1. Experiência Aleatória. Espaço de resultados. Acontecimentos.

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1 Eperiêcia Aleatória Espaço de Resultados Acotecimetos Noção de robabilidade Frequêcia Relativa Arrajos ermutações Combiações Aiomas de robabilidade 5 artição do Espaço Teorema da robabilidade Total robabilidade Codicioada Teorema de Bayes Acotecimetos Idepedetes 7 Variáveis Aleatórias Discretas Fução de robabilidade Fução de Distribuição 8 Variáveis Aleatórias Cotíuas Fução de Desidade de robabilidade Fução de Distribuição 9 Média Valor esperado ropriedades do Valor Esperado Variâcia Desvio adrão ropriedades da Variâcia Covariâcia Coeficiete de Correlação Critério do Valor Esperado Moetário (VEM) Eperiêcia Aleatória Espaço de resultados Acotecimetos Se atirarmos uma moeda ao ar, deiado-a cair o chão, ela apresetará voltada para cima a cara (ou face) ou a coroa or sua vez, atirado um dado sobre uma mesa, quado ele se imobiliza pode apresetar voltada para cima qualquer uma das faces com,, 5, pitas Se uma ura tivermos bolas bracas e bolas pretas, ao tirarmos uma, sem olhar, podemos tirar ou uma bola braca ou uma bola preta Num jogo de futebol pode, em pricípio, acotecer qualquer resultado costituído por um par de úmeros iteiros absolutos: -, -, -, -5, As quatro situações apresetadas são eemplos de eperiêcias aleatórias Nelas a um determiado procedimeto ão correspode ecessariamete um certo efeito ao cotrário do que acotece as eperiêcias determiísticas Nestas a um certo procedimeto correspode sempre um certo efeito Nas eperiêcias aleatórias ocorrem certos resultados coforme decorre dos eemplos dados O cojuto de todos os resultados possíveis de uma eperiêcia aleatória desiga-se por espaço de resultados associados a essa eperiêcia O espaço de resultados costuma-se desigar por Ω Assim, por eemplo, - Laçameto de uma moeda ao ar { F,C} Ω ; F face ; C coroa, - Laçameto de um dado Ω {,,,,5, },

2 - Tiragem de uma bola de uma ura com bolas bracas e pretas Ω { B, } - Jogo de Futebol Ω {(,),(,),(, ), (, ),} Nos três primeiros casos temos espaços de resultados fiitos No quarto o espaço de resultados é ifiito Com os resultados podemos costruir acotecimetos Ou seja: a um acotecimeto iteressarão certos resultados Um resultado, ele próprio, é também um acotecimeto Desigado em geral os acotecimetos por A temos, por eemplo - Laçameto de uma moeda ao ar { F} A -saída de face, { C} A -saída de coroa, { F C} A, -saída de face ou coroa (Também chamado acotecimeto certo), A -ão saída em de face em de coroa (Também chamado acotecimeto impossível), { } - Laçameto de um dado {,,5 } A -saída de face ímpar, - Jogo de Futebol {,,} A -saída de face par, {(,)(, )(,)(, ),} A -empate {(,),(,),(, ), (, ),} A -vitória da equipa da casa

3 Noção de robabilidade Frequêcia Relativa Dada uma eperiêcia aleatória e o respectivo espaço de resultados podemos a cada acotecimeto associar um úmero, a probabilidade de A que desigaremos por ( A) Essa associação pode ser feita por imposição, levado em cota os acotecimetos da eperiêcia ou tedo em cota a história da realização da eperiêcia Etão, por eemplo, - Laçameto de uma moeda ao ar ( F ) ; ( C) ( F ) ; ( C) ou ou ( F ) ; ( C) - Laçameto de um dado ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ; ( ) ( ) ( ) e( ) ( 5) ( ) ; 9 9 ( ) ( ), ( ) ( ) ( 5) ( ) oderiam ser valores de probabilidade impostos os respectivos espaços de resultados Mas, admitido que a moeda com que realizamos a eperiêcia é hoesta (codicioalismo da eperiêcia) optaríamos por ( F ) ( C) No caso de um dado hoesto cosideraríamos sem dúvida ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) or outro lado, em face de uma certa moeda, de características descohecidas poderíamos optar por laçar a moeda ao ar um grade úmero de vezes, por eemplo Tedo-se observado 5 faces e 575 coroas seria lógico pôr

