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1 Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Prof Dr José Augusto Baraauskas DFM-FFCLRP-USP A Aálise de Algoritmos é um campo da Ciêcia da Computação que tem como objetivo o etedimeto da complexidade dos algoritmos O objetivo desta aula cosiste em desevolver as habilidades de fazer julgametos elemetares da avaliação dos programas Existem muitos critérios com os quais podemos julgar um programa, por exemplo: Será que ele faz o que se espera que ele faça? Será que ele fucioa corretamete de acordo com as especificações? Existe documetação explicado como usá-lo e como ele trabalha? O código está legível? Os critérios acima são muito importates quado se escreve software, especialmete para grades sistemas Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Existem aida outros critérios diretamete relacioados com o desempeho: tempo de computação e requisitos de memória A avaliação de desempeho pode ser liberalmete dividida em partes: (a) estimativas precedetes e (b) testes posteriores Cosidere iicialmete uma estimativa precedete Supoha que em algum poto do seu programa ecotra-se a istrução x = x + ; Gostaríamos de determiar dois valores para esta istrução a duração de tempo para uma úica execução; a quatidade de vezes que ela é executada O produto desses valores será o tempo total tomado por esta istrução A seguda estatística é chamada de cotagem de freqüêcia e varia de um cojuto de dados para outro Aálise de Algoritmos Uma das tarefas mais difíceis, em estimativa de cotagem de freqüêcia, é a seleção adequada de amostras de dados Será impossível determiar exatamete quato tempo levará a execução de qualquer comado, a meos que tehamos as iformações seguites: máquia ode a istrução será executada; cojuto de istruções da liguagem da máquia; os tempos ecessários para cada istrução da máquia; a tradução que um compilador fará do código fote para a liguagem da máquia Assim, é possível determiar esses valores escolhedo uma máquia real e um compilador existete Aálise de Algoritmos Outra alterativa cosiste em defiir um computador hipotético (com um tempo de execução imagiário), porém matedo os tempos razoavelmete próximos dos equipametos existetes, para que os valores resultates sejam represetativos Nehuma dessas alterativas mostra-se adequada, pois em ambos os casos o tempo determiado provavelmete ão se aplicará a muitos computadores Também a variação do compilador de uma máquia para outra represetará um problema

2 Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Todas essas cosiderações coduzem-os a limitar ossos objetivos em uma aálise a priori Vamos os cocetrar apeas o desevolvimeto da cotagem de freqüêcia para todas as istruções Cosidere os seguites três exemplos: x = x + ; for(i=; i <= ; i++) x = x + ; for(i=; i <= ; i++) for(j=; j <= ; j++) x = x + ; (a) (b) (c) x = x + ; for(i=; i <= ; i++) x = x + ; for(i=; i <= ; i++) for(j=; j <= ; j++) x = x + ; (a) (b) (c) No programa (a) assumimos que a istrução x = x + ão está icluída detro de qualquer laço explícito ou implícito Neste caso, a cotagem de freqüêcia é (um) No programa (b) a mesma istrução será executada vezes No prograra (c) vezes (assumido > ) Os valores, e são as ordes de gradeza Complexidade os Casos: Pior, Melhor e Médio Em geral, a aálise de algoritmos são avaliadas as situações (para uma etrada de tamaho ) da complexidade do: pior caso do algoritmo (worst case) que é uma fução defiida pelo úmero máximo de passos utilizados; caso médio do algoritmo (average case) que é uma fução defiida pelo úmero médio de passos utilizados; melhor caso do algoritmo (best case) que é uma fução defiida pelo úmero míimo de passos utilizados; Na aálise de execução, a preocupação pricipal cosiste a determiação de ordem de gradeza de um algoritmo (pior caso) Complexidade os Casos: Pior, Melhor e Médio Complexidade Pior caso Caso médio Melhor caso Aálise de Algoritmos Exemplo Para determiar a ordem de gradeza, usa-se freqüetemete as fórmulas como: i ; o segmeto do programa (c) aterior a istrução x = x + é executada for(i=; i <= ; i++) for(j=; j <= ; j++) x = x + ; i j i Em geral i i i i k ( ) ; k k i i ( )( termos de meor grau, k ) Cosidere o algoritmo para cálculo do fatorial de um úmero iteiro dado a seguir it fatorial(it ) { it i, produto; produto = ; for(i = ; i <= ; i++) produto = produto * i; retur produto; } Cada istrução é cotada uma vez O tempo atual tomado por cada istrução aturalmete poderá variar A istrução for é a verdade uma combiação de diversas istruções, mas aqui vamos cotá-la como uma Etão, a cotagem total é +, como é mostrado a tabela seguite Lihas Freqüêcia,,,,,,,, +,,,,,, +,,,,,,,, + + (-) = +

