Lista 2 - Introdução à Probabilidade e Estatística

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista - Itrodução à Probabilidade e Estatística Modelo Probabilístico experimeto. Que eveto represeta ( =1 E )? 1 Uma ura cotém 3 bolas, uma vermelha, uma verde e uma azul. a) Cosidere o seguite experimeto. Retire uma bola da ura, devolva-a e retire uma seguda bola. Descreva o espaço amostral. b) Repita o exercício o caso em que a primeira bola retirada ão é devolvida. Propoha o espaço amostral para os seguites experimetos a) Uma moeda é laçada duas vezes. b) Um dado e uma moeda são laçados simultaeamete c) Uma caeca cai de uma mesa. d) Duas cartas são retiradas de um baralho de 5 cartas. e) Um pacote de seis cartas umeradas é embaralhado e os úmeros são revelados um a um. f) Laçar uma moeda até sair cara. g) Que horas seu relógio mostra agora. 3 Dois dados são laçados. Seja E o eveto em que a soma dos dados é impar; seja F o eveto em que pelo meos um dos úmeros a face virada para cima seja 1; e seja G o eveto em que a soma é 5. Descreva os evetos E F, E F, F G, E F, e E F G. 4 Um dado é laçado sucessivas vezes até aparecer um 6 a face virada para cima. Neste istate o experimeto aliza. Qual é o espaço amostral deste experimeto? Seja E o eveto em que laçametos são ecessários para completar o 5 Um sistema está formado por 5 compoetes, cada uma das quais está em fucioameto ou com falha. Cosidere o experimeto que cosiste em observar o estado de cada compoete. Assuma que o resultado do experimeto está dado por um vetor (x 1, x, x 3, x 4, x 5 ), ode x i é igual a 1 se a i-ésima compoete está fucioado e igual a 0 caso cotrário. a) Qual a cardialidade do espaço amostral deste experimeto. b) Assuma que o sistema estará em fucioameto caso as compoetes 1 e estejam fucioado, ou se as compoetes 3 e 4 estão fucioado ou se as compoetes 1, 3 e 5 estão fucioado. Seja W o eveto em que o sistema está fucioado. Especique os potos amostrais de W. c) Seja A o eveto em que as compoetes 4 e 5 falham. Qual a cardialidade deste eveto? d) Escreva todos os potos amostrais do eveto A W. 6 O admiistrador de um hospital codica os pacietes vítimas de arma de fogo que igressam a uidade hospitalar segudo teham ou ão plao de saúde (código 1 se tem cobertura e código 0 se ão tiver) e de acordo a sua codição, que é avaliada como boa (b), razoável (r) ou péssima (p). Cosidere o experimeto que cosiste em codicar estes pacietes. a) Descreva o espaço amostral deste experimeto. b) Seja A o eveto em que o paciete está em uma codição péssima. Especique os potos amostrais de A.

