax + b com a < 0 18 Demostração: 1) a) ρ XY 1 ) b) Pela demostração aterior, Cosidere-se a v.a. auiliar X + Y, sabe-se que V X + Y 0, X,Y, por outro lado V X + Y X E + Y E ( X ) + E Y E X µ X + E Y + E( XY) µ Y ρ XY 0 ρ XY 1 E X + Y µ X µ Y σ µ Xµ Y Y + E( XY) µ Xµ Y V X + Y 0 ρ XY 1 mas V X + Y 0 X + Y costate, o que demostra o resultado. Teorema: Se X e Y são idepedetes etão Y ρ XY 0 Demostração: Vamos admitir que X e Y são ambas discretas (seria semelhate para ambas cotíuas, substituido os itegrais por somatórios) b) ρ XY 1 Repetir a demostração aterior X com a v.a. auiliar Y 19 0

6 X e Y são idepedetes sse f XY logo (, ) f X E XY f Y,, f XY (, ) f X f Y f X f Y E( X)E Y pelo que Y 0 e ρ XY 0 Muito importate: a proposição iversa ão é verdadeira, isto é ρ XY Y 0 ão implica X e Y idepedetes Eemplo: Y \ X P( Y ) /6 0 1/6 0 1/1 1/ 1/1 / /6 0 1/6 1/1 5/6 1/1 1 P X Tem-se E( X) E( Y) 0 e E( XY) 0, pelo que Y 0, mas X e Y ão são idepedetes. 5.4 Combiações lieares de variáveis aleatórias Defiição: dadas p v.a.,, X,..., X p e p costates c 1,c,...,c p, Y c 1 + c X +...+c p X p é uma combiação liear de, X,..., X p. 1 Valor esperado duma combiação liear: 1) E( c 1 + c X ) c 1 E( ) + c E( X ) Demostração: ( c c ) f ( 1, ) E c 1 + c X 1 c 1 1 f ( 1, ) + c f ( 1, ) 1 c 1 E( ) + c E( X ) ) Geeralização de (1) 1 E c 1 + c X +...+c p X p c 1 E + c E X +...+c p E X p Variâcia duma combiação liear: 1) V c 1 + c X c 1 V( ) + c V( X ) + c 1 c cov(, X ) Demostração: V( c 1 + c X ) [ ] E c 1 + c X E ( c 1 + c X ) E c 1 + c X + c 1 c X [ ] c 1 µ 1 + c µ + c E( X ) + c 1 c E( X ) c 1 E c 1 E( ) µ 1 c 1 µ 1 c µ c 1 c µ 1 µ [ ] + c [ E( X ) µ ] + [ µ 1 µ ] + c 1 c E X c.q.d. 3 4

7 ) Geeralização de (1) p c i V X i V c c p X p 3) Caso particular de ) + p p + c i c j cov X i, X j j i+1 Se cov( X i, X j ) 0, i j, ou seja, se as v.a. forem ão correlacioadas duas a duas tem-se p c i V X i V c c p X p Nota: o mesmo acotece se as v.a. forem idepedetes duas a duas, uma vez que, como já se viu, esse caso as covariâcias duas a duas são ulas. 5 Casos especiais de somas de variáveis aleatórias: I) Propriedade reprodutiva da distribuição biomial a) Se ~ Bi( 1, p), X ~ Bi(, p) e e X forem idepedetes, etão + X ~ Bi( 1 +, p) ( + X represeta o úmero de sucessos em 1 + provas de Beroulli idepedetes com P(sucesso) costate e igual a p) b) (Geeralização) Se X i ~ Bi( i, p), i 1,...,k, idepedetes, etão k +...+X k ~ Bi i, p Caso particular: X i ~ Ber( p) Bi( 1, p), i 1,..., idepedetes, etão +...+X ~ Bi, p 6 II) Propriedade reprodutiva da distribuição de Poisso a) Se ~ Poisso( λ 1 ), X ~ Poisso λ X forem idepedetes, etão + X ~ Poisso( λ 1 + λ ) e e (Este caso pode ser visto como um limite do caso I)a)) b) (Geeralização) Se X i ~ Poisso( λ i ), i 1,...,k, idepedetes, etão +...+X k ~ Poisso k λ i III) Propriedade reprodutiva da distribuição Normal Se ~ N µ 1,σ 1, X ~ N µ,σ e e X forem idepedetes, etão c 1 + c X ~ N c 1 µ 1 + c µ,c 1 σ 1 + c ( σ ) IV) Mudaça de escala a distribuição epoecial Se X ~ Ep λ e c > 0, etão Y cx ~ Ep λ c Demostração: Seja para > 0 F Y P Y P ( cx ) P X c F X c 1 e λ c uma vez que para X ~ Ep( λ ), F X 1 e λ, > 0 7 8