3 Exemplo Cosidere o algoritmo para cálculo do fatorial de um úmero iteiro dado a seguir it fatorial(it ) { it i, produto; produto = ; for(i = ; i <= ; i++) produto = produto * i; retur produto; } Cada istrução é cotada uma vez O tempo atual tomado por cada istrução aturalmete poderá variar A istrução for é a verdade uma combiação de diversas istruções, mas aqui vamos cotá-la como uma Etão, a cotagem total é +, como é mostrado a tabela seguite Lihas Freqüêcia,,,,,,,, +,,,,,, +,,,,,,,, + + (-) = + Defiição: O(g()) = {f() : existem duas costates c e tais que f() <= c*g(), para todo > } Como, ormalmete, é difícil determiar com exatidão f(), a otação O é utilizada Assim, a otação O forece um limite superior para uma fução detro de um fator costate Freqüetemete vamos deotar isso como O() igorado as costates Complexidade c*g() f() Dado um algoritmo, aalisamos a cotagem de freqüêcia para cada istrução e somamos todas Isto ormalmete resulta em um poliômio do tipo (c k!= ) P() = c k k + c k- k- + + c + c Usado a otação "O P() = c k k + c k- k- + + c + c O( k ) Por outro lado, se qualquer passo for executado vezes ou mais a expressão será (c!= ) c + P() = c + c k k + c k- k- + + c + c O( ) Assim, a otação O, cosidera-se apeas o termo de maior ordem A otação O() idica que o tempo de computação é costate, idepedetemete de qualquer fator O() chama-se liear O( ) chama-se quadrática O( ) chama-se cúbica O( ) chama-se expoecial Os tempos de computação O(), O(log ), O(), O( log ), O( ), O( ) e O( ) são aqueles comumete ecotrados e os quais vamos trabalhar o decorrer do curso, e log é, ormalmete, o logaritmo de a base Possuido dois algoritmos para desempehar a mesma tarefa, sedo o primeiro com um tempo de computação O() e o segudo O( ), geralmete cosidera-se o primeiro como superior Isso porque à medida que aumeta, o tempo de processameto do segudo algoritmo vai piorar muito comparado com o tempo do primeiro

4 Exercício log log,e+,e+ Observe como os tempos O(log ) e O( log ) crescem muito mais devagar do que os outros São geralmete impraticáveis, para grades cojutos de dados, algoritmos com uma complexidade superior a O( log ) Um algoritmo que é expoecial vai fucioar apeas com etradas Muito pequeas log log A Regra de Horer é um método que forece os meios para a avaliação de um poliômio A ( x) ax a x ax a o poto x usado uma quatidade míima de multiplicações A regra é: A( x) ( (( a x x a a ) x a) Escreva uma fução para avaliar um poliômio, usado a Regra de Horer Determie quatas vezes cada istrução será executada Qual a ordem de gradeza da complexidade a otação O? Solução Solução y = ; for(i=n; i>=; i--) y = a[i] + x*y; y = ; for(i=n; i>=; i--) y = a[i] + x*y; Lihas,,,,,,,, Freqüêcia ,,,,,,, (+) + = + = O() Solução float horer(it N, float a[], float x) { it i; float y; y = ; for(i=n; i>=; i--) y = a[i] + x*y; retur y; Lihas,,,,,,,,,,,,,,,,,, Freqüêcia (+) + = + = O() Exercício Qual a freqüêcia das istruções e a ordem de gradeza da complexidade a otação O de um procedimeto que multiplica duas matrizes quadradas A, e B,? E para duas matrizes A,m e B m,r?

5 Solução A, e B, cost it Max = ; void multmatriz(it, float a[][max], float b[][max]) { it i,j,k; for(i=; i<=; i++) for(j=; j<=; j++) { c[i][j] = ; for(k=; k<=; k++) c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } Solução A, e B, cost it Max = ; Liha Freqüêcia + *(+) void multmatriz(it, float a[][max], * float b[][max]) { it i,j,k; **(+) ** for(i=; i<=; i++) Total + ++=O( ) for(j=; j<=; j++) { c[i][j] = ; for(k=; k<=; k++) c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } Solução A,m e B m,r cost it Max = ; void multmatriz(it, float a[][max], float b[][max]) { it i,j,k; for(i=; i<=; i++) for(j=; j<=r; j++) { c[i][j] = ; for(k=; k<=m; k++) c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } Solução A,m e B m,r cost it Max = ; Liha Freqüêcia + *(r+) void multmatriz(it, float a[][max], *r float b[][max]) { it i,j,k; *r*(m+) *r*m for(i=; i<=; i++) for(j=; j<=r; j++) Total rm+r++=o(rm) { c[i][j] = ; for(k=; k<=m; k++) c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } Exercícios Dado um vetor a com elemetos, é possível ecotrar um algoritmo com O() que: ecotra o maior valor de a? ecotra o meor valor de a? Qual a ordem de gradeza de um algoritmo que ecotra a difereça etre o maior e o meor elemetos de um vetor de elemetos? Solução (maior de a) float maior(it, float a[]) { it i; float x; x = a[]; for(i=; i<=; i++) x = a[i]; Total retur x; } Liha Pior Caso Freqüêcia (-) (-) = O()

6 Solução (maior de a) float maior(it, float a[]) { it i; float x; Liha x = a[]; for(i=; i<=; i++) x = a[i]; Total retur x; } Melhor Caso Freqüêcia (-) + = O() Solução (maior de a) float maior(it, float a[]) { it i; float x; Liha x = a[]; for(i=; i<=; i++) x = a[i]; Total retur x; } Caso Médio Freqüêcia (-) (-)/ (+)/=O() Solução (maior de a) float maior(it, float a[]) { it i; float x; x = a[]; Pior Caso for(i=; i<=; i++) x = a[i]; retur x; } Caso Médio Melhor Caso Resumo (+)/ + Resumo A Aálise de Algoritmos permite fazer julgametos sobre a complexidade dos programas Dado um algoritmo, podemos estimar complexidades do pior caso, o melhor caso e o caso médio Nem sempre a aálise de um algoritmo pode ser efetuada de forma exata => uso da otação O

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