2 c) Seja B o eveto em que o paciete ão tem um plao de saúde. Especique os potos amostrais de B. d) Apresete todos os potos amostrais do eveto B A. 7 [Distribuição de objetos em cubículos.] Cosidere o espaço amostral decorrete de alocar k objetos (bolas, etc.) em cubículos (caixas,uras, etc.) eumerados de 1 a. Esta classe de problemas aparece, por exemplo, a Física Estatística quado é estudada a distribuição de k partículas (prótos, elétros, etc.) etre estados (que podem ser íveis de eergia). Na física estatística dizemos que: a)as partículas obedecem a estatística de Maxwell-Boltzma se são distiguíveis. b)as partículas obedecem a estatística de Fermi- Dirac se são idistiguíveis e se estão sujeitas ao pricípio de exclusão de Pauli (i.e. o máximo uma partícula por sítio). c)as partículas obedecem a estatística de Bose- Eistei se são idistiguíveis mas ão estão sujeitas ao pricípio de exclusão de Pauli (i.e. sem restrição ao úmero de partículas por sítio, como o caso da estatística de Maxwell- Boltzma). Descreva o espaço amostral para estes modelos de alocação de partículas. 8 Cosidere o experimeto aleatório que cosiste em observar os primeiros movimetos de uma partícula que se desloca aleatoriamete o cojuto Z = {..., 1, 0, 1,... } dos úmeros iteiros. A partícula começa sua trajetória a origem o istate 0 e a cada istate de tempo 1,, 3,... a partícula se move aleatoriamete para a direita ou para a esquerda. Descreva o espaço amostral deste experimeto. 9 Descreva o espaço amostral quado o experimeto cosiste em observar a trajetória completa do passeio aleatório. Isto é, se observarmos seus movimetos em todos istate de tempo, N. 10 Cosidere uma ura que que cotém M bolas eumeradas 1,,... M ode M 1 bolas tem a cor b 1,..., M r tem a cor b r, e M M r = M. Supoha que retiramos uma amostra de tamaho < M sem substituição. Descreva o espaço amostral do experimeto. 11 Mostre as seguites relações a) E F E E F. b) Se E F etão F E. c) F = (F E) F E ), e E F = E (E F). d) Para qualquer sequêcia de evetos E 1, E,... dea uma sequêcia de evetos F 1, F,... disjutos dois a dois tais que para cada 1, i=1 E i = i=1 F i. 1 Sejam E, F e G três evetos. Ecotre uma expressão para os seguites evetos a) Apeas o eveto E ocorre. b) Os evetos E e G ocorrem mas ão o eveto F. c) Pelo meos um dos evetos ocorre. d) Pelo meos dois dos evetos ocorrem. e) Os três evetos ocorrem. f) Nehum dos evetos ocorre. g) No máximo, um dos evetos ocorre. h) No máximo, dois dos evetos ocorrem. i) Exatamete dois dos evetos ocorrem. j) No máximo, três dos evetos ocorrem. 13 Supoha que um experimeto é realizado vezes. Para qualquer eveto E do espaço amostral seja (E) o úmero de vezes que o eveto E ocorre, e dea f(e) = (E)/. Mostre que f(.) satisfaz os axiomas de uma probabilidade. 14 Se P[E] = 0, 9 e P[F] = 0, 8 mostre que P[E F] 0, 7. Em geral, mostre a desigualdade de Boferroi, P[E F] P[E] + P[F] 1

3 15 Mostre que a probabilidade de que exatamete um dos evetos E ou F ocorra é igual a P[E] + P[F] P[E F]. 16 Prove que P[E F ] = P[E] P[E F]. 17 Mostre que A B se e somete se 1 A 1 B ; e que A B = se, e somete se, 1 A 1 B = Mostre que se P e Q são duas probabilidades etão ap + bq é uma probabilidade, ode a, b 0 e a + b = 1. Foreça um exemplo cocreto de uma mistura deste tipo. 19 Se P é uma probabilidade, que axiomas satisfazem P/ e P. 0 Seja (A ) N uma sequêcia de evetos. a) Mostre que se P[A ] = 1, N etão P[ N A ] = 1. b) Mostre que se P[A ] = 0, N etão P[ N A ] = 0. * 1 Mostre que P[E F G] = P[E] + P[F] + P[G] P[E F G] P[E F G] P[E F G ] P[E F G]. 3