4 ( F ), 5 e ( C), 575 Ou seja: estamos a cosiderar as frequêcias relativas das faces e das coroas como sedo as respectivas probabilidades Aliás o coceito de frequêcia relativa está itimamete ligado com o de probabilidade, embora ão se devam cofudir or isso tivemos sempre ( A) e o somatório das probabilidades o espaço de resultados iguala Em espaços de resultados equiprováveis ( ( F ) ( C), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ), por eemplo, a probabilidade associada a cada resultado é (# Ω ) Nestes casos a probabilidade de um acotecimeto A é dada por ( A) m Em que -º de resultados favoráveis a A m -º de resultados possíveis EXEMLOS: Seja a eperiêcia do laçameto de um dado Supohamos que ele é hoesto 5 Etão e portato, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + (sair uma face par) p ({,,}) ( { } ) + ( { } ) + ( { } ) Ou (sair uma face par) (sair uma face com um úmero iferior ou igual a ) ({,}) ( { } ) + ( { } ) + Ou (sair uma face com um úmero iferior ou igual a ) Aida com a mesma eperiêcia mas ( ) ( ) ( ) e 9 ( ) ( 5) ( ), 9

5 5 + + e (sair uma face par) ({ }) + ( { } ) + ( { } ) (sair uma face com um úmero iferior ou igual ) ({ }) + ( { } ) Arrajos ermutação Combiações ara usar a fórmula ( A) é ecessário cotar e m ara isso m precisamos das oções de Arrajos ermutações e Combiações dos elemetos de um cojuto Comecemos por recordar que! ( )( ) com iteiro (! ) Seja etão um cojuto com elemetos: - Chamaremos permutações dos elemetos desse cojuto às diferetes maeiras como os podemos ordear Desigado-as por temos! Aos grupos de p elemetos do cojuto que podemos escolher chamamos combiações de p a p : C p e C p! p!( p)! Aos grupos de p elemetos do cojuto que podemos escolher, mas cosiderado a ordeação detro de cada grupo de p elemetos Chamamos arrajos de p a p : A p e A p! ( p)! 5

6 EXEMLOS: A,, Seja { } - As permutações são (,,) (,,) (,, ) (,, ) (,, ) (,,) Em úmero de! As combiações dos elemetos a são (,), (,)! C! ( ) As combiações dos elemetos a são e (,) em úmero de (,), (, ), (, ), (, ), (, ), (,) : em úmero de! A!! ( ) É imediato otar que C p A p p e prova-se facilmete que C p C p EXEMLOS: Seja uma ura com bolas bracas e pretas Supohamos que tiramos bolas da ura sem reposição

7 7 (saírem em bracas e preta) 7 7 C C C (saírem pretas) 7 (saírem bracas) 7 (sair braca e pretas) 7 Supohamos que jogamos o totoloto com aposta (gahar o º prémio) !!! 9 9 (gahar o º prémio) !!! 9 (gahar o º prémio)

8 Aiomas de robabilidade A teoria das probabilidades é uma teoria matemática com coerêcia itera ode portato ser desevolvida idepedetemete da realidade embora o objectivo do modelo assim costruído seja a sua aplicação a casos práticos Vamos ver de modo ligeiro como isto se processa Começaremos por os situarmos o âmbito da teoria dos cojutos Temos um Uiverso, o espaço de resultados, e cojutos que são os Acotecimetos (que, como vimos, são cojutos de resultados) O Uiverso, ele próprio, é o acotecimeto certo e o cojuto vazio é o acotecimeto impossível Há que garatir que os acotecimetos a cosiderar, através de operações de complemetação, itersecção e uião geram aida acotecimetos o espaço de resultados que estamos a cosiderar isto é: que costituem o que se chama uma σ -Álgebra Recordemos de forma simples essas operações: - Complemetação A A (complemetar de A) iteressam todos os resultados ão cosiderados em A, - Itersecção A A B (itersecção de A e de B) iteressam todos os resultados comus a A e a B, 8

9 - Uião A A B (uião de A e de B) iteressam todos os resultados que iteressam a A, a B ou a ambos De acordo com o que vimos em, e ão é difícil aceitar os seguites aiomas de probabilidade Note-se que ( A), ( Ω), ( A A A ) ( A ) + ( A ) + + ( ) A Desde que A, A, A sejam disjutos a - Se A A φ (acotecimetos disjutos) também se diz que são icompatíveis, - Como é obvio A A Ω e A A φ Etão E ( A) ( A) ( A) - Se A e B forem Acotecimetos quaisquer (ão ecessariamete icompatíveis) ( A B) ( A) + ( B) ( A B) 9

