1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROC. ESTOCÁSTICOS APLICADOS (CE 222) Prof. Benito Olivares 1 o Sem./ 2017

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROC. ESTOCÁSTICOS APLICADOS (CE ) Prof. Beito Olivares o Sem./ 7. Classifique e costrua uma trajetória para os seguites processos: a) O processo X (t) defiido por X ( t) = Y cosω t, t, ode ω é costate e Y ~ U (,). b) Pacietes chegam uma cosulta médica em istates aleatórios de tempo. Seja X o tempo (em horas) que o -ésimo paciete deve esperar a sala ates do seu atedimeto. c) Um processo{ X, } em que X, X,...são variáveis aleatórias i.i.d.beroulli (p).. Cosidere um processo estocástico defiido por X ( t) = Y cos( ω t + Θ) t R, sedo Y e Θ variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Uiforme sobre os itervalos (-A, A) e (-π,π) respectivamete. É X(t) fracamete estacioário? 3. Cosidere um processo estocástico defiido por X ( t) = U cost + ( V + )se t, t R, sedo U e V variáveis aleatórias idepedetes de média zero e segudo mometo igual a. Ecotre a fução covariâcia de X(t). É X(t) fracamete estacioário? 4. Cosidere o processo {, } X, ode X = Z + Z Z e os Z s são variáveis aleatórias i.i.d. de média zero e variâcia σ. É o processo X estacioário em algum setido? 5. Seja {, } X o Passeio Aleatório Simples, ou seja um processo X = Z i,, =,,..., ( X = ), sedo Z,...Z variáveis aleatórias iid com i= P( Z = ) = p e P( Z = ) = p,. Ecotre a fução Média e a fução Variâcia do processo X.

2 6. Supoha que um processo X (t) é fracamete estacioário com fução de τ autocorrelação R X ( t, t + τ ) = e. a) Ecotre o segudo mometo da v.a. X(5). b) Ecotre o segudo mometo da v. a. X(5)-X(3). 7. Cosidere um processo estocástico defiido por X ( t) = U cosω t + V seω t, t R, sedo U e V variáveis aleatórias idepedetes e ω costate. a) Mostre que a codição E(U) = E(V) = é ecessária para X(t) ser estacioário. b) Mostre que X(t) é fracamete estacioário se, e somete se, U e V são ãocorrelacioadas com variâcias iguais. 8. Seja { X ; } uma cadeia de Markov de dois estados. Ecotre: a) P ( X = / X =, X = ). b) P( X X ). c) P ( T = ). d) P T = ). ( 9. Seja { X ; } uma cadeia de Markov. Mostre que P X = x / X = x,..., X = x ) = P( X = x / X ). ( = x. Uma ura cotém 5 bolas, das quais duas são vermelhas e três pretas. A itervalos de tempos regulares escolhe-se uma bola ao acaso. Se a bola escolhida for vermelha, pita-se a mesma de preto e recoloca-se a ura. Aalogamete, se a bola selecioada for preta, pita-se de vermelho e recoloca-se a ura. O processo para quado todas as bolas estão da mesma cor. Supoha que o iteresse seja o úmero de bolas vermelhas a ura em qualquer istate. a) Modele como um processo estocástico (ou seja, defia as variáveis e espaços ecessários). b) O processo pode ser cosiderado uma cadeia de Markov? Justifique. c) O processo pode ser cosiderado uma cadeia de Nascimeto e Morte? Justifique. Caso afirmativo ecotre a fução de trasição. d) A cadeia é irredutível? e) Ecotre a matriz de trasição.. Supoha que temos duas caixas e bolas, das quais 5 são pretas e 5 são vermelhas. Iicialmete, a metade das bolas são colocadas a caixa I e as restates a caixa II.

3 Em cada esaio uma bola é escolhida aleatoriamete de cada uma das caixas e essas duas bolas são trocadas de caixa. Seja X o úmero de bolas pretas iicialmete a caixa I e seja X o úmero de bolas pretas a caixa I após o -ésimo esaio. Ecotre a fução de trasição da cadeia. Ecotrar a probabilidade de, em dado istate, ter 4 bolas a caixa I e logo após dois esaios ter somete duas.. Um sociólogo propõe modelar a evolução das classes sociais a que pertece um idivíduo como uma cadeia de Markov { X, }, sedo X a classe social do idivíduo a -ésima geração e os estados correspodedo às classes baixa, média e alta respectivamete. a) Faça a modelagem. Atribua probabilidades que você achar razoáveis. Justifique. b) Se eu perteço à classe média, qual a probabilidade do meu eto pertecer à classe alta? c) Qual a probabilidade de que a quarta geração de uma pessoa da classe baixa veha a pertecer à classe alta? d) Calcule a probabilidade de uma família ser rica pela primeira vez em duas gerações. e) O que você acha que acotecerá após muitas gerações? 3. Seja { X ; } uma cadeia de Ehrefest e supoha que X tem uma distribuição biomial de parâmetros d e ½, ou seja d x P( X = x) =, x =,..., d. d Ecotre a distribuição de X. 4. Cosidere a cadeia de Ehrefest com d=3 a) Ecotre P x ( T = ), x S e 3. b) Ecotre P, P e P 3. c) Seja ππ a distribuição Uiforme. Ecotre ππ, ππ e ππ Cosidere a cadeia de Markov tedo espaço de estados {,, } e matriz de trasição p p a) Explique ou iterprete o comportameto da cadeia. 4 b) Mostre que P. c) Ecotre P,.

