MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS (BINOMIAL e POISSON)

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1 MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS (BINOMIAL e POISSON)

2 Modelos probabilísticos Algumas variáveis aleatórias (V.A.) aparecem com bastate frequêcia em situações práticas de eperimetos aleatórios (E.: peso, altura, úmero de descedetes, seo, espécie, etc.). Nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser descrita de uma maeira mais fácil através de uma lei (modelo) para atribuir probabilidades. Um mesmo modelo pode ser utilizado para descrever a distribuição de probabilidade de várias variáveis aleatórias. EEMPLOS DE POSSÍVEIS MODELOS: Peso, altura, temperatura V.A. cotíua Modelo Normal Número de???? V.A. discreta (cotagem) Modelo de Poisso Seo, cor V.A. discreta (biária) Modelos de Beroulli Biomial

3 Modelo Beroulli Na prática muitos eperimetos admitem apeas dois resultados Eemplo:. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um eame médico para detecção de uma doeça é positivo ou egativa. 3. Um etrevistado cocorda ou ão com a afirmação feita; 4. No laçameto de um dado ocorre ou ão face 6; 5. Ao ascer, um filhote pode ser macho ou fêmea. Esses eperimetos (esaios) apresetam alterativas dicotômicas e podem ser represetadas geericamete por uma resposta do tipo sucesso (S) fracasso (F) e recebem o ome de esaios de Beroulli e origiam uma variável aleatória com distribuição de Beroulli.

4 Distribuição de Beroulli Uma variável aleatória () de Beroulli é aquela que assume apeas dois valores se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, 0 < p <. Isto é, se (S) e (F)0. Logo a fução de probabilidade é dada por: 0 ) -p p f ( ) ) p ( p) ; 0, 0; c. c Notação: ~Beroulli (p). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição de Beroulli com parâmetro p Se ~Beroulli(p) pode-se mostrar que: E()p Var()p(-p). Repetições idepedetes de um esaio de Beroulli dão origem ao modelo (distribuição) Biomial.

5 Distribuição Biomial Cosidere a repetição de esaios de Beroulli idepedetes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que cota o úmero total de sucessos os esaios de Beroulli é deomiada de variável aleatória Biomial com parâmetros e p e sua fução de probabilidade é dada por: f ( ) ode )!!( p ( p), 0,,, 0, c. c, represeta o coeficiete Biomial. )! Notação, ~B(, p). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição Biomial com parâmetros e p. Se ~Biomial(, p) pode-se mostrar, a partir da Distribuição de Beroulli, que: E() p e Var() p(-p).

6 Eemplo Seja o eperimeto em que se observa o ascimeto de 0 filhotes de uma porca, em que a probabilidade de ascer um filhote macho ou fêmea é igual a 50%. Ecotre a probabilidade de ascer meos de duas fêmeas e o úmero esperado de ascimeto de fêmeas.

7 Seja o eperimeto em que se observa o ascimeto de 0 filhotes de uma porca, em que a probabilidade de ascer um filhote macho ou fêmea é igual a 50%. Ecotre a probabilidade de ascer meos de duas fêmeas e o úmero esperado de ascimeto de fêmeas. Eemplo Solução: Seja a variável aleatória : úmero de fêmeas ascidas. Etão M) F)/2. Logo, ~B(0, /5). c c P. 0,,0 0,,, 2 2 ) ( 0 < 2) 0) + ) , ) ( < P E[] p fêmeas

8 Eemplo 2 O professor da disciplia de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha cotedo 0 questões, cada uma com 5 alterativas. Supoha que parte dos estudates, que vão a fazer a prova, ão vão as aulas e ão estudaram para a prova (o que é muito frequete). O professor estabeleceu que para ser aprovado, o aluo deve acertar, pelo meos, duas questões (o que é pouco frequete). Qual a probabilidade de um aluo ser aprovado? S: questão respodida corretamete F: questão respodida icorretamete A probabilidade se sucesso é costate e cada estudate respode idepedetemete a questão Solução: Seja a v.a. : úmero de questões respodidas corretamete as 0 questões. Etão o eveto de iteresse é: 0 0 4, 0,,,0 ) 5 5 0, c. c 2) < 2) [ 0) + )] 0,446 S)/5 e F)4/5. Logo, ~B(0,/5). A probabilidade de um aluo ser aprovado é: 0,4466