10 Obviamete, se A e B forem icompatíveis, - ( ) ( Ω) φ ( A B) ( A) ( B) + EXEMLO: Numa povoação todos os habitates cosomem ou o produto A ou o produto B sabe-se que % dos habitates cosomem o produto A e que 7% cosomem o produto B Façamos A cosumo do produto A B cosumo do produto B E, como é evidete, ( A) (um habitate cosumir o produto A), e B, ( ) 7 odemos calcular por eemplo: ( A) ( A), ( B) ( B), Como ( A B) ( A) + ( B) ( A B) dode cocluir-se que ( A B) ( A) + ( B) ( A B), +,7, habitates cosomem ou A ou B, ( A B) cosomem simultaeamete A e B ( A / B) ( A) ( A B),,, A \ B -cosumidores de A que ão cosomem B : Visto que como todos os Assim % dos habitates ( B \ A) ( B) ( A B),7,,

11 Em suma temos 5 artição do Espaço Teorema da robabilidade Total Diz-se que uma colecção de acotecimetos { A A, } do espaço de probabilidade se: - A A A Ω, - A A φ, i j or eemplo: i j, A costitui uma partição Como é óbvio A e A costituem uma partição do espaço de probabilidade A, A, Dado um acotecimeto qualquer B tem-se, como é evidete, que Seja etão um espaço de probabilidade Ω e uma sua partição { } ( B) ( B A ) + ( B A ) + + ( B ) A A

12 (Teorema da probabilidade total) Graficamete robabilidade Codicioada Teorema de Bayes Acotecimetos Idepedetes A probabilidade de A codicioado por B desiga-se por ( A B) e defie-se pela epressão ( A B) ( A B) (B) Tudo se passa como se o Uiverso passasse a ser B (Como é evidete B B ) ortato só iteressa a parte de A cotida em B ( ) As probabilidades codicioadas respeitam os aiomas da probabilidade como facilmete se verifica: - ( A B) - ( Ω B) +, Desde que, A A sejam disjutos dois a dois A, - ( A A A B) ( A B) + ( A B) + ( A B) Da defiição de probabilidade codicioada resulta que Como também se tem ( B A) ( A B) ( B) ( B A) ( A) e fialmete, ( A B) ( A B) ( B) ( B A) ( A) obtém-se ( A B) ( B A) ( A)

13 ( B A) ( A) ( A B) ( B) Que é o Teorema de Bayes (ote-se que permite relacioar codicioametos cotrários ) A B A A e B dizem-se idepedetes Isso é equivalete a ter-se Se ( ) ( ) ( A B) ( A) ( B) EXEMLOS: Dos habitates de um certo país sabe-se que % dos itegrates da classe alta vota em partidos de esquerda, acotecedo o mesmo com % dos da classe média e 8% dos da classe baia A classificação em classes alta, média e baia é estabelecida em fução redimetos e sabe-se que % da população está a classe alta, 5% a classe média e % a classe baia Calcule: a) A percetagem de votos a esquerda b) A probabilidade de um habitate que votou a esquerda ser da classe média c) A probabilidade de um habitate que ão votou a esquerda ser da classe alta RESOLUÇÃO: A ertecer à classe alta { A M, B} M ertecer à classe média B ertecer à classe baia, : costituem uma partição do espaço de probabilidade ( A), ; ( M ), 5; ( B), E -votar a esquerda ( E A), ( E M ), ( E B), 8

14 a) ( E) ( E A) + ( E M ) + ( E B) : pelo Teorema da probabilidade total ( E) ( E A) ( A) + ( E M ) ( M ) ( E B) ( B) + : pela defiição de probabilidade codicioada E,, +,,5 +,8,,7 7, Assim ( ) % b) ( M E) ( E M ) ( M ) : pelo Teorema de Bayes,,5,7 ( E) ( M E),8,8 % c) ( ) ( E A) ( A) A E ( E) ( ( E A) ) ( A) ( E) ( ) Sabe-se que ( A), e ( B),, Calcule ( A B) idepedetes,,,87 8,7%,7 sabedo que A e B são RESOLUÇÃO: A B A + B A B A + B A B, +,,,,5,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Numa ura há bolas bracas e bolas pretas Efectuou-se uma tiragem e repõe-se a bola a ura Faz-se uma seguda tiragem em seguida Determie: a A probabilidade de tirar uma bola braca da ª vez e uma bola preta da ª vez b A probabilidade de tirar uma bola braca e uma preta RESOLUÇÃO: A idepedêcia está garatida pela reposição (o que ão acotece o eemplo aálogo de ) a) ( B) 7 7 b) ( B) + ( B) Respoda à questão aterior mas sedo as tirages sem reposição

