DERIVADAS. Professor Dr. Jair Silvério dos Santos * e n 2 =

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1 MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 4, 3 (00) Cálculo Cálculo Diferecial e Itegral I DERIVADAS Professor Dr Jair Silvério dos Satos * Prova-se facilmete por idução fiita que para todo N, i i ( + ) e i i ( + )( + ) 6 CÁLCULO DE ÁREAS Seja f : [a ; b R uma fução Cama-se área sob ao gráfico de f, a área A compreedida etre o gŕafico de f, o eixo ox e as retas x a e x b Como exemplo tome f : [0 ; R dada por f(x) x cujo gráfico esta esboçado a Figura oy O 05 5 F igura (x, x ) ox Cosidere a área A sob o gráfico da curva (x, x ) para x [0; Podemos calcular uma aproximação para A utilizado a subdivisão do itervalo [0, dada por x 0 0, x 05, x, x 3 5 e x 4 Calculado a área A 5 acurada a figura vemos que A 5 05(05) + 05() + 05(5) Ou seja A 5 75 Cosidere agora a subdivisão x 0 0, x 05, x 05, x 3 075, x 4, x 5 5, x 6 5, x 7 75 e x 8 Seja A 9 a área acurada correspodete à esta subdivisão Etão A 9 05[(05) + (05) + (75) + + (5) + (5) + (75) 05[ Exercício 0 Calcule a aproximação A 7 da área A acima utilizado a seguite subdivisão de [0, x 0 0, x 05, x 05, x , x 4 05, x 5 065, x 6 075, x , x 8, x 9 5, x 0 5, x 375, x 5, x 3 65, x 4 75, x e x 6 Resp A * ttp://dfmffclrpuspbr/ jair DFM-FFCLRP-USP

2 SANTOS, J S Veja euma das aproximações A 5 75, A e A (resposta do Exercício 0) coicide com o valor exato da aárea A desejada Qual será o valor exato? Tome o itervalo [0 ; Vamos dividir este itervalo em itervalos, cotidos em [0 ; de mesmo comprimeto Cosidere os itervalos ;, para i,,, Observamos que todos estes itervalos [ (i ) i estão cotidos o itervalo [0 ; e que todos eles têm o mesmo comprimeto, isto é, Camamos o cojuto P {x i i [ (i ), para i 0,,, } de Partição do itervalo [0 ; Os itervalos i ;, de subitervalos do itervalo [0 ; Deomiamos soma de Riema de f(x) x relativa à Partição P o úmero real ( ) 0 f( ( 4 ) + ) f( 4 ( i ) + + i0 f( i ) 8 3 i0 (i ) ) f( i ( ) + + i 8 [ ( + )( ) ) f() Seja A(P ) Para cada temos A(P ) uma aproximação da área total sob a curva (x, x ), que é a área sob o gráfico de f(x) x Aida, A(P ) (0) Observamos que A 8 3 é a área total que procurávamos Compare com as aproximações A 5, A 9 calculadas acima e A 7 (resposta do Exercício 0) Exercício 0 a a fução g Cosidere g : [0 ; R dada por g(x) x 3 Repita todos os cálculo ateriores para Para resolver o exercício 0 será ecessário valer-se da seguite expressão [ ( + ) i 3 i Sejam f : [a ; b R uma fução cotíua, M e N o máximo e o míimo de f respectivamete Supoa que G(f) pode ser dado pela figura Sejam A a área acurada, A a área sob o gráfico de f e A 3 a área itada pelas retas x a, x b, y m e y M É fácil ver que MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP m(b a) A A A 3 M(b a)

