Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Segundo Ano do Ensino Médio

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1 Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

2 Itrodução Neste material teórico damos o iício ao estudo do Biômio de Newto e do Triâgulo de Pascal Estes dois assutos estão itimamete relacioados e mesclam argumetos puramete algébricos com argumetos combiatórios Ao logo do texto, deota um úmero iteiro ão egativo 2 Biômio de Newto O Biômio de Newto os forece uma maeira rápida de expadir expressões do tipo x y como uma soma de moômios, ou sea, uma soma ode cada parcela é um produto de um certo coeficiete por potêcias de x e de y Nos casos em que 0 e tais expasões são triviais Para obtê-las quado 2 ou 3, basta lembrarmos que elas se resumem a dois importates produtos otáveis Assim, temos que: Para quaisquer úmeros reais x e y, valem: x y 0, x y x y, x y 2 x 2 2xy y 2, x y 3 x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 Lembre-se de que as expressões acima podem ser obtidas diretamete, utilizado-se as propriedades comutativa e associativa da adição e multiplicação de úmeros reais, além da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição Isso foi feito em detalhes o material teórico do módulo sobre produtos otáveis Queremos, agora, obter fórmulas semelhates para valores maiores de O caso em que, assim como os ateriores, aida pode ser resolvido apeas fazedo-se a cota Veamos: como xy xy 3 xy, basta tomar a expressão que tíhamos para xy 3 e multiplicá-la por xy Deixamos como exercício para o leitor verificar que o resultado disso é: xy x x 3 y6x 2 y 2 xy 3 y Observe que, em todos os casos acima, coseguimos orgaizar as parcelas de modo que, ao percorrê-las da esquerda para a direita, o expoete de x começa igual a e, à medida que avaçamos, ele decresce em exatamete uma uidade, parcela a parcela vea que a última parcela, podemos imagiar que o expoete de x é igual a zero, uma vez que x 0 O expoete de y, por sua vez, aumeta em uma uidade cada vez que passamos para a parcela seguite Apesar dessa ão ser a úica maeira pela qual podemos orgaizar tais parcelas, ela é uma maeira bastate elegate e coveiete sempre que viável Agora, para obtermos uma expressão geral para x y, ode é um iteiro positivo qualquer, precisamos apeas dos seguites igredietes: a Argumetar que a parte literal de todos os moômios da expasão é da forma x i y ode i, ou sea, da forma x y b Ecotrar uma maeira simples de calcular o coeficiete do moômio x y em tal expressão Faremos a e b de forma simultâea com um simples argumeto combiatório Ates disso, vamos aalisar ovamete o caso em que 3 de um ovo poto de vista Observe que, de forma mais geral, ao desevolvermos um produto ode cada fator é uma soma de literais, por exemplo, algo da forma a b cd ef g h i, o resultado fial é uma soma de moômios, ode cada moômio pode ser obtido escolhedo-se um literal de cada um dos fatores origiais ou sea, escolhedo-se um literal de cada uma dos parêteses Por exemplo, ao desevolvermos a ub vc w o resultado é abc abw avc avw ubc ubw uvc uvw Vea, por exemplo, que o termo avw foi obtido escolhedose o literal a do biômio au, o literal v de bv e o literal w de c w Da mesma forma, x y 3 também pode ser expressado como: x y 3 x yx yx y xxx xxy xyx xyy yxx yxy yyx yyy x 3 x 2 y x 2 y xy 2 x 2 y xy 2 xy 2 y 3 A partir daí, basta agrupar os moômios que são iguais para obter o produto otável usual Vea, por exemplo, que x 2 y terá coeficiete 3, pois o moômio x 2 y aparece três vezes a expressão acima Para resolver o caso geral, basta observar que x y x yx y x y, ode o produto possui fatores Ou sea, x y é um produto de biômios, cada um deles igual a x y Pelo argumeto aterior, cada moômio resultate do desevolvimeto de x y é um produto formado por literais, ode cada literal é igual a x ou y Vea que cada moômio correspode a exatamete uma sequêcia de termos, ode cada termo é igual a x ou y Note, etão, que cada moômio é da forma x i y ode i é o úmero de vezes em que o literal x aparece em tal sequêcia e é o úmero de vezes em que y aparece Claramete, i é igual ao úmero de termos a sequêcia, que é Assim, i, o que implica i, de forma que cada moômio é da forma x y Portato o item a está provado Quato a matematica@obmeporgbr