15 RESOLUÇÃO: a) ( B) 7 7 b) ( B) + ( B) Também podíamos respoder calculado 7 7!!5! Variáveis aleatórias discretas Fução de robabilidade Fução de distribuição Diremos que, de uma forma ituitiva, uma variável aleatória é um modo de fazer correspoder probabilidades a úmeros Esses úmeros são os valores que a variável aleatória assume Valores esses que ocorrem com uma determiada probabilidade Uma variável discreta assume valores um cojuto fiito ou ifiito umerável or eemplo: - Se atirarmos ao ar uma moeda hoesta e atribuirmos o valor à face e o valor à coroa temos a variável aleatória Valores robabilidades Numa lotaria com 5 bilhetes com úico prémio de cotos temos a variável aleatória Valores robabilidades No laçameto de dado hoesto se atribuirmos o valor quado saem as faces,, ou, o valor quado saem as faces ou 5 e o valor quado sai face temos a variável aleatória 5

16 Valores robabilidades Em geral uma variável aleatória discreta é dada pela sua fução de probabilidade Desigado uma variável aleatória por X (sempre por uma letra maiúscula) a fução de probabilidade é dada por p i ( X i) Costuma-se represetar por Obviamete, X i ( X i) p p p - p, i,,, - p i i i Temos também iteresse a fução de distribuição: F X ( ) ( X ) É uma fução ão decrescete e cotíua à direita p EXEMLO: - Seja a variável aleatória X : Valores robabilidade

17 Vista atrás A fução de probabilidade é X i ( X i) Graficamete A fução de distribuição é F X ( ),, 5,, 7

18 Graficamete Note-se que ão temos que ter ecessariamete,,, ode ser uma sucessão i, i, i, qualquer Algumas variáveis aleatórias discretas: - Beroulli de parâmetro p : ( X ) p ( p),, - Biomial de parâmetros N e p N ( X ) N p ( p),,,, N - oisso de parâmetro :! ( X ) e,,,, Também podemos ter a distribuição de probabilidade cojuta de duas variáveis aleatórias: ( X i Y j) ij 8

19 Costuma-se idicar com uma tabela de dupla etrada or eemplo X Y Assim, ( X Y ) e ( X Y ) Note-se que X Y ortato a fução de probabilidade X, também dita fução de probabilidade margial de X, é X i ( X i) 7 E a fução de probabilidade margial de Y é Y j ( Y j) 5 7 9

20 Também se podem defiir, por eemplo, a fução da probabilidade de X codicioada por Y : X Y : ( X Y ) i (( X Y ) i) Ou por eemplo, a fução de probabilidade Y codicioada por X : Y X : ( Y X ) j (( X Y ) j) Se, aida, fizermos por eemplo Z X + Y a sua fução de probabilidade é Z i 5 7 ( Z i) 5 8 Variáveis aleatórias cotíuas Fução de desidade de probabilidade Fução de distribuição Uma variável aleatória cotíua assume valores um cojuto ifiito ão umerável Neste caso, a um valor ão correspode probabilidade mas sim desidade de probabilidade Só a um itervalo é que correspode probabilidade ortato se X é uma variável aleatória cotíua e ( ) desidade de probabilidade tem-se que E, por eemplo, - ( ) f, - ( ) d + f, f a sua fução de

21 - ( ) ( ) ( )d f a X a X a - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < b a d f b X a b X a b X a b X a, - A sua fução da distribuição é, tal como para as variáveis aleatórias discretas dada por ( ) ( ) X F ortato, ( ) ( )dt t f F EXEMLO: - Se X é uma variável aleatória epoecial de parâmetro ( ),,, e X f Assim, ( ) ( ) [ ],, e e dt e dt t f F t t ( ) [ ] e e d e ( ) [ ] e e d e 9 Média Valor Esperado ropriedades do Valor Esperado Se X for uma variável aleatória discreta o valor esperado de X, ou média de X, que desigaremos por µ ou [ ] X E é dado por [ ] i ip i X E µ EXEMLOS: - ara a variável aleatória

