λ λ n n Distribuição de Poisson Exemplo. Considere a transmissão de n bits em um canal de comunicação digital. X : número de bits em erro

Transcrição

1 Distribuição de Poisso Eemplo. Cosidere a trasmissão de bits em um caal de comuicação digital. X : úmero de bits em erro Probabilidade p de erro costate e trasmissões idepedetes Distribuição biomial λ=p EX ( ) = p= λ! λ λ f ( ) = p (1 p) = 1! ( )!

2 Supohamos que o úmero de bits trasmitidos aumeta e probabilidade de um erro decresce de modo tal que p permaece costate. EX ( ) = λ= p= cost. λ lim PX ( = ) = lim 1 Prova: = e λ λ! λ ( ) ( ) Passo 1 (1 p) e p

3 Dedução l[(1 p) ] = ( )l(1 p) p 2 e = 1 p+ Op ( ) 1 p l(1 p) p, para p 1 ( )( p) p (1 p) e p

4 Passo 2! ( )! Dedução:! l l(!) l(( )!) ( )! = l ( )l( ) + ( ) ( ) / l( ) = l+ l 1 l l( e ) l

5 ! l l ( )l( ) + ( ) ( )! l( ) l ( ( )l( ) = ( ) l ) 2 = l l + l l

6 ! l l ( )l( ) + ( ) ( )! ( )l( ) l l! l l ( l l ) + ( ) ( )! = l! ( )!

7 ! p e lim p (1 p) = p e =!!!! ( ) λ λ! ( )! (1 p) ~ e p lim PX ( = ) = e λ λ! = 0,1,2,...

8 Defiição Dado um itervalo de úmeros reais, supoha que as cotages ocorrem aleatoriamete ao logo do itervalo. Se o itervalo pode ser particioado em subitervalo suficietemete pequeos tais que: 1. a probabilidade de mais de uma cotagem em um subitervalo é zero. 2. a probabilidade de uma cotagem em um subitervalo é a mesma para todos os subitervalos e proporcioal ao comprimeto do subitervalo. 3. a cotagem em cada subitervalo é idepedete dos outros subitervalos. Etão o eperimeto é deomiado um processo de Poisso. X úmero de cotages o itervalo f ( ) - variável aleatória de Poisso Fução de massa de probabilidade de X = e λ λ!

9 Gráficos o Maple > f:=(,lambda)->ep(-lambda)*lambda^()/(!); f := (, λ ) e ( λ ) λ! > :=20: > data:=[seq(,=0..)]: > ydata:=[seq(f(,6),=0..)]: > with(plots):with(statistics): > P1:=PoitPlot(ydata,coords=data, color=blue, symbol=circle): > display(p1):

10 λ= 6

11 λ= 15

12 λ=0.5

13 Eemplo Falhas ocorrem aleatoriamete ao logo de um fio de cobre. X variável aleatória que cota o úmero de falhas em um comprimeto de L mm de fio. Supoha que o úmero médio de falhas em L mm é λ Determie a distribuição de probabilidade de X Partição do comprimeto do fio em subitervalos de comprimeto muito pequeo, p. e. 1µ m Suposições: probabilidade de que ocorra mais de uma falha o subitervalo é desprezível. falhas ocorrem aleatoriamete (cada subitervalo tem a mesma probabilidade p de coter uma falha. a probabilidade de que um subitervalo coteha uma falha é idepedete dos outros subitervalos.

14 Podemos modelar a distribuição de X como uma variável aleatória biomial. Como EX ( ) = p= λ= cost. temos p = λ Se os subitervalos forem suficietemete pequeos, é muito grade e p muito pequeo.

15 Supoha que o úmero de falhas siga uma distribuição de Poisso, com uma média de 2,3 falhas por milímetro. Determie a probabilidade de termos eatamete 2 falhas em 1 mm de fio. X - úmero de falhas em 1 mm de fio EX ( ) = 2.3= p= λ PX ( = ) = e λ λ! e 2.3 PX ( = 2) = = !

16 Determie a probabilidade de termos 10 falhas em 5 mm de fio. E( X) = 5mm 2.3 falhas / mm= 11.5falhas= p= λ e 11.5 PX ( = 10) = = ! Determie a probabilidade de ao meos termos 1 falha em 2 mm de fio. E( X) = 2mm 2.3 falhas / mm= 4.6falhas= p= λ 4.6 PX ( 1) = 1 PX ( = 0) = 1 e =

17 Eemplo. A cotamiação é um problema a maufatura de discos ópticos. O úmero de partículas de cotamiação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisso, e o úmero médio de partículas por cm quadrado de superfície do disco é 0.1. A área do disco em estudo é de 100 cm quadrados. Ecotre a probabilidade de que 12 partículas ocorram a área de um disco sob estudo. X úmero de partículas a área de um disco sob estudo 2 2 E( X) = 100cm 0.1 particulas / cm = 10particulas= p= λ e 10 PX ( = 12) = = !

18 Probabilidade de que ehuma partícula ocorra o disco sob estudo 10 5 PX ( = 0) = e = Probabilidade de que meos 12 partículas ocorram a área do disco: PX ( 12) = i= 0 > P:=Sum(ep(-10)*10^i/(i!),i=0..12)=evalf(Sum(ep(- 10)*10^i/(i!),i=0..12)); e i 10 i! 12 (-10 ) i P := e 10 = i! i = 0

19 Variâcia e Valor Médio µ = E( X ) = λ 2 σ = V ( X ) = λ

20 Eemplo. Temos uma caia com 200 fusíveis. A eperiêcia mostra que 2% deles são defeituosos. Qual a probabilidade de ecotrarmos 5 ou meos fusíveis defeituosos a caia? = 200 p = 0.02 EX ( ) = (200)(0.02) = 4= p= λ 5 4 e 4 PX ( 5) = = 0.785! = 0

21 Usado distribuição biomial! f ( ) = p (1 p) = p (1 p)! ( )! 5 200! 200 P( X 5) = 0.02 (1 0.02)! 200! = 0 ( ) = (1 0.02) = > p:=2/100::=200: > P:=Sum(biomial(,)*p^*(1-p)^(-),=0..5); P := 5 = 0 biomial ( 200, ) ( 200 ) > evalf(p);

22 Poisso, p = 4

23 > fp:=(,lambda)->ep(-lambda)*lambda^()/(!); fp := (, λ ) e ( λ ) λ! > fb:=(,,p)->biomial(,)*p^*(1-p)^(-); fb := (,, p ) biomial (, ) p ( 1 p ) ( ) > :=200:p:=0.02:lambda:=*p: > data:=[seq(,=0..14)]: > ydata_p:=[seq(fp(,lambda),=0..14)]: > ydata_b:=[seq(fb(,,p),=0..14)]:

24 > sum(fp(,lambda),=0..5);sum(fb(,,p),=0..5); > with(plots):with(statistics): > Pp:=PoitPlot(ydata_p,coords=data, color=blue, symbol=circle): > Pb:=PoitPlot(ydata_b,coords=data, color=red, symbol=circle): > display([pp,pb]);

25 Poisso, p = 4 Biomial = 200, p = 0.02 > evalf(fb(10,,p)-fp(10,lambda));

26 Poisso, p = 10 Biomial = 50, p = 0.2 = 0 fp (, λ ) ; = 0 fb (,, p )