Lista de Exercícios 5
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- Inês Domingues
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1 Itrodução à Teoria de Probabilidade. Iformatica Biomedica. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 22 de juho de Lista de Exercícios 5 1 Modelos Probabilísticos Discretos 85. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa compahia são defeituosos com probabilidade 0,01, idepedetemete us dos outros (isto é, a fração ão-coforme de parafusos a produção é 0,01. A compahia vede os parafusos em pacotes de dez uidades e oferece uma garatia de devolução do diheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos o pacote com dez parafusos. (i Qual a proporção de pacotes vedidos para os quais a compahia deve efetuar devolução de diheiro? (ii Supodo que o úmero de parafusos defeituosos um determiado pacote é idepedete dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos teha que retorar à compahia para devolução do diheiro? 86. Supoha que o úmero de erros tipográficos em uma úica págia de um livro tem distribuição Poisso(1/2. (i Calcule a probabilidade de existir exatamete dois erros tipográficos em uma págia. (ii Calcule a probabilidade de que exista pelo meos um erro em uma págia. (iii Supoha agora que o livro em questão possui 200 págias. Qual a probabilidade de ão existir erros tipográficos este livro? 87. Supoha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquia seja defeituoso é 0,1. Determie a probabilidade de que uma amostra de dez ites coterá o máximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas distribuições biomial e Poisso. 88. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisso(λ. Determie P (X A, ode A {0, 2, 4,...}. 89. Cosidere X Poisso(λ. (i Mostre que E[X ] λe[(x ]. (ii Calcule E[X 4 ]. (iii Determie E[X!] para 0 < λ < 1. (iv Determie E[cos(πX] 1
2 e Var(cos(πX. 90. Seja X uma variável aleatória biomial com parâmetros e p. Mostre que P (X atige o valor máximo para [( + 1p] ([x] deota o maior eteiro meor ou igual a x. 91. Supoha que esaios idepedetes, cada um tedo probabilidade p de sucesso, 0 < p < 1, são realizados até que um total de R sucessos seja acumulado. Seja X o úmero de esaios ecessários para se obter o total de R sucessos. Determie a distribuição de X (dizemos, este caso, que X possui distribuição biomial egativa com parâmetros R e p. 92. Cosidere a variável aleatória X do exercício aterior. Determie E[X] e Var(X. [Observe que X Y 1 +Y Y R, ode Y i tem distribuição geométrica de parâmetro p, 1 i R.] 93. Se esaios idepedetes, cada um deles resultado em suceso com probabilidade p, são realizados idefiidamete, qual a probabilidade de que R sucessos ocorram ates de M fracasos? 94. Sejam X e Y variáveis aleatórias biomiais com parâmetros (, p e (m, p, respctivamete. (i Determie a distribuição de X + Y. (ii Determie a distribuição codicioal de X dado X + Y. 95. Sejam X e Y variáveis aleatórias Poisso com parâmetros λ e µ. Mostrar que: (i X + Y é Poisso(λ + µ, (ii a distribuição codicioal de X dado X + Y é biomial. Ecotrar os parâmetros da distribuição em (ii. 96. Se X geometrica, etão P (X + X > P (X para, 1. (i Esto é iterpretado como perda de memória, por que? (ii Mostre que ão existe outra distribuição os eteiros com ista propriedade. 97. Uma ura cotem N bolas das quais b são azuis e r ( N b são vermelhas. Uma amostra aleatória de bolas e retirada sem reposição da ura. Mostrar que o úmero B de bolas azuis a amostra the distribuição P (B ( b ( N b / ( N Esta distribuição é a distribuição hypergeometrica com parâmetros N, b e.. 2
3 98. (i Mostrar que se X toma valores eteiros ão egativos, etão E[X] P (X >. 0 (ii Uma ura cotem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas são removidas ao acaso até aparecer a primeira bola azul. Mostrar que o úmero esperado de bolas removidas é (b + r + 1/(b Em 1710, J. Arbuthot observou que o úmero de meios ascidos em Lodres superou ao úmero de meias em 82 aos sucessivos. Supodo que os dois sexos podem ocorrer a mesma proporção, e que 2 82 é pequeo, Arbuthot atribuiu a difereça observada à Providecia Divia. Supohamos que o ascimeto de uma meia tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultate em cada ascimeto é idepedete dos outros. (i Mostrar que a probabilidade de que a miimas sejam mais umerosas que os meios em 2 ascimetos é ( 2 p q q q p. ode q 1 p. (ii Supoha que asceram pessoas em 82 aos sucessivos. Mostrar que a probabilidade de que os meios superem o úmero de meias em cada ao é ao meos 0, Sejam X e Y variáveis aleatórias Beroulli(1/2 idepedetes. Mostrar que X + Y e X Y são depedetes mas ão correlacioadas. 2 Modelos Probabilísticos Cotíuos 101. Se X é uiformemete distribuída o itervalo (0,20, calcule a probabilidade de: (i X < 3, (ii X > 12, (iii X 3 < Se X é uma variável aleatória ormal com µ 3 e σ 2 9, determie: (i P (2 < X < 5, (ii P (X > 0. Respostas 95. (i P (X + Y P (X P (Y 0 e λ µ! 0 0 ( λ µ e λ µ (λ + µ.! 3 e λ λ (! e µ µ!