3 b, ote que o coeficiete do moômio x y correspode à quatidade de sequêcias de termos, ode cada termo é igual a x ou y as quais y aparece exatamete vezes Coforme estudamos ateriormete, isso é exatamete o úmero de maeiras de escolher dos parêteses, ie é igual ao úmero de combiações de escolhe, que é igual a O resultado dessa discussão pode ser resumido pela idetidade a seguir: Desevolvimeto do Biˆomio de Newto: x y x x y 0 x y y A expressão x y é chamada de termo geral do biômio de Newto Para os leitores que estão familiarizados com a otação de somatório, a expressão acima, para o desevolvimeto do biômio de Newto, pode ser escrita de forma mais compacta como x y 0 x y No que segue, colecioamos algumas aplicações dessa fórmula Exemplo Aplicado a fórmula do biômio de ewto para 2 e 3 obtemos: x y 2 x 2 xy y 2, x y 3 x 3 x 2 y xy 2 y Calculado os valores dos úmeros biomiais das expressões acima, vemos que elas coicidem com os produtos otáveis colecioados o iício do texto Exemplo 2 Como,, 2 6, 3 e, temos que a fórmula obtida ao aplicarmos o biômio de Newto para desevolver x y é idêtica à que havíamos obtido ateriormete, a equação Exemplo 3 Mostre que, para todo úmero atural, vale a seguite idetidade: 2 0 Prova Observe que 2 e vea que, fazedo x y o desevolvimeto do biômio de Newto para x y, temos que todos os termos da forma x y são iguais a Dessa forma, o que resta a fórmula de tal desevolvimeto é 0 Observe que a fórmula do desevolvimeto do biômio de Newto também pode ser utilizado para expadir expressões do tipo x y A difereça é que, esse caso, os siais das parcelas alterar-se-ão etre siais e siais ; a razão disso é que x y x y, e podemos usar o biômio para desevolver a última expressão, obtedo x y x 0 x y y x y Como y y, observe que o sial do moômio x y será se, e só se, for par, o que resulta a seguite idetidade: x y x x y 0 x 2 y 2 x 3 y y Exemplo Ecotre e expasão de a 3 b, obtida pelo Biômio de Newto Solução Lembre-se de que x y x x 3 y 6x 2 y 2 xy 3 y Substituido x a 3 e y b a expressão acima fique ateto para os siais alterados, obtemos a 3 a 2 a9 6a6 b b b 2 a3 b 3 b 3 Triâgulo de Pascal O Triâgulo de Pascal é uma maeira de listar orgaizadamete os úmeros biomiais Nele, costumamos posicioá-los de forma a lembrar a figura de um triâgulo, daí o ome 2 matematica@obmeporgbr