3 CLCULO DE REASE DEVIVADAS 3 M oy (x, f(x)) m O a x x x 3 x 4 b ox F igura Note que, a Figura, x 0 a, x a + b a 5, x a + b a 5, x 3 a + 3 b a 5, x 4 a + 4 b a 5 x 5 a + 5 b a b 5 Cama-se Partição de [a, b à qualquer cojuto P {x 0, x, x } cujos elemetos x 0, x, x [a, b e a x 0 x x b Seja x i x i x i para i,,, Deomia-se tamao de P, o maior valor x i etre todos os possíveis, e deota-se o tamao de P por e P max{ x i, para i,, } Note que se os valores x i forem escolidos da forma acima, P 0 se e somete, se Os itervalos [x i ; x i serão deomiados sub-itervalos de [a, b Tomemos um sub-itervalo [x i ; x i e desigemos os valores m i e M i como o míimo e Máximo de f o itervalo [x i ; x i respectivamete Formemos as SOMAS s(p ) m x + m x + + m x e S(P ) M x + M x + + M x (0) Observamos que, s(p ) é a soma iferior de Riema e S(P ) é a soma superior de Riema relativa à Partição P Exemplo 0 Tome f : [0 ; R dada por f(x) x, a Partição P 5 {x 0 0, x 05, x, x 3 5, x 4 }, ver Figura 3a e 3b Pela Figura 3a temos s(p 5 ) 05(05) + 05() + 05(5) DFM-FFCLRP-USP

4 4 SANTOS, J S (x, x ) oy O 05 5 ox F igura 3a (x, x ) oy O 05 5 ox F igura 3b Pela figura 3b temos S(P 5 ) 05(05) + 05() + 05(5) + 05() O valor exato da área sob o gráfico de f é 8 3 já calculado ( ver (0)) Veja que s(p 5) 8 3 S(P 5) oy f(b) f(a) O a ξ ξ ξ 3 ξ 4 ξ 4 b (x, f(x)) ox F igura 4 Agora, para cada sub-itervalo [x i ; x i de [a ; b, tomamos um valor ξ i (x i ; x i ) (ver figura 4), e calculamos a SOMA de Riema relativa à partição P dada por Observamos que s(p ) S(P ) S(P ) S(P ) f(ξ ) x + f(ξ ) x + + f(ξ ) x f(ξ i ) x i i Defiição 0 Dados A R um cojuto aberto, f : A R uma fução e x 0 A, dizemos que f é derivável em x 0 se MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

5 CLCULO DE REASE DEVIVADAS 5 f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ) R (03) Exemplo 0 Seja f : (0; ) R dada por f(x) x f(x 0 + ) f(x 0 ) x 0 + x 0 Note que Portato, f (x 0 ) que é a derivada de f em x 0 Note que, qualquer que seja x 0 (0; ), temos f (x 0 ), o que os permite defiir uma fução f : (0; ) R dada por f (x) camada fução derivada de f Exemplo 03 Seja f : (0; ) R dada por f(x) x f(x 0 + ) f(x 0 ) Note que x 0 Portato, f (x 0 ) x 0 que é a derivada de f em x 0 Note que, qualquer que seja x 0 (0; ), o que os permite defiir uma fução f : (0; ) R dada por f (x) x camada fução derivada de f Fução Derivada Se f : A ab R R for fução e o ite (x 0 + ) (x 0 ) x 0 + f(x 0 + ) f(x 0 ) existir para todo x 0 A, diremos que f é derivável em A O Limite (04) defie uma fução f : A R dada por (04) deomiada Fução Derivada f(x + ) f(x) f (x), (05) Se uma fução for costate, etão sua derivada é a fução ula Veja que se f for costate etão existira uma costate k tal que f(x) k Etão f(x + ) f(x) k k 0 f (x) Se f(x) ax + b com a, b R e a 0, etão f (x) a f(x + ) f(x) a(x + ) + b (ax + b) a a f (x) Se f(x) x etão f (x) x f(x + ) f(x) (x + ) x ) x + x f (x) DFM-FFCLRP-USP