4 Respostas dos Exercícios 1 Se deotarmos uma bola vermelha por Va, uma verde por Ve e uma azul por A teremos que o espaço amostral será dado por: a) Ω = {(Va, Va), (Va, Ve), (Va, A), (Ve, Va), (Ve, Ve), (Ve, A), (A, Va), (A, Ve), (A, A)} b) Ω = {(Va, Ve), (Va, A), (Ve, Va), (Ve, A), (A, Va), (A, Ve)} a) Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}, ode 0 represeta coroa e 1 represeta cara. b) Ω = {(i, a) : i {1,, 3, 4, 5, 6}, a {0, 1}}. c) Há várias opções depededo de qual seja o iteresse de quem esteja observado o experimeto. i) Ω = {S, N} ode S represeta que a caeca quebrou e N represeta que a caeca ão quebrou. ii) Ω = {1,,...} se o iteresse for em registrar o úmero de partes da caeca espalhados o chão após a queda. iii) Ω = {A, B, D, E} se o iteresse for em saber se após a queda a caeca cou virada para Acima ou para Baixo; ou se a orelha da caeca cou para Direita ou para Esquerda. d) Se C deota o cojuto de cartas, etão Ω = {A : A C e A = }. Em outras palavras, Ω cosiste de todos os subcojutos de duas cartas de um baralho de 5 cartas. e) O espaço amostral cosiste de todas as permutações do cojuto {1,, 3, 4, 5, 6}. f) Se registrarmos o úmero de laçametos ecessários até sair cara, Ω = {1,,...}. g) Se o relógio for um digital podemos tomar como espaço amostral Ω = {(h, m, s) : h Ω h, m Ω m, s Ω s }, ode Ω h = {1,,... 4}, Ω m = {0, 1,..., 59} e Ω s = {0, 1,..., 59}. 3 O espaço amostral correspode a este experimeto é Ω = {(1, 1), (1, ),..., (6, 6)} = {(ω 1, ω ) : ω i {1,, 3, 4, 5, 6}, i = 1, }. Desta forma temos que i) E F = {(1, ), (1, 4), (1, 6), (, 1), (4, 1), (6, 1)}. ii) E F represeta o eveto em que a soma é impar ou pelo meos um dos dois úmeros sorteados é o úmero 1. iii) F G = {(1, 4), (4, 1)}. iv) E F = {(, 3), (, 5), (3, ), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (5, ), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 5)}. v) E F G = F G. 4 4 Uma escolha de espaço amostral é dada por Ω = {(, x 1,..., x 1 ),, x i 6, i = 1,..., 1} {1} ode (, x 1,..., x 1 ) represeta a situação em que o úmero 6 foi sorteado pela primeira vez o -ésimo laçameto e x i represeta o resultado do i-ésimo laçameto. O eveto {1} represeta o eveto o qual o úmero 6 é sorteado o primeiro laçameto. O eveto ( =1 E ) represeta o eveto em que o úmero 6 uca é sorteado. 5 a) 5 = 3. b) W = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 1)}. c) 8. d) A W = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}. 6 a) Ω = {(1, b), (0, b), (1, r), (0, r), (1, p), (0, p)}. b) A = {(1, p), (0, p)}. c) B = {(0, b), (0, r), (0, p)}. d) B A = {(1, p), (0, p), (1, b), (1, r)}. 7 Modelo de Maxwell-Boltzma. Neste modelo de alocação de partículas em cubículos, as partículas são distiguíveis e um cubículo pode comportar mais de uma partícula. Nestas codições o espaço amostral para este experimeto é dado por Ω = {(ω 1,..., ω k ) : 1 ω i i}, ode ω i é o úmero do cubículo ode a i-ésima partícula é alocada. Note que Ω = k. Modelo de Fermi-Dirac. Neste modelo as partículas são cosideradas idistiguíveis e ocupação múltipla de cubículos ão é permitida. Neste caso, Ω = {(ω 1,..., ω ) : ω i = 0ou1 j e j=1 ω j = k}. Note que Ω = ( k). Modelo de Bose-Eistei. Neste modelo as partículas são idistiguíveis e ocupação múltipla dos cubículos é permitida. Neste caso, Ω = {(ω 1,..., ω ) : ω j 0 e j=1 ω j = k}, ode ω j represeta o úmero de partículas presetes o cubículo j. Note que Ω = ( +k 1 k 1 ). 8 Ω = {(ω 1, ω,..., ω ) : ω i { 1, 1}, 1 i } ode ω i = 1 represeta um passo à esquerda o i-ésimo movimeto e ω i = 1 represeta um passo à direita o i-ésimo movimeto.