4 Liha 0: Liha : Liha 2: Liha 3: Liha : Liha 5: Figura : as cico primeiras lihas do Triâgulo de Pascal Liha 0: Liha : Liha 2: 2 Liha 3: 3 3 Liha : 6 Liha 5: Figura 2: as cico primeiras lihas do Triâgulo de Pascal, após calcular o valor de cada um dos úmeros biomiais O iteressate é que, ao orgaizarmos os úmeros biomiais dessa forma, várias relações etre eles podem ser visualizadas de forma clara Vamos ver apeas duas dessas relações este material, mas veremos outras delas em materiais futuros O Triâgulo de Pascal, a verdade, foi descoberto pelo matemático chiês Yag Hui, aida o século XIII Cotudo, o estudo detalhado de suas propriedades foi feito apeas 500 aos depois, pelo matemático fracês Blaise Pascal As lihas e as coluas do Triâgulo de Pascal são umeradas Ao fazermos tal umeração, devemos sempre iiciar a cotagem pelo úmero 0 e ão pelo úmero Feito isso, escreve-se o úmero biomial a -ésima colua da -ésima liha O resultado é exibido a Figura De outro modo, calculado-se o valor de cada um dos úmeros biomiais, obtemos o triâgulo da Figura 2 Comparado a defiição do Triâgulo de Pascal com o desevolvimeto do Biômio de Newto, é imediato observar que: Os úmeros que aparecem a liha do Triâgulo de Pascal são precisamete os coeficietes que aparecem o desevolvimeto do Biômio de Newto x y A primeira relação para a qual chamamos a ateção do leitor é uma cosequêcia imediata do fato acima, utamete com o Exemplo 3: A soma dos úmeros biomiais da liha do Triâgulo de Pascal é igual a 2 A seguda relação é cohecida é a relação de Stifel, também cohecida como a regra de Pascal Ela é muito importate, pois os permite calcular rapidamete as etradas das primeiras lihas do Triâgulo de Pascal sem a ecessidade de calcular fatoriais e sem fazer qualquer operação de divisão Assim, ela os forece uma maeira prática e rápida de desehar as primeiras lihas do triâgulo sem a ecessidade de memorizar seus termos Proposição 5 Relação de Stifel/Regra de Pascal Para e iteiros tais que, temos: Prova algébrica Basta escrevermos o valor dos biomiais do lado esquerdo da equação, colocar em evidêcia o que for possível e simplificado o restate:!!!!!!!!!!!!!!!!!! Prova combiatória Sea um iteiro positivo Supoha que, de um grupo de pessoas, que iclui você e outras pessoas, deseamos formar um comitê de pessoas que represete o grupo Claramete, o úmero de possíveis comitês é igual a Agora, observe, que podemos classificar cada comitê como sedo de um dos seguites tipos: a aqueles em que você participa; b aqueles em que você ão participa 3 matematica@obmeporgbr

5 Para formar um comitê em que você participa, devemos escolher, detre as outras pessoas, quais serão as pessoas que participarão do comitê uto com você Dessa forma, existem comitês do tipo a Por outro lado, para motar um comitê do qual você ão participa, devemos simplesmete escolher pessoas detre as pessoas diferetes de você Dessa forma, existem comitês do tipo b Como a soma das quatidade de comitês de cada tipo é igual ao total de comitês, podemos cocluir corretamete que: Observação 6 Também é comum ecotrar a Relação de Stifel escrita da seguite forma: A Figura 3, ilustra como a relação de Stifel pode ser visualizada detro do Triâgulo de Pascal Vea que, se á tivermos os valores do úmeros biomiais de uma determiada liha do Triâgulo de Pascal, podemos usar tal relação para ecotrar facilmete os valores da liha seguite, realizado apeas operações de adição Por exemplo, para obter a Liha 6 do triâgulo fazemos o seguite: começamos colocado o úmero a primeira colua, uma vez que para todos iteiro positivo ; em seguida, basta somar dois termos cosecutivos da liha aterior o caso, a Liha 5 e escrever o resultado da soma logo abaixo do termo da direita Por exemplo, observe que as Lihas 5 e 6 da Figura 3, temos: 5 6, e assim por diate Para fializar uma liha, deve-se etão colocar o úmero, de modo que ela fique com uma colua a mais do que a liha aterior 3 Calculado liha a liha os termos do Triâgulo de Pascal Nesta seção, veremos como ecotrar os valores dos úmeros biomiais situados em uma liha específica do Triâgulo de Pascal de modo rápido, sem a ecessidade de cohecer as lihas ateriores com uma úica desvatagem de que o método de cálculo evolve o uso de multiplicações e divisões Claramete, o obetivo é determiar, para um dado, os valores de,,, Para isso, bastará lembrar que e, em seguida, aplicar vezes a proposição a seguir Proposição 7 Para e iteiros tais que 0, vale que: Figura 3: represetação da Relação de Stifel, também cohecida como Regra de Pascal A figura foi obtida adaptado-se o código de Paul Gaborit, em texampleet/tiz/examples/pascals-triaglead-sierpisi-triagle/ Prova Basta ver que!!!!!!!!! Exemplo 8 Ecotre os valores de 5, 5,, 5 5 usado apeas a proposição acima ou sea, sem olhar para o Triâgulo de Pascal Solução Lembre-se de que 5 Para ecotrar as demais etradas da liha 5, basta aplicar cico vezes a fórmula da Proposição 7: , , , , matematica@obmeporgbr