4 6. Cosidere uma cadeia de Markov sobre os iteiros ão egativos tal que, saido de xx, a cadeia vai para o estado xx + com probabilidade pp ( < pp < ) e vai para o estado com probabilidade pp. a) Mostre que essa cadeia é irredutível. b) Ecotre P ( T = ),. c) Mostre que essa cadeia é recorrete. 7. Cosidere uma cadeia de Markov tedo espaço de estados SS = {,,, 6} e matriz de trasição / / 8 / 4 / 8 / / / / / / a) Determie quais estados são trasietes e quais recorretes. b) Ecotre ρρ yy, yy SS. 8. Supoha que o último ceso idica que as pessoas estão se deslocado das áreas rurais para as áreas urbaas a uma taxa de 5% ao ao e que as pessoas das áreas urbaas deslocam-se para as áreas rurais a uma taxa de % ao ao. Supoha, aida, que o ceso revelou que 8% da população mora atualmete em área urbaa e % em área rural. Admita que a população permaece costate e que o Processo satisfaz à propriedade Markoviaa. a) Assumido estacioariedade, que percetagem da população estará residido em área rural dois aos após o último ceso? (para isso ecotre Π ). b) Assumido estacioariedade, qual a distribuição da população o que diz respeito à moradia em zoa rural ou urbaa 3 aos após o último receseameto? c) Existe uma distribuição estacioária? Caso afirmativo, calcule-a. d) Existe limite de P? Justifique. 9. Um certo produto é fabricado por duas empresas A e B que cotrolam totalmete o mercado. Atualmete a empresa A detém 6% dos cosumidores e a empresa B os 4% restates. A cada ao, a empresa A perde /3 dos seus clietes para a empresa B, equato que, o mesmo período, a empresa B perde a metade dos seus clietes para A.

5 a) Modele como uma cadeia de Markov. b) Trata-se de um processo de Nascimeto e Morte? c) A distribuição iicial é estacioária? d) Existe uma distribuição estacioária para a proporção de clietes? Ela é úica? Justifique e) Ecotre a distribuição estacioária f) Podemos afirmar que a distribuição limite coicide com a distribuição estacioária? Justifique. g) Calcule a proporção de clietes de cada marca detro de dois aos.. Cosidere uma cadeia de Markov tedo espaço de estados {,,} e matriz de trasição Mostre que essa cadeia possui uma úica distribuição estacioária e ecotre-a.. Cosidere uma cadeia de Markov tedo fução de trasição dada por P( x, y) = α y, x s, y s. Sedo α y costate. Mostre que existe uma úica distribuição estacioaria dada por π ( y) = α y, y s.. Seja π uma distribuição estacioaria de uma cadeia de Markov. Supoha que y e z são dois estados tais que para alguma costate c: P( x, y) = cp( x, z), x s. Mostre que π ( y) = cπ ( z). 3. Cosidere uma caal de comuicação biário com as seguites probabilidades de trasição PP(,) =. e PP(,) =.. a) Ecotre a matriz a passos PP. b) Ecotre a distribuição de XX quado a distribuição iicial é PP(XX = ) = PP(XX = ) =.5. c) Ecotre o limite de PP, quado. d) Ecotre, se existir, a distribuição estacioária. Ela coicide com o limite de PP? e) 4. Sejam π e π duas distribuições estacioárias distitas para uma cadeia de Markov Mostre que para α, a fução π α defiida por π α ( x) = ( α) π ( x) + π ( x), x s, é uma distribuição estacioária.

6 5. Cosidere uma cadeia de ascimeto e morte sobre os iteiros ão-egativos e supoha que p =, px = p > e qx = q = p > para x. Ecotre a distribuição estacioária quado ela existir. 6. (Difícil!) Ecotre a distribuição estacioária de uma cadeia de Ehrefest e idique a média e variâcia dessa distribuição. 7. Cosidere uma cadeia de Markov sobre os iteiros ão-egativos tedo fução de trasição dada por P ( x, x + ) = p e P( x,) = p, < p <. Mostre que essa cadeia possui uma úica distribuição estacioária e ecotre-a. 8. A fução de trasição de uma cadeia de Markov é chamada duplamete estocástica se P( x, y) =, y S. x S Qual a distribuição estacioária de uma cadeia de Markov irredutível com d estados e tedo fução de trasição duplamete estocástica? 9. Uma partícula se movimeta ao logo de um círculo que possui marcas umeradas,,, 3 e 4 em setido horário. Em cada passo existe uma probabilidade p da partícula pular para direita (setido horário) e -p de pular para esquerda (setido ati-horário). Seja X a localização da partícula o círculo após o -ésimo passo. Existe uma distribuição estacioária? Calcular a probabilidade limite P. 3. Cosidere uma cadeia de Markov sobre {,,,3,4,5,6}tedo matriz de trasição dada por / / 8 / 4 / 8 / / / / / / Ecotre a distribuição cocetrada em cada um dos cojutos fechados irredutíveis. 3. Cosidere uma cadeia de Markov sobre {,,,3,4,5}tedo matriz de trasição dada por

7 / / 3 / 4 / / 3 / 4 / 5 / 8 3/ 4 / 5 7 / 8 / 4 / 4 / 5 / 4 / 5 Ecotre a distribuição cocetrada em cada um dos cojutos fechados irredutíveis. 3. Cosidere uma cadeia de Markov sobre {,,} tedo matriz de trasição / / a) Mostre que a cadeia é irredutível. b) Ecotre o período. c) Ecotre a distribuição estacioária. 33. Cosidere uma cadeia de Markov sobre {,,, 3, 4} tedo matriz de trasição / 3 / 3 / 4 / 4 3/ 4 3/ 4 a) Mostre que a cadeia é irredutível. b) Ecotre o período. c) Ecotre a distribuição estacioária.