22 E [ X ] E [ X ] p, E [ X ] Np, µ E X i ( X i) - ara uma distribuição de Beroulli 5 - ara uma distribuição Biomial - ara uma variável aleatória cotíua [ X ] f ( )d EXEMLO: ara a variável aleatória epoecial µ f ( ) d de d [ e ] e d e [] E Tem as propriedades seguites idepedetemete de X e Y serem cotíuas ou discretas: E [ ax + by ] ae[ X ] + be[ Y ] a,b, Costates E [ K] K, K Costate E XY E X E Y Desde que X e Y sejam idepedetes [ ] [ ] [ ] NOTA: Duas variáveis aleatórias discretas dizem-se idepedetes se se verificar a codição p ij i p j ara quaisquer i e j

23 Em relação à tabela de fução de probabilidade cojuta dada em 7 tem-se, por eemplo p ( X Y ) e p ( X ) ( ) 5 p Y 5 elo que X e Y ão são idepedetes - Duas variáveis aleatórias cotíuas dizem-se idepedetes se Em que ( y) f ( ) e ( y) (, y) f ( ) f ( y) f f, é a fução de desidade de probabilidade cojuta de X e Y e f as fuções de desidade de probabilidade de X e de Y, respectivamete EXEMLOS: Aida em relação à tabela de fução de probabilidade cojuta de E [ X ] + +, E [ Y ] E, portato, E [ X + Y ] E[ X ] + E[ Y ] Mas E [ Z] E recorde-se que se fez Z X + Y

24 Variâcia Desvio adrão ropriedades de Variâcia Covariâcia Coeficiete de Correlação Vamos desigar a variâcia de X por Var [ X ] ou Em que - Se X for discreta VAR [ X ] ( i E[ X ]) pi i - Se X for cotíua [ X ] ( E[ X ]) f ( )d VAR - Em qualquer caso VAR [ ] E[ X ] E [ X ] [ X ] E ( X E[ X ]) a) Se X for discreta σ E [ X ] i pi i b) Se X for cotíua E [ X ] f ( )d O desvio padrão de uma variável aleatória é σ (raiz quadrada positiva da variâcia) O coeficiete de variação é dado por µ σ e dá-se, em geral, em percetagem EXEMLOS: - Em relação à tabela de fução de probabilidade cojuta de 7 tem-se E 7 [ ] 7 X + + ortato,

25 VAR [ X ] E[ X ] E [ X ] σ 8 σ X e 8%, µ 9 E 5 7 [ Y ] + VAR [ Y ] E[ Y ] E [ Y ] 8 σ y σ Y e % µ y 8 - ara uma variável aleatória epoecial E [ X ] e d [ e ] e d e d de d VAR [ X ], σ e ropriedades importates da variâcia são - Var [ K], K costate - VAR [ ax + by ] a VAR[ X ] + b VAR[ Y ] + abcov[ X, Y ] Em que [ X, Y ] E[ XY ] E[ X ] E[ Y ] σ µ cov, é a covariâcia de X e de Y - Em relação à tabela de fução de probabilidade cojuta de 7 tem-se E [ XY ]

26 9 8 COV [ X, Y ] 5 7 VAR [ X + Y ] VAR[ X ] + VAR[ Y ] + COV [ X, Y ] Mas E [ Z ] VAR [ z] e, recorde-se, Z X + Y Chama-se coeficiete de correlação liear etre X e Y, e desiga-se por ρ, y a quatidade dada por - ρ,, ρ X,Y X Y [ X, Y ] [ X ] VAR[ Y ] COV ρ X, Y VAR : diz-se grade quado o seu valor em módulo é próimo de Neste caso idica uma correlação liear forte etre X e Y Caso cotrário essa correlação diz-se fraca, - Se ρ X, Y, X e Y têm o mesmo setido de crescimeto (quado uma cresce a outra também cresce) - Se ρ, quado uma cresce e outra decresce, X, Y - Se X e Y forem idepedetes [ X, Y ] 89 COV e, portato, ρ, mas pode ter-se ρ X, Y sem que X e Y sejam idepedetes X, Y EXEMLO: - Em relação à tabela de probabilidade cojuta de 7 tem-se ρ 7 X, Y,9% ortato a correlação etre X e Y é fraca, crescedo uma quado a outra decresce