6 6 SANTOS, J S f(x 0 + ) f(x) Observação 0 Note que, se fizermos x x 0 + o ite, teremos x x 0 se f(x 0 + ) f(x) f(x) f(x 0 ) e somete se 0 Portato, x x 0 x x 0 Exercícios f(x + ) f(x) Calcule o para as fuções idicadas a : f(x) x 3 + x ; b : f(x) x 3 ; c : f(x) x 3 ; d : f(x) x 4 e : f(x) x 4 ; f : f(x) cos(x); g : f(x) x ; i : f(x) x Calcule f f(x) f(x 0 ) (x) quado x x 0 x x 0 : f(x) x 3 : f(x) x 3 : f(x) x 3 4 : f(x) x 4 Dado A R um cojuto aberto de R e f : A R Dizemos que f é uma fução derivável em A se f for derivável em cada poto de A PROPRIEDADES DA DERIVADA Teorema 0 Dado A R um cojuto aberto de R e f : A R Se f for derivável em A etão f será uma fução cotíua em A Prova: Seja x 0 A Vamos provar que f é cotíua em x 0 Sabemos que existe f (x 0 ) ou seja f (x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 por defiição de ite, dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que se dist(x, x 0 ) < δ etão Portato, ( f(x) f(x0 ) ) dist ; f(x 0 ) f(x) f(x 0) f(x 0 ) < ɛ x x 0 x x 0 ɛ < f(x) f(x 0) f(x 0 ) < ɛ ou seja ɛ f(x 0 ) < f(x) f(x 0) < ɛ + f(x 0 ) x x 0 x x 0 Agora, supoa que x > x 0 Etão H(x) ( ɛ f(x 0 ))(x x 0 ) < f(x) f(x 0 ) < (ɛ + f(x 0 ))(x x 0 ) G(x) Veja que podemos aplicar o Teorema do Saduice para as fuões H(x), F (x) f(x) f(x 0 ) e G(x), o que os faz ver que f(x) f(x 0 ) 0 Etão, f(x) f(x 0 ) Podemos executar ovos cálculos x x 0 x x + 0 e aplicar ovamete o Teorema do Saduice para x < x 0 e veremos que f(x) f(x 0 ) Isto os diz que f é cotíua em x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) Portato, x x 0 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

7 CLCULO DE REASE DEVIVADAS 7 Teorema 0 Dado A R um cojuto aberto de R e f; g : A R e λ um úmero real Se f e g forem deriváveis em A etão f + g e λ f serão fuções deriváveis em A e (a) : [f(x) + g(x) f (x) + g (x) e (b) : λf(x) λ f (x), para todo λ R A prova deste Teorema pode ser facilmete ecotrada em livros textos de Cálculo e por isto será omitida Teorema 03 Seja f(x) x para N Etão f (x) x Prova : Note que Como ( 0), etão (x + ) x (x + ) x x + x + x x x 0 x 0 Note que é fator comum em todas as parcelas do segudo membro da igualdade acima, etão este fator comum pode ser fatorado, etão teremos { ( ) (x + ) x x + x + + x 0 } Como 0, podemos dividir ambos os membros da igualdade aterior por e teremos que, Veja também que (x + ) x { ( ) x + x + + x 0 } Agora é fácil ver que 0 { ( ) x + + x 0 } 0 (x + ) x { x + x + 0 x + + x 0 } x Exemplo 04 Calcule a fução derivada de (x) x 3 + x 4 Resolução Note que (x) f(x) + g(x), ode f(x) x 3 e g(x) x 4 Assim, o Teorema 03 os assegura que f (x) 3x e g (x) 4x 3 O Teorema 0 os assugura que, (x) 3x + 4x 3 Observação 0 Note que se p(x) a x + a x + + a 0 DFM-FFCLRP-USP