8 5.5 Desigualdade de Chebchev * Esta desigualdade permite relacioar probabilidades, relativas a uma qualquer v.a., discreta ou cotíua, com os parâmetros µ e σ : Proposição: Para qualquer v.a. X, com valor esperado µ e desvio padrão σ, verifica-se (só é útil para c > 1). Eemplo: 1 c P X µ cσ c P( X µ cσ) (qq v.a. X) Estes valores são úteis se ão cohecermos a distribuição da variável, mas podem ser muito pessimistas. Por eemplo para X ~ N µ,σ, podem ser determiados eactamete e comparados com aqueles: c P X µ cσ X ~ N µ,σ P( X µ cσ) (qq v.a. X) * Ecepto para Probabilidades, Erros e Estatística 9 30 Demostração: Cosidere-se a v.a. auiliar Y, defiida da seguite forma 1, se X µ cσ Y 0, caso cotrário Tem-se E( Y) 1 P( Y 1) P( X µ cσ), por outro lado como 0 ou 1, e pela defiição de Y, Logo ( X µ ) ( X µ ) Y e ( X µ ) Y c σ Y E( X µ ) c σ E( Y) σ c σ P X µ cσ P( X µ cσ) 1 c 5.6 Teorema do Limite Cetral Este teorema justifica a grade utilidade e importâcia da distribuição ormal. T.L.C.: Se para todo o iteiro positivo,,..., X forem v.a. idepedetes e ideticamete distribuídas com valor esperado µ e variâcia σ, etão para cada z, real, tem-se X i µ lim P z σ Φ( z) Cosequêcia: Para,..., X as mesmas codições e grade verifica-se P a < X i < b Φ b µ Φ a µ σ σ 31 3

9 Observações: A demostração do teorema eige algumas ferrametas matemáticas avaçadas. Como E( X i ) µ, V( X i ) σ e,..., X são v.a. idepedetes tem-se E X i µ e V X i σ pelo que X i µ X i µ E 0 V σ σ 1 As v.a.,..., X podem ser discretas ou cotíuas. A aproimação das distribuições Biomial e Poisso à distribuição ormal (ver Capítulo 4), pode ser justificada por este teorema. Geralmete cosidera-se grade se Eemplo: Supoha-se que ao adicioar úmeros reais cada úmero é arredodado previamete para o iteiro mais próimo. Admita-se que os erros de arredodameto são v.a. idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição uiforme cotíua o itervalo [-0.5;0.5] (esta suposição é razoável se descohecermos à partida tudo sobre os referidos úmeros reais e admitirmos que também eles se distribuem uiformemete e idepedetemete algum itervalo) a) Qual é a probabilidade de que, ao adicioar 1500 úmeros, o valor absoluto do erro seja superior a 15? Pode afirmar-se que o valor absoluto do erro está certamete compreedido etre 0 e 750, mas este valor é muito pessimista. 34 Cosiderem-se as v.a. E i - erro a parcela i 1500 T - erro total T E i Tem-se E( E i ) 0 e V( E i ) ( 0.5 ( 0.5 )) 1 E( T) V( T) Pelo T.L.C. coclui-se que T E i ~ a N 0,15 Logo P( T > 15) 1 P( T 15) 1 P( 15 T 15) 1 P T P 1.34 T ( Φ( 1.34) ) Φ b) Quatos úmeros podem ser somados () para que T E i P E i < E( T ) 0 V( T ) 1 Pelo T.L.C. coclui-se que T ~ a N 0, 1 P( 10 < T < 10) Φ 10 1 Φ Φ Como Φ Φ Φ Φ Φ 1 ( 0.95) Resposta:

10 Pode-se "observar" o T.L.C. em "acção": Eemplo: Vamos realizar a eperiêcia do eercício aterior. Para isso seleccioamos totalmete ao acaso e de modo idepedete úmeros reais um dado itervalo e fazemos a difereça para o iteiro mais próimo (isto é equivalete a seleccioar aleatoriamete "erros" ao acaso o itervalo [-0.5;0.5]), em seguida somam-se os erros. Temos etão uma observação de T. Repetimos este processo 1000 vezes (isto pode ser feito em computador). Em seguida costruímos o histograma das frequêcias relativas das 1000 observações de S T µ σ T 1 e sobreposmo-lhe a desidade da distribuição N 0,1 37 Resultados: 1 Relative Frequec Histogram of s s Histogram of s5 Relative Frequec s5 Relative Frequec Histogram of s s10 39 A aproimação parece boa mesmo só com 10. (Uma eplicação é que a distribuição de partida é simétrica e cotíua) 40

11 Eperimetemos com outra distribuição: Resultados: Eemplo: Seja X i ~ Ep( 1), por eemplo, itervalo de tempo etre chegadas um processo de Poisso com taa λ 1. A v.a. T X i represeta o itervalo de tempo até à -ésima chegada. Vamos repetir o procedimeto descrito o eemplo aterior. Ou seja, para cada, obtemos 1000 observações de S T µ σ T ( µ E( X i ) 1 σ V( X i ) 1) Em seguida costruímos o histograma das frequêcias relativas das 1000 observações de S e sobreposmo-lhe a desidade da distribuição N 0,1. 1 Relative Frequec Histogram of se se Histogram of se5 Histogram of se0 Relative Frequec Relative Frequec se se

12 30 40 Histogram of se30 Histogram of se40 Relative Frequec Relative Frequec se se40 Aqui temos de ter maior para que a aproimação comece a ser razoável