27 Critério do Valor Esperado Moetário Cosiste, basicamete, em face de várias opções, escolher a correspodete ao maior valor moetário, em média Certo fabricate vê-se cofrotado com a decisão de desevolver ou ão o produto Y O custo do projecto de desevolvimeto está orçado em um, sedo,75 a probabilidade estimada de êito, caso em que o fabricate terá de optar por um ível de produção (e capacidade a istalar) elevado ou por um moderado O lucro bruto (isto é, sem cosideração do custo de desevolvimeto do projecto) será, para um ível de produção elevado, de 5, ou de 5 um o caso de a procura fial se vir a revelar alta, média ou baia respectivamete Se optar por um ível de produção moderado, esses valores serão de 8, 8 e u m O idustrial estima que as probabilidades de a procura fial vir a ser alta, média ou baia são, respectivamete de,,, 5 e, a) Liste as diferetes decisões à disposição do idustrial b) Qual a mais favorável? Vamos resolver a questão empregado o critério do valor Esperado Moetário VEM : Escolher a alterativa que apreseta um maior valor esperado moetário (um maior gaho/lucro esperado) O º passo é listar todas as alterativas à disposição do decisor or alterativa etede-se uma sequêcia de decisões (decisão sequecial) em que se cojugam elemetos o cotrole do decisor (em que ele tem de optar) e elemetos fora do cotrole do decisor (acotecimetos aleatórios) Esta listagem é coveietemete feita com o auílio de um diagrama árvoreeste coteto, de uma árvore de decisão No problema dado, a árvore é a seguite: 7

28 Estão assim listadas as 8 (ou 9) alterativas (sequêcias) possíveis Ter em ateção que: Um círculo é chamado ó de acotecimeto dele partem acotecimetos aleatórios (a soma das probabilidades de acotecimetos que partem de um mesmo ó é igual à uidade) Um rectâgulo é desigado ó de decisão dele partem acções/decisões alterativas a serem tomadas pelo decisor Um triâgulo idica o fim de uma sequêcia Após isto, vamos echer a árvore com as iformações dispoíveis: º - Escrever as probabilidades dos acotecimetos os correspodetes ramos Escrever o resultado fial (gaho moetário) de cada sequêcia o fial desta (juto a ) E (reproduzido parte da árvore): NOTA: O valor de R 5 u m obtém-se Fazedo [Lucro bruto relevate] - [Custo do des do projecto] Ou seja 5 - º Calcular, começado pela direita para a esquerda, os valores esperados moetários (gaho esperado) e iscrever os valores ecotrados os círculos (ós de ac) correspodetes Trasportar para o rectâgulo imediatamete à esquerda o valor esperado mais elevado ecotrado e cortar os ramos dos valores esperados iferiores E (reproduzido parte da árvore): 8

29 O valor um é o gaho esperado ao optar-se por um ível de produção elevado À partida ão se sabe o gaho l de produção elevado O gaho depede do ível de procura que se vier a registar oder-se-à sim, calcular o gaho esperado com essa opção adicioado os gahos para cada ível de procura poderados pelas respectivas probabilidades (VA discreta!) E [Gaho c/ produção elevada], 5 +,5 +, 5 O mesmo se faz para o caso de se optar por um ível de produção moderado No caso de se decidir ão produzir o produto o valor a cosiderar é (custo do projecto de desevolvimeto) Recuado a árvore, ido mais para a esquerda Vamos supor etão que tiha de decidir etre: - Não produzir Y Suportado uma perda de um - Fiar ível elevado de produçãoo que espera gahar um - Fiar ível moderado de produçãoo que espera gahar 8 um Será lógico que detre as, se decidiria pela ª opção, pois apreseta um gaho esperado maior Assim, cortar-se-ão as outras duas e trasportar-se-à o valor 8 um para o ó de decisão (rectâgulo) relevate (o imediatamete aterior) roceder-se-à desta forma até atigir o ó de decisão iicial 9

30 Obter-se-à a sequêcia óptima para o decisor (a que apreseta um maior gaho esperado), pois todas as outras foram sedo cortadas Vejamos a árvore com cálculos completos: A decisão a tomar será portato, levar por diate o projecto de desevolvimeto do produto y, a tedo êito, optar por um ível de produção moderado O valor esperado moetário (gaho esperado VEM desta decisão é 7 u m NOTAS: ) Ter em ateção que as probabilidades este tipo de aálise são frequetemete probabilidades subjectivas ) Que o critério usado VEM pode ão ser relevate para o decisor e/ou ão ser adequado em determiadas situações