8 8 SANTOS, J S (fuão poliomial) etão usado os Teoremas 0 e 03 teremos p (x) a x + ( )a x + + a Derivada do Produto Teorema 04 Dado A R um cojuto aberto de R e f; g : A R Se f e g forem deriváveis em A etão fg fução derivável em A e (a) : [f(x)g(x) f (x)g(x) + f(x)g (x) Prova : Devemos calcular o ite f(x + )g(x + ) f(x)g(x) 0 f(x + )g(x + ) f(x)g(x) g(x + )f(x) + g(x + )f(x) 0 [f(x + ) f(x)g(x + ) + [g(x + ) g(x)f(x) 0 0 { [f(x + ) f(x) g(x + ) + [g(x + ) g(x)) } f(x (06) Como por ipótese g é uma fuão cotíua ( ) g(x + ) g x + g(x) 0 Como f é uma fução derivável Aida, como g também é difereciável, f(x + ) f(x) f (x) g(x + ) g(x) g (x) Portato, o último ite em (06) poder ser calculada e é dado por 0 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP { [f(x + ) f(x) g(x + ) + [g(x + ) g(x)) } f(x f (x)g(x) + f(x)g (x)

9 CLCULO DE REASE DEVIVADAS 9 Derivada do Quociete Teorema 05 Dado A R um cojuto aberto de R e f; g : A R Se f e g forem deriváveis em A etão se g(x) 0, a fução f é derivável em x e g [ f(x) f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) [g(x) A prova do Teorema 05será omitida por ser aáloga à prova do Teorama 04 Exemplo 05 Calcule (x) quado (x) x + x Resolução Note que (x) f(x) g(x), ode f(x) x + e g(x) x Aida, f (x) x e g (x) 3x O Teorema 05 os assegura que (x) f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x) x(x3 + 4) (x + )3x [x Derivada da Fução Seo Vamos mostras que a derivada de f(x) se x e f (x) cos x se (x + ) se x se x cos + cos x se se x se x [cos + cos x se [ se x 0 0 [cos + cos x se Note que a primeira fração detro do último ite em (07) pode ser escrita como (07) cos cos + cos + cos cos [ + cos se se [ + cos se Veja que (ite fudametal), se 0 e Etão temos 0 + cos 0 cos Portato, o ite em 07 pode ser calculado e 0 se se [ + cos 0 0 [ [cos se x x 0 + cos x se cos x f (x) DFM-FFCLRP-USP

10 0 SANTOS, J S Derivada da Fução Expoecial Seja a R a > 0 e a Se f(x) a x, etão f (x) a x l a O valor f (x) é dado pelo seguite Limite: f f(x + ) f(x) a (x+) a x (x) a x[ a [ a a x [ a Veja que a Proposição dos LIMITES FUNDAMENTAIS diz que la Portato, f (x) a x la Como sabemos um dos LIMITES FUNDAMENTAIS os diz que [ + s s e s 0 (08) Derivada da Fução Logarítmica Seja a R a > 0 e a Se g(x) log a x, etão g (x) x la A fuão g (x) é dada pelo seguite Limite: Portato g f(x + ) f(x) [ (x) log a (x + ) log a x 0 [ (x + ) log a log x 0 a [ + log x 0 a [ + x x x [ x log + x (faça s x ) [ a 0 x x log s (ver (08)) + s a s 0 x log e a g (x) x la EXERCÍCIOS (a) Calcule (i) 3 x 9 ( x + ) x ; (ii) x x x x (iii) MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP x + x x