5 9 Ω = { 1, 1} N = {(ω i ) i N : ω i = 1 ou 1, i N}. 10 Ω = {ω : ω = (a 1,..., a ) : a k a l se k l, a i = 1,,..., M}. Note que Ω = (M) m. 11 d) F 1 = E 1 e F i = E i ( i 1 j=1 E j ) para i. 1 a) E F G. b) E G F. c) E F G. d) (E F) (E G) (F G). e) E F G. f) E F G. g) (E F G ) (E F G ) (E F G ) (E F G) h) (E F G). i) (E F G ) (E F G) (E F G). j) Ω. 13 f(.) satisfaz as seguites propriedades: i) f(e) 0 para qualquer eveto E já que (E) 0. ii) Se A B = etão f(a B) = (A B) (A)+(B) = f(a) + f(b). iii) f(ω) = (Ω) = = 1. = 14 Sedo que 1 P[E F] = P[E] + P[F] P[E F] cocluímos que P[E F] P[E] + P[F] O eveto E F = (E \ F) (F \ E) represeta o eveto em que só um dos evetos E ou F ocorre. Logo, P[E F] = P[E \ F] + P[F \ E] = P[E] P[E F] + P[F] P[E F]. 16 Sedo que E F = E \ (E F) e que E F E cocluímos que, P[E F ] = P[E] P[E F]. 17 Assuma que A B. Seja ω Ω. Tem-se três casos. i) Se ω A etão ω B e este caso tem-se que 1 A (ω) = 1 B (ω) = 1. ii) Se ω B \ A etão 1 A (ω) = 0 < 1 = 1 B (ω). iii) Se ω B etão 1 A (ω) = 1 B (ω) = 0. Cocluímos que 1 A 1 B. Agora assuma que 1 A 1 B. Seja ω A. Logo, 1 = 1 A (ω) 1 B (ω) 1. Portato 1 B (ω) = 1; ou, de forma equivalete, ω B. 18 Comecemos otado que para qualquer eveto E, (ap + bq)(e) = ap(e) + bq(e). Logo, i) Do fato que P(E), Q(E) 0 para qualquer eveto E segue-se que (ap + bq)(e) 0. ii) Se E, F são dois evetos disjutos temos que (ap + bq)(e F) = ap(e F) + bq(e F) = 5 a(p(e) + P((F)) + b(q(e) + Q) = (ap(e) + bq(e)) + (ap(f) + bq(f)). iii) (ap+bq)(ω) = ap(ω)+bq(ω) = a.1+b.1 = P/ satisfaz os axiomas i e ii já que i) P/(E) = P(E) 0 para qualquer eveto E e, ii) se E, F são dois evetos disjutos etão P/(E F) = P(E F)/ = P(E)+P(F) = P/(E) + P/(F). P satisfaz os axiomas i e iii já que i) P (E) 0 para qualquer eveto E e iii) P (Ω) = 1 = 1. 0 Assuma que P(A ) = 0 para qualquer. Sedo que 0 P( N A ) N P(A ) = 0 cocluímos que P( N A ) = 0. Para cocluir o exercício ote que P( N A ) = 1 P(( N A ) ) = 1 P( N A ) e que se P(A ) = 1 para todo etão P(A ) = 0 para todo. 1 Verique que E F G = A B C com A, B, C disjutos dois a dois ode A = E \ ((E F G) (E F G)), B = F \ ((E F G ) (E F G)) e C = G \ (G F E ). Logo aplique as propriedades de uma probabilidade. Outra solução: Pelo Pricipio de Iclusão exclusão: P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) P(E F) P(E G) P(F G) + P(E F G) Agora use que e assim E F = (E F G C ) (E F G) E G = (E G F C ) (E G F) F G = (F G E C ) (F G E). P(E F) = P(E F G C ) + P(E F G) P(E G) = P(E G F C ) + P(E G F) P(F G) = P(F G E C ) + P(F G E). Somado P(E F) + P(E G) + P(F G) = P(E F G C )+P(E F F C )+P(F G E C )+3P(E F G), Agora substitua a fórmula de iclusão exclusão.