4 (ii P (X X + Y P (X, X + Y P (X + Y P (X P (Y P (X + Y ( λ µ (λ + µ, e etão a distribuição e Biomial(, λ/(λ + µ. 96. P (X + X > P (X +, X > P (X > p(1 p+ 1 p(1 p 1 P (X. p(1 p j 1 j+1 (i Seja X o tempo de espera até ocorrer o eveto A. Se o tempo de espera é geometrico, etão a perda da memória tem a seguite iterpretação: dado que A ão ocorreu até o tempo, o tempo a ser esperado a partir de 0 tem a mesma distribuição do tempo a ser esperado quado ja trascorreu. (ii Não. Segue-se da resposta acima que qualquer processo deste tipo satisfaz G( + G(G(, ode G( P (X >. Etão G( + 1 {G(1} +1, logo X é geometrica. 94. (i P (X + Y P (X j, Y j j0 ( ( m p j q m +j p j q j j j j0 ( ( ( m m + p q m+ p q m+, j j j0 a qual represeta a Biomial(m +, p. 97. Existem ( ( b maeiras de eleger bolas azuis, e N b maeiras de eleger bolas vermelhas. O úmero total de maeiras de elegir bolas é ( N. O resultado é imediato. 4
5 98. (i E[X] mp (X m m0 0 m+1 P (X m m 1 m0 0 P (X m P (X >. (ii Seja N o úmero de bolas retiradas. Segue-se da resposta em (i, E[N] P (N > 0 0 r b + r r! b! b + r! 0 0 P (primeiras bolas são vermelhas 0 r 1 r + b 1... r + 1 b + r + 1 ( + b b + r + 1 b b + 1, 0 0 utilizado a idetidade combiatória ( ( + b r + b + 1, b b + 1 (já que ( ( x r 1 + x ( r x+1 r. r! (b + r! (b + r! (r! 99. (i O úmero G de meias tem distribuição biomial(2, p. Etão, P (G 2 G P (G 2 ( 2 ( 2 p q 2 p q 2 ( 2 p q q q p, ode foi utilizado o resultado ( ( 2 2 para tudo. Se agora p 0, 485 e 10 4, etão podemos utilizar a aproximação de Stirlig (a qual resulta útil para calcular! se é grade:! 2π +1/2 e, isto é, ( 2 p q q q p 1 [ ] 0, 515 (1 0, 03( π 0, 03 0, 515 ( π 10 4 Etão a probabilidade de que os meios sejam mais umerosos que as meias em 82 aos sucessivos é ao meos ( ,
6 100. X + Y e X Y ão estam correlacioadas já que cov(x + Y, X Y E [ (X + Y X Y ] E [ X + Y ] E [ X Y ] Mas, 1 4 P (X + Y 0, X Y 0 P (X + Y 0P ( X Y , tal que X + Y e X Y são depedetes. 6
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) E X. ) = 0 2 ( 1 p ) p = p. ) E 2 ( X ) = p p 2 = p ( 1 p ) ( ) = i 1 n. ( ) 2 n E( X) = ( ) = 1 p ( ) = p V ( X ) = E ( X 2 E X
3.5 A distribuição uiforme discreta Defiição: X tem distribuição uiforme discreta se cada um dos valores possíveis,,,, tiver fução de probabilidade P( X = i ) = e represeta-se por, i =,, 0, c.c. X ~ Uif
) E 2 ( X) = p p 2 = p( 1 p) ) = 0 2 ( 1 p) p = p ( ) = ( ) = ( ) = p. F - cara (sucesso) C - coroa (insucesso)
3.6 A distribuição biomial Defiição: uma eperiêcia ou prova de Beroulli é uma eperiêcia aleatória só com dois resultados possíveis (um deles chamado "sucesso" e o outro "isucesso"). Seja P(sucesso) = p,
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