11 CLCULO DE REASE DEVIVADAS Calcule as derivadas das fuções abaixo: (i) f(x) 8 x8 x 4, R : x 7 4x 3 ; (ii) g(x) x3 6 x 3 + 8, R : 48x (x 3 + 8) ; (iii) (s) 3[s 3 s R : 3 3s 3s; (iv) γ(x) (x 4 )(5x 3 + 6x), R : 70x x 4 5x 6; (v) (x) x + x + 5 (3x ), R : 6(x + 0x + ) (x + 5) ; (vi) f(x) x 3x x, (vii) g(x) 3 x (x ), (viii) (x) (4x + 3) 3 Em cada item abaixo ecotre f (x) (i) f(x) 0x + 3 cos x, (ii ) f(x) 3 x + si x, (iii) f(x) x + x cot x; (iv) f(x) (sec x + ta x)(sec x ta x), (v) f(x) (si x + cos x) sec x, (vi ) f(x) cot x cos x, (vii ) f(x) + ta x + si x 4 a: Ace a reta tagete ao gráfico de f(x) x 3 + 4x 4x 3 os potos P (0, 3), Q (, ), S (, f()) Em cada item aterior determie a reta ormal ao G(f), os potos idicados b: Ecotre a reta tagete à curva y 8 x, o poto (,) Use o teste da primeira derivada para estudar a cotiuidade e o crescimeto das fuções f, g abaixo (i) f(x) x 3 3x + 3x ; (ii) f(x) x 4 + 4x 3 + 8x ; (iii) f(x) x x + ; (iv) g(x) (x ) ; (v) g(x) x + cos(x); x [0, π x + (vi) g(x) tg x; (vii) g(x) x + Em uma operação de maufatura o custo da produção C é uma fução do úmero de uidades produzidas x, portato C C(x) O custo margial da produção é a TAXA DE VARIAÇÃO do custo em relação ao ível de produção Supoa que C(x) represete o custo (em alguma uidade de moeda) semaal da produção de x toeladas de aço Produzir x + toeladas por semaa custa mais; a difereça de custo, dividida pela acrescimo a quatidade de uidades produzidas aqui reprsetada por, é o custo médio para produzir cada toelada adicioal é dado por C(x + ) C(x) custo médio de cada uma das toeladas de aço adicioais produzidas (09) O ite desta razão 00 quado 0 é o custo margial para produzir mais aço por semaa quado a produção semaal de aço é de x toeladas Na liguagem Matemática represetamos este ite por C(x + ) C(x) C (x) custo margial de produção (00) Como exemplo, supoa que o custo seja C(x) x 3 6x + 5x dólares para produzir x uidades de aquecedores quado forem produzidos de 8 até 30 uidades por dia e que r(x) x 3 x + x represete o redimeto da veda de x uidades A veda diária é x 0 0 uidades Qual será o custo adicioal aproximado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumeto estimado do redimeto a veda de x 0 + aquecedor por dia? Resolução O custo para produzir uma uidade a mais, quado são produzidas 0 uidades por dia é aproximadamete C (0) : C (x) 3x x + 5 etão C (0) 3(0) (0) DFM-FFCLRP-USP

12 SANTOS, J S O custo adicioal será de aproximadamete 95 dólares Aalogamete ao que foi feito para o custo em (09) e (00) podemos fazer para a fução redimeto e etão redimeto margial será dado por r (x) 3x 6x + etão r (0) 3(0) 6(0) + 5 Se voce atualmete vede 0 uidades por dia, voce pode esperar que seu redimeto aumete aproximadamete 5 dólares se a veda aumetar de 0 para uidades por dia Supoa agora que o custo em uidades de moeda para produzir x máquias de lavar seja C(x), e que o redimeto da veda de x máquias de lavar seja r(x) ode C(x) x ( 0 x e r(x) 0000 ) x Determie o custo mádio por máquia prodizida durate a produção das 00 primeiras máquias Calcule o custo margial para a produção de 00 máquias de lavar Mostre que, para a produção de 00 máquias de lavar o custo margial é aproximadamete o custo para a produção de uma máquia de lavar a mais (depois que as 00 primeiras uidades foram produzudas), calculado diretamete o último custo citado Determie o redimeto margial para aprodução de 00 máquias de lavar R: U$ Use a fução r para estimar o aumeto resultate o redimeto, se a veda aumetar de 00 para 0 máquias de lavaru$ Calcule o ite de r(x) quado x Como voce iterpreta este ite U$ 0? 6 (Leitold vol I, Exc 5 p 73 / resp A 65) Ecotre o valor do ite e coforme o caso idique os teoremas usados (i) (v) 0 (x + x ) x (ii) x 5 x x r + r r (vi) y 3 (iii) y 9 y + 7y + 3 (ix) x 3 x 3 5x x 3 4x 3 3x + 4x 3 Respostas ( 7,,, 7, 3, 5 30, 4, 3, 7 ) y (vii) y y + (vi) x 3 x + x 0 x x + 5x + 6 x x (Racioalize o umerador) 7 Supoa que f(x), g(x) 5, (x) 5, p(x) e r(x) Especifique x 0 x 0 x x x as regras (Teoremas) que estão sedo utilizadas para efetuar os cálculos do seguite ete: f(x) g(x) (i) 7 5(x) (ii) x 0 [f(x) x p(x)[4 r(x) 5 (iii) f(x)g(x) 5 x 0 f(x) f(x) g(x) 5(x) (iv) (v) x (vi) (x ) x 0 [f(x) g(x) 3 x 0 [f(x) x p(x)[4 r(x) t 8t 3 7 (vii) (viii) (ix) t 0 t 3 4t 9 8 Em cada item abaixo calcule x a f(x) f(a) ; a R, a 0 x a 4 4 a ; (iii) f(x) 5 x, R 3 (i) f(x) 3 x, R 3 3 a ; (ii) f(x) 4 x, R R a 3 ; (v) f(x) x 3, R 3a 4 ; (vi) f(x) x 5, tome a 5, a e a 6 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP (viii) 5 5 a 4 ; (iv) f(x) x,