6 É iteressate observar que, em cada passo, temos o produto de uma fração pelo úmero biomial obtido o passo aterior Tal fração, por sua vez, é obtida dimiuido-se o umerador e aumetado-se o deomiador da fração aterior em uma uidade Observação 9 Observe que podemos usar o método acima descrito para ecotrar o desevolvimeto do biômio de Newto, quado ão é muito grade Por exemplo, para calcular x y 5, começado colocado os moômios: x 5 x y x 3 y 2 x 2 y 3 xy y 5 Em seguida, colocamos o úmero o primeiro espaço e calculamos os coeficietes dos demais moômios um a um, pelo método aterior Vea que o coeficiete de cada moômio é sempre obtido multiplicado o coeficiete aterior pelo expoete de x o moômio aterior e dividido-o pelo expoete de y o moômio atual O resultado obtido omitido-se os coeficietes que são iguais a é: x 5 5x y 0x 3 y 2 0x 2 y 3 5xy y 5 Deixamos como exercício para leitor verificar a seguite idetidade Problema 0 Mostre que, para e iteiros tais que 0, vale a seguite idetidade: Figura 5: os úmeros biomiais pares foram coloridos de laraa e os ímpares de azul O resultado é uma coloração semelhate à do Triâgulo de Sierpisi A figura acima foi obtida adaptado-se um código de Paul Gaborit Observamos que há outras maeiras de desehar o Triâgulo de Pascal Por exemplo, podemos alihar os úmeros de modo que eles formem um triâgulo equilátero, em vez de um triâgulo retâgulo Umas das maeiras mais comus é a exibida a Figura Liha 0: Liha : Liha 2: 2 Liha 3: 3 3 Liha : 6 Liha 5: Liha 6: Figura : outra represetação do Triâgulo de Pascal Para fializar esta seção e provocar a curiosidade do leitor, exibimos um deseho do Triâgulo de Pascal ver Figura 5 o qual os úmeros biomiais pares são coloridos de laraa e os ímpares de azul O resultado segue um belo padrão, que é o mesmo padrão de cores de um famoso fractal, o Triâgulo de Sierpisi vea a Figura 6 Figura 6: o Triâgulo de Sierpisi Dicas para o Professor É iteressate revisar os módulos de Expressões Algébricas e Poliômios e de Produtos Notáveis para que fiquem claros os sigificados de termos como moômio, coeficiete e parte literal Neste material teórico, cocetramo-os pricipalmete o desevolvimeto da teoria em si; portato, ele há poucos exemplos ou exercícios resolvidos Cotudo, um dos 5 matematica@obmeporgbr

7 motivos para isso é que o Cadero de Exercícios desse módulo cotém mais de quareta exercícios com respostas ou soluções Ressaltamos que é muito importate a resolução de exercícios em sala de aula Assim, é recomedado que o Cadero de Exercícios sea abordado em paralelo a este material Sugestões de Leitura Complemetar P C P Carvalho, A C de O Morgado, P Feradez e J B Pitombeira Aálise Combiatória e Probabilidade SBM, Rio de Jaeiro, J P O Satos, M P Mello e I T Murari Itrodução à Aálise Combiatória Rio de Jaeiro, Ciêcia Modera, matematica@obmeporgbr