9 Distribuição Biomial com parâmetros 0 e p p0, p0,3 ) ) p0,5 p0,8 ) )

10 Distribuição Biomial com parâmetros 20 e p p0, p0,3 ) ) p0,5 p0,8 ) )

11 Distribuição Biomial com parâmetros 30 e p p0, p0,3 ) ) p0,5 p0,8 ) )

12 Eemplo 3 Supoha uma ura com 20 peças boas e 5 peças ruis, etraímos da ura, cosecutivamete e com reposição, 2 peças. Ecotre a probabilidade de se obter 5 peças boas. S: obter uma peça boa em cada etração F: obter uma peça ruim em cada etração A probabilidade se sucesso é costate em cada etração e os resultado são idepedetes em cada etração. Solução: Seja a v.a. : úmero de peças boas (sucessos) as 2 etrações da ura. Etão o eveto de iteresse é: S)4/7 e F)3/7. Logo, ~B(2,4/7). A probabilidade de obter 5 peças boas é: 5) ) , 2, 0,,,2 c. c

13 Modelo de Poisso Na prática, muitos eperimetos cosistem em observar a ocorrêcia de evetos discretos em um itervalo cotíuo (uidade de medida). Eemplos:. Número de cosultas a uma base de dados em um miuto. 2. Número de casos de degue por quilômetro quadrado em Lavras. 3. Número de machas (falhas) por metro quadrado o esmaltado de uma geladeira. 4. Número de chamadas e/ou torpedos que você recebe o seu celular durate a aula o itervalo de tempo de 0:00 a.m. às :40 a.m. 5. Número de carros que chegam ao Campus etre 7,0 a.m. a 9,0 a.m.

14 Distribuição de Poisso Uma variável discreta tem distribuição de Poisso com parâmetro µ se sua fução de probabilidade é dada por: f ( ) ) e µ! 0; µ 0,,2, c. c. Em que: : úmero de evetos discretos em t uidades de medida, µ λ t é a media de evetos discretos em t uidades de medida e λ é a itesidade Notação: ~µ). Leia-se: é uma variável aleatória com distribuição de Poisso com parâmetro µ. Pode-se mostrar que se ~µ), etão E() µ, Var()µ

15 Eemplo. Uma tecelagem produz tecidos com 0, defeitos, em média, por metro quadrado. Qual é a probabilidade que ao selecioar um metro quadrado ao acaso ele teha mais de um defeito? Seja : úmero de defeitos por metro quadrado, etão, ~0,). >) 2)+3)+... -[0)+)] f ( ) 0, e 0,, 0,,2,3...! > ) [ 0) + )] [0,90 + 0,09] 0,0.

16 Eemplo 2. Supoha que a cetral telefôica de uma empresa de grade porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 miutos. Qual é a probabilidade que a cetral recepcioe 2 ou meos chamadas em um itervalo de 2 miutos? Seja : úmero de chamadas que recebe a cetral telefôica da empresa em 2 miutos, etão, ~µ). Aqui t2 e λ3/40,75, etão µ(0,75)(2),5, ou seja, ~,5) e f ( ),5,5! 2), 0,,2,3... 0) + ) + 2) e,5 [ +,5 +,5 2 2 ] 0,

17 4) 0) ) ) ) 50) ) )

18 A Distribuição Poisso Como Aproimação da Distribuição Biomial A distribuição Biomial para sucessos em esaios de Beroulli é dada por:., 0,, ) ( ) ( p p P Se µp, pµ/, substituido p a fução probabilidade temos P + µ µ µ µ µ! 2 ) (! ) (, e P temos Fazedo µ µ Na prática, se > 50 e p < 0,0 a aproimação de Poisso para probabilidades biomiais será cosiderada adequada.

19 Eemplo 3. A probabilidade de que um rebite utilizado a superfície da asa de uma aeroave seja defeituosa é de 0,00. Há 400 rebites a asa. Qual é a probabilidade de que sejam istalados ão mais de um rebite defeituoso? Se : úmero de rebites defeituosos a asa da aeroave. Etão, ~B(4000, 0,00) ) ( 0,00) ( 0,999) Usado a aproimação da biomial para Poisso (>50 e p<0.0), µ400(0,00)4 ~0.4) ) 0 e !