13 CLCULO DE REASE DEVIVADAS 3 9 Ecotre os ites a seguir (i) x 4x 3 + x 5 8x 3 ; (v) + x + x + (Resp 5, 0,,, 0) (vi) x ± x x + 5 7x 3 + x + (vii) + x + x x x + 4 x ; (ii) 5 x + (viii) x ± x + 4 y + 4 3x ; (iii) 5 y + y + 4 ; (iv) 3x 4 7x + x 4 + x + 0 Calcule os ites, (i) ; (ii) x 4 x ; (iii) t 3 + x x 9 (iv) (v) ; ( Resp,,,, ) x 0 x x 3 + x x 3 + x (vi) ; (vii) ; (viii) x 0 x x 0 x 3 9 (ix) x 5x + 8x 3 x 3x ; R 5 x (xi) ; R (xi) x 7x + 4 x a Verifique que se f(x) x + 5x 3, etão f(x) f() x b Verifique que se g(x) x 4 x t + t 4 ;, etão g(x) 4; mas que g() ão está defiida x c Dada a fução f, em cada um dos casos, verifique se x 3 f(x) f(3) 5x + 8x 3 3x ; R (x) 4x 3 + 7x x 3x 0 ; R { x f(x) 9, se x 3 4, x 3 f(x) { x 9 x+3, se x 3 4, x 3 Se uma lata fecada de estao, de volume fixado V 0 deve ter a forma de um clidro reto, ecotre o volume e a área deste cilidro como fução apeas de r e depois apeas de respectivamete 3 Como sabemos o volume e a área de qualquer coe reto são fuções do seu raio r e da sua altura Um coe reto deve ser iscrito em uma esfera de raio coecido a 0 Ecoter a área e o volume deste coe como fução apeas de r e depois de 4 Como sabemos a área de um retâgulo é uma fução de seus lados, digamos x e y Cosidere apeas os retâgulos que têm mesmo perímetro p 0, e obtea a área destes retâgulos como fução de apeas um de seus lados 5 Como sabemos o volume e a área de qualquer cilidro reto são fuções do seu raio r e da sua altura Dê a expressão de cada uma destas fuções Cosidere um cilidro reto de raio r e altura iscrito em uma esfera de raio fixo a Dê o volume e a área da deste cilidro em fução apeas de e a, e depois em fução de r e a 6 A equação ax + x 0, com a R uma costate, apreseta duas raízes se a >, uma positiva e a outra egativa r + (a) + + a a e r (a) + a a (a) O que acotece a r + (a) quado a 0? Quado a +? (a) O que acotece a r (a) quado a 0? Quado a +? Fudamete suas coclusões traçado os gráficos de r + (a) e r (a) em fução de a Descreva o que voce observa BOA SORTE DFM-FFCLRP-USP